黑龙江省大庆市第四中学2021届高三上学期第一次检测数学(文)试题Word版含答案
黑龙江省大庆市第四中学 2020届高三上学期第一次检测 数学(理)含答案
⼤庆四中2019～2020学年度⾼三年级第⼀次校内检测数学（理科）试题考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，满分60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1、已知集合，，则=（）A．B．C．D．2、在复平⾯内，复数对应的点位于()A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限3、已知平⾯向量满⾜，且,则向量与的夹⻆()A. B. C. D.4、命题“存在实数，使>1”的否定是（）A.对任意实数,都有>1B.不存在实数，使1C.对任意实数,都有1D.存在实数，使15、设是等差数列的前项和，且，则（）A.9B.8C.7D.66、若偶函数在上的解析式为，则切点横坐标为1的切线⽅程是（）A. B. C. D.7、已知，，是三个不同的平⾯，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则8、若，则的值为（）A．B．C．D．9、函数是R上的奇函数，满⾜当时，，则=()A. B. C. D.10、已知某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球的表⾯积为（）A ．B ．C ．D ．11、数列满⾜，则数列的通项公式是（）A ．B ．C ．D ．12、设是函数的导函数，且（为⾃然对数的底数），则不等式的解集为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，满分20分.13、已知，，，则从⼩到⼤的顺序为___<___<____14、已知正⽅形ABCD 边⻓为3，点E 是AB 边上的动点，则的最⼤值为__15、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《⽅⽥》章给出计算弧⽥⾯积所⽤的经验公式为：弧⽥⾯积。
弧⽥，由圆弧和其所对弦所围成。
公式中“弦”指圆弧对弦⻓，“⽮”等于半径⻓与圆⼼到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧⽥⾯积与实际⾯积之间存在误差。
2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学(文)试题Word版含解析
2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{}0,1,2,3,4,5,6,U =集合{}|0 2.5 ,A x Z x =∈<< 集合()(){}|150 B x Z x x =∈--<则()U C A B ⋃= （ ） A. {}0,1,2,3,6 B. {}0,5,6 C. {}1,2,4 D. {}045,6，， 【答案】B【解析】由题意可得{}{}{}(){}1,2,2,3,4,1,2,3,4,0,5,6UA B A B A B ==⋃=⋃=，选B.2．若复数2,1z i=-其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -- D. 1i --【答案】B【解析】由题意可得1,1z i z i =+=-,选B.3．已知命题:0,p x ∀>总有()11,xx e +≥则p ⌝为 （ ）A. 00,x ∃≤使得()0011xx e +≤ B. 00,x ∃>使得()0011xx e +≤C. 00,x ∃>使得()0011xx e +< D. 0,x ∀≤总有()0011xx e +≤【答案】C【解析】由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.4．已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2017f k =，则()-2017f =（ ）A. kB. k -C. 4-kD. 2-k 【答案】C【解析】由题意可得f(x)+f(-x)=4,令x=2017, 得f(-2017)=4-f(2017)=4-k ，选C. 5．将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移8π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B. 4πC. 0D. 4π- 【答案】B【解析】试题分析：当函数()()sin 2f x x ϕ=+向左平移8π个单位，所得的函数为，由函数关于y 轴对称，可知，所以ϕ的一个可能取值为4π． 【考点】三角函数的性质．6．若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（ ）A. 4B. 2C. 6D. 8 【答案】A【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）2,2,4a b a b ==+=，选A.7．设,αβ是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，下列命题正确的是（ ） A. 若//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若//αβ，则//l m 【答案】C【解析】A 中, //l β也可能两平面相交，A 错。
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A B =（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2}C ．{2,0,1,2}-D ．{3,2,0,1,2}-- 【答案】C【解析】根据题意，求得R C B ，再求交集即可. 【详解】因为{}|20{|2}B x x x x =+<=<-， 故可得{|2}R C B x x =≥-. 故{}2,0,1,2R C B A ⋂=-. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的交并补运算，属简单题. 2．若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．12i C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】 因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+，所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.3．命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<；命题q ：若a b <，则22am bm <；则下列是真命题的（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．qD ．p ⌝【答案】D【解析】先判断命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<与命题q ：若a b <，则22am bm <的真假，再利用复合命题得结论. 【详解】因为22000131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<为假命题；若a b <，0m =，则22am bm <不成立， 命题q 为假命题，所以p q ∧、p q ∨是假命题，p ⌝为真命题， 故选：D. 【点睛】本题主要考查特称命题的真假、不等式的性质，以及复合命题的真假，属于基础题. 4．已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ） A ．22a b > B ．22a b b a <C ．22a b ab >D ．11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，当0a b >>时，22a b >，A 选项成立，不符合题意，故A 错误； 对于B ，当0a b >>时，220a b >>，则22110b a ，22a bb a，即B 选项不成立，符合题意，故B 正确；对于C ，0a b >>，0ab ∴>，a ab b ab ，即22a b ab >，C 选项成立，不符合题意，故C 错误； 对于D ，当0a b >>时，11a b<，D 选项成立，不符合题意，故D 错误； 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.5．下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+C ．1()()2xx f x a a -=-（0a >且1a ≠） D ．2()ln 2x f x x-=+ 【答案】D【解析】结合所给函数的解析式逐一考查函数的性质即可. 【详解】逐一考查所给函数的性质：A .()f x sinx =是奇函数，在区间[]1,1,22ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不合题意； B .对于函数()1f x x =-+，()()12,10f f =--=，()11f ≠且()11f ≠-， 据此可知函数为非奇非偶函数，不合题意； C .当2a =时，()()12x x f x a a -=-()1222x x -=-，()()101102f =⨯-=，()11312224f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，由()()01f f <可知函数不是单调递减函数，不合题意； D .()22x f x lnx -=+，函数有意义，则202xx->+，解得22x -<<，函数的定义域关于坐标原点对称，且()()1222ln ln ln 222x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，故函数为奇函数， 且()24lnln 122x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 函数412y x =-+在区间()2,2-上单调递减，函数ln y x =是定义域内的单调递增函数，由复合函数的单调性可知函数()22xf x ln x-=+单调递减，符合题意.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．64【答案】C【解析】分析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 3=2，a 4•a 6=64，利用通项公式解得q 2，再利用通项公式即可得出．详解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 4•a 6=64，∴228112,64,a q a q ==解得q 2=4，则5612a a a a +=+=42=16． 故选C ．点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律. 7．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.8．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】本题首先可根据诱导公式得出1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据二倍角公式即可得出结果. 【详解】 因为1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以2217cos 2cos 22cos 12133669πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有2sin cos a a π⎛⎫=-⎪⎝⎭、2cos 22cos 1a a =-，考查计算能力，是简单题.9．