2019年高三年级第一次诊断性测试 理科数学答案
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
甘肃省兰州市2019届高三第一次诊断考试理数试题 含答案
函数 y f ( x) 在其定义域内为增函数，单调递增区间为 (0, ) .
（2）①当 a 0 时， f ( x )
1 2 1 x 2 x ( x 2)2 2 ( x 0) 2 2
由于 f (4) 0 ，故函数有且只有一个零点； ②当 a 1 时，由(1)知函数 y f ( x ) 在其定义域内为增函数， 由于 f (e)
则 f ( x ) 所以，当 a 1, b 1 时， a b 0 ，满足条件， a b 的最小值是 0.
三、解答题 （一）必考题 17. 解：（1）由已知得 5b sin A cos C 5c sin A cos B 3a 由正弦定理可得： 5 sin B sin A cos C 5 sin C sin A cos B 3 sin A sin A 0 5 sin B cos C 5 sin C cos B 3
……7 分
则点 M 到直线 l 的距离 d
2 cos φ 2 sin φ 3 2 5
y1 2 y1 y 2y ，k 2 2 2 2 2 , 2 y2 y1 2 y2 2 1 2
设 A(
……8 分
k1
y 1 2
2 1
2 4 2 2 2 2 2 2 y14 y2 y2 y1 8 y12 y2 4 ( y12 y2 ) 2)2 ( y12 2)2 y2 ( y2 2)2 y12 1 1 ( y12 2)2 ( y2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1 k2 4 y1 4 y2 4 y1 y2 4 y1 y2
解得 a 由 h( 1) 2a 2a 4 0 得， 2 a 1 ，此时 1 a 2 不满足②恒成立；
2019年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案
an,1 = 1 −
1 1 ， an−1,1 = 1 − n−2 ,(n 2) n −1 2 2
下面求数列 an ,2 的通项， 由题意可知 an ,2 = an −1,1 + an −1,2 ,(n 3) ，
研 究
1
n−2
院
2 ,(n 3) ，即 an,2 − an−1,2 = 1 − 1 2
=
（my1 + 1 ） −2
理科数学试题答案及评分参考第6页（共14页）
深
6 y2 (my1 + 1) − 2 − 2 y1 (my2 + 1) + 2
圳
∵ 6 y2 − ( x2 + 2)
2 y1 6 y ( x − 2) − 2 y1 ( x2 + 2) = 2 1 x1 − 2 x1 − 2
育
A
x
R
Q
| n1 n2 | 2 2 ， = | n1 | | n2 | 3
2 2 ．……………………12 分 3
研
C B
究
2 2 , , 0) ， 2 2
P
z
院
直线 SP 为平面 PAD 与平面 PBC 的交线，
过 D 做 DG ⊥ BC ，交 BC 于 G ，连接 PG ，则 BC ⊥ 平面 PDG ，
CD =
【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形
育
结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18.（本小题满分 12 分）
P
教
圳 市
（1）求证： EF / / 平面 ABCD ； （2）若平面 PDC ⊥ 底面 ABCD ，且 PD ⊥ DC ，
2019年高三年级第一次毕业诊断与模拟测试理科数学试卷
2019年高三年级第一次毕业诊断及模拟测试理科数学试卷（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60 分）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合A二｛1,2｝，集合B满足A B=｛1,2｝，则这样的集合B的个数为2.已知x, y • R , i 为虚数单位，且xi - y 二_1 • i，贝U (1 _i)(x- yi)二3. 下列函数既是偶函数又在（0, •：：）上是单调递增的是A. y = ln xB. y - -x2C. y 二e xD. y 二cosx4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积是A. 4 4.2B. 6 4.2C. 8 4.2D. 1635. 在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在感染的标志为“连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲乙丙丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A.甲地总体均值为3，中位数为4 C.丙地中位数为3,众数为3B.乙地总体均值为2,总体方差大于0 D. 丁地总体均值为2,总体方差为36.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若2a n = 6 ■ an，则S9 =A. 54B. 45C. 36D. 277.已知有颜色为红黄蓝绿的四个小球，准备放到颜色为红黄蓝绿的四个箱子离，每个箱子只放一个小球，则恰好只有一个小球的颜色与箱子的颜色正好一致的概率为A.丄4B. 1 C. - D.—3 6 128.已知点2 2P在双曲线x2 -y2-1 （a 0,b 0）上, R,F2分另忧双曲线的左右焦点,a bA. 2B. -2iC. -4D. 2iA. 1B. 2C. 3D. 4段时间没有发生规模群体F1PF^90，且△ F1PF2的三条边长之比为3:4:5,则此双曲线的渐近线方程是A. y = 2 3xB. y = 4xC. y 二2 5xD. y = 2 6x9. 如图, AB1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4 , BC = 3,—2 * 2 -A BAA =5 , BB^8 , CC ! =12，则该几何体的体积是— 3已知sin (― -x) ，则sin2x 的值为4 5坐标原点，则△的面积为1a^3,a 1 a? •…a n =21 ,数列｛一｝的前n 项之和为S n ,a n若对一切n ・N *，恒有S 2n—成立，则m 能取到的最大正整数是 16三、解答题：本大题共 6小题，共70分。
2021年11月1日绵阳市高中2019级第一次诊断性考试绵阳一诊数学理科文科答案
绵阳市高中2019级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDBCC AABDD AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.714.2 15.3216.[1，三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：(1)()cos2)sin2f x x x ωω++sin 2x x ωω+2sin(2)3x πω=+. ………………………………………………4分∵相邻对称轴间距离为2π， ∴函数的最小正周期T π=，即2(0)2ππωω=>，解得1ω=， ∴()2sin(2)3f x x π=+. …………………………………………………………6分由222232≤≤k x k πππππ-+++，得51212≤≤k x k ππππ-++(k Z ∈)， ∴函数()f x 在 [0，2π]上的单调递增区间为[0，12π].………………………8分(2)将函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得()2sin[2()+]=2sin(22+)33g x x x ππϕϕ=++，∵()g x 为偶函数， ∴(0)2g =±，即sin(2)13πϕ+=±， ……………………………………………10分 ∴232k ππϕπ+=+，即()212k k Z ππϕ=+∈. 又02πϕ<<，∴12πϕ=.………………………………………………………………………12分18.解：(1)∵132n n S S +=+①，∴2312+=S S ，即23121+=+a a a .∵12a =，∴62=a . …………………………………………………………2分 当2≥n 时，231+=-n n S S .