浙江杭州高二下学期期末考试数学试题含答案
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题含解析
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且$0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 【答案】B【解析】【分析】求出,x y ，代入回归方程可求得a ．【详解】由题意013424x +++==， 2.2 4.3 4.8 6.7 4.54y +++==， 所以4.50.952a =⨯+， 2.6a =．故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点(,)x y ． 2．已知集合{|0}M x R x =∈>，集合{|lg(3)}N x R y x =∈=-，则（ ）A ．{|3}M N x x =<IB ．{|3}M N x x =<UC ．{|03}M N x x =<<ID ．()R C M N =∅I【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的定义域，化简集合集合N ，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合{|0}M x R x =∈>，集合{}{|lg(3)}|3N x R y x x x =∈=-=<，所以由交集的定义可得{|03}M N x x =<<I ，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转3．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12πB ．16πC ．163πD ．643π 【答案】B【解析】【分析】 先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【详解】设球的半径为R ，则由已知得343233R ππ=，解得2R =，故球的表面积2416S R ππ==表. 故选：B【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.4．设复数1=-i z i ，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先对1=-i z i 进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】()()()1111122i i i i z i i i +===-+--+ 所以122i z =--，所以111112222442i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A【点睛】本题考查的是复数的运算，较简单.5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.6．函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．【详解】由角函数的周期公式，可得函数cos y x =的周期2T π=，又由绝对值cos y x =的周期减半，即为最小正周期为π，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．7．若228m C =,则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】 分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意()212821m m m C -==⨯且2m >，m N +∈，解得8m =，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.A ．16B ．163C ．163D ．1283【答案】C【解析】【分析】 由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．9．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm【答案】C【解析】【分析】 设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱，可得32243663r r r r πππ⨯+⨯=⨯，解得3r =，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题． 10．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s =>D ．1212,x x s s【答案】B【解析】【分析】 根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．【详解】 由茎叶图可看出甲的平均数是89141515162122158+++++++=， 乙的平均数是78131515172223158+++++++=， ∴两组数据的平均数相等． 甲的方差是()149361001364921.58+++++++= 乙的方差是()164494004496432.258+++++++= ∴甲的标准差小于乙的标准差， 故选B ．【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．11．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且12(0)()(1)2x f f x f e x x -+'=-，若存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,2][2,)-∞-+∞UB ．(,1][4,)-∞-+∞UC ．(,2][4,)-∞-⋃+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞U【答案】C【解析】【分析】对函数求导，分别求出(0)f 和(1)f '的值，得到21()2x f x e x x =+-，利用导数得函数()f x 的最小值为1，把存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立的问题转化为2min ()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，分离参数a ，分类讨论m 大于零，等于零，小于零的情况，从而得到m 的取值范围。
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A,B 为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2•MN AN NB λ= ,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线【答案】C 【解析】试题分析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建立坐标系， 设M （x ，y ），A （-a ，0）、B （a ，0）；因为2MN AN NB λ=⋅，所以y 2=λ（x+a ）（a-x ）， 即λx 2+y 2=λa 2，当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程; 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选C ．考点：轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。
点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。
2．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.3．设集合{}20M x x =-≥,{}2430N x x x =-+<，则M N =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|13}x x <≤C ．{|23}x x ≤<D ．{|32}x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合M 、N ，再利用交集的运算律可得出集合M N ⋂. 【详解】{}{}202M x x x x =-≥=≥，{}{}243013N x x x x x =-+<=<<，因此，{}23M N x x ⋂=≤<，故选C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【答案】A 【解析】 【分析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y Nsin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y Nsin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，1．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=1×12+32=17.5（分钟）． 故选A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.5．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．46801010100C C C B ．