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =（ ）A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+ C ．12AB AD +D ．3144AB AD -+【答案】B【解析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果. 【详解】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA=+=+=+-=+=+1124AD AB =- 故选：B【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算. 10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，222a bc b c +=+，sin 2sin a B c A =．则B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】由题意结合正弦定理可得2b c =，进而可得a =，再由余弦定理即可得cos B ，即可得解.【详解】由sin 2sin a B c A =可得2ab ca =，所以2b c =，又222a bc b c +=+，所以222224a c c c +=+即223a c =，所以a =，在ABC 中，22222234cos 022a c b c c c B ac ac+-+-===，又()0,B π∈，所以2B π=.故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.11．已知 ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4,5a b c =+=，tanA tanB tanB +=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．C D【答案】C【解析】由条件可得：tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-⋅可得2,33A B C ππ+==,由余弦定理求得b 值,带入面积公式进行运算. 【详解】解：因为tan tan tan A B A B +=⋅,所以tan tan tan tan )A B A B +=-⋅,即tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==-⋅所以2,33A B C ππ+==, 又因为4a =,5b c +=. 所以2221(5)4242b b b -=+-⨯⨯.解得32b =,则ABC ∆的面积为13422S =⨯⨯=故选C. 【点睛】在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果,如：22221cos 21cos 2cos 212sin 2cos 1sin ,cos 22ααααααα-+=-=-⇒==; tan tan tan()tan tan tan()(1tan tan )1tan tan αβαβαβαβαβαβ±±=⇒±=±等.12．若实数a b c d ,,,满足2ln 41a a c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．8【答案】D【解析】将题意转化为求函数2y x lnx =-与直线4y x =-上任意两点之间距离的最小值的平方的问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】因为2ln 41a a c b d --==，故可得2b a lna =-，4d c =-，故点()(),,,a b c d 可理解为函数2,?4y x lnx y x =-=-上的任意两点. 又12y x x'=-，令1y '=，故可得1x =， 即函数2y x lnx =-在()1,1处的切线与4y x =-平行，又切线方程为：y x =，则函数2y x lnx =-在()1,1处的切线方程与直线4y x =-之间的距离d ==故22()()a c b d -+-的最小值即为28d =. 故选：D . 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属综合中档题.二、填空题13．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为_____________. 【答案】23-【解析】画出不等式组所表示的区域，由线性规划知识可得目标函数的最大值. 【详解】解：画出不等式组表示的区域如图，故将目标函数2z x y =-，转化为22x zy =-，其表示为斜率为12，截距为2z -的平行直线系，所以当截距最小时，z 取得最大值， 由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22(,)33C , 此时max 242333z =-=-， 故答案为：23-.【点睛】本题主要考查线性规划的相关知识，考查学生的基础知识与计算能力，属于基础题. 14．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a b -=_____________. 【答案】1【解析】根据1a =，2b =，3a b +=，解得2a b ⋅，然后由2222a b a a b b-=-⋅+求解. 【详解】已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b +=， 所以22229a ba ab b +=+⋅+=，解得24a b ⋅=， 所以22221a ba ab b -=-⋅+=，所以a b -=1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于________.【答案】6【解析】求出等差数列{}n a 的公差，可求得n S 关于n 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当n S 取最小值时对应的正整数n 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则461282286a a a d d +=+=-+=-，解得2d =，()()2221111126362n n n dS na n n n n n n -∴=+=-+-=-=--，当6n =时，n S 取得最小值36-. 故答案为：6. 【点睛】本题考查利用二次函数的基本性质求n S 的最小值，考查计算能力，属于基础题.16．设锐角ABC 的角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin 2tan C a bB b-=，则ba的取值范围为_______. 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先由已知化简整理得1cos 2C =并求出23A B π+=，再确定角(,)62A ππ∈并求出1tan A ∈，最后求b a的取值范围即可. 【详解】 解：因为2sin 2tan C a b B b-=，sin tan cos BB B =，所以2sin cos 2sin C B a b B b ⋅-=，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin sin sin C B A BB B⋅-=所以2sin cos 2sin sin C B A B ⋅=-，因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B ⋅=+-，整理得：1cos 2C =， 因为角C 为锐角，所以3C π=，则23A B π+=因为A ，(0,)2B π∈，所以2(0,)32B A ππ=-∈，所以(,)62A ππ∈所以tan ()3A ∈+∞，则1tan A ∈所以222sin()sin cos cos sin sin 11333sin sin sin tan ,2212A A Ab Ba AA A A πππ--=⎛===+∈⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查同角三角函数关系、正弦定理的边角互化、两角差的正弦公式，是中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为221222x t ty t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐极方程为6πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的A ，B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）124cos s :in C θρθ=，224:30C cos ρρθ-+=；（2）【解析】（1）由题意消参可得曲线1C 和2C 的直角坐标方程，再由直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得解； （2）代入6πθ=可得点A 、B 的极径1ρ、2ρ，再由12AB ρρ=-即可得解.【详解】（1）由221222x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得222142y t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2212x t t =+-，消去t 得24y x =；由2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，得cos 2sin x yαα=-⎧⎨=⎩，两式平方相加得22(2)1x y -+=；又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线1C 的极坐标方程为()224cos sin 4cos sin θρθρθρθ=⇒=，曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=； （2）设16A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，，26B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，，由（1）得124cos6sin6πρπ==(2222230ρρ-+=-=，所以1ρ=2ρ=所以128AB ρρ=-==【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换以及极径的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18．在等差数列{}n a 中，169a a +=，2711a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 和n S . 【答案】（1）1n a n =+；（2）213222n n n nS ++=--. 【解析】（1）由数列{}n a 是等差数列，且169a a +=，2711a a +=，利用“1,a d ”法求解.