② 由①－②得n n a a 31=+，即13(2)≥n n a n a +=.又312=a a， ∴数列{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列. ………………………… 5分 ∴132-⨯=n n a .………………………………………………………………… 6分(2)由123n n n a n -⋅=⋅，…………………………………………………………7分 得011213233)（n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯① 123213233)（n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②由①－②，得0122233333)n n n T n -=+++⋅⋅⋅+⋅-1（-， 132223(12)3113nn n n T n n --=⨯-⋅=---.∴11()322n n T n =-+ . …………………………………………………………12分19.解：选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B CB-=，由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -. ∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=， ∵(0)，C π∈，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，又(0)2，A π∈，∴3A π=.选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-， 又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-， 化简整理得2cos sin sin C B B =， 由sin 0B ≠，∴1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =.选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+， 由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=， ∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+， ∴22cos cos cos ab C ac A a C =+， ∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.又π(0)2，C ∈，∴π3C =. …………………………………………………………4分 (1)证明：由正弦定理得sin sin a c AC=∴a A ，∴)33cos a A B B B π++，得证. ……………………………6分(2)由AP =2PB 及AB=3，可得PB=1， 在△PBC 中，由余弦定理可得，2212cos CP a a B =+-2123cos )3cos )cos B B B B B ++=+-n 4i 2B =+.………………………………………………………………9分∵△ABC 为锐角三角形，∴()62，B ππ∈，即2()3B ππ∈，. 当2==24B B ππ，即时，2CP 取最大值为∴线段CP 的长度的最大值为………………………………………12分 20.解：(1)由题意得22()23= f x x ax a '=-++-(x -3a )(x +a ).…………………1分当1a =-时，()(1)(3)f x x x '=--+，x ∈[-4，2]. 由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43≤x -<-或12≤x <.………………………………………3分 ∴函数f (x )在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减.又2532(4)(3)33f f -=--=-，， 327(4)5(1)(1)0(2)33，，，f f f f -=--=-==-， ∴函数()f x 在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为323-. ………………6分(2)存在实数m ，使不等式()0f x <的解集恰好为(m ，+∞)， 等价于函数f (x )只有一个零点.∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a '=-++--+，i)当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数f (x )在区间(3a ，-a )上单调递增； 由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数f (x )在区间(-∞，3a )，(-a ，+∞)上单调递减. 又5(0)03f =-<，∴只需要f (-a )<0，解得-1<a <0. ∴实数a 的取值范围为 -1<a <0.ii)当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立.…………………………………10分 iii) 当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<， 即f (x )在区间(-a ， 3a )上单调递增； 由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(-∞，-a )，(3a ，+∞)上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <<.综上：实数a 的取值范围是(1-. ………………………………………12分21.解：(1)由题意得()(1)e (ln 1)x f x x b x x '=+-+-. …………………………1分∵函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2e -3，∴(1)2e 12e 3f b '=--=-，解得b =2. ………………………………………3分当x >1时，23()12x f x xe x >-+等价于22ln 10x x x -->，即12ln 0x x x-->.令1()2ln F x x x x =--，则22221(1)()10x F x x x x -'=-+=>. ∴函数()F x 在区间(1)，+∞上单调递增， ∴()(1)0F x F >=，∴当x >1时，23()12xf x xe x >-+. ……………………………………………6分(2)由题得21()e 2ln (4)12x g x x x x x a x =--+--.若g (x )=f (x )+(4-a )x -1无极值，则()0≥g x '恒成立或()0≤g x '恒成立. i)当()0≥g x '恒成立时，()(1)2(1ln )40e ≥x g x x x x a '=+-+-+-，即min 2[(1)2ln ]x a x x x -+--≤e . 令()(1)e 2ln x h x x x x =+--. ∴2(2)1()(2)e 1(2)e (2)(e )x x x x h x x x x x x x+'=+--=+-=+-(x >0). 令1()e x x xϕ=-，则21()e 0x x x ϕ'=+>，即()x ϕ在 (0，+∞)上单调递增. ………………………………………………8分又1()220(1)e 102，ϕϕ==->，∴存在0x ∈(12，1)，使得0001()e =0x x x ϕ=-.∴当0(0)，x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<， ∴函数h (x )在区间0(0)，x 单调递减. 当0()，x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>， ∴函数h (x )在区间0()，x +∞单调递增.∴函数h (x )的最小值为h (x 0)=0000(1)e 2ln x x x x +--.………………………10分 又001e x x =，即00ln x x =-， 代入，得h (x 0)=0000(1)e 2ln x x x x +--=0000011121x x x x x ++-=++. 