64801010100C C C C ．46802010100C C CD ．64802010100C C C 【答案】D 【解析】本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅， 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.6．既是偶函数又在区间(0)π，上单调递减的函数是（ ） A ．sin y x = B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ．cos y x =【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据函数sin y x =和sin 2y x =都是奇函数，故排除A ，C ；由于函数cos 2y x =是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B 不正确；由于函数cos y x =是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.7．已知e 为自然对数的底数，则函数x y xe =的单调递增区间是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞- C ．[)1,+∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】因(1)xy x e =+'，故当1x ≥-时(1)0xy x e '=+≥，函数单调递增，应选答案A 。
2020年浙江省杭州市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2020年浙江省杭州市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．要得到函数22cos sin y x x =-的图象，只需将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】22cos sin y x x =-=cos2x,cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=cos 28x π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以只需将函数cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位可得到22cos sin 2,y x x cos x =-= 故选B2．己知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】 【分析】设()12019in 12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值． 【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．3．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，11【答案】C 【解析】执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.4．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（） A ．5400海里 B ．2700海里C ．4800海里D ．3600海里【答案】D 【解析】 【分析】求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。
2020年浙江省杭州市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析
2020年浙江省杭州市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为棱'BB 的中点，点F 为棱''B C 的中点，则空间四边形'OEFD 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据空间四边形OEFD 在正方体前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正确的选项. 详解：空间四边形OEFD 在正方体前后面上的正投影是A 选项；空间四边形OEFD 在正方体前上下上的正投影是B 选项；空间四边形OEFD 在正方体左右面上的正投影是D 选项，故选C.点睛：本题主要考查了平行投影和平行投影的作法的应用问题，主要同一图形在不同面上的投影不一定相同，属于基础题，着重考查了空间推理能力.2．已知ξ的分布列为 ξ-1 0 1 p 12 13 16 设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．1【答案】B【解析】【分析】 由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=.【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-， 因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=. 【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.3．若0,10,a b <-<<则有 （ ）A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【答案】D【解析】①2(1)ab ab ab b -=-，∵0,10a b <-<<，∴20ab ab ->，故2ab ab >．②22(1)ab a a b -=-，0,10a b <-<<，∴20ab a ->，故2ab a >．综上2ab ab a >>．选D ．4．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ,若对任意的正实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( ) A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()1,1-C ．()()1,00,1-UD ．{}|1x x ≠±【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析：构造新函数22()()g x x f x x =-，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设22()()g x x f x x =-，则2'()2()'()2g x xf x x f x x =+-(2()'()2)x f x xf x =+-，由已知当0x >时，'()(2()'()20g x x f x xf x =+-<，∴()g x 在(0,)+∞上是减函数，又∵()f x 是偶函数，∴22()()g x x f x x =-也是偶函数，(0)0g =，不等式22()(1)1x f x f x -<-即为22()(1)1x f x x f -<-，即()(1)g x g <， ∴()(1)g x g <，∴1x >，即11x x <->或． 故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()x g x e f x =，()()xf xg x e =等等． 5．设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则的取值范围是A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln211,42+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令()'()ln 21g x f x x ax ==-+，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，1'()20g x a x=-=Q 有解，故0a >,10221{()02(2)0a g ag <<∴>⇒<ln 211(,)42a +∈ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()()ln f x x ax =-(a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，所以1'()20g x a x=-=有解，故0a >,只需要满足10221{()02(2)0ag ag <<><解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 6．要得到函数1sin 2y x =的图象，只需将函数1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】D【解析】【分析】 将函数1sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭表示为1sin 22y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角函数的变换规律可得出正确选项. 【详解】 1sin 1s n 222i 4y x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎛⎪⎢⎥⎝⎭⎫=+= ⎭⎣⎪⎝⎦Q ，因此，为了得到函数1sin 2y x =的图象，只需将函数1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量x 上变化了多少.7．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）．A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1-D ．()2,1 【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【详解】 直线的斜率为12，故其方向向量为()2,1. 故选：D【点睛】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.8．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D.【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.9．设，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出的最小值，并求出相应的，最后利用数学期望公式得出的值。