（2）根据数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，得到1222n n n n a b -+=⨯=，进而得到21nn b n =--，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1627911a a a a +=⎧⎨+=⎩，即112592711a d a d +=⎧⎨+=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn n a b -+=⨯=，又1n a n =+， ∴21nn b n =--，232223242(1)n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+()232222[234(1)]n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++()212[2(1)]122n n n-++=-- 213222n n n++=--. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及等比数列和分组求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足132a =，且11n n a a λ+=+（*n N ∈，R λ∈且23λ≠-）.（1）λ为何值时，数列{}1n a +是等比数列；（2）若数列{}1n a +是等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2；（2）15522n n S n -⨯--=. 【解析】（1）本题首先可根据数列{}1n a +是等比数列得出()20n a λμμ-+-=恒成立，然后根据()20n a λμμ-+-=恒成立得出020λμμ-=⎧⎨-=⎩，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据（1）得出2521n n a -=⨯-，然后根据等比数列求和公式即可求出数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】（1）若数列{}1n a +是等比数列，则11211n n n n a a a a λμ+++==++（μ为非零常数），即()20n a λμμ-+-=，对于任意*n N ∈恒成立， 则020λμμ-=⎧⎨-=⎩，解得2λ=，故当2λ=时，数列{}1n a +是等比数列；（2）因为由（1）可知，数列{}1n a +是公比为2的等比数列，且首项为1512a +=， 所以12512522n n n a --+=⨯=⨯，2521n n a -=⨯-， 故12525252n n S n --=⨯+⨯++⨯-()111252552122n n n n--=⨯-=⨯---.【点睛】本题考查根据等比数列性质求参数以及数列求和，主要考查等比数列的前n 项和公式，考查推理能力与计算能力，体现了综合性，是中档题. 20．已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的对称中心； （2）若0002x x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0cos2x 的值. 【答案】（1）1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；（2. 【解析】（1）函数()f x 为正弦型函数，求出()f x 的对称中心； （2）依题意可得01sin(2)64x π-=-，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos(2)6x π-，最后根据006cos 2cos 26x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=计算可得．【详解】解：（1）2()sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=+++-21sin 2(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-1cos 21112cos 22cos 22sin(2)22262x x x x x x π-=-=-+=-+，所以()12sin(2)62f x x π=-+令2,6x k k π-=π∈Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的对称中心为：1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ （2）根据题意得：001()2sin(2)062f x x π=-+=，∴01sin(2)64x π-=-， ∵ 002x π≤≤，052666x πππ-≤-≤， ∴02066x ππ-≤-≤，∴0cos(2)6x π-=∴ 0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 1531135142+=⨯+⨯=【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象和性质的应用问题，属于中档题． 21．如图所示，在ABC 中，点D 为BC 边上一点，且1BD =， E 为AC 的中点，2AE =，27cos 7B =，23ADB π∠=.（1）求AD 的长； （2）求ADE 的面积. 【答案】（1）2；（2339+ 【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin BAD ∠的值，进而根据正弦定理可得AD 的值．（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==，在ACD △中，由余弦定理解得DC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在ABD △中，∵7cos 7B =，()0,B π∈， ∴222721sin 1cos 17B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴21127321sin sin()7214BAD B ADB ⎛⎫∠=+∠=⨯-=⎪⎝⎭，由正弦定理知sin sin AD BDB BAD=∠，得211sin 72sin 2114BD B AD BAD ⨯⋅===∠. （2）由（1）知2AD =，依题意得24AC AE ==，在ACD △中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠， 即216422cos3DC DC π=+-⨯⨯，∴22120DC DC --=，解得131DC =+，（负值舍去）， ∴113339sin 2(113)22ACD S AD DC ADC +=⋅⋅∠=⨯⨯+⨯=△， 从而133924ADE ACD S S +==△△.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知函数()2sin f x x x =-.（1）当[]0,2x π∈时，求()f x 的最小值；（2）若[]0,x π∈时，()()1cos f x a x x x ≤--⋅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）33π（2）1a ≤【解析】（1）利用导数求出()f x 在0,2π上的单调性即可 （2）由()(1)cos f x a x x x ≤--⋅得2sin cos 0x x x ax --≥，令()2sin cos h x x x x ax =--，然后分2a π≥、12a π<<、11a -<≤、1a ≤-四种情况求出()h x 的单调性即可. 【详解】（1）()12cos f x x '=-，[0,2]x π 令()10cos 2f x x '>⇒<，得5,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 0f x，得0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,33上单调递增，在5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减因为33f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)2f ππ=，(2)3f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以[0,2]x π时，min ()33f x f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭（2）()(1)cos f x a x x x ≤--⋅，即2sin cos 0x x x ax --≥.. 设()2sin cos h x x x x ax =--，[0,]x π∈()2cos cos sin cos sin h x x x x x a x x x a '=-+-=+-()cos h x x x ''=，∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''>，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''<.∴()22h x h a ππ⎛⎫''≤=- ⎪⎝⎭，又(0)1h a '=-，()1h a π'=--. ①02a π-≤即2a π≥时，()0h x '≤，()h x 在[]0,π上递减，则()0≤h x ，不满足.②02a π->即2a π<时，当10a --<，10a -<即12a π<<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '= 且00x x <<，()00h x '<，()h x 在()00,x 内递减，()(0)0h x h ≤=，不满足 当10a --<，10a -≥即11a -<≤时，0,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且00x x ≤<，()00h x '≥，0x x π<≤，()00h x '<，∴()h x 在()00,x 上递增，在()0,x π上递减，又(0)0h =，()(1)0h a ππ=->，所以()0h x ≥成立.当10a --≥，10a -≥即1a ≤-时，()0h x '>，()h x 在[]0,π上递增，则()(0)0h x h ≥=.满足题意.综上，1a ≤ 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.。
黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学(文)试题Word版含答案
黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学（文）试题Word 版含答案数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分1.设全集{}0,1,2,3,4,5,6,U =集合{}0 2.5,A x Z x =∈<< 集合()(){}150B x Z x x =∈--<则()U C A B ⋃= （ ） A.{}0,1,2,3,6 B.{}0,5,6 C.{}1,2,4 D.{}045,6，， 2.若复数2,1z i=-其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -- D. 1i -- 3.已知命题:0,p x ∀>总有()11,xx e +≥则p ⌝为 （ ）A.00,x ∃≤使得()0011xx e +≤ B. 00,x ∃>使得()0011xx e +≤C.00,x ∃>使得()0011xx e +< D. 0,x ∀≤总有()0011xx e +≤4.已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2017f k =，则()-2017f =（ ）A.kB.k -C.4-kD. 2-k 5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移8π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B.4π C.0 D. 4π- 6.若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（ ）A.4B.2C.6D.87.设,αβ是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，下列命题正确的是（ ） A.若//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，则l m ⊥C.若l β⊥，则αβ⊥D. 若//αβ，则//l m8.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为2016，612，则输出的m = （ ） A ．0B ．36C ．72D ．1809.2的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A.[)2+∞， B. ()2+∞， C. (3， D.)3∞，10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若(),a fππ=()()()22,1b f c f =--=，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A.a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>11.已知,x y 满足22110x y x y y ⎧+≤⎪+≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =-的取值范围是 （ ）A.-2,1⎡⎤⎣⎦B. []-1,1C. -2,2⎡⎣D. 2⎡⎣12.已知函数()21,1xx f x e x-=+，若()()12,f x f x =且12x x <，关于下列命题：()()()()()()12211;2;f x f x f x f x >->-()()()()()()11223;4.f x f x f x f x >->-正确的个数为 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分13. 已知向量a r 与b r 的夹角为3π，12,a b ==r r ，，则2_______a b -=r r . 14.数列{}n a 满足()113,n n n n a a a a n N *++-=∈数列{}n b 满足1,n nb a =且129+...90,b b b +=则46______.b b ⋅=15.已知函数()()322,f x x ax bx aa b R =+++∈且函数()f x 在1x =处有极值10，则实数b 的值为_______.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()12120,f x f x x x -<-给出下列四个命题：①()20;f -=②直线4x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]4,6上为减函数；④函数()y f x =在(]-8,6上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为_______.三、解答题：本题共6道题，共70分.17.如图所示，在四边形ABCD 中，2D B =,且326cos AD CD B ===，，()1求ACD ∆的面积；()2若43BC =求AB 的长.18.如图所示，在三棱锥A BOC -中，OA ⊥底面BOC ，030OAB OAC ∠=∠=，2AB AC ==， 2BC =D 在线段AB 上．()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当OD AB ⊥时，求三棱锥C OBD -的体积．19.某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，ABCD可见部分如下图：()1求分数在[)5060，的频率及全班人数； ()2求分数在[)8090，之间的频数，并计算频率分布直方图中[)8090，间矩形的高； ()3若要从分数在[)80100，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90100，之间的概率．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其离心率6e =，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为3()1求椭圆C 的方程；()2过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围.21.已知函数()()2ln 1,f x x a x =+-其中0.a >()1当1a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ()2讨论函数()f x 的单调性；()3若函数()f x 有两个极值点12,,x x 且12,x x <求证：()21-ln 20.2f x << 22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21,221.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为=4cos ρθ.()1写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程.()2若点P坐标为()+的值.1,1，圆C与直线l交于,A B两点，求PA PB大庆实验中学高三上学期期初考试数学（文科）参考答案一、选择题B BC C B A C BD A D B 二、填空题13. 2 14. 91 15. -11 16. ①②③④ 三、解答题17. 解：()136cos B sin 33B B π=<<∴=Q 22sin sin 22sin cos 3D B B B ∴===1sin 4 2.2ACD S AD CD D ∆∴=⋅⋅⋅= (6)()2由余弦定理知，222cos 4 3.AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=2223cos 23AB BC AC B AB BC +-==⋅Q8AB ∴= (12)18. ()1证明：∵OA ⊥底面BOC ， ∴AO OC ⊥， AO OB ⊥．∵030OAB OAC ∠=∠=，2AB AC ==， ∴1OC OB ==．又2BC = ∴OC OB ⊥， 又OC AO ⊥AO OB O ⋂=∴OC ⊥平面AOB ． ∵OC ⊂平面 COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ． (6)()2解：∵OD AB ⊥，∴1BD =13,2BD OD ==． ∴113131.322224C OBD V -=⨯⨯⨯⨯=…………………………………………………….12 19.解：（1）分数在[)5060，的频率为0.008100.08⨯=， 由茎叶图知：分数在[)5060，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=………….3 ()2分数在[)8090，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高为3100.01225÷=……………………………6 ()3将[)8090，之间的个分数编号为,之间的2个分数编号为，在[)80100，之间的试卷中任取两份的基本事件为：共个， (9)其中，至少有一个在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是 (12)20.解：()12213x y +=……………………………………………………………….4 ()2设直线l 的方程为2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22311290,k x kx +++= 则121222129,,3131k x x x x k k +=-=++2=36360k ∆->，解得21k >…………….8 ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u r u u u rQ ()()()212121212222124912=12403131OA OB x x y y k x x k x x k k k k k ∴⋅=+=++++⎛⎫+⋅+-+> ⎪++⎝⎭u u u r u u u r解得213.3k <21313k ∴<<，即1.k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭…………………………………….12 21.解：()11y x =- (2)()2()2ln 2f x x ax ax a =+-+Q()()2'1221220ax ax f x ax a x x x-+∴=+-=>①当2=480a a ∆-≤即02a <≤时，()'0fx >()f x ∴的单调递增区间是()0.+∞.②当2=480a a ∆->时，即2a >时，令()'0fx =得12x x ==()f x ∴的单调递增区间是()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间是()12,x x (6)()3证明： ()f x Q 在()2,x +∞单调递增，且21x <()()210f x f ∴<=，不等式右侧证毕 (8)Q ()f x 有两个极值点12,x x ，∴2a >.2112x ∴<< ()()()2222222ln 1ln 21f x x a x x x =+->+-令()()21ln 2112g x x x x ⎛⎫=+-<<⎪⎝⎭()()()22'211441410x x x g x x x x x--+=+-==>()g x ∴在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.()11ln 222g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭()21ln 2.2f x ∴>-不等式左侧证毕. 综上可知：()21ln 20.2f x -<< (12)22.解：()1直线l 的普通方程为：20x y +-=……………………………………….2 圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+= (4)()2将1,21.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=得：220t +-= (6)得12120,20t t t t +=-<⋅=-< 则12=4PA PB t t +-== (10)。
黑龙江省大庆高中2021届高三10月月考数学(文)试题 Word版含解析
姓名，年级：时间：2020—2021学年上学期第一次月考高三文科数学试卷一､选择题1. 设集合A ={1，2，3｝,B =｛2，3，4｝，则A ∪B =（ ) A. ｛1，2，3，4} B. {2，3}C. ｛2，3，4｝D. {1，3,4｝ 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案．【详解】解：∵{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，∴{}1,2,3,4A B =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解决本题的关键，属于基础题． 2. 复数2iz 2i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ) A 。
第一象限 B 。
