2020大庆三模数学(理)参考答案
黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学(理)试卷答案
数学理科参考答案一、选择题 ABACC BDDCA CD13.2 14.1 15. 16,1103217.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， ............................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为，所以112n n n a a q -==； ..................................................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， ........................................................8分所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为02111>+++n n 所以4311<∑=nk kT ............................12分 18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,...........................................................2分又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面 又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面 (4)分（2）方法1：∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E ∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=, (6)分又PA PC ⊥，设2PC =,则3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=223 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，()220,22,0,322BC CP ⎛==-- ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v uuu v u v uu u v ,∴0022x y ⎧=+=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n =u v......................................................................9分同理PCD 面的法向量()2n =u u v， ....................................................................10分1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ....................................................................11分 ∴二面角B PC D --的正弦值734 ....................................................................12分（2）方法2∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E ∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=a 26， PE=a 46，AE=a 423，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0), P(a 43,a 43,a 46)，....................................................................8分)46,4,4(aa a CP --=，=(0,a.0)，=(a,0,0)设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v uuu v u v uu u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440z a y a x a ay ,令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===106z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022CP n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=0464402222z a y a x a ax ，令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===160222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分 (直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）所以71==， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为734 .....................................................................12分19.解（1）设零件经，，C 三道工序加工合格的事件分别记为，，C ，则()PA p =，()23PB =，()34PC =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =. 设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，.............................................2分 所以12p =. .............................................4分（2）X 的可能取值为200，100，50-，...........................................5分()12312002344P X ==⨯⨯=， ()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，....................................................8分 则X 的分布列为. .........................10分 所以1117325()20010050424244E X =⨯+⨯-⨯=. .. .....................12分20.解：（1）当0m =时，()xf x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+------------------------2分 所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分（2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x xe x e x e x h x e e e -+----'=+=+=---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s , 03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分因为0000()0,30, 3.x xs x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以的最大值为2. ----------------------------------12分21.方法一 解（1）由题有2a =，12c e a ==. ∴1c =，.....................................................2分∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=...........................................................................4分（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690my my ++-=...........................................................................................6分 设()12,Mx y ，()22,N x y ，则122634m yy m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF =....................................9分 ∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭.()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞............................11分当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 21.方法二解（1）由题有2a =，12c e a ==. ∴1c =，...................................................2分∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=...........................................................................4分（2）方法1：设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690my my ++-=...........................................................................................6分 设()12,Mx y ，()22,N x y ，则122634m yy m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF =....................................9分 ∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭.()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞.当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN .......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,Mx y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ...........................8分2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x ky ，又x=4，则)3,4(k T -所以kk TF 213+=， ...........................10分 则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF ......................11分综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为1x =......................................12分（2）方法3：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN ...........................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， (8)分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-=...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x ky ，又x=4，则)3,4(k T -kk TF 213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443k k k k k k k k MN TF ++=++=++= 设1,112>=+t t k ，则有61941++=t t MN TF ， 设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t tt f t t t f Θ 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF ...........................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x =......................................12分22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分 因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分（2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分 联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t 所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=.................................................................................10分23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩ (2)分由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题， 所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f 所以1)(max -=a x f ，..................................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ， 即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即的取值范围为[]2,0-......................................10分。
2020年黑龙江省大庆市九年级升学模拟大考卷(三)数学试题(解析)