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,...8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①ˆˆy bx a =+；②y x d =；③ln y p q x =+；④21k x y k e =+；⑤212y c x c =+，则较适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③⑤2．在()82x -的二项展开式中，二项式系数的最大值为a ，含5x 项的系数为b ，则ab=（ ） A ．532B ．532-C ．325D ．325-3．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．564． “直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}6．已知a ＝log 34，b ＝212-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝131log 6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c7．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A ．2B ．0C ．-2D ．-49．在极坐标中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的的距离为（ ） A ．3πB ．3C ．2D ．249π+10．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1B ．122-C ．222-D ．22-11．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3761()2CB ．2741()2AC ．2741()2CD ．1741()2C12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．0D ．无法判断二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知3i 12i z =-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为________14．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．15．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =______.16．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知向量1()2)2a cosxb cos x x R ==∈v v ，，，，，设函数•f x a b =vv （）（1）求()f x 的最小正周期 （2）求函数()f x 的单调递减区间 （3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 19．（6分）已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含32x 的项.20．（6分）已知等比数列{}n a ，{}n b 的公比分别为p ，q ()p q ≠．（1）若111a b ==，24p q ==，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ； （2）若数列{}n c ，满足n n n c a b =+，求证：数列{}n c 不是等比数列．21．（6分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.A BC；(1)求证:平面MDE//平面11--的余弦值.(2)求二面角C ME D22．（8分）观察以下等式：13＝1213+23＝（1+2）213+23+33＝（1+2+3）213+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．（2）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝n3+n，求S1．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝x d或y＝p＋qlnx较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.2．B【解析】【分析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含5x项的系数，进而可求出结果.【详解】因为()82x -的二项展开式的通项为：818(2)r r rr T C x -+=-，因此二项式系数的最大值为：48876570432a C ⨯⨯⨯===⨯⨯，令85r -=得3r =，所以，含5x 项的系数为338(2)448b C -=-=，因此70544832a b ==--. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 3．B 【解析】3162P ==,所以选 B. 4．B 【解析】 【分析】 【详解】由“直线l 垂直于平面α”可得到“直线l 垂直于平面α内无数条直线”， 反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的必要而不充分条件，故选B. 考点：充分条件与必要条件 5．A 【解析】 【分析】先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂. 【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =, ∴()U C A B =I {}6,8,故答案为A【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 6．B 【解析】【分析】得出126133331log log 6log 4,log 62,()42-=><=，从而得到,,a b c 的大小关系，得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算可得1261333331log log 6log 4,log 6log 92,()42-=><==，所以b c a >>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小． 由 220y x y =⎧⎨-+=⎩ 解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 8．D 【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f ' 【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 9．C 【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得2cos1,2sin33x y ππ=⨯==⨯=∴点的坐标为，因为4cos ρθ=，所以222224cos ,40,(2)4x y x x y ρρθ=∴+-=∴-+=，所以圆心的坐标为（2,0），2=，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为cos ,sin .x y ρθρθ== 10．A 【解析】 【分析】先根据()f x 的单调性确定出最小值从而确定出1x 的值，再由不等式即可得到2x 的范围，根据二次函数零点的分布求解出a 的取值范围. 