2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1．(2013安徽理)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（ ）（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x【答案】D【解析】 由题知，一元二次不等式2ln 211-),21(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即 所以选D 。
2．(2013安徽文、理)函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B 【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n n f x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.3．(2013安徽文)已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 （A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.4．(2013北京文)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x |答案 C解析 A 中为奇函数，B中y ＝e －x 非奇非偶函数．y ＝－x 2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．5．(2013北京理)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．(2013福建文) 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．7．(2013福建理)满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．8．(2013福建文、理) 设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．(2013福建理) 设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．10．(2013广东文) 函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！11．(2013广东理) 定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．12、(2013湖北理) 已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-【解析与答案】令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1．(2013安徽理)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（ ）（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x 【答案】D【解析】 由题知，一元二次不等式2ln 211-),21(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即 所以选D 。
2．(2013安徽文、理)函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B 【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.3．(2013安徽文)已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.4．(2013北京文)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x | 答案 C解析 A 中为奇函数，B中y ＝e －x 非奇非偶函数．y ＝－x 2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．5．(2013北京理)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．(2013福建文) 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．7．(2013福建理)满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．8．(2013福建文、理) 设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．(2013福建理) 设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确； 令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．10．(2013广东文) 函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！11．(2013广东理) 定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．12、(2013湖北理) 已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-【解析与答案】令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1．(2013福建文) 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B2．(2013广东文) 已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.3、(2013湖北文、理) 将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π【解析与答案】解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 B【相关知识点】三角函数图象及其变换4. (2013江西文) sincos 23αα==若 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=5. (2013江西文) 如图。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷带解析)
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷带解析）一、选择题1.已知集合M=｛x|-3<x<1｝.N=｛-3.-2.-1.0.1｝.则M∩N=（）A．｛-2.-1.0,1｝B．｛-3.-2.-1.0｝C．{-2.-1.0} D．{-3.-2.-1 }【答案】C【解析】因为集合M=.所以M∩N=｛0.-1.-2｝.故选C.【考点定位】本小题主要考查集合的运算（交集）.属容易题.掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.2.=（）A．B．2 C．D．1【答案】C【解析】因为,所以,故选C.【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算、复数的模的概念,复数在高考中主要以小题形式出现.属容易题.主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是等基础内容.3.设x.y满足约束条件.则z=2x-3y的最小值是（）A．B．-6 C．D．【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域可知.平面区域为三角形,当目标函数表示的直线经过点(3,4)时.取得最小值.所以的最小值为,故选B.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识.难度不大.线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现.是高考的重点内容之一.几乎年年必考.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2.B=.C=.则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得：.解得.又因为.所以的面积为==.故选B.【考点定位】本小题考查正弦定理与三角形的面积公式的应用等基础知识,属容易题,熟练本部分的基础知识是解答好本类题目的关键.5.设椭圆C：的左、右焦点分别为、.P是C上的点.⊥.∠=.则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意,设.则..所以由椭圆的定义知：.又因为.所以离心率为.故选D.【考点定位】本小题主要考查椭圆的定义、几何性质、数形结合与化归的数学思想.属中低档题.熟练椭圆的基础知识是解答好本类题目的关键.6.已知sin2α=.则cos2(α+)=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】===,故选A.【考点定位】本小题主要考查三角中的二倍角公式、诱导公式等公式的应用.属容易题.熟练基础知识是关键.7.执行右面的程序框图.如果输入的N=4.那么输出的S= （）A．1B．1+C．1++++D．1++++【答案】B【解析】当k=1时,计算出的T=1.S=1；当k=2时,计算出的T=.S=1+；当k=3时,计算出的T=.S=1++；当k=4时,计算出的T=.S=1+++,故选B.【考点定位】本小题主要考查了程序框图的基础知识.解答本类题目的关键是搞清楚是一个什么样的算法、最后算到哪一步结束.程序框图经常与其它知识结合起来考查（如数列求和等）.难度不大.8.设a=log32,b=log52,c=log23,则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D【解析】因为最大.故排除A、B；又因为..且.所以.故选D.【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质(单调性)等基础知识.属中低档题.熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.9.一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1.0.1）.（1.1.0）.（0.1.1）.（0.0.0）.画该四面体三视图中的正视图时.以zOx平面为投影面.则得到的正视图可为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由题意可知：该四面体为正四面体.其中一个顶点在坐标原点.另外三个顶点分别在三个坐标平面内.