九年级数学下册 第26章 二次函数章末考点复习与小结课件 (新版)华东师大版
华东师大版数学九年级下册第26章 单元综合复习二次函数知识归纳
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二次函数知识归纳
二次函数知识点：
1. 二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc(abc，，是常数，0a)的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：
(1) 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
(2)abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2yax的性质：
oo
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．
总结：
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2. 2yaxc的性质：
结论：上加下减．
总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．
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3. 2yaxh的性质：
结论：左加右减．
总结：
4. 2yaxhk的性质：
总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．
0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．
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九年级数学下册26二次函数小结与复习题(一)教案(新版)华东师大版
1 26章小结与复习题（一）
教学内容：课本P31~32
教学目标
1、形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；
2、形成二次函数的方法体系；
教学重难点
重点：形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；
难点：形成二次函数的方法体系；
教学准备：课件
教学方法：讲练法
教学过程
一、展示知识结构
二、解读知识点
（一）知识点一：二次函数的解析式
1、定义：一般要，形如 的函数，叫做二次函数。
2、二次函数的解析式
（1）一般式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）顶点式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（3）交点式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
3、利用图象平移求解析式
（1）平移条件：两个二次函数的a相等，就可以通过平移其中一个函数图象得到另一个函数图象。 2 （2）平移方法：先把一般式转换成顶点式，再确定顶点坐标，最后按要求平移顶点。
华东师大版九年级下册26章二次函数最值问题专题
二次函数最值问题专题
➢
知识点梳理：
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)
配方法得 y=𝑎(𝑥+𝑏2𝑎)2+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
顶点坐标（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎） 对称轴为 x=−𝑏2𝑎
一、不限定x的取值范围情况
(1) 𝑎>0时，开口向上，二次函数有最小值。最小值为y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
(2) 𝑎<0时，开口向下，二次函数有最大值。最大值为y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二、当m≤x≤n时
𝑎>0时
（1）x=−𝑏2𝑎在m≤x≤n中
二次函数最小值为当x=−𝑏2𝑎时，y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二次函数最大值为当ym,， yn,中的最大值。
（2）−𝑏2𝑎>𝑛即对称轴在自变量取值范围右侧。
二次函数最大值为x=m时y的值。
二次函数最小值为x=n时y的值。
（3）−𝑏2𝑎<𝑚,即对称轴在取值范围的左侧。
二次函数最大值为x=n时y的值。
二次函数最小值为x=m时y的值。
𝑎<0时
（1）x=−𝑏2𝑎在m≤x≤n中
二次函数最大值为当x=−𝑏2𝑎时，y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二次函数最小值为当ym,， yn,中的最小值。
（2）−𝑏2𝑎>𝑛即对称轴在自变量取值范围右侧。
二次函数最大值为x=n时y的值。
二次函数最小值为x=m时y的值。
（3）−𝑏2𝑎<𝑚,即对称轴在取值范围的左侧。
二次函数最大值为x=m时y的值。
二次函数最小值为x=n时y的值。
➢ 典例分析
类型一：常规类求最值问题
类型二：含有自变量取值限制的求最值问题
类型三：实际问题中的最值问题（考虑自变量x的取值范围）
一、 利润最值问题
公式：总利润=总售价-总成本
总利润=每件商品的利润×销售量
例1：一玩具厂去年生产某种玩具，成本价为10元每件。出厂价为12元每件年销售量为2万元今年计划通过适当增加成本提高产品档次，以拓展市场。若今年这种玩具每件成本比去年增加0.7x倍。今年这种玩具每件出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍。则预计今后年销售量增加x倍。（𝟎≤𝐱≤𝟏）
九年级数学下册26二次函数小结与复习学案(新版)华东师大版
第26章小结与复习
【学习目标】
1．复习本章内容，形成对本章知识整体性认识．
2．通过稳固复习，到达对各知识点熟练掌握．
【学习重点】
对本章知识构造整体性认识．
【学习难点】
熟练应用二次函数相关知识解决问题．
情景导入 生成问题 知识构造框图：
二次函数二次函数定义二次函数图象和性质y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a〔x－h〕2〔a≠0〕图象与性质y＝a〔x－h〕2＋k〔a≠0〕y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕二次函数表达式求法顶点和另一点求表达式三点求函数表达式实践与探索——利用二次函数解决实际问题
自学互研 生成能力
知识模块一 二次函数图象与性质
范例：将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到抛物线为y＝－2x2＋4x＋1．
仿例1：抛物线y＝－3(x＋1)2不经过象限是( A )
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第二、三象限
仿例2：二次函数y＝x2－3x＋m顶点在x轴上，那么m＝94,.)
仿例3：抛物线y＝－x2＋2x＋c对称轴和x轴相交于点(m，0)，那么m值是1．
仿例4：二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1，那么a，b大小关系为a>b．
知识模块二 求二次函数表达式
范例：(1)某抛物线经过点A(1，1)，B(－1，4)，C(3，0)三点，那么该抛物线表达式为y＝14x2－32x＋94,；)
(2)二次函数当x＝1时有最大值－6，且其图象经过点(2，－8)，那么其函数表达式为y＝－2x2＋4x－8．
仿例1：某抛物线对称轴为直线x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)，那么其表达式为y＝－12x2＋2x＋52,.)
仿例2：一个二次函数图象如下图，那么它表达式为y＝x2＋2x－3.