【详解】 因为()()()1112,22x f x x x x +'=-=∈-+∞++， 所以当()2,1x ∈-- 时，()0f x ¢<，当()1,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，所以()f x 在()2,1--上递减，在()1,-+∞上递增，所以()()min 10f x f =-=，所以11x =-， 又因为121x x -≤，所以220x -≤≤，因为()2244g x x ax a =-++对应的()2444a a ∆=--，且()g x 有零点，（1）当()24440a a ∆=-->时，2a >+2a <-，所以()()200020g g a -≥⎧⎪≥⎨⎪-≤≤⎩，所以88044020a a a +≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，所以12a -≤<-（2）当()24440a a ∆=--=时，2a =+2a =- 此时[]22,0x a =∈-，所以2a =-综上可知：12a -≤≤-min 1a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析. 11．B 【解析】 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．B 【解析】 【分析】由条件结构，输入的x 值小于0，执行y ＝﹣x ，输出y ，等于0，执行y ＝0，输出y ，大于0，执行y ＝1x ，输出y ，由x ＝1＞0，执行y ＝1x 得解． 【详解】因为输入的x 值为1大于0，所以执行y ＝1x ＝1，输出1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2i - 【解析】 【分析】根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解． 【详解】Q 3i 12i z =-，312i 21221i iz i i i ----∴====+-， ∴共轭复数为2i -故答案为2i - 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题． 14．3 【解析】 【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案. 【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min 413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想. 15．4 【解析】 【分析】 逐个计算n i 即可. 【详解】由题,因为234,1,,1i i i i i i ==-=-=,故()4a i =. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型. 16．16. 【解析】由题意可知抛物线2:4C y x =的焦点():1,0F ，准线为1x =-设直线1l 的解析式为()1y k x =- ∵直线12,l l 互相垂直 ∴2l 的斜率为1k-与抛物线的方程联立()21{4y k x y x=-=，消去y 得()2222240k x k x k -++=设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由跟与系数的关系得212224k x x k++=，同理23421241k x x k ++= ∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ∴1211AB x x =+++，同理3411DE x x =+++∴2222221242444848161k k AB DE k k k k+++=++=++≥+=，当且仅当21k =时取等号. 故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）π；（2）5++)36k k k Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（；（3）最大值为1，最小值为12- 【解析】【分析】（11cos cos22x x x -，再根据二倍角公式以及配角公式得sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据正弦函数单调性得3+22+2262k x k πππππ≤-≤，解得结果，（3）先根据自变量范围得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数性质得最值. 【详解】 解：（1）由题意得()•f x a b =v v1cos cos2sin 226x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ T π=最小正周期。
浙江省杭州市高二数学下学期期末教学质量检测试题(含解析)
2016-2017学年浙江省杭州市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A. {3}B. {2，3}C. {0，2，3}D. {﹣2，0，2}【答案】B【解析】 ,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3. 设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选D4. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C5. sin15°cos15°=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A6. 函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A. （0，1）B. [0，1]C. （﹣∞，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】，则定义域为，选C7. 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若l∥α，m∥α，则l∥mB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l∥α，m⊂α，则l∥mD. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面内；选项C 错误，只有当直线在同一平面内时有选项D正确，故选D8. 若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有；当时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 下列函数是奇函数的是（）A. f（x）=x2+2|x|B. f（x）=x•sinxC. f（x）=2x+2﹣xD.【答案】D【解析】选项A：，是偶函数；选项B：，偶函数；选项C：，偶函数；选项D：，奇函数，故选D10. 圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。
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2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题看和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题长指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡。
一.选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分。
1.设集合()1,2,4A ，()3,4B .则集合A B =（ ）A.{}4B.{}1,4C.{}2,3D.{}1,2,3,42.直线340x y ++=的斜率为（ ） A.13-B.13C.3-D.33.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A.{}1x x >B.{}1x x <C.{}1x x ≠D.R4.在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ） A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.一个空间几何体的三规图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视力A.23B.43C.83D.46.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形是（ ） A.正方形 B.矩形C.菱形 D .直角梯形7.已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ）A.8-B.6-C.6-或4-D.8-或4-8.设a ，b R ∈，则“a b ≥”是“a b >”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数()()22x f x x x c =-的图象可能．．是（ ）A.B.C.D.10.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m α，//m β，则//αβ C.若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D.若//m α，αβ⊥，则m β⊥11.设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.512.若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.15B.15-C.1213D.1213-13.已知椭圆222:14x y E a +=，设直线():1l y kx k R =+∈交椭圆E 所得的弦长为L .