三角形的证明知识点汇总
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL (Rt △) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为:等边对等角 在△ABC 中,若AB=AC ,则∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC ,AB=AC ,AD ⊥BC , 则AD 是BC 边上的中线,且 AD 平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的平分线,底边上的中线、底边上的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读 (1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为:等校对等边 在△ABC 中,若∠B=∠C 则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤
《平行线的证明》专题专练
第七章平行线的证明专题专练 专题一定义与命题 一、知识要点 1.定义:对术语和名称的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义. 2.命题:判断一件事情的句子叫做命题,每个命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……,那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 3.真命题、假命题与反例 真命题:正确的命题称为真命题. 假命题:不正确的命题称为假命题. 反例:要说明一个命题是假命题,通常可以举出一二例子,使之具有命题的条件,而不具有命题的结论,这个例子称为反例. 4.公理、定理、证明 公理:人们公认的真命题称为公理. 定理:经过证明了的真命题称为定理. 证明:推理的过程称为证明. 二、考点分析:该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假等. 多以选择题的形式出现,以判断真假命题类型题为主要考点. 三、复习策略:应结合具体实例来理解命题的定义,体会寻找命题的题设和结论的常用方法----将命题改写成“如果……,那么……”的形式,能举反例说明一个命题是假命题,能利用推理的方法证明一个命题是真命题等. 四、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题,如果是命题,是真命题还是假命题? (1)两点之间,线段最短;(2)作线段AB=CD;(3)你今天上数学课了吗?(4)熊猫没有翅膀;(5)对于角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 解析:判断一个句子是否为命题需抓住两点:(1)命题必须是一个完整的语句,且是陈述句,不是疑问句、祈使句;(2)要对事情作出判断.根据这两条可知(2)、(3)不是命题,(1)、(4)、(5)是命题,且都是真命题. 例2 写出下列命题的条件和结论. (1)如果一个三角形中有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形. (2)对顶角相等. 解析:(1)命题一般写成“如果A,那么B”的形式,A部分为条件,B部分为结论,所以(1)中的条件“一个三角形中有两条边相等”,结论为“这个三角形是等腰三角形”. (2)对于命题本身不含“如果”,“那么”词语,此时需将其改写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论,便不易错,所以(2)中可改成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,故条件为“两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”. 专题练习一 1.把“垂线段最短”改写成“如果……,那么……”的形式是________. 2.下列语句中,不是命题的是() A.直角都相等 B.如果ab=0,那么a=0 C.不是对顶角的两个角相等 D.连接两点A、B 3.下列命题中,是真命题是是() A.互补的两角若相等,则此两角都是直角 B.直线是平角 C.不相交的两条直线叫平行线 D.和为180°的两个角叫邻补角 4.下列命题中,是真命题的是()
最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,
全等三角形知识点总结
全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; > (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等(即对应元素相等)
3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。 (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 , (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找
三角形的证明知识点汇总
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(Rt△)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为:等边对等角 在△ABC中,若AB=AC,则 ∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC,AB=AC,AD⊥BC, 则AD是BC边上的中线,且 AD平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的 平分线,底边上的中线、底边上 的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读(1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形,简述为:等校对等边 在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤
平行线证明题
第一篇:平行线证明题 平行线证明题 直线ab和直线cd平行 因为,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd 内错角相等,两直线平行 em与fn平行因为em是∠aef的平分线,fn是∠efd的平分线,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd 因为,∠aef=∠efd,所以角mef=角efn 所以em与fn平行,内错角相等,两直线平行 2 第五章相交线与平行线试卷 一、填空题: 1、平面内两条直线的位置关系可能是或。 2、“两直线平行,同位角相等”的题设是,结论是。 3、∠a和∠b是邻补角,且∠a比∠b大200,则∠a=度,∠b=度。 4、如图1,o是直线ab上的点,od是∠cob的平分线,若∠aoc=400,则 ∠bod= 0。 5、如图2,如果ab‖cd,那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。 6、如图3,图中abcd-是一个正方体,则图中与bc所在的直线平行的直线有条。 7、如图4,直线‖,且∠1=280,∠2=500,则∠acb=0。 8、如图5,若a是直线de上一点,且bc‖de,则∠2+∠4+∠5=0。 9、在同一平面内,如果直线‖,‖,则与的位置关系是。 10、如图6,∠abc=1200,∠bcd=850,ab‖ed,则∠cde0。 二、选择题:各小题只有唯一一个正确答案,请将正确答案的代号填在题后的括号内 11、已知:如图7,∠1=600,∠2=1200,∠3=700,则∠4的度数是 a、700 b、600 c、500 d、400 12、已知:如图8,下列条件中,不能判断直线‖的是 a、∠1=∠3 b、∠2=∠3 c、∠4=∠5 d、∠2+∠4=1800 13、如图9,已知ab‖cd,hi‖fg,ef⊥cd于f,∠1=400,那么∠ehi= a、400 b、450 c、500 d、550 14、一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角 a、相等 b、相等或互补 c、互补 d、不能确定
中考 三角形知识点复习归纳总结
D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形
21D C B A D C B A (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. ⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意: (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.
