行列式和特征值关系
线性代数行列式基本概念
目录一、行列式1二、矩阵特征值1三、正定矩阵2四、幺模矩阵3五、顺序主子阵4六、正定二次型6七、矩阵的秩6八、初等变换〔elementary transformation〕7一、行列式见ppt。
二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，那么称m 是A的一个特征值〔characteristic value)或本征值〔eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于〔对应于〕特征值m 的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。
|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，那么|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 那么矩阵A的特征值m 一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。
三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵)，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵〔或厄米矩阵〕也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。
非奇异矩阵的定义：假设n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，那么称A为非奇异矩2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析
Al=[l,2,3;4,5,6] B1=det(A1) C1=trace(A1)
2.2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵主对角线元素的总和。 也等于矩阵特征值的总和。
运算符：trace() 注意：要求矩阵是方阵
3.矩阵的特征值分析
E=eig(A ) 求矩阵A的全部特征值， 并构成向量E
[V,D]=eig(A )求矩阵A的全部特征值，构成 对角矩阵D；求A的特征向量 构成列向量V。
例2.4一1
矩阵的行列式、秩与迹 及特征值分析
主要内容
矩阵的行列式 矩 阵的秩与迹 矩阵 的特征值分析
1・矩阵的行列 式
运算符：det() 注意：用于求方阵阵的秩 矩阵的秩是矩阵的列向量组(或行向量组) 的任一极大线性无关组所含向量的个数。
运算符：rank()
2.矩阵的秩与迹
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
线性代数：矩阵、行列式和特征值
线性代数：矩阵、行列式和特征值线性代数是一门数学分支，它研究了向量空间与线性映射的性质，并且应用来解决大量的问题。
在线性代数的研究过程中，矩阵、行列式和特征值是重要的概念，下面我们将详细讨论它们的定义和应用。
1、矩阵：矩阵是由 m 行 n 列的数按照行列顺序排列形成的一个矩形，其中每一个数被称为元素。
矩阵通常用大写字母来表示，例如A、B 或 C。
其中，A 代表一个 m 行 n 列的矩阵，它的第 i 行和第j 列的元素为 Aij。
矩阵的加减法当两个矩阵 A 和 B 相加或相减时，它们需要满足相同的行列数。
其计算方法如下：A +B = [Aij + Bij]A -B = [Aij - Bij]其中，A 和 B 表示两个相加或相减的矩阵。
矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵中最基本的运算之一，在矩阵乘法中，两个矩阵 A 和 B 被称为相乘的矩阵。
其中，A 是一个 m 行 n 列的矩阵，B 是一个 n 行 p 列的矩阵。
其计算方法如下：A ×B = CCi,j = Aij × Bj,k其中，1 ≤ i ≤ m、1 ≤ j ≤ p、1 ≤ k ≤ n，Ci,j 表示结果矩阵 C 中的第 i 行和第 j 列的元素。
矩阵的转置矩阵的转置是将原矩阵的行和列交换得到的一种新矩阵。
其中，转置矩阵的行数和列数与原矩阵相反。
例如，原矩阵 A 为一个 m 行n 列的矩阵，则其转置矩阵 AT 为一个 n 行 m 列的矩阵。
2、行列式：行列式是一个方阵所对应的一个数值。
其中，行列式的计算方法较为复杂，其计算方法通常都是采用多次的对角线展开和计算所得。
行列式的计算公式如下：|A| = a11a22...ann + a21a32...an1a1n + ... +an1an2...a(n-1)n其中，a11、a22、...、ann 分别表示 A 矩阵中的对角线元素，除对角线位置的元素外，其余元素分别表示为 aij。
3、特征值：特征值是线性变换在特定方向上的伸缩因子，矩阵A 所对应的特征值λ 的定义如下：Ax = λx其中，x 为特征向量。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来判断线性方程组的解的情况，也可以应用在向量空间、线性变换等诸多领域。
行列式的计算方法主要有初等变换法、代数余子式法和特征值法等。
初等变换法是最常用的计算行列式的方法之一。
它的基本思想是通过对行列式进行一系列的初等行变换，将其化为一个简单的行列式进行求解。