则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是（ ） A.0mx y m ++= B.0mx y m +-=C.10mx y --=D.20mx y --=14.设(),22a ba b F a b -+=-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．的是（ ） A.若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数B.若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数C.若()f x ，()g x 都是奇菌数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 D.若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数15.长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =，11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）A.32D.2二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16.若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r =_________. 17.已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________. 18.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，数列{}n n a b 的前n 项和为13n n +⋅.若13a =，则数列{}n a 的 通项公式为_________.19.如图，已知正三棱锥ABCD ，BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点P ，Q 分别在核BC ，CD 上（不包含端点），则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运革过程，20.设函数()2sin cos f x x x x =+.（I ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 21.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC，1AA AB ==，AB AC ⊥，D 为AC 的中点.（I ）证明：1//B C 面1BA D ；（Ⅱ）求直线1B C 与平面1BA D 所成角的正弦值，22.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =.若1a ，2a ，5a 成等比数列.（I ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设()2111n n b n N a*+=∈-， 求数列{}n b 的前n 项和nT .23.已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点。
（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标； （Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.24.设a ，k R ∈，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点。
求实数k 的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题 1-5：AACDB 6-10：CDDBC11-15：BCDCA二、填空题17.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦18.21n a n =+19.,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题20.解：（Ⅰ）()1cos 2sin 222x xf x -=+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭， 所以T π=.（Ⅱ）因为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 21.（Ⅰ）证明：连接AB ，交1A B 于N ，所以N 为1AB 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以1//DN B C ， 因为DN 在面1BA D 内，1B C 不在面1BA D 内， 所以1//B C 面1BA D .（Ⅱ）以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设1AC =）.所以)B，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，(1A ，(1C ，设面1BA D 的法向量为(),,m x y z =， 则10n BD n BA ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得()1,n =.因为(1BC =，记直线1BC 平面1BA D 所成角为θ.所以111sin cos ,7BC n BC n BC nθ⋅=<>=⋅，. 22.解：（Ⅰ）由题意，得12151a a a a =⎧⎨=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，2n S n =.（Ⅱ）因为()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()41n nT n =+.23.解（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以1226MN x y =++=. 所以1222Qx x x +=； （Ⅱ）设直线:l ty m +，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=.所以124y y t +=，124y y m =-. 所以MN =5=.所以()2225161m t t =-+， 所以()12122x x t y y m +=++=()22225422381t m t t +=+≥+，所以12322Q x x x +=≥，此时12t =±，1m =. 所以:220l x y --=或220x y +-=.24.解（Ⅰ）当1a =时，()()()2221,111,1x x k x f x x x k x x k x ⎧-++≥⎪=--+=⎨++-<⎪⎩，所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为()()()()()2221,1,x x a k x a f x x x a k x x a k x a ⎧-+⋅+≥⎪=--+=⎨++⋅-<⎪⎩，且10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.若()0f a <，则()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知，()f x 至多有两个零点.故()0f a ≥，即20a ak +≥对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可知0k ≥.当()0f a ≥时，若102f ⎛⎫>⎪⎝⎭或102f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立，则由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知()f x 至多有两个零点，故102102f f ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()11041104a k a k ⎧-++≤⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩成立，注意到，()()111144a k a k -++≥-+-，故()1104a k -++≤，即114k a ≤-对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，可知12k ≤， 综上可知，102k ≤≤. 因为20x x a ka --+=，所以2x a ka x --=.设3y x a ka =--，其顶点(),A a ka -在y kx =-，10,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（即线段OB ）上运动.若0k <，显然存在V 字图与抛物线2y x =只有两个交点的情况，不符合题意，故0k ≥，如图画出草图.显然 当点A 自点O 向点B 运动时，两个图象总有M ，N 两个交点，故只需要V 字形图象右支y x a ka =--与抛物线有()2y xx a =>交点即可，即()20x x a ka -++=有两个正根，满足()1400a ka a ka -+≥⎧⎪⎨+>⎪⎩，即1014k a <+≤对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 即112k -<≤， 又0k ≥，所以102k ≤≤.。