第二象限C. 第三象限 D 。
第四象限【答案】D 【解析】【详解】22(2)342(2)(2)55i i z i i i i --===-++-，对应的点为34(,)55-，在第四象限，故选D.3. 已知函数1()3()3xx f x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C。
是奇函数，且在R上是减函数D。
是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质,可得答案。
详解：函数()133x x f x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R，且()()111333,333x x x x x x f x f x--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x是奇函数，又1y3,3xx y⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R都是单调递增函数,故函数()f x在R上是增函数．故选A.点睛:本题考查函数奇偶性单调性，属基础题。
4。
已知平面向量(2,3),(6,).m nλ=-=若,m n⊥则n=( ）A。
4 B. 4-C。
D. 213【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可以求出λ,再根据向量的模的坐标计算公式即可求出．【详解】因为m n ⊥，所以2630λ⨯-=，解得4λ=．2264213n ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，以及向量的模的坐标计算公式的应用，属于基础题．5。
黑龙江省大庆市重点高中2021年第一次线上教学质量检测 数学(文)文数答案 (1)
参考答案1-5．DCAAD6-10．DACBB11-12．DA 13．5314．5π15 17．（12分）（1）解：由题意()00f k ==，()cos =f x x x对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x ∴()f x 是奇函数 ∴0k =.-----------------------------------------------------------------------4分（2）解：21cos21()cos cos 2sin 21262A f A A A A A A π+⎛⎫=+=+=++= ⎪⎝⎭，整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， A 是三角形的内角 所以π5π266A +=∴π3A =-------------------------------------------------------------------7分 由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，即219726c c +-= 整理得2320c c -+=，解得1c =或2c =1sin 2S bc A ==分 18．（12分）解：（1）甲药的治愈率更高;----------------2分（2）甲药的疗效更好， 理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.--------------------------6分（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10，s ==≈4.8， 则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.-----------12分19．（12分）解(1)证明:,O D 分别为,AB PB 的中点,//OD PA ∴PA ⊂ 平面PAC ,OD ⊄平面PAC ,//OD ∴平面PAC .-------------4分(2)证明:AC BC == ,2AB ＝,AC BC ∴⊥O 为AB 的中点,2AB ＝,OC AB ∴⊥,1OC ＝同理,PO AB ⊥,1PO ＝.PC 2222PC OC PO ∴+＝＝,则90POC ∠ ＝,即PO OC ⊥PO OC ⊥ ,PO AB ⊥,AB OC O ⋂＝.OP ∴⊥平面ABC .---------8分(3)解:由(2)可知,OP ⊥平面ABC .OP ∴为三棱锥P ABC -的高,且1OP ＝11112111212212D OBC ABC V S OP -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=.----------------12分 20．（12分）解： （Ⅰ）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；-----------------4分 （II ）AB DF是定值.--------------------5分 由已知得直线:(1)l y k x =-.由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ，整理得()22224384120k x k x k +-+-=. 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，--------7分 则()()()()222222*********AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则()2212143k AB k +=+， 因为()212122286224343k k y y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. （1）当0k =时，AB 4=，1DF =.所以4AB DF=.（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以()22223114343k k DF k k +=-=++，所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4.----------- ------12分 21．（12分）解（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1f x =a x'-.------------1分 当a 0≤时，()f x 0'>，()f x 在()0,∞+单调递增；当a 0>时，令()f x 0'=，得1x 0a=>， 当1x 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 0'>；当1x ,a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()f x 0'<. 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减. 综上所述，当a 0≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当a 0>时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减. -----------4分 （2）因为11lnx ax 0-=，22lnx ax 0-=，即11lnx ax =，22lnx ax =.两式相减得()1212lnx lnx a x x -=-，即1212x lnx a x x =-. 由已知12lnx lnx m +>，得()12a x x m +>.因为1x 0>，2x 0>，所以12m a x x >+，即121212x ln x m x x x x >-+. 不妨设120x x <<，则有()121212m x x x ln x x x -<+. 令12x t x =，则()t 0,1∈，所以()m t 1lnt t 1-<+，即()m t 1lnt 0t 1--<+恒成立. 设()()m t 1g t lnt (0t 1)t 1-=-<<+.()()()22t 21m t 1g t t t 1+-++'=. 令()()2h t t 21m t 1=+-+，()h 01=，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为t m 1=-， 方程()2t 21m t 10+-+=的判别式()Δ4m m 2=-. 当m 1≤时，()h t 在()0,1单调递增，()()h t h 01>=，所以()g t 0'>, ()g t 在()0,1单调递增，所以()()g t g 10<=在()0,1恒成立.当1m 2<≤时，()Δ4m m 20=-≤，()h t 0≥在()0,1上恒成立，所以()g t 0'>， ()g t 在()0,1单调递增，所以()()g t g 10<=在()0,1恒成立.当m 2>时，()h t 在()0,1单调递减，因为()h 01=，()h 142m 0=-<， 所以存在()0t 0,1∈，使得()0h t 0=当()0t 0,t ∈时，()h t 0>，()g t 0'>；当()0t t ,1∈时，()h t 0<，()g t 0'<， 所以()g t 在()00,t 上递增，在()0t ,1上递减.当()0t t ,1∈时，都有()()g t g 10>=，所以()g t 0<在()0,1不恒成立.综上所述，m 的取值范围是(],2∞-，所以m 的最大值为2.-------------12分 22．（10分）解 （1）由圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消去参数θ， 得到圆的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，所以其极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=；--------------5分（2）由题意，将θα=代入圆C 的极坐标方程得4cos A OA ρα==； 将θα=代入线l 的极坐标方程，得1cos 3B OB ρπα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||14cos cos 4cos cos ||32OA OB πααααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos 2cos212sin(2)16παααααα=+++=++，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以72,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因此，当262ππα+=，即6πα=时，||||OA OB 取得最大值3.-------10分 23．（10分） （1）因为()()101010f x x x x x =+-≥--=，()()101010g x x x x x =--≤--=，所以10m =.-----------------------------------------5分（2）设1c a =+，2d b =+，则43104320c d a b +=++=， 则()13113112343132020c d c d c d c d d c ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1513204⎛≥+= ⎝， 当且仅当2d c =，即1a =，2b =时，等号成立. 所以1312a b +++的最小值为54.----------------------------10分。
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学文试题 PDF版
5d 7d
9 11
解得
ad1
2 1
，所以
an
a1
n
1 d
n 1.
