《直线与椭圆的综合问题》专题(学生版)

《直线与椭圆的综合问题》专题

2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名

考点一 弦中点问题

[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方

程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )

A.1

2 B.22 C.32

D.55

[解题技法]

1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤

2．解有关弦中点问题的注意点

对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

[题组训练]

1．已知椭圆：x 29＋y 2

＝1，过点P ????12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )

A ．9x ＋y －5＝0

B ．9x －y －4＝0

C ．x ＋9y －5＝0

D ．x －9y ＋4＝0

2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是2

7的椭圆的标准方

程为________________．

考点二 弦长问题

[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3，焦距

为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .

(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．

[解题技法] 弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝

???

?1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

[题组训练]

1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的

值为( )

A ．±1

B ．±1

2

C. 2 D ．±2

2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1

2，过F 1

的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．

考点三 椭圆与向量的综合问题

[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ?

??

?

3，

32. (1)求椭圆C 的方程；

(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→

，求直线l 的斜率k 的值．

[解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法

(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练]

1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，

BF 1―→·BF 2―→≥14

F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )

A.????0，1

2 B.?

??

?

0，

22 C.?

??

?0，

33 D.????12，1

2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y

2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝

|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．

(1)求椭圆D 的标准方程；

(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→

的值．

[课时跟踪检测]

A 级——保大分专练

1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )

A ．－2

3

B ．－32

C ．－49

D ．－94

2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心

率为

2

2

，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223

B.423

C. 2 D ．2

3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455

C.4105

D.8105

4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与

椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→

，则该椭圆的离心率为( )

A.32

B.23

C.22

D.

33

5．已知点P 是椭圆x 216＋y 2

8＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐

标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→

|的取值范围是( )

A ．[0,3)

B ．(0,22)

C ．[22，3)

D ．(0,4]

6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．

7．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交

椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．

8．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y

2

2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则

此弦所在的直线方程为________．

9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a

＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．

(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；

(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－1

3，求椭圆C 的离心率．

10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴

与短半轴的比值为2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．

B 级——创高分自选

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1

2，点A

在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点M ????0，1

8，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程．

2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→

.记点P 的轨迹为曲线E .

(1)求曲线E 的方程；

(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→

，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．