2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）题号 一 总分 得分一、选择题（本大题共23小题，共115.0分）1. 已知集合M ={x |-4＜x ＜2}，N ={x |x 2-x -6＜0}，则M ∩N =（ ）A. {x|−4<x <3}B. {x|−4<x <−2}C. {x|−2<x <2}D. {x|2<x <3}2. 设复数z 满足|z －i |＝1，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（）A. (x +1)2+y 2=1B. (x −1)2+y 2=1C. x 2+(y −1)2=1 D. x 2+(y +1)2=13. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm 5. 函数f （x ）=sinx+xcosx+x 2在[-π，π]的图象大致为（ ）A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A. 516B. 1132C. 2132D. 11167.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（）A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（）A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（）A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π2,π）单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12. 已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π 13. 曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5＝________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_____．16. 已知双曲线C ：x 2a 2-y2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为______．17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B -sin C ）2=sin 2A -sin B sin C ．（1）求A ；（2）若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB |． 20. 已知函数f （x ）=sin x -ln （1+x ），f ′(x )为f （x ）的导数．证明：（1）f ′(x )在区间（-1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．21. 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i （i =0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0=0，p 8=1，p i =ap i -1+bp i +cp i +1（i =1，2，…，7），其中a =P （X =-1），b =P （X =0），c =P （X =1）．假设α=0.5，β=0.8．（i ）证明：{p i +1-p i }（i =0，1，2，…，7）为等比数列； （ii ）求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t1+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，∴M∩N={x|-2＜x＜2}．故选：C．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．由z在复平面内对应的点为（x，y），可得z=x+yi，然后根据|z-i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z=x+yi，∴z-i=x+（y-1）i，∴|z-i|=，∴x2+（y-1）2=1，故选C．3.【答案】B【解析】解：a=log20.2＜log21=0，b=20.2＞20=1，∵0＜0.20.3＜0.20=1，∴c=0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．4.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选：B．充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f （x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f（x）=，x∈[-π，π]，∴f（-x）==-=-f（x），∴f（x）为[-π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（）=，因此排除B，C.故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，则该重卦恰有3个阳爻的概率P===．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由（-）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：∵（-）⊥，∴=，∴==，∵，∴．故选B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=，k=1；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=2；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=．故选A．9.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4=0，a5=5，得，∴，∴a n=2n-5，，故选：A．根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=，∴|AF2|=a，|BF1|=a，则|AF2|=||=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=．b2=a2-c2=3-1=2．所以椭圆C的方程为：+=1．故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：f（-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sinx|=f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确；当x∈（，π）时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f（x）=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误；当0≤x≤π时，f（x）=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f（x）=0，得2sinx=0，即x=0或x=π，由f（x）是偶函数，得在[-π，0）上还有一个零点x=-π，即函数f（x）在[-π，π]有3个零点，故③错误；当sin|x|=1，|sinx|=1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．12.【答案】D【解析】解：如图，由PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P-ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG=O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF=90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D=．半径为，则球O的体积为．故选：D．由题意画出图形，证明三棱锥P-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积．本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．对y=3（x2+x）e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3（x2+x）e x，∴y'=3（2x+1）e x+3（x2+x）e x=3e x（x2+3x+1），∴当x=0时，y'=3，∴y=3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由a42=a6，得q6a12=q5a1＞0，即q＞0，q=3，则S5==，故答案为.15.【答案】0.18【解析】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p=p1+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18．故答案为：0.18．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】2【解析】解：如图，∵=，且•=0，∴OA⊥F1B，则F1B：y=，联立，解得B（，），则，整理得：b2=3a2，∴c2-a2=3a2，即4a2=c2，∴，e=．故答案为：2．由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y=联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B-sin C）2=sin2A-sin B sin C．则sin2B+sin2C-2sin B sin C=sin2A-sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵0＜A＜π，∴A=π3．（2）∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C -π6）=√22，∴C -π6=π4，C =π4+π6，∴sin C =sin （π4+π6）=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】（1）由正弦定理得：b 2+c 2-a 2=bc ，再由余弦定理能求出A ． （2）由已知及正弦定理可得：sin （C-）=，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：如图，过N 作NH ⊥AD ，则NH ∥AA 1，且NH =12AA 1，又MB ∥AA 1，MB =12AA 1，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM ∥BH ，由NH ∥AA 1，N 为A 1D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，∴BE ∥DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH ∥DE ， ∴NM ∥DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN ∥平面C 1DE ；（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N （√32，−12，2），M （√3，1，2），A 1（√3，-1，4），NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，−12，2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m ⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3，−1，−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1，0，0)，∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155．