（2）因为数列an bn 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 an bn 2 2n1 2n ，又 an n 1，∴ bn 2n n 1，
Sn 2 2 22 3 23 4 2n (n 1)
2 22 23 2n [2 3 4 (n 1)]
如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，且 BD 1，E 为 AC 的中点，AE 2 ，cos B 2 7 ， 7
ADB 2 . 3
A
（1）求 AD 的长；
（2）求 ADE 的面积.
E
B
D
C
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f x x 2sin x . （1）当 x 0, 2 时，求 f x 的最小值； （2）若 x 0, 时， f x 1 a x xgcos x ，求实数 a 的取值范围.
设
m
x
cos
x
x
sin
x
a
，
m(x)
x
cos
x
，∴
x
0,
2
，
m(
x)
0
，
x
2
,
，
m(x) 0 .
∴
m
x
在
0,
2
上单调递增，在
2
,
上单调递减
∴
h( x)
h
2
2
a
，且
h(0)
1
a
，
h(
)
1
a
.
当 a 0 ，即 a 时， h(x) 0 ， h(x) 在0, 上递减，则 h(x) 0 ，不合题意.
黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测数学(文)试题 含答案
黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测试题文科数学2021.03 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用B 2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}11M x x =−<<,{}220N x x x =−>，则MN =A.{}10x x −<<B.{}12x x −<<C.{}01x x <<D.{}12x x x <>或 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足3zi i=−，则z = A.13i −+ B.13i −− C.13i + D.13i − 3.“a b >”是“22acbc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知||2a =，||1b =，且a 与b 的夹角为3π，则()a b b +⋅= A.31+ B.1 C.2 D.3 5.已知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列，且24a =，则6a =A.64B.32C.14 D.1166.某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，学生的成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其中数学成绩在80分以上的学生有A.35名B.30名C.25名D.20名7.设()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在(0,)+∞上单调递增，则3()2f ,2(log 3)f ,12(log 3.1)f 的大小关系为A.1223(log 3.1)(log 3)()2f f f << B.2123(log 3)(log 3.1)()2f f f <<C.1223()(log 3.1)(log 3)2f f f << D.2123()(log 3)(log 3.1)2f f f <<8.常用的A4打印纸的长宽比例是2:1，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是A.285米B.268米C.255米D.248米 9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||ϕπ<）的图象过点2(,1)3π，且相邻两个零点的距离为2π.若将函数()f x 的图象向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为 A.()sin 23g x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭B.7()sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭C.17()sin 224g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D.15()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点,则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为 A.0 B.1010C.22D.111.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点B ，则线段AB 的中点到准线的距离为 A.2 B.174 C.258 D.25412.已知函数2()1xf x x =+，若函数()y f x a =−有两个零点，则实数a 的取值范围是 A.11,22⎛⎫−⎪⎝⎭ B.11,00,22⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,22⎧⎫−⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，则n a =________．14.若双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为________．15.现有一个高为4的正三棱柱容器（厚度忽略不计），其外接球的表面积为32π，则能放入该容器的最大的球的体积为________．16.用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________3m （不计损耗）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值；①5b =，2c =；②3a =，2c =.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2）若5b =，3a c +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人， 高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组 志愿者记录的数据如下： 前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，,M N 分别为,PC CD 的中点，2PD AD ==，4AB =．（1）求证：BN AM ⊥； （2）求点P 到平面AMD 的距离．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，短轴长为23，椭圆左顶点A 到左焦点1F 的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为B ，过1F 的直线l 与椭圆C 交于点,M N ，且1827BMN S ∆=， 求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()1xf x e ax =−−． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1:()3l R πθρ=∈与直线2:3cos sin 40l ρθρθ+−=交于点P ．（1）求点P 的直角坐标； （2）若直线2l 与圆C ：3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =1(0)x x a a a++−>．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）证明：()f x ≥2．黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测试题文科数学答案及评分标准一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADBCACDDCACD二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 21n −； 14. 52； 15. 43π； 16. 916.三.解答题17.（本小题满分12分） 解：（1）选择条件①（法一）由余弦定理2222cos b a c ac B =+−得2230a a −−=，所以3a =. …………… 3分 由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. …………… 6分 （法二）由正弦定理sin sin b c B C =得sin 5sin 5c B C b ==. …………… 2分 因为c b <，所以4C B π<=，所以25cos 5C =， …………….4分 所以310sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C =+=+=. ………….6分 选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+−=得5b =. …………….3分 由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. …………….6分 （2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+−得2252a c ac =+−， ………….8分 所以25()(22)9(22)a c ac ac =+−+=−+，得422ac =−. …………….10分所以1sin212ABCS ac B∆==−. ………….12分18.（本小题满分12分）解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为122 12621=，所以高一抽取263621⨯=人，高二抽取242421⨯=人，高三抽取221221⨯=人. ………3分（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），…4分则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，4），（3，5），（3，6）（4，5），（4，6）（5，6）共15个基本事件，……………6分其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件. ……………8分记抽出两人都是高二学生为事件A，则62 ()155P A==，所以高二学生都在同一组的概率是25. ……………9分（3）法一、（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.5<23.