高三数学上学期第一次诊断测试试题文

达州市2017届高三上学期第一次诊断测试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{1,1,2}A =-，集合{10}B x x =->，集合A B 为（ ）A ．φB ．{1,2}C ．{1,1,2}-D ．{2} 2.已知i 是虚数单位，复数21ii=+（ ） A ．1i - B ．i C ．1i + D ．i -3.将函数sin()3y x π=+的图象向x 轴正方向平移6π个单位后，得到的图象解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．2sin()3y x π=-D ．2sin()3y x π=+4.已知AB 是直角ABC ∆的斜边，(2,4)CA =，(6,)CB x =-，则x 的值是（ ） A ．3 B ．-12 C ．12 D ．-35.已知,x y 都是实数，命题:0p x =；命题22:0q x y +=，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件 6.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(0,1)7.已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，下面四个结论：①若l α⊥，则l m ⊥；②若//l α，则//l m ；③若l m ⊥，则l α⊥；④若//l m ，则//l α，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①④ 8.已知344ππα<<，4sin()45πα-=，则cos α=（ ） A 2 B ．272D ．29.一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O 上，球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．3πC ．43πD ．12π10.《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，勾股定理相传由商高（商代）发现，故又有称之为商高定理，满足等式222a b c +=的正整数组(,,)a b c 叫勾股数，如(3,4,5)就是勾股数，执行如图所示的程序框图，如果输入的数是互相不相等的正整数，则下面四个结论正确的是（ ） A ．输出的数组都是勾股数B ．任意正整数都是勾股数组中的一个C ．相异两正整数都可以构造出勾股数D ．输出的结果中一定有a b c <<11.已知双曲线22221(1)x y m m -=+（0m >）的离心率为5，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是,A B ，则PA PB •的值为（ ）A ．45 B ．35 C ．43 D ．3412.记函数()f x （1x e e<≤， 2.71828e =…是自然对数的底数）的导数为'()f x ，函数'()()()g x x f x e=-只有一个零点，且()g x 的图象不经过第一象限，当1x e >时，1()4ln ln 1f x x x e++>+，1[()4ln ]0ln 1f f x x x ++=+，下列关于()f x 的结论，成立的是（ ）A ．当x e =时，()f x 取得最小值B ．()f x 最大值为1C ．不等式()0f x <的解集是(1,)eD ．当11x e<<时，()0f x > 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13. A 公司有职工代表120人，B 公司有职工代表100人，现因,A B 两公司合并，需用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取11人作为企业资产评估监督员，应在A 公司中选取__________人.14.计算：213(22)(0.1)lg 2lg5-⨯--=___________.15.已知,x y 满足：10490490x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z x y =-的最大值为___________.16.已知函数*()()nf x n N x=∈，过点(,())P n f n 与()y f x =的图象相切的直线l 交x 轴于(,0)n A x ，交y 轴于(0,)n B y ，则数列1{}()n n n x x y +的前n 项和为____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，21a >，249,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 18.（本小题满分12分） 已知函数21()cos 3sin cos 2f x x x x =-+. （1）求()f x 单调递减区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 满足222b c a bc +->，求()f A 的取值范围. 19.（本小题满分12分）某交警大队对辖区A 路段在连续10天内的n 天，对过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，查得驾驶员酒驾率()f n 如下表； 5 6 7 8 90.060.060.050.040.02可用线性回归模型拟合()f n 与n 的关系. （1）建立()f n 关于n 的回归方程；（2）该交警大队将在2016年12月11日至20日和21日至30日对A 路段过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，分别检查12,n n 天，其中12,n n 都是从8，9，10中随机选择一个，用回归方程结果求两阶段查得的驾驶员酒驾率都不超过0.03的概率. 附注：参考数据：95() 1.51n nf n ==∑，925255n n==∑，()0.046f n =，回归方程()f n bn a =+中斜率和截距最小乘估计公式分别为：959225()5()5n n nf n nf n b nn==-=-∑∑，()a f n bn =-．20.（本小题满分12分）已知，如图，P 是平面ABC 外一点，PA 不垂直于平面ABC ，,E F 分别是线段,AC PC 的中点，D 是线段AB 上一点，AB AC =，PB PC =，DE EF ⊥.（1）求证：PA BC ⊥； （2）求证：//BC 平面DEF . 21.（本小题满分12分） 已知函数21()()2xf x e ax a e x =-+-（0x ≥）（ 2.71828e =…为自然对数的底数） （1）当0a =时，求()f x 的最小值； （2）当1a e <<时，求()f x 单调区间的个数.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4ρ=. （1）若l 的参数方程中的t =M 点，求M 的极坐标和曲线C 直角坐标方程； （2）若点(0,2)P ，l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2151f x x x =-+- （1）求()1f x x >+的解集；（2）若2m n =-，对m ∀，(0,)n ∈+∞，恒有14()f x m n+≥成立，求实数x 的范围. 