二○二○年大庆市升学模拟大考卷（三）数学试卷考生注意：1.考试时间120分钟2.全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.有理数64的立方根为（）A. 4B. －4C. ±4D. ±2 【答案】A【解析】【分析】根据立方根的定义，即可求解．【详解】∵34=64，∴64的立方根为4．故选A．【点睛】本题主要考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义，是解题的关键．2.在下列四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图形的特点结合轴对称图形和中心对称图形的概念解答.【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、只是轴对称图形，没有旋转，不符合题意；D、既有轴对称，又有旋转，符合题意；【点睛】此题主要考查图形的旋转以及轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题.3.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ） A. 11.6×107 B. 1.16×107C. 1.16×108D. 1.16×109【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108． 故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. a ＞－4B. bd ＞0C. a b >D. b ＋c ＞0【答案】C 【解析】 【分析】根据a b c d ,,,在数轴上的位置，结合有理数的乘法，加法，绝对值的意义可得答案． 【详解】解：由题意得：54,21,01,4,a b c d ----=＜＜＜＜＜＜所以A 错误，而0,bd ＜ 所以B 错误，,a b ＞ 所以C 正确，0,b c +＜ 所以D 错误，【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法与乘法结果的符号的确定，绝对值的大小，掌握以上知识是解题的关键．5.如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A. ﹣2＜k＜2B. ﹣2＜k＜0C. 0＜k＜4D. 0＜k＜2【答案】D【解析】【详解】解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），∴﹣2k+b=0，∴242y xy kx k=-+⎧⎨=+⎩，解得：42282kxkkyk-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．∵直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，∴42282kkkk-⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得0＜k＜2．故选D．【点睛】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．6.下列命题为真命题的是（）A. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等C. 三角形的外角和为180D. 半径为R R【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角定理、平行线的性质、外角和定理、圆内接正多边形知识逐个分析即可.【详解】解：选项A：根据“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角和”可知，选项A正确；选项B：两直线被第三条直线所截，必须要这两直线平行时，才有同位角相等，选项B错误；选项C：三角形的外角和为360°，选项C错误；选项D：半径为R的圆内接正六边形的边长也为R，故选项D错误.故答案为：A.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉基本的性质和定理．7.疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（）A. 24元和10元B. 25元和10元C. 26元和15元D. 25元和15元【答案】B【解析】【分析】根据平均数和中位数的概念求解即可.【详解】他们捐款金额的平均数为：58+1018+2014+505+1005=2550⨯⨯⨯⨯⨯（元）将捐款金额从小到大排序，第25个和第26个捐款金额即为中位数，10+10=102（元）故选：B.【点睛】此题主要考查统计中的平均数和中位数的理解，熟练掌握，即可解题.8.如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为（）A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°【答案】C【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理用∠DAE表示出∠C，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得关于∠DAE的方程，解方程即可求出答案．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝12（180°﹣∠BAC）＝12（180°﹣20°﹣∠DAE）＝80°﹣12∠DAE，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠DAE＝10°+80°﹣12∠DAE，∴∠DAE＝60°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关知识，用同一个未知数表示各角，建立方程求解．9.如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）A. 800π+1200B. 160π+1700C. 3200π+1200D. 800π+3000【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，故选D．10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A’B’C’，其中点B的运动路径为BB'，则图中阴影部分的面积为（）A. 54π－12B. π－32C.54π－32D.34π－32【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理求出DB’和A’B’，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB’C计算即可．【详解】解：如下图所示，连接DB、DB’,过D作DH⊥A’B’于H，由旋转90°知BD⊥B’D，''2''222=125++=DB C D C D，''''2''2222222+=+=AB AC BC在Rt△ABC中，由等面积法有：AC×BC=AB×A’C，代入数据：2222⨯=解得2，∴B’C=A’B’-A’C=2222=，又∵D是AC的中点，∴DH是△CAA’的中位线，∴DH=12AA’=12×2AC=2， ∴S 阴=S 扇形BDB ′-S △DBC -S △DB’C =''9051136022π⨯-⨯-⨯DB DB B C DH9051112360222π⨯=-⨯⨯- 53=42π-. 故答案为：C.【点睛】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共24分）11.计算：（m 6）2÷m 4＝____________ 【答案】m 8 【解析】 【分析】先求幂的乘方，再进行同底数幂的除法，即可求解． 【详解】（m 6）2÷m 4 =124m m ÷ = m 8．故答案是：m 8．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，熟掌握上述运算法则，是解题的关键． 12.分解因式：（2m －n ）n －m 2＋1＝___________ 【答案】(1＋m －n)(1－m ＋n) 【解析】 【分析】先将(2m-n)与n 相乘，然后再用公式法进行因式分解.【详解】解：原式=2mn-n²-m²+1=1-(m²-2mn+n²)=1²-(m-n)²=(1+m-n)(1-m+n). 故答案为：(1+m-n)(1-m+n).【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等方法是解决此类题的关键.13.小丽生日那天要照全家福，她和爸爸、妈妈随意排成一排，则小丽站在中间的概率是________．【答案】1 3【解析】【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小丽恰好排在中间的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中小丽站在中间的结果数为，所以小丽站在中间的概率21 63 ==．故答案为：13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14.如图，在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=13DM．当AM⊥BM时，则BC的长为____．【答案】8 【解析】【分析】根据直角三角形性质（斜边上的中线等于斜边的一半），求出DM=12AB=3，即可得到ME=1，根据题意求出DE=DM+ME=4，根据三角形中位线定理可得BC=2DE=8．【详解】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=12AB=3，∵ME=13 DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．点睛：本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有______________________个○．【答案】6061【解析】【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2020个图形中〇的个数．【详解】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2020个图形中共有：1+3×2020=1+6060=6061个〇，故答案为：6061．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．16.如图，△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB的面积为169，则（a－b）2的值为____________【答案】49 【解析】 【分析】根据△ACB 的面积为30发求出ab=60，根据正方形ADEB 的面积为169求出22169a b +=，利用完全平方公式展开括号代入计算即可得到答案. 【详解】∵△ACB 的面积为30，∠C ＝90°， ∴1302AC BC ⋅=, ∵BC ＝a ，AC ＝b ， ∴1302ab =, ∴ab=60,∵∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ， ∴22222AB AC BC a b =+=+, ∵正方形ADEB 的面积为169， ∴22169a b +=,∴222()216926049a b a ab b -=-+=-⨯=, 故答案为：49.【点睛】此题考查三角形的面积公式，正方形的面积公式，完全平方公式，利用图形的面积求出ab=60，22169a b +=，利用完全平方公式计算是解题的关键.17.已知关于x 的不等式组0521x a x -≥⎧⎨-≥⎩只有四个整数解，则a 的取值范围是_______________ 【答案】－2＜a ≤－1 【解析】 【分析】首先解不等式组，求出解集，再根据整数解的个数，即可得到a 的取值范围．【详解】解：解不等式0x a -≥，其解集为：x a ≥，解不等式521x -≥，其解集为：2x ≤，∴不等式组的解集为：2a x ≤≤.又不等式组只有4个整数解，则其整数解为：2,1,0,-1，∴a 的取值范围是：21a -<≤-.故答案为：21a -<≤-.【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x 的取值范围，得出x 的整数解，然后代入不等式组中即可解出a 的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了．18.如图，过点F (0，P 2)的直线与抛物线y ＝12P x 2（P ＞0）交于A ，B 两点，与x 轴和直线y ＝－P 2分别交于M ，N 两点，F 为AN 的中点．已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线y ＝－P 2的距离相等，若AB 的长为163，则p 的值为__________【答案】2【解析】【分析】如下图所示，FK 是△ANQ 中位线，由此求出FK ，进而求出AQ ，再由AF=AQ 后求出AN 和BP 的长，最后由△NBP ∽△NAQ 即可求解.【详解】解：过A 、B 两点分别作AQ ⊥NQ 于Q 点，BP ⊥NQ 与P 点，NQ 交y 轴于K 点，NQ 所在直线为y ＝－p 2，如下图所示：∵F 是AN 的中点，∴FK 是△ANQ 的中位线，∴AQ=2FK=2p ，AN=2AQ=4p ，由题意知：AF=AQ=2P ，BP=BF=AB-AF=163-2p ， NB=AN-AB=4p-163， 由△NBP ∽△NAQ 有：=NB BP NA AQ，代入数据： 1616423342--=p p p p， 解得：2p =.故答案为：2.【点睛】本题考查了二次函数的图形和性质，相似三角形的的判定和性质，中位线的性质等，本题的关键是要理解“抛物线上的点到点F 的距离与到直线y ＝－2p 的距离相等”这句话，进而得到AQ=AF ，BF=BP 这个关键条件. 三、解答题（共66分）19.()1031312020tan 6084π-⎛⎫+---︒ ⎪⎝⎭． 【答案】－2【解析】【分析】先求绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数以及立方根，再进行加减运算，即可求解．1＋1－42＝－2．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数以及立方根，是解题的关键．20.已知ab＝1，b＝2－a，求代数式11a b+的值．【答案】2【解析】【分析】先将11a b+化简，然后将ab＝1，b＝2－a代入化简后的式子中可以求得所求式子的值．【详解】解：11a b+＝a bab+.∵ab＝1，b＝2－a，∴ab＝1，a+b＝2.∴原式=2 1＝2.【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21.新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？【答案】至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．【解析】【分析】设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出x的值，再利用两厂工作的时间=总生产任务的数量÷两厂日生产量之和，即可求出结论．【详解】解：设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，依题意，得：606051.5x x-=，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝6，∴100÷（4+6）＝10（天）．答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.