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好. …………12分法二：（茎叶图）画出茎叶图前10天后10天2 255 1 2 248 6 5 4 23 25 2 21 3 520 2 4 6 819 3 418 3因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好. …………12分 19.（本小题满分12分）解：（1）证明：连接MN 、AN . 因为M 、N 分别为PC 、CD 的中点， 所以MN ∥PD . 因为PD ⊥平面ABCD ， 所以MN ⊥平面ABCD . 因为BN ⊂平面ABCD ，所以MN BN ⊥. ……………..2分 因为ABCD 为矩形，2AD =，2DN CN ==， 所以22AN BN ==， 所以，在ABN 中，222AN BN AB +=，所以AN BN ⊥. ……………..4分 因为MNAN N =，所以BN ⊥平面AMN ，所以BN AM ⊥. ……………..6分 （2）法一：过P 作PE DM ⊥，垂足为E . 因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥. 因为AD CD ⊥，PDCD D =，所以AD ⊥平面PCD . …………..8分 因为PE ⊂平面PCD ， 所以AD PE ⊥. 又ADDM D =，所以PE ⊥平面ADM ，所以PE 的长即为点P 到平面AMD 的距离. …………..10分因为M 为PC 中点， 所以122PDM PDC S S ∆∆==，152DM PC ==. 又12PDM S PE DM ∆=⋅，解得455PE =， 所以点P 到平面AMD 的距离为455. ……………..12分 法二：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥ . 因为AD CD ⊥，PDCD D =，所以AD ⊥平面PCD . ……………..8分 因为DM ⊂平面PCD ， 所以AD DM ⊥. 因为M 为PC 中点， 所以122PDM PDC S S ∆∆==，152DM PC ==， 所以1433A PDM PDM V S AD −∆=⋅=，152ADM S AD DM ∆=⋅=. …………..10分 设点P 到平面AMD 的距离为h ， 由1433A PDM ADM V S h −∆=⋅=得455h =， 所以点P 到平面AMD 的距离为455. …………..12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由2222231b a c a c b ⎧=⎪−=⎨⎪−=⎩得321b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ……………..3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ………… 4分法一：由题意可知，直线斜率不为0，1(1,0)F −，设直线l 的方程为1x my =−. …………… 5分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得22(34)690m y my +−−=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m −⋅=+. …………… 7分 因为1112112111||||||||||||222BMN S BF y BF y BF y y ∆=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅− …………… 8分 2112121||()42BF y y y y =⋅⋅+−⋅22181182347m m +==+， …………… 10分 解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y −+=或10x y ++=. …………… 12分 法二：由（1）知1(1,0)F −，(2,0)B ， 当直线l 斜率不存在时，||3MN =，点(2,0)B 到直线:1l x =−的距离为3，所以918227BMN S ∆=≠， 所以直线l 斜率存在. …………… 5分 设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+. 设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(34)84120k x k x k +++−=， 所以2122834k x x k−+=+，212241234k x x k −=+. …………… 7分 所以222212121212||()()1()4MN x x y y k x x x x =−+−=+⋅+−22222222222284(412)144(1)12(1)113434(34)34k k k k k k k k k k ⎛⎫−−++=+⋅−=+⋅= ⎪++++⎝⎭. 因为点(2,0)B 到直线l 的距离为2|3|1k d k =+， …………… 9分所以2221112(1)|3|182||223471BMNk k S MN d k k ∆+=⋅⋅=⋅⋅=++， 所以21k =，得1k =±， …………… 11分 所以直线l 的方程为10x y −+=或10x y ++=. …………… 12分21.（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()1x f x e x =−−，所以()1x f x e '=−. …………… 2分当0x <时()0f x '<当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， …………… 4分 所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =. …………6分（2）法一： 因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax −−−≥在[0,)+∞上恒成立.当0x =时00≥恒成立，此时a R ∈. …………… 8分当0x >时1()x e a x x x≤−+在(0,)+∞上恒成立. 令1()()x e g x x x x =−+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x−−−−+'=−=. 由（1）知0x >时()0f x >，即(1)0x e x −+>. ………… 10分 当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()2g x e =−，所以2a e ≤−.综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e −∞−. …………… 12分 法二：因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立， 所以21x e x ax ≥++，即211x x ax e ++≤在[0,)+∞上恒成立. 令21()x x ax g x e++=，则(1)((1))()x x x a g x e −−−−'=. ……………7分 （1）当11a −=，即0a =时2(1)()0x x g x e−−'=≤恒成立， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)1g x g ≤=上恒成立. ………… 8分 （2）当11a −>即0a <时，当01x <<时，()0g x '<；当11x a <<−时，()0g x '>；当1x a >−时，()0g x '<；所以()g x 在(0,1),(1,)a −+∞上单调递减，在(1,1)a −上单调递增.又(0)1g =，12(1)a a g a e−−−=， 由（1）知0x ≥时(1)0x e x −+≥，所以1(11)0a e a −−−+≥，即12a e a −≥−， 所以12(1)1a a g a e−−−=≤，满足恒成立. …………… 10分 （3）当011a <−<即01a <<时，当01x a <<−时，()0g x '<；当11a x −<<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<； 所以()g x 在(0,1),(1,)a −+∞上单调递减，在(1,1)a −上单调递增.又(0)1g =，2(1)a g e+=， 所以21a e+≤，即2a e ≤−， 所以02a e <≤−.（4）当10a −≤即1a ≥时，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(0)1g =，所以()1g x ≤不恒成立，综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e −∞−. …………… 12分 22.（本小题满分12分）解：（1）法一： 联立33cos sin 40πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪+−=⎩， …………… 1分 解得433ρ=， …………… 2分 所以点P 的极坐标为43,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭， …………… 3分 所以点P 的直角坐标为4323cos 33343sin 233x y ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩，即23,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………… 5分 法二：直线1l 的直角坐标方程为3y x = ① …………… 2分直线2l 的直角坐标方程为340x y +−= ② …………… 4分 联立①②解方程组得2332x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以点P 的直角坐标为23,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………… 5分 （2）直线2l 的直角坐标方程为340x y +−=，倾斜角为120°，所以直线2l 的参数方程为32233212t x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎩−⎪（t 为参数）① …………… 7分圆C 的普通方程为229x y +=② 将①代入②得24311033t t +−=. …………… 8分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121211||||||||||3PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=. …………… 10分 23.（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()11f x x x =++−.当1x ≤−时，()1124f x x x x =−−−+=−≥，解得2x ≤−；当11x −<<时，()1124f x x x =+−+=≥，无解；当1x ≥时，()1124f x x x x =++−=≥，解得2x ≥； ………… 3分 综上所述：()4f x ≥的解集为{2x x ≤−或}2x ≥. …………… 5分 （2）111x x a x a x x a x a a a++−=++−≥++− .…………… 7分 12a a=+≥， .…………… 9分 当且仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2. ………… 10分。