达州市2016年普通高中三年级第一次诊断性检测数学（文科）参考答案及评分标准1-12 DCAAB CDBDC AB 13.6 14.19 15.3 16.44nn +17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵11a =，12>a ，∴012>-=a a d ． …………1分∵942a a a 、、成等比数列，∴9224a a a =，即)81)(1()31(2d d d ++=+．………3分 解得，3=d ． ……………5分23)1(31)1(1-=-+=-+=n n d n a a n ，减区间5[,] ,36k k k Z ππππ++∈ ……………6分(Ⅱ) 由题意可知03A π<<, ……………9分1()(,1)2f A ∈- ……………12分19.解:（Ⅰ）由表可知,7n =, ………………1分 又51.1)(915=∑=n nf ,255952=∑=n n,046.0)(=n f ,∴959225()5()5n n nf n n f n b nn==-=-∑∑21.51570.0460.0125557-⨯⨯==--⨯, ……………………4分 ∴()a f n bn =-0.046(0.01)70.116=--⨯=, ……………………5分 ∴)(n f 关于n 的回归方程是()0.010.116f n x =-+. ……………………6分 （Ⅱ）由表及（Ⅰ）知,(8)0.036f =,(9)0.026f =,(10)0.016f =.…………8分 ∴两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果有:)016.0,036.0(),026.0,036.0(),036.0,036.0(,)016.0,026.0(),026.0,026.0(),036.0,026.0(,)026.0,016.0(),036.0,016.0(,(0.016,0.016),共9个. …………10分其中都两阶段结果都不超过03.0的有)016.0,026.0(),026.0,026.0(,），026.0016.0(,(0.016,0.016)共4个. ……………………11分设“两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果都不超过03.0”为事件A ，则94)(=A P . 答：两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果都不超过03.0概率为94. ……………………12分 20.（Ⅰ）证明：设线段BC 的中点为G ，分别连接AG PG 、.……………1分 ∵AB AC =，PB PC =，∴AG BC ⊥，PG BC ⊥， ∵AG PG 、是平面AGP 内的两条相交线，∴BC ⊥平面AGP . ……………………4分 ∵PA ⊂平面AGP ，∴PA BC ⊥. ………………6分 （Ⅱ）证明：∵E F 、分别是线段AC PC 、的中点，∴EF ∥AP ．∵DE EF ⊥，∴PA DE ⊥． ……………………8分 因PA BC ⊥，BC DE 、是平面ABC 内两条直线，如果BC DE 、相交，则PA ⊥平面ABC ，与PA 不与平面ABC 的垂直矛盾． ∴BC ∥DE ． ……………………10分 又BC ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴BC ∥平面DEF ……………………12分 21．解：（Ⅰ）∵21()()2x f x e ax a e x =-+-(x ≥0)， 0a = ∴()x f x e ex=-()x f x e e '=-．……………………1分∴当0≤1x <时，()0f x '<，()f x 是减函数．当1x >时，()0f x '>，()f x 是增函数． ……………………3分 又0)1(='f ，∴()f x 的最小值min ()()(1)0f x f x f ===极小．…………………4分（Ⅱ）∵21()()2x f x e ax a e x =-+-(x ≥0)， ∴()xf x e ax a e '=-+-．设()()xg x f x e ax a e '==-+-，则()xg x e a '=-．∵1a >，∴(ln )0g a '=，当0≤ln x a <时，()0g x '<，()f x '单调递减． 当ln x a >时，()0g x '>，()f x '单调递增． ……………………6分 ∴min ()()(ln )2ln f x f x f a a a a e '''===--极小． 设()2ln (1)h x x x x e x =-->，则()1ln h x x '=-． 当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减．∴max ()()()0h x h x h e ===极大，即a e =时，min ()f x '取得最大值0， 所以当1a e <<时，min ()0f x '<．………7分 若1a <≤1e -，则(0)1f a e '=+-≤0，(1)0f '=，∴0≤1x <时，()f x '≤0，)(x f 单调递减，1x >时，()f x '>0，()f x 单调递增， 即函数()f x 有两个单调区间．…9分若1e a e -<<，则(0)10f a e '=+->，∴存在0x ∈(0,ln )a ，使得0()0f x '=．又(1)0f '=∴0≤x 0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．01x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．即函数()f x 有三个单调区间． ……………………11分综上所述，当1a <≤1e -时，函数()f x 有两个单调区间，当1e a e -<<且a e ≠时，函数()f x 有三个单调区间． …………………12分22.(Ⅰ)若l 的参数方程中的2t =-,得到M 点,求M 的极坐标和曲线C 直角坐标方程； (Ⅱ) 若点(0,2)P ,l 和曲线C 交于A ,B 两点,求11||||PA PB +. 解:（1）32,)4M π，曲线C 的直角坐标方程：2216x y += ……………5分（2）由2222()(2)16t t ++=得222120t t +-=，121222, 12t t t t +=-⋅=- 21212(22)4(12) ||||1114|||| ||t t PA PB t t --⋅-++===⋅……………10分 23.解：（Ⅰ）127 ()511()3 ()5217 2 ()2x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩解得解集为11(,)(,)82-∞+∞………5分（Ⅱ）因为141419()()22m n m n m n +=++⋅≥，当且仅当24,33m n ==时等于号成立. 由9()2f x ≥解得x 的取值范围为513(,)1414-……………10分。