又0x ∈(12，1)，则h (x 0)= =0011x x ++∈(3，72).∴正整数a 的最大值是5.ii)当()0≤g x '恒成立时，()(1)e 2(1ln )40≤x g x x x x a '=+-+-+-， 即max 2[(1)2ln ]x a x x x -+--≥e ，又由(i)知， 函数h (x )在区间0()，x +∞上单调递增， ∴函数h (x )不存在最大值.综上：正整数a 的最大值是5. ………………………………………………12分22.解：(1)曲线1C 的极坐标方程为2(0)=≤≤ρθπ. …………………………2分设P (，ρθ)为曲线2C 上的任意一点， ∴=2cos()2πρθ-.∴曲线2C 极坐标方程为2sin (0)=≤≤ρθθπ. …………………………………5分 (2)∵直线(0)θααπρ=<<∈R ，与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B (异于极点)， ∴设B (，B ρα)，则A (，A ρα). 由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，∴22sin A B AB ρρα=-=-. ……………………………………………………7分 ∵点M 到直线AB 的距离sin 2sin d OM αα=⨯=， ∴11=(22sin )2sin 22AOM S AB d αα∆⋅=-⨯ 2(sin 1sin )12(1sin )sin 242αααα+-=-⨯⨯=≤1(sin )2α=当且仅当时，等号成立 .∴△ABM 的面积的最大值为12. ……………………………………………10分 23.解：(1)由题意得()2()(2)3≤f x x m x m x m x m m =+--+--=. ………3分∵函数()f x 的最大值为6，∴36m =，即2m =±.∵m >0，∴m =2. ………………………………………………………………5分 (2)由(1)知，2x y z ++=，∵x >0，y >0，z >0，∴2()()22x xx y z y z =++=+++≥当且仅当2x y z ==时，等号成立). …………………………8分∴2，∴当且仅当11=2x y z ==，时，等号成立). ………………10分绵阳市高中2019级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDADC ACBBA BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.714.2 15.16.[1，三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.解：(1)由题意得A =2，22ππω=，∴4ω=.…………………………………………………………………………2分 ∵函数()f x 的图象经过点7(2)24，M π--， ∴72cos()26πϕ-+=-. 又|φ|＜2π，∴6πϕ=. …………………………………………………………5分 ∴()2cos(4)6f x x π=+. …………………………………………………………6分由2426≤≤k x k ππππ-++，得7(Z)242224≤≤k k x k ππππ-+-∈. ∴函数()f x 的单调递增区间为[7242k ππ-+，224k ππ-](k Z ∈). ……………8分 (2)∵[]88，x ππ∈-，∴24[]633，x πππ+∈-， ∴1cos(4)[1]62，x π+∈-， ∴函数()f x 的值域为[-1，2]. ………………………………………………12分18.解：(1)当n =1时，2211-=a S =1a ，解得12a =. …………………………………………………………………… 2分 ∵22-=n n a S ，①∴当2≥n 时，2211-=--n n a S .② ①－②得12-=n n a a ， 整理得12-=n n a a (n ≥2) .∴数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列. …………………………5分∴nn a 2=. ………………………………………………………………………6分(2)由(1)得n n n a a 421⨯=+. ………………………………………………7分 ∴112231(1)n n n n T a a a a a a ++=-++-2182(44(1)4)[1(4)]5n n n +=-++-⨯=-- . …………………………12分19.解：选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B CB-=，由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -. ∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=， ∵(0)，A π∈，∴sin 0A ≠， ∴1cos 2C =，又(0)2，C π∈，∴3C π=.选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-， 又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-， 化简整理得2cos sin sin C B B =，由sin 0B >，故1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =.选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+， 由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=， ∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+， ∴22cos cos cos ab C ac A a C =+， ∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.又π(0)2，C ∈，∴π3C =. …………………………………………………………6分 (2)∵=a mb ，∴sin()sin 13sin sin 2B a A m b B B π+====…………………………………………8分 ∵△ABC 为锐角三角形，则()62B ππ∈，，∴tan B >…………………………………………………………………10分 ∴122m <<. ……………………………………………………………………12分 20.解：(1)由题意得22()23= f x x ax a '=-++-(x -3a )(x +a ).…………………1分当1a =-时，()(1)(3)f x x x '=--+，x ∈[-4，2]. 由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43≤x -<-或12≤x <. ……………………………………3分 ∴函数f (x )在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减.又2532(4)(3)33f f -=--=-，， 327(4)5(1)(1)0(2)33，，，f f f f -=--=-==-， ∴函数()f x 在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为323-. ……………6分 (2)函数f (x )只有一个零点.∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a '=-++--+，i)当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数f (x )在区间(3a ，-a )上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数f (x )在区间(-∞，3a )，(-a ，+∞)上单调递减. 又5(0)03f =-<，∴只需要f (-a )<0，解得-1<a <0. ∴实数a 的取值范围为 -1<a <0.ii)当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立. ………………………………10分 iii) 当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<， 即f (x )在区间(-a ， 3a )上单调递增； 由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(-∞，-a )，(3a ，+∞)上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <<.