专题09 平面向量 9.3三角形四心及面积问题题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

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平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】

平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。

在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。

因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。

四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。

2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。

垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。

2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。

外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。

2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。

内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。

2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。

下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。

A。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。

三角形“四心”问题

三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

专题：平面向量与三角形四心问题

专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形，故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心），则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则（图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+，即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质（图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心（1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。

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平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0A如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则OB C图 1BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OCBC BCAOS BOB S C OC S B S C S B S CBDCOD SBODSCODSBODSCOD S AOA SBOASCOASBOASCOA S B S C图2ODS AOA S B S CS A OA S B OB S C OCS C S BS B S C S B S CS A? OA S B? OB S C? OC 0推论 O 是 ABC 内的一点，且x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心S BOC: S COA: SO 是ABC 的内心S BOC: S COA: SO 是ABC 的外心S BOC: S COA: S AOBAOBAOB1:1:1OA OB OC0a :b :c a ?OA b ?OB c ?OC0sin 2A :sin 2B : sin 2Csin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0O 是ABC 的垂心S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0COA D B证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD, tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DBS BOC: S COA DB : ADS BOC: S COA tan A : tan B同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2 ：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB=PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.34.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.15.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或357.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.7212.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO =λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.3513.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =016.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =017.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78 B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =1418.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-420.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC=0 B.AG ⋅BC =-73C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC三、填空题公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA =1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB =___________．24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN=2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.26.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0，则∠A =___________．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．28.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC=___________公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC，由已知得BC=a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +ACAC，即AP =λAB AB +ACAC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB =IA+AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB+cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +cAC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC =-bca +b +c AB c +AC b=-bca +b +c AB AB +AC AC，所以IA在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA =PB=PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB|⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA+OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2，得BH ⋅HC=CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB+6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC=0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC.故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB2=12AB 2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC=0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF=13λAE +13μAF，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB ABcos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C ACcos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +ACACcos C 与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公∴AB AB cos B +ACACcos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB+12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA=2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC=35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×ADAO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC=36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC=0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO=13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：C .11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab=22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选:C12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB =OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC )，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公。

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，

+ ��
sin

= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1

2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；

三角形四心的向量问题

三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O C O B O A ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为ABAB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

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专题九《平面向量》讲义 9.3 三角形四心及面积问题
题型一. 三角形四心考点1.重心
1．已知△ABC 和点M 满足MA →
+MB →
+MC →
=0→
．若存在实数m 使得AM →
=m(AB →
+AC →
)成立，则m ＝（） A ．1
B ．1
2
C ．1
3
D ．1
4
2．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →
=OA →
+λ
（
AB
→
|AB →
|sinB
+
AC
→
|AC →
|sinC
）λ∈[0，+∞），则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
3．已知点P 是△ABC 所在平面内，且使得|PA →
|2
+|PB →
|2
+|PC →
|2取得最小值的点，则点P 是△ABC 的（） A ．重心 B ．外心
C ．垂心
D ．内心
考点2.内心
1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →
=OA →
+λ(
AB →
|AB →
|
+
AC
→|AC →
|
)，λ∈[0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的心．
2．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 所对的边的分别为a ，b ，c ，若aOA →
+bOB →
+cOC →
=0→
，则O 是△ABC 的（） A ．重心 B ．垂心
C ．外心
D ．内心
考点3.外心
1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →
⋅(CB →
+CA →
)=2AB →
⋅CP →
，且|AP →
|=|CP →
|．则点P 是△ABC 的（） A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →⋅(CB →
+CA →
)=2AB →
⋅CP →
且AB →2
=AC →2
−2BC →
⋅AP →
．则点P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心
C ．重心
D ．垂心
考点4.垂心
1．已知O 为△ABC 所在平面上一点，且OA →
2+BC →
2=OB →
2+CA →
2=OC →
2+AB →
2，则O 一定为△ABC 的（） A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →
=OA →
+λ(
AB
→
|AB →
|cos∠ABC
+
AC
→
|AC →
|cos∠BCA
)，λ∈R ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
题型二. 面积问题——奔驰定理
1．已知点O 为三角形ABC 内一点，OA →
+2OB →
+3OC →
=0→
，则
S △ABC
S △AOC
= ．
2．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →
=13AB →+12AC →
，则S △BCD S △ABD
=（）
A ．1
6
B ．1
3
C ．1
2
D ．2
3
3．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足|3AM →
−AB →
−AC →
|=0，则△ABM 与△ABC 的面积之比值为．
4．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →
=a →
，OB →
=b →
，则△OAB 的面积等于（）
A ．√|a →|2|b →
|2−(a →
⋅b →
)2
B ．√|a →|2|b →
|2+(a →
⋅b →
)2
C ．
12
√|a →|2|b →|2
−(a →
⋅b →)2
D ．
12
√|a →|2|b →|2
+(a →
⋅b →)2
5．已知点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1）．若平面区域D 由所有满足AP →
=λAB →
+μAC →
（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为．
6．设 P 、Q 为△ABC 内的两点，且AP →
=2
5
AB →
+15
AC →，AQ →
=14
AB →
+23
AC →
，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为（） A ．4
5
B ．8
5
C ．4
3
D ．
3
10。