知识模块三 二次函数应用 范例：商店购进一批单价为8元商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经调查发现，这种商品销售单价每提高1元，其销售量相应地减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质 二次函数三种形式的灵活运用素材 (新版)华东师大版
二次函数三种形式的灵活运用
一般地，如果cbxaxy2(a ，b ， c时常数，且a≠0)，那么，y叫做x的二次函数．我们常把cbxaxy2(a≠0)称为二次函数的一般式．
二次函数还有另外两种表示形式．即顶点式和交点式．
顶点式： abacabxay44)2(22
或khxay2)( [其中，a≠0，抛物线的顶点坐标为()hk，]
交点式： ))((21xxxxay (其中， a≠0，12xx，是抛物线与x轴两个交点的横坐标)．
同学们要掌握二次函数三种表示形式，并且能灵活运用．
下面举例加以说明．
例1：二次函数的图像经过(0，3)，(1，4)，(3，0)，求二次函数的表达式．
分析：因为已知二次函数图像上的三点坐标，所以本题可选用二次函数的一般式，采用“待定系数法”求出未知数的系数，进行求解，较为方便．
解：设所求二次函数的表达式为 cbxaxy2(a≠0)
根据题意， 得
03943cbacbac
解这个方程组 得321cba
所以 所求二次函数的表达式为322xxy．
例2：二次函数的图像以点(2，3)为顶点，并过点(3，1)，求二次函数的解析式．
分析：因为已知顶点坐标是(h， k)，所以用khxay2)((a≠0)的形式求解析式，较为方便．
解：设所求二次函数的解析式为khxay2)( (a≠0)
因为顶点是(2，3)， 所以 h=2， k=3
所以 3)2(2xay
又因为图像经过(3，1)， 所以3)23(12a
解得 2a
故所求二次函数的解析式为 3)2(22xy=5822xx．
例3：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标分别为 -1、3，且经过点(1，-5)，求二次函数的关系式．
华东师大版九年级数学下册 26.1.1 二次函数
第1页 共2页 九年级下册 编号01
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2. 形如___________y0)k（的函数是一次函数，当______0时，它是 函数；形如
0)k（的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么y与x之间的函数关系式为y= ，整理为y= .
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,abca是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a为什么不等于0？
答： 。
华东师大版九年级数学下册 26.1.3 二次函数的图象(二)
第1页 共2页 二次函数khxay2九年级下册 编号04
【学习目标】
1．会画二次函数2)(hxay的图象；
2.知道二次函数2)(hxay与2axy的联系．
3.掌握二次函数2)(hxay的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142xy的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数2)1(xy，2)1(xy的图象；先列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
2)1(xy … …
2)1(xy …
…
归纳：（1）2)1(xy的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。
2)1(xy可以看作由2xy向 平移
个单位形成的。
（2）2)1(xy的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。
2)1(xy可以看作由2xy向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线2)(hxay特点： xyy = x21–1–2–3–4–5–6–712345678–1–212345678910O
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.1 二次函数》教案_10
22．1.1 二次函数
01 教学目标
1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
02 预习反馈
阅读教材P28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．
(1)下列函数中，不是二次函数的是(D)
A．y＝1－2x2 B．y＝(x－1)2－1
C．y＝12(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
【点拨】 判断二次函数要紧扣定义．
2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．
解：S表＝4πr2.
03 名校讲坛
例1 (教材P28问题1)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．
【解答】 每个球队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.
【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．
例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【解答】 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2．
九年级数学下册 第26章 二次函数 26.1 二次函数教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初
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1 / 4 二次函数
教学内容 本节共需1课时
本课为第1课时 主备人
教学目标 通过具体问题引入二次函数的概念；
在解决问题的过程中体会二次函数的意义。
教学重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义。
教学难点 如何建立数学模型
教具准备 学案每生一份 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境创设 （1）已知一个正方体的棱长为x㎝，表面积为y2cm,则y与x的关系式是。
（2）一个正方形的边长为a（cm），它的面积S（cm2）是多少？
（3）一个矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，那么面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式。
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？
探究新知 1、 请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义。
2、 归纳：二次函数的概念。
3、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a，b，c的取值X围，强调0a。
4、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值X围。 word
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实践与
探索1 例1． m取哪些值时，函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数？
分析：若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数，需满足的条件是20mm。
解：若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数，则 20mm，解得 0m，且1m。因此，当0m，且1m时，函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数。
探索 若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
实践与
探索2 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系；
华东师大版九年级数学下册同步教案 第26章二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．能画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．了解抛物线y＝ax2与抛物线y＝a(x－h)2的联系．
3．掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象特征及其简单性质．
重点
会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象,理解二次函数y＝a(x－h)2的性质,理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
难点
理解二次函数y＝a(x－h)2的性质,理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
一、创设情境,引入新课
我们知道,二次函数y＝ax2－2的图象可以由函数y＝ax2的图象向下平移得到,那么函数y＝12(x－2)2的图象是否可以由函数y＝12x2的图象经过平移而得到呢？
二、探究问题,形成概念
问题：在同一坐标系中画出二次函数y＝－12(x＋1)2,y＝－12(x－1)2的图象,指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象,说说抛物线y＝－12x2, y＝－12(x＋1)2,y＝－12(x－1)2的关系．
在教学过程中,学生独立思考后,合作完成．教师巡视指导,针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正,对好的给予表扬,并展示其图象,在合作交流过程中探索出抛物线y＝－12(x＋1)2,y＝－12(x－1)2与y＝－12x2的联系．
归纳结论：函数y＝ax2与y＝a(x－h)2的图象及其性质如下表：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝ax2 a＞0,开口向上；
a＜0,开口向下 y轴 (0,0)
y＝a(x－h)2 a＞0,开口向上；
a＜0,开口向下 直线
x＝h (h,0)
三、练习巩固
1．已知函数y＝－12x2,y＝－12(x＋1)2,y＝－12(x－1)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)分别讨论各个函数的性质．