所以以zOx平面为投影面.则得到的正视图可以为选项A.【考点定位】本小题主要考查立体几何中三视图的有关知识.考查同学们的空间想象能力.属中档题.10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F.直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|.则的方程为（）A．y=x-1或y=-x+1B．y=（X-1）或y=（x-1）C．y=（x-1）或y=（x-1）D．y=（x-1）或y=（x-1）【答案】C【解析】由题意,可设.则.设直线与抛物线的准线相交于点M.则由抛物线的定义可知：.所以直线的倾斜角为或.即直线的斜率为.故选C.【考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、直线方程的求解、数形结合以及转化的数学思想.考查分析问题、解决问题的能力.11.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（）A．, f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点.则f(x)在区间（-∞, ）单调递减D．若是f（x）的极值点.则()=0【答案】C【解析】由题意知：导函数的图象开口向上.若是f(x)的极小值点.则是方程=0的较大根.所以选项C错误.【考点定位】本小题考查函数与导数的关系.利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重点知识.12.若存在正数x使2x（x-a）＜1成立.则a 的取值范围是（）A．（-∞.+∞）B．(-2, +∞)C．(0, +∞)D．（-1.+∞）【答案】D【解析】由题意知.存在正数.使.所以.而函数在上是增函数.所以.所以.故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识.考查转化与化归等数学思想.考查分析问题以及解决问题的能力.二、填空题1.从1.2.3.4.5中任意取出两个不同的数.其和为5的概率为________.【答案】0.2【解析】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,所有的取法共有种.其和为5的只有两种.即、.所以其概率为=0.2.【考点定位】本小题主要考查古典概型.属中档题.正确理解古典概型是解答好本类题目的关键.2.已知正方形ABCD的边长为2.E为CD的中点.则=_______.【答案】2【解析】以点B为原点.直线BC为x轴.建立平面直角坐标系.则A（0.2）.E（2.1）.D（2.2）.B（0.0）.所以.所以=2.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积.难度不大.熟练平面向量的数量积的定义以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.3.已知正四棱锥O-ABCD的体积为.底面边长为.则以O为球心.OA为半径的球的表面积为________.【答案】【解析】设棱锥的高为.则由棱锥的体积公式可得：=.所以.所以=.即为球的半径.所以球的表面积为.【考点定位】本小题主要考查空间几何体的外接球、棱锥的体积公式、球的表面积公式、棱锥中有关元素的计算等基础知识的应用.考查空间想象能力、分析问题、解决问题的能力.4.函数的图像向右平移个单位后.与函数的图像重合.则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为.所以图象平移后的解析式为=.所以.解得.【考点定位】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识.这两部分知识都是高考的热点内容之一.几乎年年必考.熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.三、解答题1.已知等差数列｛an ｝的公差不为零.a1=25.且..成等比数列.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设｛an｝的公差为.由题意..即.于是.又a1=25.所以（舍去）或.故的通项公式为.（Ⅱ）令,则由（Ⅰ）知.故是首项为25.公差为的等差数列.从而==.本题第（Ⅰ）问.由基本量的计算.可以得出公差.从而由等差数列的通项公式求出;第（Ⅱ）问,在等差数列中.每隔两项拿出一项得到的新数列仍成等差数列.公式差为.可以等差数列的前n项和公式求出结果.对第（Ⅰ）问.基本量的计算是高考常考的一个重点内容.注意细心计算确保正确率；准确解答第（Ⅱ）问的关键是熟练等差数列的性质以及前n 项和公式.【考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式.考查分析问题、解决问题的能力.2.如图.直三棱柱ABC-A1B1C1中.D,E分别是AB.BB1的中点.（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2.AB=2.求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连结.交于点F.连结DO.则F为的中点.因为D为AB的中点.所以FD∥.又因为FD平面.平面.所以//平面；（Ⅱ）因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱.所以⊥CD .由已知AC=CB. D 为AB 的中点.所以CD⊥AB .又.于是CD⊥平面.即CD 是三棱锥C 一A 1DE 的高.由AA 1= AC=CB=2.AB=2得..CD=....故.即DE⊥.所以.本题第（Ⅰ）问.以直三棱为载体.证明空间的线面平行.可以应用线面平行的判定定理.一般情况下.遇到中点想中位线的思想要用上.同时用上侧面为平行四边形的条件;第（Ⅱ）问,求三棱锥的体积.可以证明CD⊥平面.即CD 是此三棱锥的高.底面为直角三角形.从而可求出结果.对第（Ⅰ）问.证明线面平行时,容易漏掉条件平面；对第（Ⅱ）问.注意步骤.必须先证明哪个是三棱锥的高.然后再分步求出高与底面积.代入体积公式求出结果. 【考点定位】本小题以直三棱柱为载体.主要考查空间中的直线与直线、直线与平面位置关系的证明、三棱锥体积的求解.考查化归与转化思想.考查空间想象能力、分析问题与解决问题的能力.3.经销商经销某种农产品.在一个销售季度内.每售出1t 该产品获利润500元.未售出的产品.每1t 亏损300元.根据历史资料.得到销售季度内市场需求量的频率分布直图.如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以（单位：t.100≤≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0.7【解析】（Ⅰ）当时.=.当时..所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57000元.当且仅当.由直方图知需求量的频率为0.7.所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.本题第（Ⅰ）问.讨论自变量的取值范围,最后写成分段函数形式.本题的易错点是第（Ⅰ）问忘记讨论自变量的范围.【考点定位】本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识.属中档题目.考查同学们分析问题与解决问题的能力.4.在平面直角坐标系xOy中.己知圆P在x轴上截得线段长为2.在轴上截得线段长为.（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程;（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为.求圆P的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）设圆P的半径为.由题设..从而.故P点的轨迹方程为（Ⅱ）由题意可知..即.又由（Ⅰ）知.所以解得.当时...此时圆P的方程为或；当时.因为.所以不合题意.综上所述.圆P的方程为或本题第（Ⅰ）问.设圆心然后由圆中的重要直角三角形结合已知条件列出两个等式.化简即可得到;第（Ⅱ）问,由点到直线的距离公式可得出.再结合（Ⅰ）.即可求出圆心P的坐标与圆的半径.从而写出圆的方程.对第（Ⅰ）问.一部分同学不知道如何下手,想不到那个圆中的重要直角三角形.所以在复习时.要多注意规律方法的总结；第（Ⅱ）问,容易漏解.所以在日常复习时.要加强计算能力.【考点定位】本小题主要考查轨迹方程的求解、圆的方程的求法.考查分类讨论思想、转化与化归思想.考查分析问题与解决问题的能力.5.己知函数.(I)求f(x)的极小值和极大值；(II)当曲线y = f(x)的切线的斜率为负数时.求在x轴上截距的取值范围.【答案】(I) 0 (II) 或【解析】（Ⅰ）由题意知.的定义域为R.因为.所以令得：.解得；令.解得或.所以当时.0；当时.；（Ⅱ）由题意知..即或.不难解出。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)解析版
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知集合{|31M x x =-<<，}x R ∈，{3N =-，2-，1-，0，1}，则(M N =I)A ．{2-，1-，0，1}B ．{3-，2-，1-，0}C ．{2-，1-，0}D ．{3-，2-，1}-【考点】1E ：交集及其运算 【专题】11：计算题【分析】找出集合M 与N 的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：Q 集合{|31M x x =-<<，}x R ∈，{3N =-，2-，1-，0，1}， {2M N ∴=-I ，1-，0}．故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）2||(1i=+ ) A．B ．2 CD ．1【考点】8A ：复数的模 【专题】11：计算题【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：22||1|1|i i ===++． 故选：C ．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩……„，则23z x y =-的最小值是( ) A ．7- B ．6- C ．5- D ．3-【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件：10103x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩……„，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数23z x y =-的最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示， 由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，由图可知目标函数在点(3,4)A 取最小值23346z =⨯-⨯=-． 