初等行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、将某一行的常数倍加到另一行等操作。
对于一个2×2的行列式A，其计算公式为：| A | = a11* a22 - a12 * a21而对于一个n×n的行列式A，可以通过将其化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算。
代数余子式法是另一种计算行列式的方法。
它的基本思想是将行列式的展开式转化为代数余子式相加的形式。
代数余子式是指除去行列式中的某一行和某一列后，剩下的元素按原来的顺序构成的一个新的行列式。
通过将行列式展开为代数余子式的和，可以将计算行列式的问题转化为计算若干个较小规模的行列式的问题。
代数余子式的计算比较繁琐，需要使用递归的方法，但对于规模较大的行列式，代数余子式法是比较有效的方法。
特征值法是通过求解方程组的特征值和特征向量来计算行列式。
特征值是一个方阵A 的线性变换在某个特征方向上的伸缩因子，特征向量是对应于特征值的一个非零向量。
特征值和特征向量可以通过求解方程组A-λI=0来获得，其中I为单位矩阵。
而行列式的计算公式为行列式的特征值等于其主对角线上元素的乘积。
通过求解特征值和特征向量，可以将行列式的计算问题转化为求解方程组的问题。
除了以上常用的计算方法外，还有一些其他的特殊情况下的行列式计算方法。
对于三角矩阵来说，其行列式等于主对角线上元素的乘积。
对于对称矩阵来说，可以通过对角化将其化为对角矩阵，从而简化计算。
行列式的计算方法有很多种，初等变换法、代数余子式法和特征值法是比较常见的几种方法。
根据不同的问题和矩阵的性质，选择合适的计算方法可以简化问题，并提高计算的效率。
第八章矩阵特征值
第八章矩阵特征值8.1特征值的定义在线性代数中，一个n阶方阵A的特征值（Eigenvalue）是指一个标量λ，使得下面的等式成立：Ax=λx其中x是一个非零的n维向量，被称为对应于特征值λ的特征向量（Eigenvector）。
特别地，一些情况下，我们有:AX=λX。
这是一个常见的特殊情况，被称为多重特征值（Multiple Eigenvalues）。
8.2特征值与特征向量的求解我们可以通过以下方式求解矩阵的特征值与特征向量。
1.设A是一个n阶方阵，特征值为λ，特征向量为X，我们有AX=λX。
2.将等式重写为AX–λX=0，再移项得到(A–λI)x=0。
3.构造(A–λI)矩阵，其中I是单位矩阵。
4.解方程组(A–λI)X=0，求解零空间的基础解系（基础特征向量）。
5.基础特征向量的线性组合即为所有特征向量。
8.3特征值的性质矩阵的特征值具有一些性质，包括：1.特征值的个数等于矩阵的阶数。
一个n阶矩阵A最多有n个不同的特征值。
2.特征值的乘积等于矩阵的行列式。
即特征值λ1，λ2，…，λn与矩阵A的特征多项式p(λ)=，A-λI，的系数关系为λ^n+a_{n-1}λ^(n-1)+…+a_1λ+a_0。
3.特征值的和等于矩阵的迹。
即矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn 满足λ1+λ2+…+λn=Tr(A)，其中Tr(A)为矩阵A的迹（对角线上元素之和）。
4.特征值与行列式的关系。
矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn都满足，A-λI，=0，即他们是矩阵A的特征方程的根。
8.4矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，将其转化为对角矩阵的过程。
对角化的主要目的是将矩阵的运算简化为对角矩阵的运算，从而更易于求解。
一个n阶方阵可以对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量数量等于A的阶数。
通过对角化，可以将矩阵A表示为：A=P^(-1)DP其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，P的列向量是A的特征向量。
特征矩阵行列式
特征矩阵行列式特征矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，也是很多应用数学领域，例如图像处理、信号处理、统计学习、物理学等等中经常用到的一个知识点。
本文将以特征矩阵的行列式为主线，介绍特征矩阵的相关概念、性质以及应用。
一、特征矩阵的定义特征矩阵是指一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 所满足的特殊条件：存在一个 $\lambda$，使得当一个向量 $x$ 满足 $Ax=\lambda x$ 时，$x$ 是非零向量。
此时 $\lambda$ 被称为矩阵 $A$ 的一个特征值，而列向量$x$ 被称为矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
一个矩阵可以具有 $n$ 个特征值和 $n$ 个对应的特征向量。
特征向量不同所对应的特征值也不同。
二、特征值与行列式对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以定义其特征值方程：$$det(A - \lambda I_n) = 0$$其中 $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$det$ 表示行列式。
