高中数学3.2抛物线第1课时同步精练北师大版选修2_1【含答案】

高中数学 3.2 抛物线第1课时同步精练 北师大版选修2-1
1．抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标为( )
A ．(0,1)
B ．(1,0)
C ．(0,2)
D ．(2,0)
2．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，则抛物线的方程可能是( )
A ．x 2＝－256y
B ．x 2
＝－2512
y
C ．x 2＝－365y
D ．x 2
＝－2524
y
3．抛物线x 2
＝14
y 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( )
A .1716
B.7
8
C ．1 D.
1516
4．抛物线y 2
＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝12x
C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝20x
5．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )
A ．x 1，x 2，x 3成等差数列
B ．x 1，x 3，x 2成等差数列
C ．y 1，y 2，y 3成等差数列
D ．y 1，y 3，y 2成等差数列
6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
7．已知过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝__________.
8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．
9．若点P 到点(1,0)的距离比到直线x ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是________． 10.如图，AB 为抛物线y=x 2
上的动弦，且|AB|=a(a 为常数，且a ≥1)，求弦AB 的中点M 与x 轴的最近距离．
11．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在直线3x ＋4y －12＝0上； (2)焦点是(－2,0)； (3)准线是y ＝－3
2；
(4)焦点到准线的距离是2； (5)焦点到直线x ＝－5的距离是8.
12．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后此船露在水面上的部分高为3
4 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不
能通航？
参考答案
1. 解析：(直接计算法)因为p ＝2，所以抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标为(1,0)，应选B. 答案：B 2. 答案：A
3. 解析：由准线方程为y ＝－1
16，可知M 到准线的距离为1，∴点M 到x 轴的距离等于
1－116＝1516
. 答案：D
4. 解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴抛物线方程为y 2
＝8x .
答案：A
5. 解析：由定义，知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|CF |＝x 3＋p
2.
∵|AF |，|BF |，|CF |成等差数列， ∴2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋p 2，
即2x 2＝x 1＋x 3.故选A. 答案：A
6. 解析：由已知可得抛物线y 2
＝ax 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0.过焦点且斜率为2的直
线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2，故点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－a 2.由题意可得12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2
＝64，∴a ＝±8.
答案：B
7. 解析：设点A 的坐标为(x ，y )． 因为|AF |＝2，所以x －(－1)＝2， 所以x ＝1.所以A (1，±2)．
又点F 的坐标为(1,0)，所以|BF |＝|AF |＝2. 答案：2
8. 解析：OA 的垂直平分线交x 轴于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫54，0，此为抛物线的焦点，故准线方程为x ＝
－54
. 答案：x ＝－5
4
9. 解析：(方法1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得(x －1)2
＋y 2
＋1＝|x ＋2|，
∴(x －1)2＋y 2
＝|x ＋2|－1＝x ＋1. 两边平方得(x －1)2
＋y 2
＝(x ＋1)2
，
∴x 2
－2x ＋1＋y 2
＝x 2
＋2x ＋1，∴y 2
＝4x ，∴点P 的轨迹方程为y 2
＝4x . (方法2)由题意可知，点P 到点 (1,0)的距离比到直线x ＋2＝0的距离小1， ∴点P 到点(1,0)与到x ＋1＝0的距离相等．
故点P 的轨迹是以(1,0)为焦点，x ＋1＝0为准线的抛物线，其方程为y 2
＝4x . 答案：y 2
＝4x
10. 解：设点A ，M ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3.A ，M ，B 三点在抛物线准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′(如图)．
由抛物线的定义，得
|AF |＝|AA ′|＝y 1＋p 2＝y 1＋1
4，
|BF |＝|BB ′|＝y 3＋p 2＝y 3＋1
4
，
∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－1
4.
又M 是线段AB 的中点，
∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫|AF |＋|BF |－12≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12.等号在AB 过焦点F 时成
立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，M 点与x 轴的距离最小，最小值为12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －12.
11. 解：(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3)，故抛物线有两种情况： 焦点为(4,0)时，p 2＝4，∴p ＝8，∴方程为y 2
＝16x ；
焦点为(0,3)时，p
2＝3，∴p ＝6，∴方程为x 2
＝12y .
故所求方程为y 2
＝16x 或x 2
＝12y .
(2)焦点为(－2,0)，∴p
2
＝2，∴p ＝4，∴方程为y 2
＝－8x .
(3)准线为y ＝－32，∴p 2＝32，∴p ＝3，开口向上，∴方程为x 2
＝6y .
(4)由于p ＝2，开口方向不确定，故有四种情况． ∴方程为y 2
＝4x 或y 2
＝－4x 或x 2
＝4y 或x 2
＝－4y .
(5)焦点在x 轴上，设为(x 0,0)，∴|x 0＋5|＝8，∴x 0＝3或x 0＝－13， ∴焦点为(3,0)或(－13,0)，∴p
2＝3或－13，∴p ＝6或－26.
∴方程为y 2
＝12x 或y 2
＝－52x .
12. 解：以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为
x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知，点A (4，－5)在抛物线上(设AA ′为水面宽，且AA ′＝8 m)，
所以16＝－2p ×(－5),2p ＝
165，所以抛物线方程为x 2
＝－165
y (－4≤x ≤4)，设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B ，B ′(B ′与B 关于y 轴对称)时，船开始不能通航，设B 点坐标为(2，y )，由22
＝－165y ，得y ＝－54，此时水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝54＋34
＝2(m)．
故水面上涨到与拱顶相距2 m 时，船开始不能通航．。