故选：B ．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为( ) A ．232B 31C ．232D 31【考点】%H ：三角形的面积公式；HP ：正弦定理【专题】58：解三角形【分析】由sin B ，sin C 及b 的值，利用正弦定理求出c 的值，再求出A 的度数，由b ，c 及sin A 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：2b =Q ，6B π=，4C π=，∴由正弦定理sin sin b cB C=得：2sin 21sin 2b Cc B ===712A π=，sin sin()cos 21212A πππ∴=+=则11sin 2122ABC S bc A ∆==⨯⨯=．故选：B ．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )AB ．13C ．12D【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设2||PF x =，在直角三角形12PF F 中，依题意可求得1||PF 与12||F F ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：2||PF x =，212PF F F ⊥Q ，1230PF F ∠=︒， 1||2PF x ∴=，12||F F =，又12||||2PF PF a +=，12||2F F c = 23a x ∴=，2c =， C ∴的离心率为：22c e a ==． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得1||PF 与2||PF 及12||F F 是关键，考查理解与应用能力，属于中档题． 6．（5分）已知2sin 23α=，则2cos ()(4πα+= ) A ．16B ．13C ．12D ．23【考点】GE ：诱导公式；GG ：同角三角函数间的基本关系；GS ：二倍角的三角函数 【专题】56：三角函数的求值【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：2sin 23α=Q ， 211121cos ()[1cos(2)](1sin 2)(1)4222236ππααα∴+=++=-=⨯-=．故选：A ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的(S = )A ．1111234+++B ．1111232432+++⨯⨯⨯C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】EF ：程序框图 【专题】27：图表型【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用TS k+的值代替S 得到新的S ，并用1k +代替k ，直到条件不能满足时输出最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次：1S =， 第二次：112S =+， 第三次：111232S =++⨯， 第四次：1111232432S =+++⨯⨯⨯． 此时5k =时，符合4k N >=，输出S 的值． 1111232432S ∴=+++⨯⨯⨯ 故选：B ．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．8．（5分）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较 【专题】11：计算题【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可． 【解答】解：由题意可知：3log 2(0,1)a =∈，5log 2(0,1)b =∈，2log 31c =>， 所以3log 2a =，35332log 225log b log log ==<， 所以c a b >>， 故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )A ．B ．C ．D ．【考点】7L ：简单空间图形的三视图 【专题】11：计算题；13：作图题【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选：A ．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为( )A ．1y x =-或1y x =-+B ．31)y x =-或31)y x =-C ．3(1)y x =-或3(1)y x =--D ．21)y x =-或21)y x =-【考点】8K ：抛物线的性质【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，可得抛物线焦点为(1,0)F ，由此设直线l 方程为(1)y k x =-，与抛物线方程联解消去x ，得204k y y k --=．再设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系和||3||AF BF =，建立关于1y 、2y 和k 的方程组，解之可得k 值，从而得到直线l 的方程． 【解答】解：Q 抛物线C 方程为24y x =，可得它的焦点为(1,0)F ，∴设直线l 方程为(1)y k x =-由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x ，得204k y y k --=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得124y y k+=，124(*)y y =-⋯ ||3||AF BF =Q ，1230y y ∴+=，可得123y y =-，代入(*)得242y k-=且2234y -=-， 消去2y 得23k =，解之得3k =±∴直线l 方程为3(1)y x =-或3(1)y x =--故选：C ．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB 被焦点F 分成1:3的两部分，求直线AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是( )A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则(f x )在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0(f x ' )0=【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用【分析】对于A ，对于三次函数(f x 32)x ax bx c =+++，由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故在区间(,)-∞+∞肯定存在零点； 对于B ，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C ：采用取特殊函数的方法，若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D ：若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0(f x ' )0=，正确．【解答】解：A 、对于三次函数f (x 32)x ax bx c =+++，A ：由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故0x R ∃∈，0()0f x =，故A 正确；B 、33232222242()()()()()23333273a a a a a ab f x f x x a x b xc x ax bx c c--+=--+--+--+++++=-+Q ，3322()()()()3333273a a a a a abf a b c c -=-+-+-+=-+，2()()2()33a a f x f x f --+=-Q ，∴点(3a P -，())3af -为对称中心，故B 正确． C 、若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--，对于32()f x x x x =--，2()321f x x x '=--Q∴由2()3210f x x x '=-->得(x ∈-∞，1)(13-⋃，)+∞由2()3210f x x x '=--<得1(3x ∈-，1)∴函数()f x 的单调增区间为：1(,)3-∞-，(1,)+∞，减区间为：1(3-，1)，故1是()f x 的极小值点，但(f x )在区间(,1)-∞不是单调递减，故C 错误；D ：若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0(f x ' )0=，故D 正确．由于该题选择错误的，故选：C ．【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．12．（5分）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(2,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【考点】3E ：函数单调性的性质与判断；7E ：其他不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用 【分析】转化不等式为12xa x >-，利用x 是正数，通过函数的单调性，求出a 的范围即可． 【解答】解：因为2()1x x a -<，所以12x a x >-， 函数12xy x =-是增函数，0x >，所以1y >-，即1a >-， 所以a 的取值范围是(1,)-+∞． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 0.2 ． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式 【专题】5I ：概率与统计【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况， 故所求的概率为：20.210= 故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．14．