图①是某小区入口的实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的点O处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安）全距离，此时货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由（参考数据：3 1.73【答案】（1）3.9米（2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）过点M作MH⊥BC于点H，过点O作OG⊥MH于点G，根据三角函数求出MG的长，从而得出MH 的长；（2）在BC上取点Q，使BQ＝0.7，过点Q作QP⊥BC，交MO于点P，交GO于点N．根据三角函数求出PQ的值和3.5比较即可得出答案．【详解】解：（1）如图，过点M作MH⊥BC于点H，过点O作OG⊥MH于点G则GH＝OB＝3.3，∠GMO＝∠AOM＝60°∴MG＝OM·cos60°＝1.2×12＝0.6∴MH＝MG＋GH＝0.6＋3.3＝3.9故点M到地面的距离为3.9米（2）能安全通过．当车与DC的距离为0.65米时，车与OB的距离为3.9－2.55－0.65＝0.7（米）如图，在BC上取点Q，使BQ＝0.7，过点Q作QP⊥BC，交MO于点P，交GO于点N．则NO＝QB＝0.7，NQ＝OB＝3.3，∠PON＝30°∴PN＝NO·tan30°＝0.7×30.40∴PQ＝PN＋NQ＝3.70＞3.5故该货车能够安全通过．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键．23.某校为了解在校学生对“中学生安全常识”的了解情况，随机抽取了七、八、九年级的部分在校学生（每人填写一份调查问卷）进行了问卷调查，并将每份调查问卷按成绩由高到低依次划分为A，B，C，D四个等级，调查结果的部分数据绘制成如图所示的统计图表．调查问卷成绩等级的频率分布表等级频数频率A 48B 0.45CD 6 0.05各年级人数占全校学生总数的扇形统计图请根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）该校本次抽样调查共抽取了多少人？（2）本次抽样调查中，C等级的有多少人？A等级与B等级的人数和占被调查人数的百分比是多少？（3）成绩在B等级以上（含B等级）的学生可以视为“有安全意识且有自我保护能力的学生”．若该校九年级共有540人，请你估计全校学生中，“有安全意识且有自我保护能力的学生”约为多少人．【答案】（1）120人（2）12人；85%（3）1020人【解析】【分析】（1）根据D等级的频数除以频率即可求出总数；（2）首先用（1）中的总人数乘以B等级的频率，得到B等级的人数，再用总人数减去A,B,D三个等级的人数即得到C等级的人数，A,B等级的人数和除以总人数即可求出A等级与B等级的人数和占被调查人数的百分比；（3）首先求出有安全意识且有自我保护能力的学生在样本中的所占比例，再乘以540即可.【详解】解：（1）该校本次抽样调查共抽取6÷0.05＝120（人）；（2）B等级的人数为120×0.45＝54（人），C等级的人数为120－48－54－6＝12（人）.A等级与B等级的人数和占被调查人数的百分比为4854120+×100%＝85%.（3）540125%30%--×85%＝1020（人）,答：估计全校学生中，“有安全意识且有自我保护能力的学生”约为1020人.【点睛】本题主要考查了频率分布表，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从统计图表中得到准确的信息．24.如图，已知反比例函数的图象经过点A (－4，－3)，B (2m ，y 1)，C (6m ，y 2)，其中m ＞0．（1）当y 1－y 2＝4时，求m 的值；（2）过点B ，C 分别作x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点D ，点P 在x 轴上，若△PBD 的面积是8，请用m 表示出点P 的坐标．【答案】（1）1；（2）(6m ，0)或(－2m ，0)【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后可用含m 的代数式分别表示出y 1与y 2，进而可得关于m 的方程，解方程即得结果；（2）先用含m 的代数式表示BD ，而BD 边上的高可表示为2p x m -，根据题意可得关于P x 关于m 的方程，解方程即可求出P x ，进而可得结果．【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为y ＝k x ，将点A (－4，－3)代入， 得：k ＝（－4）×（－3）＝12，故反比例函数的解析式为y ＝12x， ∵点B (2m ，y 1)，C (6m ，y 2)在反比例函数y ＝12x 的图象上， ∴y 1＝6m ， y 2＝2m， 又y 1－y 2＝4，∴6m －24m =， ∴m ＝1，经检验m ＝1是上述方程的解，∴m ＝1；（2）由题意，得BD ＝y 1－y 2＝6m －24m m=，在△PBD 中，BD 边上的高为2p x m -，∵S △PBD ＝12BD ·2p x m -＝8， ∴2p x m -＝4m ，∴1P x ＝6m ，2P x ＝－2m ，即点P 的坐标为(6m ，0)或(－2m ，0)．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 25.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，P 是边AB 上一点，把△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F ．（1）求证BP ＝BF ；（2）当AD ＝25，且AE ＜DE 时，求cos ∠PCB 的值．【答案】（1）证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC ，进而判断出∠GPF=∠PFB 即可得出结论； （2）判断出△ABE ∽△DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出AE 、DE 的长，再判断出△ECF ∽△GCP ，进而求出PC ，即可得出结论.【详解】解：（1）证明：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°,∵△BPC沿PC折叠得到△GPC,∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC.∵BE⊥CG,∴BE∥PG.∴∠GPF＝∠PFB.∴∠BPF＝∠BFP.∴BP＝BE.（2）解：∵∠BEC＝90°,∴∠AEB＋∠CED＝90°,∴∠AEB＋∠ABE＝90°,∴∠CED＝∠ABE.又∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC.∴AB AE DE DC＝.设AE＝x，则DE＝25－x.∴122512xx-＝,解得x1＝9，x2＝16.∵AE＜DE,∴AE＝9，DE＝16.∵在Rt△ABE中，BE＝15.在Rt△CDE中，CE20. ∵BE∥PG,∴△ECF∽△GCP,∴EF CE GP CG＝.设BP＝y，则BF＝PG＝y.∴152025yy-=.解得y＝253，即BP＝253.在Rt △PBC 中，PC ＝22BC BP +＝25103. ∴cos ∠PCB ＝310. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用利用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，点D 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动在点D 运动的过程中，以DB 为一边在右侧作矩形DBFG ，点F 在BC 边上，且BF ∶DB ＝4∶3，连接AG ，CG ，设运动时间为t 秒，矩形DBFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）若AG ＝CG ，求t 的值；（2）求S 与t 的函数关系式．【答案】（1）1；（2）S ＝12t 2（0＜t≤1），S ＝－12t 2＋48t －24（1＜t≤2）【解析】【分析】（1）由题意得到BD=3t ，AD=6-3t ，DG=4t ，CF=8-4t ，FG=BD=3t ，当AG=CG 时，由勾股定理得出AD 2+DG 2=FG 2+FC 2，从而列出方程，解得t=1即可；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，S=矩形DEFG 的面积=3t×4t=12t 2； ②当1＜t≤2时，证明△ADH ∽△ABC ，得出AD DH AB BC=，解得DH=8-4t ，同理得FM=6-3t ，11682(63)(84)22S t t =⨯⨯-⨯⨯--，整理即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形DBFG 是矩形∴DG ＝BF ，GF ＝BD ，∠BDG ＝∠BFG ＝90°∴∠ADG ＝90°由题意，得BD ＝3t∴AD ＝6－3t ，DG ＝4t ，CF ＝8－4t ，FG ＝BD ＝3t由勾股定理，得AG 2＝AD 2＋DG 2，CG 2＝FG 2＋FC 2∵AG ＝CG∴AD 2＋DG 2 ＝ FG 2＋FC 2，即（6－3t ）2＋（4t ）2＝（3t ）2＋（8－4t ）2解得t ＝1 ；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，如图1所示：S=矩形DEFG 的面积=3t×4t=12t 2；即S=12t 2（0＜t≤1）；②当1＜t≤2时，如图2所示：∵∠ADH=∠B=90°，∠A=∠A ，∴△ADH ∽△ABC ， ∴AD DH AB BC =，即6368t DH -=， 解得DH ＝8－4t同理得FM ＝6－3t211682(63)(84)12482422S t t t t ∴=⨯⨯-⨯⨯--=-+- 即S ＝－12t 2＋48t －24（1＜t≤2）综上所述，S 与t 的函数关系式为22120112482412S t t S t t t ⎧≤⎨+≤⎩＝（＜）＝－－（＜） 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积与矩形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=12，求AEAC的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【答案】（1）证明见解析（2）12（3）1007【解析】【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得AE CEAC CD== tanD＝12；（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得BF BO OFBC BA AC==，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º∴OC=OF∴AB是⊙O的切线（2）连接CE∵AO是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=∠CAD∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧∴∠ACE=∠CDE∴△ACE∽△ADC∴AE CEAC CD== tanD＝12（3）先△ACO中，设AE=x,由勾股定理得(x ＋3)²=(2x) ²＋3²，解得x=2, ∵∠BFO=90°=∠ACO易证Rt △B0F ∽Rt △BAC 得BF BO OF BC BA AC ==， 设BO=y BF=z3434y z z y +=+= 即4z=9＋3y ，4y=12＋3z解得z=277y=257∴AB=277＋4=1007考点：圆的综合题．28.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －a ＋b （a ，b 为常数）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 直线BC 的解析式为y ＝－45x ＋4，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，M 是直线BC 上方抛物线对称轴上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式；（2）是否存在点M ，使∠BMC ＝90°？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为抛物线对称轴上一点，在坐标平面内是否存在点N ，使以B ，C ，Q ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；职若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝45-x 2＋165x ＋4；（2）存在，(2，210)；（3）存在N 1(7，52)，N 2(－3，14)，N 3(3,210-，N 4(3,210+．【解析】【分析】（1）先求解,B C 的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式；（2）如图，过点M 作MH ⊥y 轴于点H ，点M 的横坐标为2，设()2,,M m 再证明Rt △CMH ∽Rt △BMD ，即可得到答案；（3）分情况讨论：以BC 为边时，以B ，C ，Q ，N 为顶点的四边形是矩形，此时有两种情况，以BC 为对角线，此时也有两种情况．结合矩形性质与平移的知识可得答案．【详解】解：（1）y ＝－45x ＋4中 令x ＝0，则y ＝4；令y ＝0则x ＝5∴点B(5，0)，C(0，4)把点B(5，0)，C(0，4)代入y ＝ax 2＋bx －a ＋b ，得 25504a b a b a b +-+=⎧⎨-+=⎩解得：45165a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y ＝45-x 2＋165x ＋4 ． （2）存在．如图，过点M 作MH ⊥y 轴于点H抛物线的对称轴是：2,x =∴点M 的横坐标为2，D(2，0)设点M(2，m)∵∠BMC ＝ 90°，∴∠DMC ＋∠DMB ＝90°又∠DMC ＋∠CMH ＝90°，∴∠CMH ＝∠BMD ，90,MHC MDB ∠=∠=︒∴Rt △CMH ∽Rt △BMD ∴MH MD HC DB ＝ ∵点D(2，0)，B(5，0) ∴BD ＝3即m 2－4m －6＝0解得12210,210m m =+=-（舍）∴当m ＝2＋10时，∠BMC ＝90°此时点M 的坐标为(2，2＋10)（3）存在N 1(7，52)，N 2(－3，14)，N 3(310＋2)，N 4(3，210) 理由如下：如图，以BC 为边时，以B ，C ，Q ，N 为顶点的四边形是矩形，此时有两种情况， 当,Q N 在BC 上方时，记为11,,Q N直线BC 的解析式为y ＝－45x ＋4，四边形11BCQ N 为矩形，15,4CQ k ∴= 设1CQ 为：5,4y x n =+ 把()0,4C 代入得：4,n =∴ 1CQ 为：54,4y x =+ 12,Q x =15134,22Q y ∴=+= 1132,,2Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭1111//.,CQ BN CQ BN =点B(5，0)，C(0，4)，由平移的性质可得：157,.2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 同理可得：2BQ 为：525,44y x =- 2152,,4Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 由平移的性质可得：213,,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭如图，以BC 为对角线，,Q N 分别记为34,34,,,,Q Q N N ，设()()33332,,,,Q a N x y点B(5，0)，C(0，4)，由中点坐标公式可得： 332522422x a y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得：3334x y a=⎧⎨=-⎩ ()33,4,N a ∴-由矩形的性质与勾股定理得：()()222222334541324,BC Q N a a =+===-+-- ()24240,a ∴-=解得：210,210a a =+=-, ()()343,210,3,210.N N ∴-+【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，一次函数的解析式，三角形的相似与判定，矩形的判定与性质，平移的坐标规律及平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．。