综上：实数a 的取值范围是(1-. ………………………………………12分21.解：(1)由题意得()(1)e 2x f x x ax b '=-+-. ………………………………2分∵函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率为-3，∴(0)13f b '=--=-，解得b =2. ………………………………………………………………………4分 (2)∵ f (x )>-e -1恒成立，∴f (1)=-e+a -2>-e -1，即a >1.∴f (x )≥(x -2)e x +x 2-2x (当x =0时，取“=”). ……………………………6分 令g (x )=(x -2)e x +x 2-2x ，则()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x g x x x x '=-+-=-+. 由()0g x '>，得x >1，由()0g x '<，得x <1. ∴函数g (x )在区间(-∞，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增. ……………………………………8分∴min ()(1)1g x g ==--e -1，∴g (x )≥-e -1(当x =1时，取“=”) . ∴f (x )>-e -1.综上，实数a 的取值范围为a >1. …………………………………………12分文科数学答案第 11 页（共5页） 22.解：(1)曲线1C 的极坐标方程为2(0)=≤≤ρθπ. …………………………2分设P (，ρθ)为曲线2C 上的任意一点，可得=2cos()2πρθ-. ∴曲线2C 极坐标方程为2sin (0)=≤≤ρθθπ. …………………………………5分(2)∵直线(0)θααπρ=<<∈R ，与曲线1C ，2C 分别相交于点A ，B ，∴设B (，B ρα)，则A (，A ρα).由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，∴22sin A B AB ρρα=-=-. ……………………………………………………7分 ∵点M 到直线AB 的距离sin 2sin d OM αα=⨯=， ∴11=(22sin )2sin 22AOM S AB d αα∆⋅=-⨯ 2(sin 1sin )12(1sin )sin 242αααα+-=-⨯⨯=≤ 1(sin )2α=当且仅当时，等号成立 . ∴△ABM 的面积的最大值为12. ……………………………………………10分 23.解：(1)由题意得()2()(2)3≤f x x m x m x m x m m =+--+--=. ………3分∵函数()f x 的最大值为6， ∴36m =，即2m =±.∵m >0，∴m =2. ……………………………………………………………5分(2)由(1)知，2x y z ++=，∵x >0，y >0，z >0，∴2()()22x x x y z y z =++=+++≥当且仅当2x y z ==时，等号成立). …………………………8分∴2，∴(当且仅当11=2x y z ==，时，等号成立). ………………10分。
2019年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案
2019年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9． 27 ． 10． －8 ． 11． 6 ． 12．}2{)0,( -∞． 13． 67 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．2． 15．7710．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ． 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f)6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………………………4分而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22， 解之，得1=ω． ………………………6分（2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ．若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ．由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． …………………………10分 又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． …………………………12分 说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力． 17．（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值． 解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ． ……1分证明如下：取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则AC FP //，AC FP 21=， …………………2分 取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒，A BCDE PMF∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 21==．又∵AC ED //，………3分 ∴FP ED //且ED FP =，四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，∴//DP 平面EAB ． ……………………6分（2）（解法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ， ∵AC ED //， ∴l ED //，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥， ∴⊥DC 平面ABC ，又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ， ∴DG l ⊥，∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………10分 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，∴a CD GC GD 722=+=， ∴772cos cos ==∠=GD GC DGC θ． ………………………12分 （解法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）． 设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．∴)3,,2(a a a EB --=，)0,,0(a ED =， ………………………8分 设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ， 则EB ⊥n 且ED ⊥n ， ∴⎩⎨⎧=⋅=⋅.0,0ED EB n n∴⎩⎨⎧==--.0,032ay az ay ax A BCDE PM FG解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.0,23y z x取2z =，得平面EBD 的一个法向量为)2,0,3(=n . …………………………10分又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ．77210020)3(120003,cos cos 222222=++⋅++⨯+⨯+⨯=>'<=θn n ．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．