指数函数及其性质
指数函数及其性质(解析版)
微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-， 可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，20221x<<+， 所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数， 所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+， 且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号， 所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤， 所以()22422141x x t t --⋅+-=+-， 令()224125y t t t =+-=+-， 因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（ ）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-， 所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确． 故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，， 故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-， 当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立， 所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二： 若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--； （2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。
指数函数及其性质_课件
[例 4] 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y ＝dx 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )
A．a<b<1<c<d C．1<a<b<c<d
B．b<a<1<d<c D．a<b<1<d<c
[分析] 比较 a、b、c、d 的大小，即比较 x＝1 时各函数 值的大小，即对应点的高低．
A.43， 2，15，130 B. 2，43，130，15 C.130，15， 2，43 D.15，130，43， 2
[答案] C
[解析] 解法一：指数函数 y＝ax 的图象从第一象限看，逆 时针方向底数 a 依次从小变大，故选 C.
解法二：直线 x＝1 与函数的图象相交，从上到下依次为 c>d>a>b，而 2>43>130>15，故选 C.
指数函数 f(x)的图象过点3，18，则 f(－2)与 f(－3)的大小 关系为________．
[答案] f(－2)<f(－3)
[解析] ∵f(x)＝ax 过点3，18，∴a＝12； f(x)＝12x 是减函数，∴f(－2)<f(－3)．
3 指数函数图象的分布规律
[例 3] 由于 y＝2x 与 y＝(12)x 的图象关于 y 轴对称，那么 y＝ax 与 y＝(1a)x(a>0，a≠1)的图象是否也关于 y 轴对称？函 数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称吗？
②1223
<
11 22
；
④1.1a－3 > 1.1a－2.8
(6)已知23a>23b，则 a 与 b 的大小关系是 a<b .
指数函数的像与性质
指数函数的像与性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
它具有许多特殊性质，而其中之一就是像的性质。
本文将介绍指数函数的像以及其性质。
一、指数函数的定义与基本性质指数函数的定义如下：$$y=a^x \quad (a>0, a\neq 1)$$其中，$a$为底数，$x$为指数，$a^x$表示底数$a$的$x$次幂。
指数函数的基本性质包括：1. 当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
2. 当$x$趋近正无穷时，$a^x$趋近于正无穷；当$x$趋近负无穷时，$a^x$趋近于0。
3. 指数函数的图像都经过点$(0,1)$，即$a^0=1$。
二、指数函数的像指数函数的像是函数曲线上所有纵坐标的值构成的集合。
具体来说，指数函数的像为$(0,+\infty)$或$[0,+\infty)$，具体取决于是否包含点$(0,1)$。
以$a>1$为例，指数函数$y=a^x$的像为$(0,+\infty)$，其中0不包含在内。
这是因为当$x$为任意实数时，$a^x$的取值都大于0。
同时，由于指数函数经过点$(0,1)$，所以0不属于该函数的像。
当$0<a<1$时，指数函数$y=a^x$的像为$[0,+\infty)$，其中0包含在内。
此时，根据指数函数的性质，$a^x$的取值范围在$(0,1)$之间。
同时，由于指数函数经过点$(0,1)$，所以0也属于该函数的像。
三、指数函数的性质除了像的性质外，指数函数还具有其他一些重要的性质。
1. 零点与特殊点：指数函数$y=a^x$存在零点$x=0$，即$a^0=1$。
同时，指数函数没有其他实数零点。
2. 对称性：指数函数的图像关于直线$x=0$对称。
这是因为对于任意实数$x$，$a^x$与$a^{-x}$互为倒数。
3. 单调性：当$a>1$时，指数函数递增；当$0<a<1$时，指数函数递减。
指数函数及其性质
研究初等函数性质的基本方法和 步骤：1、画出函数图象
2、研究函数性质
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的
有关性质画图.
指数函数的图象和性质：
在同一坐列表如下：
y 1 x 2
x -3 -2 -1
指数函数及其性质
情景 2：某种机器设备每年按 6% 的折旧率折旧，设机器的原来价值为 1，经过 x 年后，机 器的价值为原来的 y 倍，则 y 与 x 的关系为 y 0.94 x .
问题 1：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
➢指数幂形式 ➢自变量在指数位置 ➢底数是常量
• 一、指数函数的定义
• 一般地，函数y＝___a_x__(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中
x是_自__变__量_． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
问题2：为什么要规定a>0,且a 1呢？
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
y 2x
y 1 x
88
2
77
66
55
44
gx = 0.5x 33
22
11
--66
--44
--22
fx = 2x
22
44
66
• 2．指数函数的图象和性质 • 指数函数的图象和性质如下表所示：
4.2.1指数函数及其性质(优质课件)
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， 此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的 图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求 下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,
指数函数及其性质-(公开课)
函数的奇偶性
总结词
指数函数并非总是奇函数或偶函数，这取决于底数 $a$ 的值 。
详细描述
如果 $a > 0$ 且 $a neq 1$，那么 $f(x) = a^x$ 是非奇非偶函 数。这是因为对于所有 $x in mathbb{R}$，都有 $f(-x) = a^{-x} = frac{1}{a^x} neq a^x = f(x)$，同时也不满足 $f(-x) = -f(x)$。
风险评估
指数函数可以用于风险评估，例如计算投资组合的贝塔系数，衡量 投资组合相对于市场的波动性。
在科学研究中的应用
放射性衰变
01
放射性衰变是指放射性物质释放出射线并转化为另一种物质的
过程，指数函数可以用来描述放射性衰变的规律。
种群增长模型
02
在生态学中，指数函数可以用来描述种群数量的增长趋势，例
如细菌繁殖等。
谢谢
THANKS
变化。
网络流量预测
网络流量的变化趋势可以使用指数 函数进行建模和预测。
软件性能测试
在软件性能测试中，指数函数可以 用于描述软件响应时间随用户数量 增加的变化规律。
04 指数函数与其他数学知识的联系
CHAPTER
与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，即如 果y=a^x，那么x=log_a y。
03 指数函数的应用
CHAPTER
在金融领域的应用
复利计算
指数函数在金融领域中常 用于计算复利，描述本金 及其产生的利息之和随时 间变化的规律。
股票价格模型
股票价格通常使用指数函 数进行建模，以描述其随 时间增长的趋势。
保险与养老金计算
保险费和养老金的累积也 常使用指数函数进行计算。
二。指数函数及其性质总结
若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, 则得到函数 _y_=_3_x_2_－__3_ 的图象；
若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, 则得到函数 __y_=_3_x_2+_4__ 的图象.