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|x <−2或x >1}，则A ∪B =( )A. {x|x <−2或x >1}B. {x|x <−2或x >−1}C. {x|−2<x <2}D. {x|1<x <2} 2. 设a 是实数，且2a 1+i +1+i 是实数，则a =( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. −1 3. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55 B. 3√55 C. √2 D. 2√1054. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a 满足f(2 log 3a )>−f(−√2)，则a 的取值范围是( )A. (√3,+∞)B. (1,√3)C. (0,√3)D. (−∞,√3)5. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案组成的情形是：( )A. 其中包括了1004×2008个☆B. 其中包括了1003×2008+1个☆C. 其中包括了1003×2008+1个☆D. 其中包括了1003×2008个☆6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 1=4，则公差d 等于( )A. −2B. 1C. 53D. 37. 在△ABC 中，点P 是BC 上的点BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. λ=2，μ=1 B. λ=1，μ=2 C. λ=13,μ=23 D. λ=23,μ=138.执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A. 45B. 55C. 66D. 789.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2BC，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. 15B. √1010C. 35D. 3√101010.将函数y=sin(3x+π6)的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为()A. y=sin(32x+2π3) B. y=sin(6x+π3)C. y=sin6xD. y=sin(6x+2π3)11.若(1+2x)2(1−x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a2+a4+a6=()A. 32B. 16C. 15D. 012.已知函数f(x)={1−x 2,x≤1lnx,x>1，若方程f(x)=mx−12恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. (12,√e) B. (2,e) C. (√e,2) D. (12,√e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足{2x−y≤3,x+6≥3y,x+2y+6≥0,则yx−4的取值范围为________．14.已知函数f(x)=sin2x+sin2x−cos2x，则f(π12)=________________．15.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n−1，则a n=___________．16.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2−2ay−2=0相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则圆C的面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，△PAD为等边三角形，E为棱PC的中点．(1)证明：PB⊥平面ADE；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角A −DE −B 的余弦值．19. 已知点P(1,m)是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y =k(x −1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB|=8，求k 的值．20. 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.设l为函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线．x(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)证明：x>0时，x(e x−2)>lnx．22.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为{x=√6sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，y=√6cosα)=2.以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;(2)直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m的倾斜角．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|x−4|．(1)解不等式f(x)≤10；(2)若关于x的不等式f(x)+|x−4|<a2−8a的解集不是空集，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x|−1<x<2}，B={x|x<−2或x>1}，则A∪B={x|x<−2或x>−1}，故选：B．由集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简2a1+i+1+i，再结合已知条件计算得答案．解：∵2a1+i +1+i=2a(1−i)(1+i)(1−i)+1+i=a+1+(1−a)i是实数，∴1−a=0，解得a=1．故选：B．3.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a，b的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x−1)2+y2= a2相交于A，B两点，|AB|=b，求解双曲线的离心率即可．解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)，可得a2+b2=1，∵两条渐近线和圆(x−1)2+y2=a2均关于x轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay+bx=0与圆(x−1)2+y2=a2相交于A，B两点，|AB|=b，∴圆心到直线的距离为d=√a2+b2=bc=b，圆的半径为a，。
2020届黑龙江省大庆市高三第三次高考模拟考试数学(理)试题参考答案
2020大庆三模数学理科参考答案一、选择题 ABACC BDDCA CD 13.2 14.115. 16,1103217.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， ............................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==； ..................................................................6分（Ⅰ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， ........................................................8分所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为02111>+++n n 所以4311<∑=nk kT ............................12分18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，Ⅰ四边形ABCD 为正方形，ⅠAC BD ⊥ ⅠPB PD =，OB OD =,ⅠBD OP ⊥,...........................................................2分 又ⅠOP AC O ⋂=,ⅠBD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,ⅠPAC ABCD ⊥面面...........................................................4分（2）方法1：ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,...............................................................6分又PA PC ⊥，设2PC =,则3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=223 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，()220,22,0,3BC CP ⎛== ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,Ⅰ220223022x y z ⎧=+=⎩， 1,0,6z y x ===令则Ⅰ)16,0,1n =u v......................................................................9分同理PCD 面的法向量()26,1n =u u v， ....................................................................10分1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ....................................................................11分Ⅰ二面角B PC D --的正弦值734 ....................................................................12分 （2）方法2ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=a 26， PE=a 46，AE=a 423，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz - 所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),P(a 43,a 43,a 46)，....................................................................8分)46,4,4(a a a --=，=BC (0,a.0)，DC =(a,0,0)设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v uv u u u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440z a y a x a ay , 令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===106z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=0464402222z a y a x a ax ，令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===160222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分(直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）所以71==， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为734 .....................................................................12分 19.解（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()23P B =，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =.设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，.............................................2分所以12p =. .............................................4分（2）X 的可能取值为200，100，50-，...........................................5分()12312002344P X ==⨯⨯=，()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，....................................................8分则X 的分布列为. .........................10分 所以1117325()20010050424244E X =⨯+⨯-⨯=. .. .....................12分 20.解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分 （2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+----'=+=+=---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分 因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2. ----------------------------------12分 21.