（4分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =u u u r u u u r g 2 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为1()()2AD AB AD AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r g ，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：Q 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则0AB AD =u u u r u u u rg ，故(AE BD =u u u r u u u r g AD DE +u u u r u u u r221111)()()()400422222BA AD AD AB AD AB AD AD AB AB AD AB +=+-=-+-=+--⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ， 故答案为 2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．（4分）已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 24π ．【考点】3L ：棱锥的结构特征；LG ：球的体积和表面积 【专题】16：压轴题；5F ：空间位置关系与距离【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O ABCD -的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O ABCD -的侧棱长OA ，最后根据球的表面积公式计算即得． 【解答】解：如图，正四棱锥O ABCD -的体积1132(33)33V sh OH ==⨯⨯=，32OH ∴=， 在直角三角形OAH 中，2222326()()622OA OH AH =+=+= 所以表面积为2424r ππ=； 故答案为：24π．【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题． 16．（4分）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-<„的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=56π． 【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图象与性质【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为cos[2()]2y x πϕ=-+的图象，即cos(2)y x ϕπ=+-的图象．结合题意得函数sin(2)cos(2)332y x x πππ=+=+-的图象与cos(2)y x ϕπ=+-图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出ϕ的值．【解答】解：函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-<„的图象向右平移2π个单位后，得平移后的图象的函数解析式为cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-，而函数sin(2)cos(2)332y x x πππ=+=+-，由函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-<„的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，得2232x x ππϕπ+-=+-，解得：56πϕ=． 符合πϕπ-<…． 故答案为56π． 【点评】本题给出函数cos(2)y x ϕ=+的图象平移，求参数ϕ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换等知识，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732n a a a a -+++⋯+．【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E ：数列的求和 【专题】54：等差数列与等比数列【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，利用成等比数列的定义可得，211113a a a =，再利用等差数列的通项公式可得2111(10)(12)a d a a d +=+，化为1(225)0d a d +=，解出d 即可得到通项公式n a ；()II 由()I 可得322(32)27631n a n n -=--+=-+，可知此数列是以25为首项，6-为公差的等差数列．利用等差数列的前n 项和公式即可得出14732n a a a a -+++⋯+． 【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由题意1a ，11a ，13a 成等比数列，∴211113a a a =， ∴2111(10)(12)a d a a d +=+，化为1(225)0d a d +=，0d ≠Q ，225250d ∴⨯+=，解得2d =-． 25(1)(2)227n a n n ∴=+-⨯-=-+．()II 由()I 可得322(32)27631n a n n -=--+=-+，可知此数列是以25为首项，6-为公差的等差数列．13214732()2n n n n a a S a a a a --+∴=+++⋯+=(25631)2n n -+=2328n n =-+．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式是解题的关键． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点 （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于点F ，则DF 为三角形1ABC 的中位线，故1//DF BC ．再根据直线和平面平行的判定定理证得 1//BC 平面1ACD ． （Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面11ABB A ．求得CD 的值，利用勾股定理求得1A D 、DE 和1A E 的值，可得1A D DE ⊥．进而求得1A DE S V 的值，再根据三棱锥1C A DE -的体积为113A DE S CD V g g ，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点．Q 直棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，故DF 为三角形1ABC 的中位线，故1//DF BC ．由于DF ⊂平面1ACD ，而1BC 不在平面1ACD 中，故有1//BC 平面1ACD ．（Ⅱ）12AA AC CB ===Q ，22AB =ABC 为等腰直角三角形． 由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面11ABB A ，2AC BCCD AB∴==g ． 22116A D A A AD +Q 3DE ，13A E =．再由勾股定理可得22211A D DE A E +=，1A D DE ∴⊥．∴111322A DE S A D DE ==V g g∴11113C A DEA DE V S CD -==V g g ． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X （单位：t ，100150)X 剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率． 【考点】8B ：频率分布直方图 【专题】5I ：概率与统计【分析】()I 由题意先分段写出，当[100X ∈，130)时，当[130X ∈，150)时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．()II 由()I 知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X 剟．再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：()I 由题意得，当[100X ∈，130)时，500300(130)80039000T X X X =--=-， 当[130X ∈，150]时，50013065000T =⨯=， 80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩．()II 由()I 知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X 剟． 由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2y 轴上截得线段长为23 （Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若P 点到直线y x =，求圆P 的方程． 【考点】1J ：圆的标准方程；3J ：轨迹方程【专题】15：综合题；16：压轴题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P 的横纵坐标的方程，将此方程与()I 所求的轨迹方程联立，解出点P 的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心(,)P x y ，由题意得圆心到x 轴的距离与半径之间的关系为222y r =-+，同理圆心到y 轴的距离与半径之间的关系为223x r =-+，由两式整理得2232x y +=+，整理得221y x -=即为圆心P 的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P 点到直线y x =的距离为2得，2=，即||1x y -=，即1x y =+或1y x =+，分别代入221y x -=解得(0,1)P -或(0,1)P若(0,1)P -，此时点P 在y P 的方程为22(1)3y x ++=；若(0,1)P ，此时点P 在y P 的方程为22(1)3y x -+=； 综上，圆P 的方程为22(1)3y x ++=或22(1)3y x -+=【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程 21．（12分）已知函数2()x f x x e -= （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．【考点】5C ：根据实际问题选择函数类型；6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出()f x '，利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）2()x f x x e -=Q ，22()2(2)x x x f x xe x e e x x ---∴'=-=-， 令()0f x '=，解得0x =或2x =， 令()0f x '>，可解得02x <<； 令()0f x '<，可解得0x <或2x >，故函数在区间(,0)-∞与(2,)+∞上是减函数，在区间(0,2)上是增函数． 