1.4.1正弦函数、余弦函数的图像和性质
1.4.1正弦余弦函数图像与性质
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
,0)( 2
2,0)
x
( 2
((((((,,0,00),)0,),(1003))2))(32,(-32,(132,)1((3,)3(121(123(13)23))2,)2,1-,1-,),--)
,0) ( 2
,0)( 2 ,0)( 2 (,02) (,(0,202)) ,0)
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=cos|x|, x∈ [ 0,2π] 2、y=sin|x|, x ∈[ 0,2π] 3、y=-sinx, x ∈[ 0,2π]
正弦函数、余弦函数的图象
X
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
y 1
7 6
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来
3 2 11 6
O1
A O
-1
6
3
2
2 3
5 6
4 3
5 3
2
x
y=sinx ( x [0, 2 ] )
问题2:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
f ( x 2k ) f ( x)
利用图象平移
(1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合；
1 (2)写出满足不等式 sin x , x 0,2 的x的取值集合； 2
练习讲解： (1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合；
y 1
2
o -1
2
3 2
y
1
2
o
-1
2
3 2
2
x
y cos x
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
例2.画出函数
x
0
y 1
y cos x，x [0,2 ] 的简图： 3
2
0 0
cosx - cosx
1 -1
-1 1
2 0 0
2
1 -1
y=cosx，x[0, 2]
2
几何画法
五点描图法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
2
y=cosx，x [0, 2π]
2
o -1
3 2
2
x
y=sinx，x [0, 2π]
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑了解利用单位圆中正弦线画出正弦曲线的画法及原理.2﹑理解余弦曲线与正弦曲线的联系，在正弦函数的基础上，能正确利用诱导公式作出余弦函数图像.3﹑能熟练掌握“五点法”作图的步骤，会用“五点法”画出正弦函数﹑余弦函数的简图.【重点难点】▲重点：利用“五点法”画出正弦函数﹑余弦函数的简图.▲难点：利用正弦线画出正弦函数的图像﹑余弦曲线和正弦曲线的联系.【知识链接】1﹑请回顾诱导公式一﹑公式五﹑公式六的内容：2﹑在单位圆中，作出任意角的正弦线﹑余弦线﹑正切线.3﹑平静的水面，投下一颗石子，荡起阵阵水波；艺术体操中的带操，运动员将带子的一头固定在一根棒上，抓住棒上下震动，带子变成波浪形…，光波﹑声波﹑电磁波传播的波动图与我们即将学习的三角函数的图像有相似之处.【学习过程】一、预习案阅读课本第30页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:正弦函数﹑余弦函数的定义及其图像的直观认识问题1﹑请从函数的定义角度说明x y sin =)cos (x y =或叫正弦函数（或余弦函数）.问题2﹑制作一个简易单摆，动手做一下. “简谐运动”实验，并分析其图像特点.阅读课本第30页到32页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 正弦函数﹑余弦函数的图像问题1﹑请在单位圆中作出]2,0[π内角的正弦线？并思考通过怎样的变化能利用正弦线得到x y sin =，]2,0[π∈x 的图像？问题2﹑怎样由x y sin =，]2,0[π∈x 的图像得到R x x y ∈=,sin 的图像？其理论依据是什么？温馨提示：作正弦函数x y sin =的图像，关键是得到]2,0[π∈x 上的图像，只要将]2,0[π∈x 上的图像画出，就可以通过平移得到R x ∈的图像.问题3﹑x y cos =与)2sin(π+=x y 有何关系？怎样由x y sin =的图像通过图像变换得到x y cos =的图像？问题4﹑正弦函数的图像叫 ，在正弦函数图像中，你能发现起关键作用的点有哪几个？相信你一定能找出来，这些点有什么特点？问题5﹑余弦函数的图像叫 ，类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？填入下表，并作出x y cos =，]2,0[π∈x 的图像. xx cos提示：在精确度要求不高时,“五点法”作正余弦函数的图像是极为有效的方法，应引起足够的重视.二、探究案阅读课本第32页到33页的内容，尝试回答以下问题：知识点3: 正﹑余弦函数图像的应用例1﹑画出下列函数在一个周期内的简图.①x y sin 1-= ②)3cos(π-=x y问题1﹑作函数图像有哪几步？问题2﹑用过上述步骤作出x y sin 1-=，]2,0[π∈x 的图像，并从函数图像变换的角度分析x y sin 1-=，]2,0[π∈x 与x y sin =，x y sin =的图像关系.问题3﹑用“五点法”作出)3cos(π-=x y 的图像，关键是把看做一个整体，令3π-x 分别为ππππ2,23,,2,0时x 分别应取多少？完成下表 x3π-x 0 2ππ 23π π2 )3cos(π-=x y 问题4﹑作出)3cos(π-=x y 的简图，并分析其图像怎样由]2,0[π∈x ，x y cos =得图像变换得到.三、训练案【基础达标】A1﹑作出函数1)4sin(++=πx y 在]2,0[π∈x 的图像.B2﹑方程10sin xx =的根的个数为（ ）A ﹑7B ﹑8 ﹑C9 D ﹑10B3﹑函数x x f cos )(=图像的对称轴是（ ） A ﹑Z ∈=k k x ,πB ﹑Z ∈+=k k x ,2ππ C Z ∈+=k k x ,42ππD Z ∈-=k k x ,32ππ【当堂检测】A1﹑作函数]2,0[,1cos 3)(π∈-=x x x f 的简图B2﹑在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围是（ ） A ﹑)45,()2,4(ππππ B ﹑),4(ππC ﹑)45,4(ππD ﹑)23,45(),4(ππππ【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是。
正弦函数、余弦函数图象
3 3 2 2
2 2
yy
2-
(3)连线
y 1 sin x, x [0,2 ] y cos x, x [0,2 ]
2
01 00
1 0 1 -1
1- 1
oo 1 - 1
2
思考：能否从图象变换的角度出 发得到（1）（2）的图象？
3 3 2
y sin x, x [0,2 ]
1-
1)
与x轴的交点 (2 ,1)