（本小题满分14分）已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．解：（1）设c bx ax x f ++=2)(（其中0≠a ），则b ax x f +=2)('， ………………2分c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22．由已知，得22(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+b c b a a b a a 2201，解之，得1-=a ，0=b ，1=c ， ∴1)(2+-=x x f ． ………………5分（2）由（1）得，)1,(2t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==，∴切线l 的方程为)(2)1(2t x t t y --=--，即122++-=t tx y ． ………………7分从而l 与x 轴的交点为)0,21(2tt A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴tt t S 4)1()(22+=（其中0>t ）． ………………9分∴224)13)(13)(1()('t t t t t S -++=． ………………11分当330<<t 时，0)('<t S ，)(t S 是减函数；当33>t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数． ………………13分∴93433)]([min =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S t S ． ………………14分 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．19．（本小题满分14分）某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且 这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）解：（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为17300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元）. ………………………2分若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：23500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元）. ………………………4分又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， ………………………5分2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，………………………6分所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ………………………8分 （2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，………10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2019年底总资产可以翻一番． ………………………13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2019年底，总资产可以翻一番．…………………14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力．20．（本小题满分14分）已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32， P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 作直线l （与x 轴不垂直）与轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于点R ．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵P 是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ …………………………2分∵A B 、分别是直线y x =和y x =上的点，∴11y x =和22y x =．∴1212,.x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩…………………………4分又23AB =12)()(221221=-+-y y x x ． …………………………5分 ∴22412123y x +=， ∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………………………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-． ………………………7分 设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………………………9分∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k -=+． ② …………………………10分∵MQ RM λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． …………………………12分∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++． 将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………………………14分说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力． 21．（本小题满分14分）在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3513,a a a a 和4624,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．解：解：（1）由已知，得33a =，56a =，492a =，68a = . …………………………2分（2）（证法1）121222a ⨯==，362322a ⨯==，5123422a ⨯==，……； 2222a =，2432a =，2642a =，…….∴猜想21(1)2n n n a -+=,22(1)2n n a +=，*n N ∈， …………………………4分 以下用数学归纳法证明之． ①当1=n 时，21111a a ⨯-==，221222a ⨯==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)2k k k a -+=,22(1)2k k a +=，那么[]22(1)121221(1)(1)1(1)(1)22222k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=⨯-=, [][]2222212(1)2222(1)(2)(1)1(2)222(1)2k k k kk k k a k a a a k ++++++++=====+. ∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立． …………………6分∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2． ……………………9分 （注：通项公式也可以写成16)1(721812n n n n a -+++=）（证法2）令1212-+=n n n a ab ，*n N ∈，则12222121212221212122212321-=-⨯=-==++++++++++kk k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b11411412212121212121212-+=-+⨯=-+=-+-++-+nnk k k k k k k b b a a a a a a a ． ∴n n n b b b +-=-+1)1(211，1121)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b ．