初二数学上全等三角形知识点总结汇编
全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系); 2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么; 3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。 常见考法 (1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等; (2)利用判定公理来证明两个三角形全等; (3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。 误区提醒 (1)忽略题目中的隐含条件;
三角形的证明详细知识点、例题、习题)
第一章 三角形的证明 一、全等三角形 (1)定义: 能够完全相等的三角形是全等三角形。 (2)性质:全等三角形的对应边、对应角相等。 (3)判定:SAS 、SSS 、ASA 、AAS 、HL 注:SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法,判定两个三角形全等时,必 须有边的参与,若有两边一角相等时,角必须是两边的夹角 证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ??????? ????????????????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角() 找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例题解析:
二、等腰三角形 1. 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 2. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 3. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”). 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°; 等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形. 5. 含30°的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例题解析:
三、.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 2. 命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分; 逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的; 3. 直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释: ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边 的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三 边的平方” 例题解析
平行线证明难题
第二章 平行线的性质和判定拔高训练 1.(1) 如图1所示,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D,C 分别落在'D ,' C 的位置.若∠EF B =65°,则'AED 等于__________. (2) 如图2所示,AD ∥EF ,EF ∥BC ,且EG ∥AC .那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是__________. (3)如图3所示,AB ∥C D,直线AB ,CD 与直线l相交于点E,F,EG 平分∠AE F,FH 平分∠EFD ,则GE 与FH 的位置关系为__________. 2.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是( ) A .30°和150°? ? B .42°和138°? C .都等于10° ?? ? ? D .42°和138°或都等于10° 3.如图所示,点E在CA 延长线上,DE 、AB交于点F ,且∠BDE =∠AEF ,∠B =∠C, ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°,P为线段DC 上一动点,Q 为PC 上一点,且满足∠FQP =∠QFP ,F M为∠EF P的平分线.则下列结论:①AB ∥CD ,②FQ 平分∠AFP ,③∠B+∠E =140°,④∠Q EM 的角度为定值.其中正确的结论有( )个数 A.1????B.2????C .3 ?D.4 4.如图所示,AB ∥EF ,E F∥CD,E G平分∠BEF ,∠B +∠BED +∠D=192°, ∠B-∠D =24°,则∠GEF =__________. 5.已知:如图所示,AD ⊥B C于点D ,E G⊥BC 于点G ,∠E =∠3.求证:AD 平分∠B AC .
有关三角形知识点总结
有关三角形知识点总结
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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据) 2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论) 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.(90°角和互余关系) 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。
2 、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。
全等三角形知识点梳理.pdf
第十二章全等三角形 2018.9 杨1.全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.对应边相等。 2.全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.对应角相等。 证明三角形全等基本思路: 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等,简写成边边边或SSS. 1.如图,AB=AD,CB=CD,求证:(1)△ABC≌△ADC;(2)∠B=∠D. 证明:(1)连接AC,在△ABC与△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS). (2)∵△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D. 2.已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线,连接AC,利用SSS证明全等,得到∠ DAC=∠ACB ,从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A,B,D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ ABC=∠EBD=90°),连接AE,CD,试确定AE与CD的关系,并证明你的结论. 解:结论:AE=CD,AE⊥CD. 证明:延长AE交CD于F,在△ABE与△CBD中AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, , ∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD,∠EAB=∠DCB, ∵∠DCB+∠CDB=90°,∴∠EAB+∠CDB=90°, ∴∠AFD=90°,∴AE⊥CD. F
2.在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AE与BD交与点 F (1)求证:△ACE≌△BCD (2)求证:AE⊥BD 1,利用SAS证明全等, AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2,全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等,简称角边 角或ASA. 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简称 角角边或AAS. 求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等. 如图,AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD的延长线于点E,求证:BE=CF. 证法1: ∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF. 证法2:∵S△ABD=1 2 AD·BE,S△ACD= 1 2 AD·CF, 且S△ABD=S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等), ∴1 2 AD·BE= 1 2 AD·CF,∴BE=CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等,简称“斜边、直角边”或“HL”. 如图,E,F分别为线段AC上的两点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M. 求证:BM=DM,ME=MF. 证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF∴AF=CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB=CD,AF=CE, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L), ∴BF=DE.∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEM=∠BFM=90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM=∠DEM,∠BMF=∠DME,BF=DE, ∴△BFM≌△DEM(A AS), ∴BM=DM,ME=MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 文字命题的证明方法: a.明确命题中的已知和求证; b.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; c.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
相交线平行线证明格式专题训练
古符离初中七年级数学专题复习 相交线平行线证明格式专题训练 1.如图, (1)∵∠A=_________(已知) ∴AC∥ED(_________) (2)∵∠2=_________(已知) ∴AC∥ED(_________) (3)∵∠A+_________=180°(已知) ∴AB∥FD(_________) (4)∵AB∥_________(已知) ∴∠2+∠AED=180°(_________) (5)∵AC∥_________(已知) ∴∠C=∠1(_________) 2.如图,已知AD∥BC,∠1=∠2,要证∠3+∠4=180°,请补充完整证明过程,并在括号内填上相应依据:∵AD∥BC(已知), ∴∠1=∠3(_________), ∵∠1=∠2(已知), ∴∠2=∠3(_________), ∴BE∥DF(_________), ∴∠3+∠4=180°(_________). 3.完成下面推理过程: 如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下: ∵∠1=∠2(已知), 且∠1=∠CGD(_________), ∴∠2=∠CGD(等量代换). ∴CE∥BF(_________). ∴∠_________=∠C(_________). 又∵∠B=∠C(已知), ∴∠_________=∠B(等量代换). ∴AB∥CD(_________). 4.如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D. 则∠A=∠F,请说明理由. 解:∵∠AGB=∠EHF_________ ∠AGB=_________(对顶角相等) ∴∠EHF=∠DGF ∴DB∥EC_________ ∴∠_________=∠DBA (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF∥_________(内错角相等,两直线平行) ∴∠A=∠F_________. 5.填空并完成以下证明: 已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,求证:∠BDC+∠DGF=180°. 证明:∵∠1=∠ACB(已知) ∴DE∥BC (_________) ∴∠2=∠DCF (_________) ∵∠2=∠3(已知) ∴∠3=∠DCF (_________) ∴CD∥FG(_________)