( ,0) ( 32 ,0) 2
x
-
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点 ( ,1)
问题迁移，方法升华
五点法所作图象的规律是：
横轴五点排均匀， 上下顶点圆滑行；
上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
5 6
7 4 3 6 3 2
● ● ●
5 11 3 6 2
● ● ●
●
x
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
作法形成，动手操作
思考6:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx sin(x+2k)=sinx, kZ x[0,2] 利用图象平移 y
y=2sinx y=sinx
0
X
课堂小结 布置作业
小结
请结合本节课的学习谈谈你学到了哪些数学 知识、数学方法和数学思想？
几何作图法（三角函数线）
正弦曲线、余弦曲线作法 描点法（五点法）
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
答案：C
4．不等式 cosx<0，x∈[0,2π]的解集为( ) π 3π π 3π A．(2， 2 ) B．[2， 2 ] 答案：A π π C．(0，2) D．(2，2π)
3 5．在[0,2π]上，满足 sinx≥ 2 的 x 取值范围是( π π 5π A．[0，6] B．[6， 6 ] 2π π 2π C．[3， 3 ] D．[ 3 ，π] )
B
y 1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y=sinx ( x [0, 2 ] )
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
f ( x 2k ) f ( x)
利用图象平移
y
1 4 3 2
正弦曲线
o
-1
y 1
2
( 2 ,1)
五个关键点：
x
sinx
(π,0) ( 2π,0) (0,0) ( 2,0) ( ,0) 3 o x 2 (0,0) ( ,0) 2 2 ( 2 ,1) ( 2 (0,0) ,0) -1 ( ( 3,-1) ( 2 ,1) ( 2 3 (0,0 ,0) 2 3 (3 ,1) ( ( ,0) 2 2 ( 2 ,1) (,1) ) (0,0 ( ( 32 ,1) ( ,0) ,0) 2 2( 3,1) ,0) ( ,0) ( 2 2 3 ) (0,0 ( 2 ,1) ( (0,0 3 3(2 ,) ( 2,1) ( 2,0) ( ,0) (0,0 ( 2(1) 2 ,,- ,-1) ) ( ( ,1) (0,0) ,0) ( 2π,0) ,0)π ,0) 1) ) 1) 2 2
1.4.1正弦函数,余弦函数的图像与性质
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）
二，例题讲解
例1求下列函数的周期：
(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(2)y＝2sin( x－ )(x∈R)
解：(1)∵y＝cosx的周期是2π
∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现
∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π
即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．
只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现
∴y＝sin2x的周期是π
(3)令Z＝ x－ ，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝( x－ )＋2π＝ (x＋4π)－ ，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－ ］＝2sin( x－ )成立的最小正数
｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋ห้องสมุดไป่ตู้kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
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1.4.1正弦函数、余弦函数的图像和性质
1．函数2cos +=x y 的最大值是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
2．要得到1sin +=x y 的图像只需要将x y sin =的图像（ ）
A ．左移一个单位
B ．右移一个单位
C ．上移一个单位
D ．下移一个单位
3．要得到x y cos -=的图像只需要将x y cos =的图像（ ）
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于原点对称
D ．下移一个单位
4．要得到)3sin(π+
=x y 的图像只需要将x y sin =的图像（ ） A ．左移
3π个单位 B ．右移3π个单位 C ．上移3π
个单位 D ．下移3
π个单位 5．函数]3
2,6[,sin ππ∈=x x y 的值域（ ） A ．]1,1[-
B ．]1,2
1[ C ．]23,21[ D ．]1,23[ 6．函数x y 2sin -=取到最小值时自变量x 的集合是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,223ππ B ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,24ππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,43ππ D ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,4ππ 7．要得到函数y =cos x 的图像，只需要把y =sin x 的图像向 平移 单位即可，那是
因为cos x =
8．函数x y sin log 2
1=的定义域为 ；
9．函数1sin 2-=x y 的定义域为 ；
10．若函数b x a x f +=sin )(的最大值是3，最小值是0，则a = ，b = ；
11．画出下列函数图象的简图：
(1)]2,2[,sin ππ-∈=x x y (2)].,0[,1cos 2π∈+=x x y
12．方程cos x =lg x 的实根个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
13．函数x x y cos lg 362+-=的定义域
14. 求5sin 4cos )(2+-=x x x f 的最大值与最小值，并写出取得最大值与最小值的自变量
x 的集合.
15．作出函数{}[]π2,0,cos ,sin m ax )(∈=x x x x f 的图像,若k x f =)(有两个解，求k 的取值范
围.。