这个方程根据矩阵$A$ 的特征矩阵（即矩阵 $A - \lambda I_n$）的行列式为零的特殊性质得到。
我们来解释一下这个方程：对于一个非零特征向量 $x$ 和其对应的特征值 $\lambda$，有 $Ax=\lambda x$，可以转化成 $(A - \lambda I_n)x=0$，因此矩阵 $(A - \lambda I_n)$ 是奇异矩阵，其行列式为零。
因此，我们可以解出特征值方程的 $n$ 个根 $\lambda_1,\lambda_2, \cdots ,\lambda_n$，它们就是矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值。
特别地，当 $n=2$ 时，对于矩阵$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，有其特征值方程为：$$det(A - \lambda I_n) = \begin{vmatrix}a-\lambda & b\\c & d-\lambda\end{vmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc = \lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$$其根为：$$\lambda_1,\lambda_2 = \frac{a+d \pm \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}$$三、特征值与特征向量的关系对于特征值方程 $det(A - \lambda I_n) = 0$，我们可以求解出 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。
第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）讲解学习
第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）讲解学习第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) ? tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
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行列式和特征值关系
行列式和特征值是线性代数中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从行列式和特征值的定义入手，详细介绍它们之间的关系。
一、行列式的定义
行列式是一个矩阵的一个标量值，记作det(A)，其中A是一个n阶方阵。
行列式的计算方法较为复杂，不过我们可以先从2阶和3阶方阵开始理解。
对于一个2阶方阵A，行列式的计算公式为：
det(A) = a11 * a22 - a12 * a21
对于一个3阶方阵A，行列式的计算公式为：
det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a12
通过以上公式，我们可以计算出一个方阵的行列式。
行列式的值可以用来判断方阵是否可逆，如果行列式的值为0，则该方阵不可逆；如果行列式的值不为0，则该方阵可逆。
二、特征值的定义
特征值是一个方阵所具有的一个标量值，记作λ。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，那么λ就是A的特征
值，v就是对应的特征向量。
特征值和特征向量的计算可以通过以下公式进行：
(A - λI)v = 0
其中，I是单位矩阵，0是零向量。
为了使(A - λI)v=0，必须要求(A - λI)为奇异矩阵，即其行列式为0。
因此，我们可以通过求解
(A - λI)的行列式得到特征值λ。
三、行列式和特征值的关系
行列式和特征值之间存在着紧密的关系。
对于一个n阶方阵A，其特征值λ是其行列式det(A - λI)的根。
换句话说，特征值是方阵减去特征值倍数的单位矩阵后的行列式的根。
根据这个关系，我们可以通过求解行列式的根来得到方阵的特征值。
特征值的求解是一个多项式的根的问题，可以使用特征方程的方法进行求解。
特征方程的表示形式为：
det(A - λI) = 0
通过求解特征方程，我们可以得到方阵的所有特征值。
特征值的个数与方阵的阶数相等，可能有重复的特征值。
特征值的求解对于方阵的特征分解非常重要。
特征分解是将一个方
阵表示为特征值和对应的特征向量的线性组合，可以简化一些复杂的运算。
四、应用举例
行列式和特征值在实际应用中有着广泛的应用。
在线性代数中，行列式可以用来判断矩阵的可逆性，特征值可以用来求解线性方程组的解。
在物理学中，行列式和特征值可以用来描述刚体的转动惯量和振动系统的固有频率。
在经济学中，行列式和特征值可以用来计算经济模型的稳定性和均衡点。
在计算机科学中，行列式和特征值可以用来进行图像处理、数据压缩和机器学习等领域的算法设计。
总结起来，行列式和特征值是线性代数中重要的概念，它们之间存在着紧密的关系。
行列式可以用来判断方阵的可逆性，特征值可以用来描述方阵的特征。
行列式的根就是方阵的特征值，通过求解特征方程可以得到方阵的特征值。
行列式和特征值在多个学科中都有着广泛的应用，对于理解和分析问题具有重要的意义。