0x ∴=是极小值点，2x =极大值点，又(0)0f =，f （2）24e =． 故()f x 的极小值和极大值分别为0，24e ．（Ⅱ）设切点为0200(,)x x x e -，则切线方程为00220000(2)()x x y x e e x x x x ---=--， 令0y =，解得2000002(2)322x x x x x x -==-++--， Q 曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数，∴0200(2)0x e x x --<， 00x ∴<或02x >，令0002()12f x x x =++-， 则2002200(2)22()1(2)(2)x f x x x '--=-=--．①当00x <时，20(2)20x -->，即0()0f x '>，0()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，0()(0)0f x f ∴<=；②当02x >时，令0()0f x '=，解得02x =+当02x >+0()0f x '>，函数0()f x单调递增；当022x <<0()0f x '<，函数0()f x 单调递减．故当02x =+0()f x取得极小值，也即最小值，且(23f +=+综上可知：切线l 在x 轴上截距的取值范围是(,0)[322,)-∞++∞U ．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．【选修41-几何证明选讲】如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF =g g ，B 、E 、F 、C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．【考点】NC ：与圆有关的比例线段 【专题】5B ：直线与圆【分析】（1）已知CD 为ABC ∆外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC AE DC AF =g g ，可知CDB AEF ∆∆∽，于是CBD AFE ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90CFE AFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得2DC DB DA =g ，222CA CB BA =+，都用DB 表示即可．【解答】（1）证明：CD Q 为ABC ∆外接圆的切线，DCB A ∴∠=∠， BC AE DC AF =Q g g ，∴BC DCFA EA=． CDB AEF ∴∆∆∽，CBD AFE ∴∠=∠．B Q 、E 、F 、C 四点共圆，CFE DBC ∴∠=∠，90CFE AFE ∴∠=∠=︒．90CBA ∴∠=︒，CA ∴是ABC ∆外接圆的直径；（2）连接CE ，90CBE ∠=︒Q ，∴过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，得CE DC =，又222BC DB BA DB ==g ， 222246CA DB BC DB ∴=+=．而223DC DB DA DB ==g ，故过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆面积的外接圆的面积比值22223162CE DB AC DB ===．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出； （2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos2,2sin 2)Q αα， 因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2(sin 2sin x y ααααα=+⎧⎨=+⎩为参数，02)απ<<．（2）M 点到坐标原点的距离2)d απ=<<． 当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（14分）【选修45--；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++„（Ⅱ）2221a b c b c a++…．【考点】6R ：不等式的证明【专题】14：证明题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）依题意，由22221()12221a b c a b c a b c ab bc ca ++=⇒++=⇒+++++=，利用基本不等式可得3()1ab bc ca ++„，从而得证； （Ⅱ）利用基本不等式可证得：22a b a b +…，22b c b c +…，22c a c a+…，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由222a b ab +…，222b c bc +…，222c a ca +…得：222a b c ab bc ca ++++…，由题设得2()1a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++„，即13ab bc ca ++„． （Ⅱ）因为22a b a b +…，22b c b c +…，22c a c a+…， 故222()2()a b c a b c a b c b c a +++++++…，即222a b c a b c b c a++++…． 所以2221a b c b c a++…． 【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．。
2013高考数学真题分类汇编---------函数模块
2013高考数学—三角函数分类汇编1.（2013山东卷理3）已知函数)(x f 为奇函数，当0>x 时，xx x f 1)(2+=，在=-)1(f .A 2- .B 0 .C 1 .D 22.（2013陕西卷理1）设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为.A ]1,1[- .B )1,1(-.C ),1[]1,(+∞--∞ .D ),1()1,(+∞--∞3.（2013陕西卷理12）设][x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数y x ,，有.A ][][x x -=- .B ][2]2[x x = .C ][][][y x y x +≤+ .D ][][][y x y x -≤-4.（2013新课标2卷理10）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论错误的是.A R x ∈∃0，0)(0=x f .B 函数)(x f y =的图像是中心对称图形.C 若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减 .D 若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f5.（2013新课标1卷理11）已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=)0(),1ln()0(,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是.A ]0,(-∞ .B ]1,(-∞ .C ]1,2[- ]0,2.[-D6.（2013新课标1卷理16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，在)(x f 的最大值是7.（2013江西卷理2）函数)1ln(x x y -=的定义域为.A )1,0( .B )1,0[ .C ]1,0( .D ]1,0[8.（2013江西卷理10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形夹在两平行线21,l l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于G F ,两点，与三角形ABC 两边相交于D E ,两点，设弧FG 的长为x （π<<x 0），CD BC EB y ++=，若l 从1l 平移到2l ，则函数)(x f y =的图像大致是9.（2013广西卷理5）函数)(11(log )(2+=xx f 的反函数)(1x f-=.A 121-x )0(>x.B 121-x )0(≠x .C 12-x （R x ∈） .D 12-x )0(>x10.（2013辽宁卷理11）已知函数)(x f 满足22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g 。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)-已校
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．（5分）=（）A．2 B．2 C．D．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣34．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣15．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++8．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=012．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．21．（12分）己知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选C2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）=（）A．2 B．2 C．D．1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：===．故选C．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6．故选B．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣1【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，=bcsinA=×2×2×=+1．则S△ABC故选B5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．∴S=1+++故选B．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故选：D．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C 交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x ﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．