从而2111111=---+n n b b （常数），*n N ∈，又21111=-b ， 故}11{-n b 是首项为21，公差为21的等差数列，∴221)1(2111n n b n =⨯-+=-， 解之，得nn b n 2+=，即n n a a n n 21212+=-+，*n N ∈． …………………………6分∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a aa a a a a a a a a a2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，从而2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1）……………………8分 （注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=，或令122-=n n n a ab ，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 显然，2114341111+⨯=<==a S ； …………………………10分 当n 为偶数时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯+++⨯++⨯++⨯=2222)2(1)2(18186161641414218n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯<)2(1)2(18618616416414214218n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2118161614141218n n2421218+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n ； …………………………12分 当n 为奇数（3≥n ）时，)3)(1(82)1()1(411++++--<+=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-++=n nn n n n n n n n n n n n n . 综上所述，24+<n nS n ，*n N ∈． …………………………14分（解法2）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈．①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立．……11分 ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k kS k ，那么，当k 为奇数时，211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时，)4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k)4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k2)1()1(4+++<k k ． ∴1+=k n 时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式24+<n nS n 成立．……14分说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查． 命题人：李志敏、康达军、姚亮 审题人：石永生。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理科数学试卷附答案解析
2019年甘肃省高考一诊试卷数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A,—— H—i B.———i C.—— H i 252525252525【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为a+bi的形式，由此得出正确选项.71 D,—2525【详解】依题意,(l+i)(3+4i)_—l+7i八乱一(3—42)(3+4，)25~17—方+云'，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集U=R,集合A={x\-3<x<l},B={x\x<—2或x>2},那么集合A n(C…B)=()A.{x|—3<x<—2}B.{x|—3<x<2}C.(x|—2<x<1}D.(x|x<lgfcx>2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合B的补集，然后求其与集合A的交集.【详解】依题意C u B={x\-2<x<2},故/10(^6)={%|-2<%<1},故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.2,713.己知平面向量片的夹角为与■,淑=(0,—1),|日|=2,贝!]|2a+B|=()A.4B.2C.2^/2D.2龙【答案】B【解析】【分析】将\2a+t\两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意 |2』+ = J(2& + 酣=^4a 2 + 4a-b + b 2 = f4 + 4xlx2x (-：) + 2?=皿=2.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线v v 22 = 8x 的焦点到双曲线二-/ = 1的渐近线的距离是()4R 2扼5C 四!. 5【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为(2,0),双曲线的渐近线为y= ±2x,其中一条为2x-y = 0,由点到直线的距4 4a /5离公式得d = — = —^~.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础 题.5.已知函数的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A. f(x) = e 闵.cosxC. /(x) =+ cosx 【答案】D【解析】【分析】 B. f(x) = ln\x\ • cosx D. f(x) = ln\x\ + cosx根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B 两个选项，4；) = 0,不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f(l) = e + cosl>L 不符合 图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.71 716.若函数/(x) = asiwc + cosx 在［-弓引为增函数，则实数。
2019届一诊理科数学答案(定稿)
高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12 CD二、填空题： 13．3i +， 14.-84 ， 15． 16．]21,2[--． 三、解答题：17．解：(I) 当2≥n 时，利用公式1--=n n n S S a ，可得nn a 2=，.................4分验证当1=n 时是适合的，即）（*2N n a n n ∈=；..........................5分（II)n n b b b b T ++++=...321 23225282...(31)2nn =⨯+⨯+⨯++-, ①2n T = 234+1225282...(31)2n n ⨯+⨯+⨯++-, ②......................7分①-②得：23143232...32(31)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- ...........9分114(12)43(31)212n n n -+-=+⨯---18(34)2n n +=---，18(34)2n n T n +∴=+-............................................12分18. 