y 2x1
y 2x2
y1
o
x
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位
长度,就得到函数y=2x+1的图象;
②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位
长度,就得到函数y=2x-2的图象.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】若函数f(x) = 3x 2,把图象向右平移 1 个单位,则得到函数y=__3_(x_－__1_)_2 ____ 的图象；
规律：左加右减；上加下减
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x)
的图象经过下述哪种变换得到.…………( A )
(A)向左平移一个单位，再向上平移一个单位； (B)向左平移一个单位，再向下平移一个单位； (C)向右平移一个单位，再向上平移一个单位； (D)向右平移一个单位，再向下平移一个单位；
☞函数图象的平移变换规律： (1)y=f(x)⇒y=f(x+a) 左右平移
(2)y=f(x)⇒y=f(x)+k 上下平移
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象
经过第二、三、四象限,则一定有……( C ).
A. 0 a 1,且 b 0
指数函数及其性质
y
图
ya (a 1)
x
y
y ax (0 a 1)
象
y 1
(0,1)
o
x
o
(0,1)
当 x < 0 时，y > 1； 当 x > 0 时， 0< y < 1。
x
相 同
(1)定 ： , 义域
(2)值域 :
0,
没有最值 没有奇偶性
性 质
点
(3)过 （ 0， ， x 0时, y 1 点 1） 当
即: a 3 a 3
1 3
f x ( ) f 0 1
0 0 3
1 3 x
x 3
f 1
1
1 3
f 3
3 3
1
截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经 过20年后，我国人口数最多为多少（精确到 16亿 亿）？
∴ 0.8 0.1 <
0.8 0.2
(1) 1.72.5 , 1.73 （2）0.8-0.1， 0.8-0.2 解（1）底数都是1.7 , 故考查指数函数 f x 1.7 x 1.7 2.5 与1.73 可以看作函数f x 1.7 x的两个不同函数值
(1)两个同底的指数幂比较大小，可运用以该底数为底的指 数函数的单调性，转化为比较指数的大小
③ ④
3
0.9
.
0.8
0.9
( )
1 0.5 6
.
( )
1 0.5 2
指数相同， 底数不同时， 利用函数图象求解。
y
y 0.8
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2.3.1 指数函数及其性质（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．
2．过程与方法
能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．
3．情感、态度与价值观
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和图象．
2．教学难点：指数函数的概念和图象．
（三）教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
（四）教学过程
教学
环节
复习引入
1. 在本章的开头，问题（1）中时间与GDP 值中的
，
请问这两个函数有什么共同特征.
2. 这两个函数有什么共同特征
，从而得出这
x
1.073(20)
x
y x x
=∈≤
与问题(2)中时间t
和C-14含量P的对应关系
]t
5
1
30
1
P=[()
2
1
5730
1
][()]
2
t
P=
t
5730
1
把P=[()变成
2
形成概念
理解概念
指数函数的定义
一般地，函数（＞0且≠1）叫做
指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函
数，为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）（＞1，且）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因
为＞0，是任意一个实数时，是一个确定
的实数，所以函数的定义域为实数集R.
若＜0，
如在实
数范围内的函数值不存在.
若=1, 是一个常量，没有研究
的意义，只有满足
学生独立思考，交流讨论，
教师巡视，并注意个别指导，
学生探讨分析，教师点拨指
导．
由特
殊到一般，
培养学生的
观察、归纳、
概括的能
力．
使学
生进一步理
解指数函数
的概念.
x
y a
=a a
x
2
2x
y+
=
(2)x
y=-
2x
y=-
x
yπ
=
2
y x
=
2
4
y x
=
x
y x
=
(1)x
y a
=-a2
a≠
a x x a
00
0,
0x
x a
a
x a
⎧>
⎪
=⎨
≤
⎪⎩
x
当时,等于
若
当时,无意义
a
1
(2),,
8
x
y x x
=-=
1
先时,对于=等等,
6
a11,
x
y==
的形式才能称为指数函
数，
如：不符合
.
(0,1)x y a a a =>≠且a 为常数,,,
x
y x =1x
x
y=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数
从图中我们看出
通过图象看出
实
质是上的
讨论：的图象关于轴对
称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出
的函数图
象.
2 4
1
2()2
x x y y ==与的图象有什么关系?1
2()2
x x y y y ==与的图象关于轴对称,2x
y =x,y 点(-)x y x,y y 1
与=()上点(-)关于轴对称.2
1
2()2
x x y y ==与y 11
5,3,(),()35
x x x x y y y y ====0
问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看（＞1）与两函数图
象的特征——关于轴对称.
x y a =a x
y a -=y
1、理解指数函数
2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
(0),x
y a a =>101a a ><<注意与两种情况。