【解答】解：A、对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）=（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，f（﹣）=（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c=﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，故D正确．由于该题选择错误的，故选：C．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a 的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2．【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有=10种情况，和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：=0.2故答案为：0.214．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24π．【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，∴OH=，在直角三角形OAH中，OA===所以表面积为4πr2=24π；故答案为：24π．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d （2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式a n；=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，（II）由（I）可得a3n﹣2﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n．﹣2【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．∴a n=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，（II）由（I）可得a3n﹣2﹣6为公差的等差数列．∴S n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1 ，∴CD==．∵A1D==，同理，利用勾股定理求得DE=，A1E=3．再由勾股定理可得+DE2=，∴A1D⊥DE．∴==，∴=••CD=1．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X ﹣39000，当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=x2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=y2+r2，由两式整理得x2+3=y2+2，整理得y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为得，=，即|x﹣y|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入y2﹣x2=1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）2+x2=3；若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2=3；综上，圆P的方程为（y+1）2+x2=3或（y﹣1）2+x2=321．（12分）（2013•新课标Ⅱ）己知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令y=0，解得x==，∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则=．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0；②当x 0＞2时，令f′（x0）=0，解得．当时，f′（x 0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB 表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，∵BC•AE=DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，又BC2=DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．而DC2=DB•DA=3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值==．23．（2013•新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【解答】解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．。
2013年高考数学试题及答案(全国卷文数3套)
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣34．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝012．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣2，﹣1，0}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣3【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z＝2x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故选：B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1【分析】由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c 及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b＝2，B＝，C＝，∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2，A＝，∴sin A＝sin（+）＝cos＝，＝bc sin A＝×2×2×＝+1．则S△ABC故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α+）＝[1+cos（2α+）]＝（1﹣sin2α）＝×（1﹣）＝．故选：A．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S＝1，第二次：S＝1+，第三次：S＝1++，第四次：S＝1+++．此时k＝5时，符合k＞N＝4，输出S的值．∴S＝1+++故选：B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52＝，所以c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：法一：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝﹣4…（*）∵|AF|＝3|BF|，∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2＝且﹣3y22＝﹣4，消去y2得k2＝3，解之得k＝∴直线l方程为y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）法二：做出抛物线的准线，以及A、B到准线的垂线段AA'、BB'，并设直线l交准线与M，设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB'|＝m，|AA'|＝|AF|＝3m，由BB'∥AA'可知，，即，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA'＝30°，根据斜率与角度的关系可得选C选项．故选：C．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【分析】对于A，对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，正确．【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，f （﹣）＝（﹣）3+a （﹣）2+b （﹣）+c ＝﹣+c ，∵f （﹣﹣x ）+f （x ）＝2f （﹣），∴点P （﹣，f （﹣））为对称中心，故B 正确．C 、若取a ＝﹣1，b ＝﹣1，c ＝0，则f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，对于f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，∵f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＞0得x ∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＜0得x ∈（﹣，1）∴函数f （x ）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f （x ）的极小值点，但f （x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D ：若x 0是f （x ）的极值点，根据导数的意义，则f ′（x 0）＝0，故D 正确．由于该题选择错误的，故选：C ．【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x 使2x （x ﹣a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣1，+∞）【分析】转化不等式为，利用x 是正数，通过函数的单调性，求出a 的范围即可．【解答】解：因为2x （x ﹣a ）＜1，所以，函数y＝是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2．【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况，和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝0，故＝（）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24π．