解：（I ）由题意得，（0.02+0.032+a +0.018）×10=1，解得a =0.03；........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分 50户居民10月份用水量的平均值为：x =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,则X ～B （3，51），X =0，1，2，3； )0=X P （=30354）（C =12564；)1=X P （=5154213）（C =12548； )2=X P （=2235154）（C =12512；)3=X P （=33351）（C =1251．.............10分 ∴X 的分布列为：1253125212511250=⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（X E ． .................12分19. 解：（Ⅰ）在ABO V 中，Θ390OA OB AOB ==?o，，∴60OAB?o，.................................................2分在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，∴OM = ..................................................5分（Ⅱ）,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OAOAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o ，在OAN V 中，由sin sin ON OAOAB ONA =行，得2sin(90)2cos ON θθ==+o， ..................................................................8分∴11sin 22OMN S OM ON MON =仔=?V 2sin(60)θ⋅+o12＝2716sin(60)cos θθ+o60θ<<o．......................11分 当26090θ+=o o，即15θ=o∴应设计15AOM?o ，可使OMN V 的面积最小．..................12分20．解：（I ）Θ|1AF |、|21F F|、|2AF |构成等差数列， ∴2a =|1AF |+|2AF |=2|21F F|=8，∴a =4．....2分 又因为c =2，所以2b =12，.....................3分∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．...............4分 （II ）假设存在直线AB ，使得21S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为)2(+=x k y ,..................................................5分将其代入1121622=+y x ，整理得 0481616342222=-+++k x k x k ）（,....6分 设A ),11y x （，B ),22y x （，∴22214316kk x x +-=+, ∴点G 的横坐标为22214382k k x x +-=+，∴G )436438222k kk k ++-，（．....... 8分 Θ DG ⊥AB ，∴1438436222-=⨯-+-+k x kk k kD，解得22D 432k k x +-=，即D （22432k k +-，0）, ∵Rt △1GDF 和Rt △ODE 相似，∴若21S S =，则|GD |=|OD |,..........10分∴ 222222222432)436()432438k k k k k k k k +-=+++--+-（，整理得 8k 2+9=0． Θ方程8k 2+9=0无解，∴不存在直线AB ，使得 21S S =．..............12分21．解：（I ）Θa x x x f +-+=211)('，..................................1分 ∴函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，即0211)('≤+-+=a x x x f 在),2[+∞上恒成立，也即112+-≤x x a 在),2[+∞上恒成立，.................................3分令112)(+-=x x x h ，则)(x h 在),2[+∞上为增函数，min )(x h =)2(h =113，∴113a ≤；........................................................5分（II ）设211x x ≤<-，令)()()()221221x f m x f m x m x m f x F --+=（，],12x x -∈（， 则0)2=x F （，)(')(')'12211x f m x m x m f m x F -+=（）（)(')('2211x f x m x m f m -+=，0)()1(22222221221≥-=+-=+-=-+x x m x m x m x m m x x x m x m Θ，x x m x m ≥+∴221，..................................................7分又a x x x f +-+=211)('Θ，02)1(1)(''2<-+-=x x f ，)('x f ∴在),1(+∞-上是减函数，)(')('221x f x m x m f ≤+∴，0)(')('2211≤-+∴）（x f x m x m f m ，即0)'≤x F （，......................9分 )x F （∴在],12x -（上是减函数，0)()2=≥∴x F x F （，0)≥∴x F （，0)()()(221221≥--+∴x f m x f m x m x m f ，...........................11分],12x x -∈∴（，有)()()(221221x f m x f m x m x m f +≥+，又211x x ≤<-Θ，)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+∴.................................12分22．解：（I ）由1(4x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数）得，直线l 的直角坐标方程为：4(1)y a x -=-,..2分由P 的极坐标为()1π，得：P 的直角坐标为()1-，0,............................3分又点P 在直线上，代入得2a =，...............................................4分 ∴直线l 的直角坐标方程为：22y x =+ .......................................5分（II ）由24sin 50ρρθ--=得曲线C 的直角坐标方程为：22450x y y +--=,即：22(2)9x y +-=...........................................................6分∴曲线C 的圆心为(0,2)M ，半径3r =..............................................7分 ∵直线l ：4(1)y a x -=-过定点N (1,4)，且该点在圆C 内,..........................8分 ∴直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB 最小时,有l MN ⊥,1l MN k k ∴⋅=-,...............9分101422l k -∴=-=--,直线l 的直角坐标方程14(1)2y x -=--,化为极坐标方程为：cos 2sin 90ρθρθ+-=.....................................10分 23. 