扬州中学2013届高三下学期期中考试数学试题

第Ⅰ卷
一、填空题：
1.【题文】设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则=M C U ．
【结束】
2.【题文】记),()21(2R b a bi a i ∈+=+，则点),(b a P 位于第 象限．
【结束】
3.【题文】有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 .
【结束】
4.【题文】已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量b =
，则2a b - 的最大值为 ．
【结束】
5.【题文】设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号 是 ．
①.若 n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ；
③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若 α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥．
【结束】
6.【题文】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>且右焦点与抛
物线2y =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．
【结束】
7.【题文】设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =， 34a =，63k S =，
则k =___．
【结束】
8.【题文】若变量,x y 满足约束条件1133
x y x y x y -≥-⎧⎪⎪
+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是___
___．
【结束】
9.【题文】阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．
考点：本题主要考查程序框图的功能识别。

【结束】
10.【题文】已知ααcos 21sin +=
，且)2
,0(π
α∈，则)
4
sin(2cos π
αα-的值为____ ____．
【结束】
11.【题文】已知函数2,1,
()1,
1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成
立，则实数a 的取值范围是 ．
【结束】
12.【题文】四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=
PA ，则该球的体积为 ．
【结束】
13.【题文】在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且|
||
|CB y CA x +=，则xy 的最大值为 ．
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，建立平面直角坐标系，则P 点坐标为（x ，y ），点P
在线段AB 上，由
【结束】
14.【题文】我们把形如()0,0>>-=
b a a
x b
y 的函数称为“莫言函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当1=a ，1=b 时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ．
【结束】
第Ⅱ卷
二、解答题
15.【题文】函数)0(3sin 32
cos
6)(2>-+=ωωωx x
x f 在一个周期内的图象如图所示,A
为
图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.
(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域；
(Ⅱ)若0()f x =
,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.
故=+)1(0x f =+
+
)3
4
4
(
sin 320
π
π
πx ]4
)3
4
(
sin[320πππ+
+
x
【结束】
16.【题文】直三棱柱111C B A ABC -中，a BC BB AB ===2
1
1，︒=∠90ABC ，N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点．
（Ⅰ）求证：⊥CF 平面NFB ； （Ⅱ）求四面体BCN F -的体积．
∴AB ∥A 1B 1∥NF.
【结束】
17.【题文】提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流
速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足x
k
x v --
=25040)(．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流
速度为0千米/小时． （Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v(x)的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位： 辆/小时)f(x)＝x ·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据236.25 ）
再由已知可知，当x ＝200时，v(0)＝0，代入解得k ＝2000.
【结束】
18.【题文】已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 过点)3,2(，且它的离心率21
=e ．直
线
t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当2
3
=
k 时，求证：M 、N 两点的横坐标的平方和为定值； （Ⅲ）若直线l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切，椭圆上一点P 满足λ=+，求实数λ的取值范围．
得到参数的表达式，应用二次函数性质使问题得解。

【结束】
19.【题文】设各项均为正实数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S （*
N n ∈）．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列
}{n b 的通项公式为
t a a b n n
n +=
（*N t ∈），若1b ，2b ，m b （*
,3N m m ∈≥）
成等差数列，求t 和m 的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列}{n a 中的三项1n a ，2n a ，3n a ．
2
22
12211)
32()32()52)(32()52)(32(++=++++k k k k k k ，整理得3232)52522121++=++k k k k ，所以21k k =，这与21k k ≠矛
盾
，
因
此
，
【结束】
20.【题文】[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点
G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．
【结束】
21.【题文】[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵⎢⎣⎡=c
M 1
⎥⎦
⎤2b 有特征值
41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=3
21e ，求曲线
148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．
【结束】
22.【题文】[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy
的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为
2cos()4
π
ρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．
【结束】
23.【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设2
()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+． 【答案】1()21+-=-+- x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)
<++=+a a ．
【结束】
24.【题文】在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙二人都回答错的概率是1
12
，乙、丙二人都回答对的概率是
4
1
． （Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
【结束】 25.【题文】
已知数集},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=，其中n a a a <⋅⋅⋅<<≤210，且3≥n ，若对j
i ,∀
（n j i ≤≤≤1），i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ． （Ⅰ）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P ，说明理由；
（Ⅱ）已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ，判断数列821a a a ,,, 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．
所以该数集具有性质P ． 4分
21。