方法一 解（1）由题有2a =，12c e a ==. Ⅰ1c =，.....................................................2分 Ⅰ2223b a c =-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y += ...........................................................................4分（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=.即()2234690m y my ++-=...........................................................................................6分 设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -ⅠTF ==分Ⅰ2||11||44TFMN⎛⎫==⎝......................................................10分设t=.显然1t≥. 构造()()||1131||4TFf t t tMN t⎛⎫==+≥⎪⎝⎭.()211304f tt⎛⎫'=->⎪⎝⎭在[)1,t∈+∞上恒成立,所以()y f t=在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FTtMN t⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当1t=，即0m=时取“=”所以||||TFMN的取值范围是[1,)+∞............................11分当||||TFMN取得最小值1时，0m=, 此时直线l的方程为1x=......................................12分（注：1.如果按函数1y xx=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）21.方法二解（1）由题有2a=，12cea==. Ⅰ1c=，...................................................2分Ⅰ2223b a c=-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y+=...........................................................................4分（2）方法1：设l：1x my=+，将其与曲线C的方程联立，得()2231412my y++=.即()2234690m y my++-=...........................................................................................6分设()12,M x y，()22,N x y，则122634my ym+=-+，122934y ym=-+2222226912(1)14343434m m MN mm m m --+⎛⎫=+-⨯= ⎪+++⎝⎭............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -Ⅰ229931TF m m =+=+分Ⅰ2222||1131||4411TF m MN m m ⎛⎫==+ ++⎝......................................................10分 设21t m =+.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭. ()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞. 当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为 1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN .......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ...........................8分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - 所以k k TF 213+=， ...........................10分则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF ......................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x = ......................................12分 （2）方法3：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN ...........................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，...........................8分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-=...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - kk TF 213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443k k k k k k k k MN TF ++=++=++=设1,112>=+t t k，则有61941++=t t MN TF ， 设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t tt f t t t f Θ 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF ...........................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x =......................................12分 22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分 （2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t 所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=.................................................................................10分 23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩....................2分 由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f 所以1)(max -=a x f ，..................................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ，即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即a 的取值范围为[]2,0-......................................10分。
黑龙江省大庆市2020届高三第三次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
大庆市高三年级第三次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A 【解析】第一次执行程序后，211,2s k =-==，第二次执行程序后，0,3s k ==，第三次执行程序后，-3,4s k ==，第四次次执行程序后，6410,5s k =--=-=，55< 不成立，跳出循环，输出10s =-，故选A.4.已知向量()1,3a =，()0,3a b +=，设a 与b 的夹角为θ，则θ=（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出向量b ，再利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设(),b x y =，由()1,3a =，()0,3a b +=，可得()(()0,31,0b =-=-， 设a 与b 的夹角为θ，且[]0,θπ∈ 则21cos 21a b a bθ⋅===-+，所以θ=23π.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.a cb >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==,20192019log log 201910b <==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 195【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为()0.0120.0180.030100.6++⨯=所以低于100分的人数为5000.6300⨯= 则不低于100分的人数为500300200-= 所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48，∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A. 462- B. 462 C. 792 D. 792-【答案】D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为a ，求出平面1ACD 的法向量n ，令|cos n <，11|3CC >=求出a的值．【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设1DD a =，则(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0D ，0，)a ， 则(2AC =-，2，0)，1(2AD =-，0，)a ，1(0CC =，0，)a ，设平面1ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴22020x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得(1n =，1，2)a ，故cos n <，11212||||4242n CC CC n CC a a a>===+⨯+．直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13， ∴21324a =+，解得：4a =． 故选C ．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题． 10.已知函数()cos 333a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则函数()y g x =的单调递增区间是（ ）A. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B. 7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C. [,]()36k k k Z ππππ-+∈D. 2[,]()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】A 【解析】【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 2222a x x x x f x ⎛⎫⎫=++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 13cos sin 22a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=， 即1313cos sin cos sin 2222a x a x a x x ⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0+=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()2cos 2()2cos 2126g x x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 函数2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的减区间即为函数()g x 的增区间. 222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈222,66k x k k Z πππππ-≤≤+-∈152,12k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()g x 的增区间为：12251，k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c +=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__________．【答案】2 【解析】试题分析：()2222670316x y x x y +--=∴-+=，圆心为3,0，半径为4，抛物线准线为2p x =-，由圆与直线相切可知122pp =∴= 考点：直线和抛物线的性质14.已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为______.【答案】1 【解析】 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可. 【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示2z x y =+可变为2y x z =-+由01x y x +=⎧⎨=⎩，解得(1,1)A - 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，z 取最小值 即()min 2111z =⨯+-= 故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】3π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为____________.【答案】11032【解析】 【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}nn ab +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和.【详解】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=， 则当[)()1,x n n n N*∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-， 当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+， 因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-. 