解：（I ）原函数可化为：13(23()1(22)213(22)2)x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩<-⎪ ,..................................................3分函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形三顶点坐标分别为：2(6,0),(2,2),(,0)3----,∴此三角形面积1216(6)2233S =⨯-+⨯=...................................5分 （II ）由（I ）知函数()f x 的最小值M =(2)2f -=-,.................................6分⸫关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解即222x x m +-≤-有实数解，即222m x x ≥++有实数解, .................................................8分令2()2h x x x =++,当12x =-时，2min 117()()2224h x =--+=,72,4m ∴≥ 即7.8m ≥........................................................10分。
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由（Ⅰ）及 k1 k2
1 ，MN 2
MP ，ME
x 轴得 k1
1 k
，k2
k ，E 2
x1, 0
，
∴ kNE
0 y1 x1 x1
k ，∴ N , E, P 三点共线. 2
…12 分
21.（12 分）
（Ⅰ）由
f
x
1 xa
1 ln x a
ex
，且 x 1 是 f x 的极值点，∴ f 1 =0 ；
0 h(x) 0 0 x 1；
同理 f x 0 x 1，
∴ f x 的递增区间是 0,1 ， f x 的递减区间是 1, ；
…5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
g
x
1
x ln ex
x
(x
0)
，
①当 x
1时，1
x ln
x
1
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及6 分
（Ⅱ）设平面 BFC 的法向量 n (x, y, z) ，∵ BC 1,1, 0, BF 0,1,1 ，
…12 分
由
n
BC
0
，得
n BF 0
x y
y z
0 ，令 z 0
1 ，得 x 1, y
1 ，∴ n (1, 1,1) ，
∴ sin
C2 100
990
C2 100
198
C2 100
∴ X 的分布列为
…6 分
1， 495
X
0
1
2
893
19
1
P
990
198
495
…12 分
20.（12 分）
（Ⅰ）设 P x0, y0 , M x1, y1 ，则 N x1, y1 ，
则 k1
y0 x0
y1 x1
， k2
y0 x0
g(x)
1 ex
1 e
1
e2 e2 1
，即
g
(
x)
e2 ， e2 1
②当 0
x
1时，
g(x)
(x
1) ln ex
x
2
x ex
1
(ln
x
2 )， x 1
设 u(x) ln x 2 (0 x 1) ，在 0,1 上递增，且 x 0 时， u x
4，
1 12
2
2 2 sin α π 1
∴ S ABP
1 2
14
4 2
7 2 2 sin α π 1 4，
2
∴当 时,
4
SABP
max
14
7. 2
…10 分
23．（10 分）
（Ⅰ）当 a 1时， f x
x 1 x 3，
即f x
4,
x 1,
2x 2, 1 x 3, 故不等式 f x
0.74
设第二档与第三档的临界值为 3.5 y ，则 0.1y 0.02 ， y 0.2 ，
∴第二档与第三档的临界值为 3.5 0.2 3.7（吨）； （Ⅱ）因为任取一名用户属于第三档的概率是 0.05 ，所以 X 服从超几何分布，
P X 0 C925 893 ， P X 1 C915C51 19 ， P X 0 C52
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即 1 [1 ln(1 a)] 0 ，由 h(x) 1 (1 ln x) 在（0，+）是减函数，
1+a
x
且 h 1 0 ，∴1 a 1，即 a 0 ，
1 (1 ln x)
此时， f x = x ex
y1 x1
，∴ k1
k2
y0 y1 y0 y1 x0 x1 x0 x1
y02 y12 ， x02 x12
又∵ x02 y02 1, x12 y12 1，两式相减得 x02 x12 y02 y12 0 ，
a2 b2
a2 b2
a2
b2
∴ k1 k2
b2 ； a2
…5 分
（Ⅱ）设直线 MN 的斜率为 k ，则 k y1 ， x1
2019 年高三年级第一次诊断性测验
理科数学答案及评分标准
一、 选择题：每小题 5 分 1~5. DABCB 6~10.
二、填空题：每小题 5 分.
13. 60
14. 1
三、解答题： 17.（12 分）
BBDAA 11~12.
15. 1 2
BA 16.②③
a1 2d 6
（Ⅰ）依题意，得
7a1
7 6d 2
n FD 1 ，∴直线 FD 与平面 BFC 所成角的正弦值为 1 ． …12 分
n FD 3
3
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及评分标准第 1 页（共 4 页）
19.（12 分）
（Ⅰ）由频率分布直方图得，用水量前 5 组的频率为 0 . 08 0 . 5 0 . 1 6 0 . 5 0 . 3 0 . 5 0 .4 4 0 . 5 ，0 . 5 0 . 5 设第一档与第二档的临界值为 2.5 x ，则 0.2x 0.01， x 0.05 ， ∴第一档与第二档的临界值为 2.5 0.05 2.55 （吨）， 用水量前 7 组的频率为 0.74 0.2 0.5 0.18 0.5 0.93 ，
∴ Tn
8 8 4n 9
2n 22n2 3
3n 1 22n3
9
8
18.（12 分）
（Ⅰ）依题意，建立如图空间直角坐标系 A xyz ：设 AD 1
则 A(0,0,0), B(0, 2,0),C(1, 1,0), D(1,0,0), F(0, 1,1)
∴ FD 1,1, 1 , AC 1, 1,0 ，∴ FD AC 0 ，
4,
x 3,
2 的解集为 x | x 2 ；
…5 分
（Ⅱ）当 x 0,1 时， f x x 2 等价于 x a 5 ，即 5 a x 5 a ，
若存在 x 0,1 使 a 5 x a 5 成立，只需要满足 5 a 1,
5 a 0,
∴ a 的取值范围是 a 6,5 .
…10 分
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．
56 ，解得 a1
2，d
2 ，∴ an
2n ；
…6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn 2n 22n ，
则 Tn b1 b2
bn 2 22 4 24
2n 22n
①
4Tn 2 24 4 26
2n 22n 2
①式 ②式得 3Tn 2 22 2 24 2 26
②
2 22n 2n 22n 2
2 22 24
22n 2n 22n 2 8 8 4n 2n 22n 2 ， 3
（Ⅱ）设 P 2 cos, 2 2sin ，联立 x2 y 2 2 4, 得 2x2 2x 3 0 ，
x y 1,
∴ AB 1 12 1 2 4
3
14 ，
2
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2 2 sin α π 1
点 P 到直线 AB 的距离 d 2 cos α 2 2sin α 1
1
x0 ln x0 e x0
e x0
1 1
x0 x0
1 1 x0
1 x0 1 x0
1 1 x0
，
由
y
2 1 x
1
在
(0,1)
上递增；∴
g
(
x0
)
1
1 e2
e2 ， e2 1
即
0
x
1 时，
g(x)
e2 e2 1
.
…12 分
22．（10 分）
（Ⅰ）曲线 C1 的普通方程为 x2 y 2 2 4 ，C2 的直角坐标方程为 x y 1； …5 分
x 1
又
u
1 e2
2 e2 1
0 ，∴ u(x)
0 有唯一的根
x0 , x0
0,
1 e2
，且 ln
x0
2， x0 1
由于 x (0, x0 ) 时， g x 0 ； x (x0,1) 时 g x 0 ，
∴ g(x)max
g(x0 )