长春三模理科数学答案

长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. B6. C7. D8. C9. B 10. A 11. A 12. D. 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】C ∵[0,2]B =，∴A B =[0,1]，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】A∵1z i =+，∴i i i i i+=+-=+++121)1(122，故选A. 3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B∵()⊥-a a b ，∴2()0⋅-=-⋅=a a b a a b ，∴2⋅=a b a ，∵1,==a b∴2cos ,||||||||⋅<>===a b a a b a b a b ，∴向量a 与向量b 的夹角为4π，故选B. 4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A = C. 5. 【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试题解析】B∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a ->0，又{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈， ∴函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是35，故选B. 6. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】C∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足， 而8n =时不满足的条件∴6n ≤，故选C.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D.8. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C. 9. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】B )2,21(),22,2(-B A ，∵),1(m M -，且0=⋅MB MA ，∴01=+m m 22-22，解得2m =，故选B. 10. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】A (i)在[0,1]上，四个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足； 对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)]1ln()1[ln(]1)ln[()]()([)(212212121+++-++=+-+22x x x x x f x f x x f112ln )1)(1(1)(ln )]1)(1ln[(]1)ln[(212212122212122121221++++++=++++=++-++=2222222x x x x x x x x x x x x x x x x而12120,0,1x x x x ≥≥∴≥+≥∴41≤21x x ，∴212121x x x x x x 24122≤≤，∴1222≥++++++11221221212221x x x x x x x x ，∴0222≥++++++112ln 21221212221x x x x x x x x ，满足； 对于④，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x x x x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选A.11. 【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求.【试题解析】A设),(00x x P， 又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点)0,1(-F0=01x =， ∴(1,1)P ，因此152,22-==a c ，故双曲线的离心率是215+，故选A ； 12. 【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.【试题解析】D 因为)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，再由,4)1(22ax e x ≥+-可有x e a x 212-+≤，令x e x g x 21)(-+=，则22(1)1()x e x g x x---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是,12≤a 即21≤a ，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π14. 52-15. (,1][3,)-∞+∞16. 3a-简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π==+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能.【试题解析】∵61()2x x -的通项为k k k k k k k x x x T C C 2--+-=-=66661)21()21(，令026=-k ，∴3=k ，故展开式中常数项为52-；15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想. 【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞.16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D 为BC 中点，且BC BC BC ⊥⊥⊥MD SD AD ,,，故βα=∠=∠MDA SDA ,.设P ABC 平面SM = ，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD 上，a ==AB ，2R SM∴AD a PA PD ===，，，因此 222tan tan tan()1tan tan 1SP MP PD SM PD SM PD PD SP MP PD SP MP PD PA PD PDαβαβαβ++⋅⋅+====--⋅--⋅2226.123Ra a ⋅==- 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC.(6分) （2）60DAB ∠=，DEDC ∴⊥如图所示，建立坐标系，则 P (0，0，1)，C(0，1，0)，E (2，0，0)，A (2，12-，0)，1(,0)22B∴1(,1)22AP =-，()0,1,0AB =.设平面P AB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴1020y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，则z =，∴平面P AB的一个法向量为3(1,0,n =.∵(0,1,1)PC =-，∴设向量n PC θ与所成角为，∴cos 7n PC n PCθ⋅=== ∴PC 平面P AB .(12分)19. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）X 可能取0，1，2211(0)525P X ==⨯=，31211(1)52522P X ==⨯+⨯=，313(2)5210P X ==⨯=， 所以X 分布列为：6分 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯=8分Y 可能取0，1，2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y 分布列为：10分 数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=.12分20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1）1b =，c e a =， 2,1a b ∴==， ∴椭圆C 方程为2214x y +=.2分（2）法一：椭圆1C :22221x ym n +=，当0y >时，y =故2nx y m '=-∴当00y >时，2000222001x n n n k x x y m m m y n =-=-=-⋅. 4分切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y y m n +=.6分同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=.当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=. 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=.7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 4分化简可得：2222t m k n =+，① 式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m ky n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=.6分当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n +=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=.7分（3）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x x y y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x xy y +=.两切线都过P 点，12121,144p pp p x x x x y y y y ∴+=+=. ∴切点弦AB 所在直线方程为14pp xx yy +=. 9分 1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭22221125=171617161616p p p p x y y x ⎛⎛⎫ ++⋅≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当222216p p p p x y y x =，即226416,55P P x y ==时取等， 54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54.12分21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =.又2(1)(0)2f f e -'=⋅， 所以2'(1)2f e =，所以22()2x f x e x x =+-.4分（2）22()2x f x e x x =-+，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=--()x g x e a '∴=-.5分 ①当0a ≤时，()0g x '>，函数()f x 在R 上单调递增；6分 ②当0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞.8分（3）解：设1()ln ,()ln x ep x x q x e a x x-=-=+-， 21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <.11'()x q x ex -=-，121''()0x q x e x-=+>，∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数， ∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--，设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x e m x e x-=--<，∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴ex 比1x e a -+更靠近ln x .②当x e >时，11|()||()|()()2ln 2ln x x e p x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--，设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x -=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e-<=-<，∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<，∴|()||()|p x q x <，∴ex 比1x e a -+更靠近ln x .综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e a -+更靠近ln x . 12分22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC . 5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.5分 （2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+ 10分24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-.因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+>所以3322a b a b ab +>+；5分（2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ①同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b a b c+≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++ 从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。