故答案为：11032. 【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:123111134n T T T T ++++< .【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据n S 与n a 的关系，可得12n n a a +=，从而判断{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，利用等差数列的求和公式可得()2n T n n =+，再利用裂项求和法可求出11nk kT =∑，令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，根据11012n n +>++，利用不等式的性质得到结果. 【详解】（1）因为12n n S a +=-，① 当2n ≥时，12n n S a -=-，② 由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=， 当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==；（2）由（1）得，22log 121n n b a n =+=+， 所以()2n T n n =+，所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑. 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为11012n n +>++所以1134nk kT =<∑.【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD ABCD ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=, 又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD ===== 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()0,0,0,,,0,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()20,22,0,BC CP ⎛==- ⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴22022x y ⎧=+=⎩， 1,0,z y x ===令则()16,0,1n =同理PCD 面的法向量()20,n =，1212121cos ,7n n n n n n ⋅== ∴求二面角B PC D --的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．19.某工厂加工某种零件需要经过A ，B ，C 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为p ，23，34.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为1124. （1）求p ；（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为X 元，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，3254EX =【解析】 【分析】（1）二级品说明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由独立事件的概率公式可计算出p ； （2）X 的可能取值为200，100，50-，计算出概率后得分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()23P B =，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =.设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，所以12p =.（2）X 的可能取值为200，100，50-，()12312002344P X ==⨯⨯=，()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，则X 的分布列为所以111732520010050424244EX =⨯+⨯-⨯=. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与数学期望．考查学生的运算求解能力．20.设函数()()()xf x m x e m Z =-∈.（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值. （参考数值：322.7183, 4.4817e e ≈≈，53 5.2945e ≈,27.3891e ≈ ）【答案】（1）20ex y e +-=；（2）2 【解析】 【分析】(1)直接利用切线方程求解即可(2)利用参变分离法，不等式转变为证明4+<+xx m x e （0x >）恒成立， 设4()x x h x x e+=+，然后，利用导数去讨论出min ()h x 即可求出整数m 的最大值. 【详解】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x xf x e xe x e '=--=-+所以(1)2k f e '==-，因为(1)e f =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= （2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e（0x >）恒成立 设4()x x h x x e +=+，则2(4)33()11x x x x x xe x e x e x h x e e e-+----'=+=+= 设()3,x s x e x =--则()1xs x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3239() 4.4817 4.5022s e =-≈-<,53555()3 5.294530333s e =--≈-->,所以存在035(,)23x ∈使得0()0s x =，当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即()0h x '>.所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e+==+. 因为00000()0,30, 3.x xs x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,035(,)23x ∈- 设1()13g x x x =+++，当35(,)23x ∈时，21()10(3)g x x =-'>+，所以()g x 在35(,)23上单调递增.则35()()()23g g x g <<，即491212()31842g x <<<<.所以02()3h x << 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2.【点睛】本题考查切线方程的计算，以及如何利用导数解决不等式恒成立问题，本题的难点在于如何求出导函数隐零点的范围，属于难题21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与直线4x =相交于点T ，求TF MN 的取值范围及TFMN取得最小值时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）TF MN 的取值范围是[)1,+∞，TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为1x =. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出2a =，再由离心率可得出c 的值，并求出2b 的值，由此可得出所求椭圆的方程；（2）由题意可知，直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出MN ，并求出点T 的坐标，进而求得TF ，由此可得出TF MN的表达式，利用导数求出TF MN的取值范围，以及TF MN取最小值时对应的直线方程.【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=. 因此，椭圆方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，则直线l 的垂线与直线4x =平行，不合乎题意. 设:1l x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690m y my ++-=. 设()11,M x y 、()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134mMNm+==+，将直线():1FT y m x=--与4x=联立，得()4,3T m-，TF∴==21144TFMN⎛⎫∴==⎝.设1t=≥，构造()()11314TFf t t tMN t⎛⎫==+≥⎪⎝⎭.()211304f tt⎛⎫-⎝'=>⎪⎭在[)1,t∈+∞上恒成立，所以()y f t=在[)1,+∞上单调递增.所以11314TFtMN t⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当1t=，即0m=时等号成立，所以TFMN的取值范围是[)1,+∞，当TFMN取得最小值1时，0m=, 此时直线l的方程为1x=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中取值范围问题的求解，考查了韦达定理、弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23πρθ+=. （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,A B两点，若||||PA PB+=m的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x -= (2)6π或56π. 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x -=. （2）点P 的坐标为(4,0)，设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （2）[]2,0-【解析】【分析】（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -，得12x . 故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题， 所以()max |21|f x a +.因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+， 即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2251162x y += D. 2212516x y += 【答案】A【解析】由题意知,2a=8,∴a=4,又34e =,∴c=3,则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆方程为221167x y +=； 故答案为221167x y +=． 故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
【精准解析】黑龙江省大庆市2020届高三第三次模拟考试数学(理科)试题
大庆市高三年级第三次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A 【解析】第一次执行程序后，211,2s k =-==，第二次执行程序后，0,3s k ==，第三次执行程序后，-3,4s k ==，第四次次执行程序后，6410,5s k =--=-=，55< 不成立，跳出循环，输出10s =-，故选A.4.已知向量()1,3a =，()0,3a b +=，设a 与b 的夹角为θ，则θ=（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出向量b ，再利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设(),b x y =，由()1,3a =，()0,3a b +=，可得()(()0,31,0b =-=-， 设a 与b 的夹角为θ，且[]0,θπ∈ 则21cos 21a b a bθ⋅===-+，所以θ=23π.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.a cb >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==,20192019log log 201910b <==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 195【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为()0.0120.0180.030100.6++⨯=所以低于100分的人数为5000.6300⨯= 则不低于100分的人数为500300200-= 所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48，∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A. 462- B. 462 C. 792 D. 792-【答案】D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为a，求出平面1ACD的法向量n，令|cos n<，11|3CC>=求出a 的值．【详解】以D为原点，以DA，DC，1DD为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设1DD a=，则(2A，0，0)，(0C，2，0)，1(0D，0，)a，则(2AC=-，2，0)，1(2AD=-，0，)a，1(0CC=，0，)a，设平面1ACD的法向量为(n x=，y，)z，则1·0·0n ACn AD⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22020x yx az-+=⎧⎨-+=⎩，令1x=可得(1n=，1，2)a，故cos n<，11212||||4242n CCCCn CC aaa>===+⨯+．直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13，∴21324a=+，解得：4a=．故选C．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数()cos333a x xf xππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x=向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x=，则函数()y g x=的单调递增区间是（）A. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B. 7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C. [,]()36k k k Z ππππ-+∈D. 2[,]()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】A 【解析】【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 2222a x x x x f x ⎛⎫⎫=++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 13cos sin 22a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=， 即1313cos sin cos sin 2222a x a x a x x ⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0+=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()2cos 2()2cos 2126g x x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 函数2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的减区间即为函数()g x 的增区间. 222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈222,66k x k k Z πππππ-≤≤+-∈152,12k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()g x 的增区间为：12251，k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c +=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__________．【答案】2 【解析】试题分析：()2222670316x y x x y +--=∴-+=，圆心为3,0，半径为4，抛物线准线为2p x =-，由圆与直线相切可知122pp =∴= 考点：直线和抛物线的性质14.已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为______.【答案】1 【解析】 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可. 【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示2z x y =+可变为2y x z =-+由01x y x +=⎧⎨=⎩，解得(1,1)A - 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，z 取最小值 即()min 2111z =⨯+-= 故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】3π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为____________.【答案】11032【解析】 【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}nn ab +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和.【详解】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=， 则当[)()1,x n n n N*∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-， 当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+， 因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-. 故答案为：11032. 【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:123111134n T T T T ++++< .【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据n S 与n a 的关系，可得12n n a a +=，从而判断{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，利用等差数列的求和公式可得()2n T n n =+，再利用裂项求和法可求出11nk kT =∑，令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，根据11012n n +>++，利用不等式的性质得到结果. 【详解】（1）因为12n n S a +=-，① 当2n ≥时，12n n S a -=-，② 由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=， 当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==；（2）由（1）得，22log 121n n b a n =+=+， 所以()2n T n n =+，所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑. 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为11012n n +>++所以1134nk kT =<∑.【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD ABCD ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=, 又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD ===== 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()0,0,0,,,0,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()20,22,0,BC CP ⎛==- ⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴22022x y ⎧=+=⎩， 1,0,z y x ===令则()16,0,1n =同理PCD 面的法向量()20,n =，1212121cos ,7n n n n n n ⋅== ∴求二面角B PC D --的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．19.某工厂加工某种零件需要经过A ，B ，C 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为p ，23，34.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为1124. （1）求p ；（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为X 元，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，3254EX =【解析】 【分析】（1）二级品说明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由独立事件的概率公式可计算出p ； （2）X 的可能取值为200，100，50-，计算出概率后得分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()23P B =，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =.设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，所以12p =.（2）X 的可能取值为200，100，50-，()12312002344P X ==⨯⨯=，()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，则X 的分布列为所以111732520010050424244EX =⨯+⨯-⨯=. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与数学期望．考查学生的运算求解能力．20.设函数()()()xf x m x e m Z =-∈.（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值. （参考数值：322.7183, 4.4817e e ≈≈，53 5.2945e ≈,27.3891e ≈ ）【答案】（1）20ex y e +-=；（2）2 【解析】 【分析】(1)直接利用切线方程求解即可(2)利用参变分离法，不等式转变为证明4+<+xx m x e （0x >）恒成立， 设4()x x h x x e+=+，然后，利用导数去讨论出min ()h x 即可求出整数m 的最大值. 【详解】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x xf x e xe x e '=--=-+所以(1)2k f e '==-，因为(1)e f =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= （2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e（0x >）恒成立 设4()x x h x x e +=+，则2(4)33()11x x x x x xe x e x e x h x e e e-+----'=+=+= 设()3,x s x e x =--则()1xs x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3239() 4.4817 4.5022s e =-≈-<,53555()3 5.294530333s e =--≈-->,所以存在035(,)23x ∈使得0()0s x =，当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即()0h x '>.所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e+==+. 因为00000()0,30, 3.x xs x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,035(,)23x ∈- 设1()13g x x x =+++，当35(,)23x ∈时，21()10(3)g x x =-'>+，所以()g x 在35(,)23上单调递增.则35()()()23g g x g <<，即491212()31842g x <<<<.所以02()3h x << 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2.【点睛】本题考查切线方程的计算，以及如何利用导数解决不等式恒成立问题，本题的难点在于如何求出导函数隐零点的范围，属于难题21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与直线4x =相交于点T ，求TF MN 的取值范围及TFMN取得最小值时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）TF MN 的取值范围是[)1,+∞，TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为1x =. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出2a =，再由离心率可得出c 的值，并求出2b 的值，由此可得出所求椭圆的方程；（2）由题意可知，直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出MN ，并求出点T 的坐标，进而求得TF ，由此可得出TF MN的表达式，利用导数求出TF MN的取值范围，以及TF MN取最小值时对应的直线方程.【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=. 因此，椭圆方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，则直线l 的垂线与直线4x =平行，不合乎题意. 设:1l x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690m y my ++-=. 设()11,M x y 、()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134mMNm+==+，将直线():1FT y m x=--与4x=联立，得()4,3T m-，TF∴==21144TFMN⎛⎫∴==⎝.设1t=≥，构造()()11314TFf t t tMN t⎛⎫==+≥⎪⎝⎭.()211304f tt⎛⎫-⎝'=>⎪⎭在[)1,t∈+∞上恒成立，所以()y f t=在[)1,+∞上单调递增.所以11314TFtMN t⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当1t=，即0m=时等号成立，所以TFMN的取值范围是[)1,+∞，当TFMN取得最小值1时，0m=, 此时直线l的方程为1x=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中取值范围问题的求解，考查了韦达定理、弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23πρθ+=. （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,A B两点，若||||PA PB+=m的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x -= (2)6π或56π. 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x -=. （2）点P 的坐标为(4,0)，设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （2）[]2,0-【解析】【分析】（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -，得12x . 故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题， 所以()max |21|f x a +.因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+，即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
2020大庆三模数学(理)试卷及其答案
同理 面PCD 的法向量 n2 0, 6,1 ，
....................................................................10 分
cosn1, n2
n1 n2 n1 n2
1 7
....................................................................11 分
13.2 14.1 15. 32 3
1103
16,
2
17.解（Ⅰ）因为 Sn an1 2 ，①
当 n 2 时， Sn1 an 2 ，②
...............................2 分