【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V＝sh＝（×）×OH＝，∴OH＝，在直角三角形OAH中，OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π．【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y＝cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y＝cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y＝sin（2x+）＝的图象与y＝cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x﹣）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x+）＝，由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin （2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π＝，解得：φ＝．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．【点评】本题给出函数y＝cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）＝0，解出d即可得到通项公式a n；＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）＝0，∵d≠0，∴2×25+25d＝0，解得d＝﹣2．∴a n＝25+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+27．＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．∴S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2＝＝＝﹣3n2+28n．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD ⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，∴CD＝＝．∵A1D＝＝，同理，利用勾股定理求得DE＝，A1E＝3．再由勾股定理可得+DE2＝，∴A1D⊥DE．∴＝＝，∴＝••CD＝1．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T＝500X﹣300（130﹣X）＝800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝﹣y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝﹣x2+r2，由两式整理得x2+3＝y2+2，整理得y2﹣x2＝1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P点到直线y＝x的距离为得，＝，即|x﹣y|＝1，即x＝y+1或y ＝x+1，分别代入y2﹣x2＝1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）2+x2＝3；若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2＝3；综上，圆P的方程为（y+1）2+x2＝3或（y﹣1）2+x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x＝0是极小值点，x＝2极大值点，又f（0）＝0，f（2）＝．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣＝（x﹣x0），令y＝0，解得x＝＝，∵曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则＝．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0；②当x 0＞2时，令f′（x0）＝0，解得．当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且＝．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°．∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2+BC2＝6DB2．而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c＝1⇒（a+b+c）2＝1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1，所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤．（Ⅱ）因为+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，故+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即++≥a +b +c ．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•大纲版）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2013•大纲版）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a ＝（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k＝（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•大纲版）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x ﹣2，则f（﹣1）＝．14．（5分）（2013•大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）（2013•大纲版）若x、y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）＝ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sin A sin C＝，求C．19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）（2013•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a＝时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，}，集合A＝{1，2}所以∁U A＝{3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴＝（2λ+3，3），．∵，∴＝0，∴﹣（2λ+3）﹣3＝0，解得λ＝﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1＝x8﹣r2r令8﹣r＝6得r＝2，∴展开式中x6的系数是22C82＝112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x＝，x，y互换，得到y＝log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y＝log2（1+），把y看作常数，求出x：。
2013高考数学试题汇编-函数
函数 一、选择题1.福建8. 设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论 一定正确的是（ ）A. )()(,0x f x f R x ≤∈∀B.0x -是)-(x f 的极小值点C. 0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点2.重庆（363a -≤≤）的最大值为（ ）（A ）9 （B ）92 （C ）3 （D 3.重庆（6）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ ）（A ）(,)a b 和(,)b c 内 （B ）(,)a -∞和(,)a b 内 （C ）(,)b c 和(,)c +∞内 （D ）(,)a -∞和(,)c +∞内4.浙江3．已知x ，y 为正实数，则（ ） A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅ C ．lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅5．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)xkf x e x k =--=，，则（ ） A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值6.天津(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） (A) 1(B) 2(C) 3(D) 47.天津(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是（ ）(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞8.四川7、函数1xy =-的图象大致是（ ）9.四川10、设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。
2013高考数学各省题目分类整理：函数导数综合
2013高考：函数导数综合【2013高考文科题组】1、（2013北京，文18）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（I ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处于直线y b =相切，求a 与b 的值； （II ）若曲线()y f x =于直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2、（2013全国大纲，文21）已知函数32()331f x x ax x =+++（I ）当a =()f x 的单调性；（II ）若[2,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求a 的取值范围。
3、（2013全国课标I ，文20）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+ （I ）求a ，b 的值；（II ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。