∴二面角A -MA 1-N 的正弦值为√105．【解析】（1）过N 作NH ⊥AD ，证明NM ∥BH ，再证明BH ∥DE ，可得NM ∥DE ，再由线面平行的判定可得MN ∥平面C 1DE ；（2）以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-MA 1-N 的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：（1）设直线l 的方程为y =32（x -t ），将其代入抛物线y 2=3x 得：94x 2-（92t +3）x +94t 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=92t+394=2t +43，①，x 1x 2=t 2 ②，由抛物线的定义可得：|AF |+|BF |=x 1+x 2+p =2t +43+32=4，解得t =712， 直线l 的方程为y =32x -78． （2）若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则y 1=-3y 2， ∴32（x 1-t ）=-3×32（x 2-t ），化简得x 1=-3x 2+4t ，③ 由①②③解得t =1，x 1=3，x 2=13，∴|AB |=√1+94√(3+13)2−4=4√133．【解析】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，也考查了向量有关知识，属中档题．（1）很具韦达定理以及抛物线的定义可得；（2）若=3，则y1=-3y2，⇒x1=-3x2+4t，再结合韦达定理可解得t=1，x1=3，x2=，再用弦长公式可得．20.【答案】证明：（1）f（x）的定义域为（-1，+∞），令f′(x)=h(x)=cos x−11+x ，h′（x）=-sin x+1(1+x)2，令g（x）=-sin x+1(1+x)2，则g′（x）=-cos x−2(1+x)3＜0在（-1，π2）恒成立，∴h′（x）在（-1，π2）上为减函数，又∵h′（0）=1，h′（π2）=-1+1(1+π2)2＜-1+1=0，由零点存在定理可知，函数h′（x）在（-1，π2）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′(x)在（-1，x0）上单调递增，在（x0，π2）上单调递减，、可得f′(x)在区间（-1，π2）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x∈（-1，0）时，f′(x)单调递增，f′(x)＜f′（0）=0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′(x)单调递增，f′(x)＞f′（0）=0，f（x）单调递增；由于f′(x)在（x0，π2）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（π2）=−11+π2＜0，由零点存在定理可知，函数f′(x)在（x0，π2）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f′(x)单调递减，f′(x)＞f′（x1）=0，f（x）单调递增；当x∈（x1，π2）时，f′(x)单调递减，f′(x)＜f′（x1）=0，f（x）单调递减．当x∈（π2，π）时，cos x＜0，-11+x＜0，于是f′(x)=cos x-11+x＜0，f（x）单调递减，其中f（π2）=1-ln（1+π2）＞1-ln（1+3.22）=1-ln2.6＞1-ln e=0，f（π）=-ln（1+π）＜-ln3＜0．于是可得下表：x（-1，0）0（0，x1）x1（x1，π2）π2（π2，π）πf′(x)- 0+0----f（x）减函数 0增函数大于0减函数大于0减函数小于0结合单调性可知，函数f（x）在（-1，π2]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（π2，π）上有且只有一个零点x2，当x∈[π，+∞）时，f（x）=sin x-ln（1+x）＜1-ln（1+π）＜1-ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．综上，f（x）有且仅有2个零点．【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．（1）f（x）的定义域为（-1，+∞），求出原函数的导函数,令=h(x)=cosx ，进一步求导，得到h（x）在（-1，）上为减函数，结合h（0）=1，h（）=-1+＜-1+1=0，由零点存在定理可知，函数h（x）在（-1，）上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（-1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，可得在区间（-1，）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x∈（-1，0）时，＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＜0，可得函数在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f（x）单调递增；当x∈（）时，f（x）单调递减．当x∈（，π）时，f（x）单调递减，再由f（）＞0，f（π）＜0．然后列x，与f （x）的变化情况表得答案．21.【答案】（1）解：X的所有可能取值为-1，0，1．P（X=-1）=（1-α）β，P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β），P（X=1）=α（1-β），X-1 0 1P（1-α）βαβ+（1-α）（1-β）α（1-β）（2）（i）证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由（1）得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1（i=1，2，…，7），故0.1（p i+1-p i）=0.4（p i-p i-1），即（p i+1-p i）=4（p i-p i-1），又∵p1-p0=p1≠0，∴{p i+1-p i}（i=0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；（ii）解：由（i）可得，p8=（p8-p7）+（p7-p6）+…+（p1-p0）+p0=p1(1−48)1−4=48−13P1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴P 4=（p 4-p 3）+（p 3-p 2）+（p 2-p 1）+（p 1-p 0）+p 0=44−13p 1=1257．P 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． （1）由题意可得X 的所有可能取值为-1，0，1，再由相互独立试验的概率求P （X=-1），P （X=0），P （X=1）的值，则X 的分布列可求；（2）（i ）由α=0.5，β=0.8结合（1）求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i-1+bp i +cp i+1，得到（p i+1-p i ）=4（p i -p i-1），由p 1-p 0=p 1≠0，可得{p i+1-p i }（i=0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 1的等比数列；（ii ）由（i ）可得，p 8=（p 8-p 7）+（p 7-p 6）+…+（p 1-p 0）+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=，进一步求得p 4=．P 4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α=0.5，β=0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．22.【答案】解：（1）由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2（t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y2=2t1+t 2，两式平方相加，得x 2+y 24=1（x ≠-1），∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1（x ≠-1），由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0， 即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0.（2）设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0，联立{2x+√3y+m=0 4x2+y2−4=0，得16x2+4mx+m2-12=0．由△=16m2-64（m2-12）=0，得m=±4,∴当m=4时，直线2x+√3y+4=0与曲线C的切点到直线2x+√3y+11=0的距离最小，即为直线2x+√3y+4=0与直线2x+√3y+11=0之间的距离|11−4|√22+3=√7．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11=0，可得直线l的直角坐标方程.（2）写出与直线l平行的直线方程为，与曲线C联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．23.【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc=1．要证（1）1a +1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc=1．就要证：abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab≥0（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．∴（a-b）2≥0；（a-c）2≥0；（b-c）2≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc=1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）=（b+c）=（c+a）时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．（a+b）≥2√ab；（b+c）≥2√bc；（c+a）≥2√ac；当且仅当a=b，b=c；c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8√ab•√bc•√ac=24abc=24；当且仅当a=b=c=1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．【解析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．。