由①-②得 an an1 an ，即 an1 2an ， ............................................4 分 a2 4 2
1 4
...
n
1 1
n
1 1
1 n
n
1
2
........10
分
3 4
1 2
Hale Waihona Puke 1 n1n
1
2
因为
1
1
n
0 所以
1 3
n1 n 2
T k1 k 4
............................12 分
18.解（1）证明：连接 AC,BD 交点为 O，∵四边形 ABCD 为正方形，∴ AC BD
设面
PBC
法向量为
n1
x,
y,
z
，
BC
0, 2
2, 0 ,CP
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2020大庆三模数学理科参考答案一、选择题 ABACC BDDCA CD 13.2 14.115. 16,1103217.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分 由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， ............................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==； ..................................................................6分（Ⅰ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， ........................................................8分所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为02111>+++n n 所以4311<∑=nk kT ............................12分 18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，Ⅰ四边形ABCD 为正方形，ⅠAC BD ⊥ ⅠPB PD =，OB OD =,ⅠBD OP ⊥,...........................................................2分 又ⅠOP AC O ⋂=,ⅠBD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,ⅠPAC ABCD ⊥面面...........................................................4分 （2）方法1：ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,...............................................................6分又PA PC ⊥，设2PC =,则3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=223 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，()220,22,0,3BC CP ⎛== ⎝u u u v u u u v 1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,Ⅰ220223022x y z ⎧=+=⎩， 1,0,6z y x ===令则Ⅰ)16,0,1n =u v......................................................................9分同理PCD 面的法向量()26,1n =u u v， ....................................................................10分1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ....................................................................11分Ⅰ二面角B PC D --的正弦值734 ....................................................................12分 （2）方法2ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,.........................9分 设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=a 26， PE=a 46，AE=a 423，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0), P(a 43,a 43,a 46)，....................................................................8分)46,4,4(a a a CP --=，=(0,a.0)，=(a,0,0)设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v uv u u u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440z a y a x a ay , 令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===106z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022CP n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=0464402222z a y a x a ax ，令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===160222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分(直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）所以71==， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为734 .....................................................................12分 19.解（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()23P B =，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =.设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，.............................................2分所以12p =. .............................................4分（2）X 的可能取值为200，100，50-，...........................................5分()12312002344P X ==⨯⨯=，()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，....................................................8分则X 的分布列为. .........................10分 所以1117325()20010050424244E X =⨯+⨯-⨯=. .. .....................12分 20.解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分（2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+----'=+=+=---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分 因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+ 所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2. ----------------------------------12分 21.方法一 解（1）由题有2a =，12c e a ==. Ⅰ1c =，.....................................................2分 Ⅰ2223b a c =-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y += ...........................................................................4分（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690m y my ++-=...........................................................................................6分 设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -ⅠTF ==分Ⅰ2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭. ()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞ ............................11分 当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为 1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 21.方法二 解（1）由题有2a =，12c e a ==. Ⅰ1c =，...................................................2分 Ⅰ2223b a c =-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y += ...........................................................................4分（2）方法1：设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690m y my ++-=...........................................................................................6分 设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -ⅠTF ==分Ⅰ2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭. ()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞.当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为 1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN .......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ...........................8分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - 所以k k TF 213+=， ...........................10分则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF ......................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x = ......................................12分 （2）方法3：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN ...........................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，...........................8分2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+ 22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-=...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - kk TF 213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443k k k k k k k k MN TF ++=++=++=设1,112>=+t t k，则有61941++=t t MN TF ， 设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t t t f tt t f Θ 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF ...........................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x =......................................12分 22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分 （2）点P 的坐标为（4,0） 设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=.................................................................................10分23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩....................2分由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f所以1)(max -=a x f ，..................................................................................................8分则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ，即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即a 的取值范围为[]2,0-......................................10分。