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黑龙江省大庆市第四中学2021届高三上学期第一次检测数学（文）试题考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2--=M ，()(){}021<-+=x x x N ，则N M ⋂= （ ）。
.A {}0,1- .B {}1,0 .C {}1,0,1- .D {}2,1,02.已知复数z 满足()i z i 21=-（其中i 为虚数单位），则=z （ ）。
.A 2 .B 2 .C 1 .D 43.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ）。
.A 103 .B 21 .C 52 .D 534.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个是小偷”；丁说“乙说的都是事实”。
经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）。
.A 甲 .B 乙 .C 丙 .D 丁5.已知向量b a ,的夹角为32π，2,3=-=⋅b b a ，则=a （ ）。
.A 23- .B 3- .C 23.D 36.下列有关命题的说法错误的是（ ）。
.A 若“q p ∨”命题为假命题，则q p ,均为假命题 .B “1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件.C “21sin =x ”的必要不充分条件是“6π=x ”.D 若命题0,:200≥∈∃x R x p ，则命题0,:2<∈∀⌝x R x p7.如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）π24.A π20.B π32.C π28.D8.已知等比数列{}n a 满足48,65421=+=+a a a a ，则数列{}n a 前10项的和为10S =（ ）。
.A 1022 .B 1023 .C 2046 .D 20479.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则下列关于函数)(x f y =的说法正确的是（ ）。
.A 关于点)0,4(π-对称 .B 周期是2π.C 关于直线12π=x 对称 .D 奇函数10.ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，如果c b a ,,成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那么b 等于（ ）。
.A 231+ .B 31+ .C 232+ .D 32+ 11.若61)8cos(=-απ，则)243cos(απ+的值为（ ）。
.A 1817 .B 1817- .C 1918 .D 1918- 12.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)2()(x f x f -=，且当1≠x 时，其导函数)('x f 满足)(')('x xf x f >，若)2,1(∈a ，则（ ）。
.A )(log )2()2(2a f f f a << .B )2()(log )2(2a f a f f << .C )2()2()(log 2a f f a f << .D )2()2()(log 2f f a f a <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.某变量z y x ,,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+09322x y x y x ，则y x z -=3的最大值为 。
14.已知0,0>>y x ，且,12=+y x 则yx 11+的最小值为 。
15.设)1,sin (),sin ,(sin +-==m x x x ，若m =⋅在区间)65,6(ππ上有三个根，则m 的范围为 。
16.《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立园外接，问积几何？”意思是：“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是：下底边长自乘，以高乘之，再除以3.若这个正四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是 立方尺。
”三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个考生必须做答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分. 17.数列{}n a 满足*221,1...32N n n n n a a a n ∈+=++++： （1）求{}n a 的通项公式； （2）设nn a b 1=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足209>n S 的最小整数n 。
18.已知函数22()sin cos cos ,.f x x x x x x R =-+∈（1）求函数()f x 的递增区间；（2）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为,,a b c ，若1()2,5,cos 7f A c B ===，求a . 19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权。
为了解不同年龄段的居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求a 的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第1、2、3组的居民称为少年组，年龄在第4、5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？附：()()()()()d c c b d a b a bc ad n K ++++-=2220.如图：四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABC=3π∠,PA ABCD ⊥平面,点M 是PC 棱的中点.（1）证明：//PA BMD 平面; （2）当3PA =M PAD -的体积.21.已知函数()ln 1.xf x me x =--（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若[)1,m ∈+∞，求证：()1f x >.(二)选考题：共10分，清考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，0≥t ）在以O 为原点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线32,C C 的极坐标方程分别是054cos 22=--θρρ，()57sin cos =+θθρ。
（1）判断32,C C 的位置关系，并说明理由。
合计()02k K P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）若()παα<≤=043tan ，1C 分别与32,C C 交于N M ,两点，求MN 。
23.[选修4-5：不等式选讲]黑龙江省大庆市第四中学2021届高三上学期第一次检测数学（文）试题参考答案一选择题（2）B 2、A 3、C 4、B 5、D 6、C 7、D 8、C 9、A 10、B 11、A 12、A（3）填空题13、 10 14、 223+ 15、 ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 16、π288 12.解答题 17、18、解：（1）()2sin(2)6f x x π=-222,,,26263k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈-≤≤+∈得故函数的增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)()2sin(2)2,6f A A π=-=sin(2)1,22,,662A A k k Z ππππ∴-=-=+∈14353(0,),,cos ,sin sin sin()37A A B B C A B ππ∈∴===∴=+=又又 7533142ABC a ∆=∴=19、20、解解：（1）证明：连接AC 交BD 于O ，M ，O 分别为PC ，AC 中点，//,BMD MO BMD PA//BMD PA MO PA ∴⊄⊂∴平面，平面，平面。
（2）取线段BC 的中点H ，连接AH ，因为四边形ABCD 是菱形，ABC=3π∠，所以AH AD ⊥ABCD AH PA PA ,PA AD A AH PAD ⊥∴⊥⋂=∴⊥平面，，平面，即点H 到平面PAD 的距离为AH的长度，因为M 为PC 的中点，所以点M 到平面PAD 的距离即为AH 长度的一半，1122M PAD C PAD V V --∴== 21、解：（1）''11()ln 1,(),(1)1,(1)1(1).x x m f x e x f x e f e f e xy e x ==--=-=-=-∴=-当时，在点（1，f(1)）处的切线方程为 （2）即证：'11ln 20,()ln 2,(),xxxx me x g x me x g x me x x-->=--=--令令h(x)=me ''21()0,()()x h x me h x g x x=+>∴=∞在(0,+)递增. 1''2011()20,(1)10,(,1)22m g me m g me x m m=-<=->∴∃∈唯一零点 0'''0000001()0,,ln ln ,(0,),()0,(,),()0x g x me x x m x x g x x x g x x =∴==--∈<∈+∞> 00000001()(),()()ln 2ln 201()1x x x g x g x g x g x me x x m x m f x ∴=≥=--=++->∴≥>当时，取得最小值即时，22、。