4、（2013全国课标II ，文21）已知函数2()xf x x e -= （I ）求()f x 的极小值和极大值；（II ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴截距的取值范围。
5、（2013山东，文21）已知函数2()ln f x ax bx x =+-（,a b R ∈） （I ）设0a ≥，求()f x 的单调区间；（II ）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥，试比较ln a 与2b -的大小6、（2013江苏，20）设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为实数（I ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围 （II ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数。
7、（2013安徽，文20）设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{|()0}I x f x => （I ）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）；（II ）给定常数(0,1)k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值。
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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题
1 ．（2013年高考重庆卷（文））函数21log(2)yx的定义域为 （ ）
A．(,2) B．(2,) C．(2,3)(3,) D．(2,4)(4,) 【答案】C 2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知函数3()sin4(,)fxaxbxabR,2(lg(log10))5f,则
(lg(lg2))f （ ）
A．5 B．1 C．3 D．4 【答案】C
3 ．（2013年高考大纲卷（文））函数-121log10=fxxfxx的反函数 （ ）
A．1021xx B．1021xx C．21xxR D．210xx 【答案】A
4 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数21ln1931,.lg2lg2fxxxff则 （ ） A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】D
5 ．（2013年高考天津卷（文））设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe. 若实数a, b满足()0,()0fagb, 则 （ ） A．()0()gafb B．()0()fbga C．0()()gafb D．()()0fbga 【答案】A
6 ．（2013年高考陕西卷（文））设全集为R, 函数()1fxx的定义域为M, 则CMR为 （ ） A．(-∞,1) B．(1, + ∞) C．(,1] D．[1,) 【答案】B
7 ．（2013年上海（文科））函数211fxxx的反函数为1fx,则12f的值是（ ）
A．3 B．3 C．12 D．12 【答案】A 8 ．（2013年湖北（文））x为实数,[]x表示不超过x的最大整数,则函数()[]fxxx在R上为 （ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 【答案】D
9 ．（2013年高考四川卷（文））设函数()xfxexa(aR,e为自然对数的底数).若存在[0,1]b使(())ffbb成立,则a的取值范围是 （ ） A．[1,]e B．[1,1]e C．[,1]ee D．[0,1] 【答案】A 10．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设
12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大
值,min,pq表示,pq中的较小值,记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B,则AB（ ） A．2216aa B．2216aa C．16 D．16 【答案】C 11．（2013年高考北京卷（文））下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （ ）
A．1yx B．xye C．21yx D．lg||yx 【答案】C 12．（2013年高考福建卷（文））函数)1ln()(2xxf的图象大致是
（ ） A． B． C． D． 【答案】A 13．（2013年高考浙江卷（文））已知a.b.c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 （ ） A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=0[来源:学+科+网] 【答案】A
14．（2013年高考山东卷（文））已知函数)(xf为奇函数,且当0x时,xxxf1)(2,则)1(f（ ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】D
15．（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1xfxx的定义域是 （ ）
A．(1,) B．[1,) C．(1,1)(1,) D．[1,1)(1,) 【答案】C 16．（2013年高考陕西卷（文））设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 （ ）
A．·logloglogaccbab B．·loglologgaaabab
C．()log gologaaabcbc D．()loggogollaaabbcc 【答案】B
17．（2013年高考山东卷（文））函数1()123xfxx的定义域为 （ ） A．(-3,0] B．(-3,1] C．(,3)(3,0] D．(,3)(3,1] 【答案】A 18．（2013年高考天津卷（文））已知函数()fx是定义在R上的偶函数, 且在区间[0,)单调递增. 若实数a
满足212(log)(log)2(1)faffa, 则a的取值范围是 （ ）
A．[1,2] B．10,2 C．1,22 D．(0,2] 【答案】C 19．（2013年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为______ （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C
20．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数22,0,()ln(1),0xxxfxxx,若|()|fxax,则a的取值范围是 （ ） A．(,0] B．(,1] C．[2,1] D．[2,0] 【答案】D; 21．（2013年高考陕西卷（文））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）
A．[-x] = -[x] B．[x + 12] = [x] C．[2x] = 2[x] D．1[][][2]2xxx 【答案】D 22．（2013年高考安徽（文））函数()yfx的图像如图所示,在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数
12,,,nxxx,使得1212()()()nnfxfxfxxxx,则n的取值范围为 （ ）
A．2,3 B．2,3,4 C．3,4 D．3,4,5
【答案】B 23．（2013年湖北（文））小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快
速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 【答案】C 24．（2013年高考湖南（文））已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 二、填空题
25．（2013年高考安徽（文））定义在R上的函数()fx满足(1)2()fxfx.若当01x时.()(1)fxxx,
则当10x时,()fx=________________. 【答案】(1)()2xxfx
26．（2013年高考大纲卷（文））设21,3=fxxfx是以为周期的函数，且当时，____________. 【答案】-1
27．（2013年高考北京卷（文））函数f(x)=12log,12,1xxxx的值域为_________. 【答案】(-∞,2) 28．（2013年高考安徽（文））函数21ln(1)1yxx的定义域为_____________.
【答案】0,1
29．（2013年高考浙江卷（文））已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________. 【答案】10
30．（2013年高考福建卷（文））已知函数20,tan0,2)(3xxxxxf,则))4((ff________ 【答案】2
.
距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B
C D
时间 时间 时间 时间
O O O O
距学校的距离 31．（2013年高考四川卷（文））lg5lg20的值是___________.
【答案】1 32．（2013年上海高考数学试题（文科））方程91331xx的实数解为_______.
【答案】3
log4
三、解答题
33．（2013年高考江西卷（文））设函数1,0()1(1),11xxaafxxaxa a 为 常数且a∈(0,1).
(1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数()fx有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2; (3) 对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间
[13,12]上的最大值和最小值.
【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333ffff＝
(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)xxaaaxaxaaaffxxaaxaaaxaaxaa 当20xa时,由21xxa解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2axa时由1()(1)axxaa解得21axaa2(,),aa 因222211()1111aaafaaaaaaaaa 故21axaa是f(x)的二阶周期点; [来源:Z,xx,k.Com]
当21axaa时,由21()(1)xaxa解得12xa2(,1)aaa