小学数学《三角形的性质》试讲题目及解析
专题05等边三角形的性质和判定综合题解析版
专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识点1：等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．知识互联网易错点拨一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M ，AD 、CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD ＝BE ；②∠BMC ＝∠ANC ；③∠APM ＝60°；④AN ＝BM ；⑤△CMN 是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【易错思路引导】根据先证明△BCE ≌△ACD ，得出AD ＝BE ，根据已知给出的条件即可得出答案；【规范解答】解：∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，故选项①正确；∵∠ACB ＝∠ACE ＝60°，由△BCE ≌△ACD 得：∠CBE ＝∠CAD ，∴∠BMC ＝∠ANC ，故选项②正确；由△BCE ≌△ACD 得：∠CBE ＝∠CAD ，∵∠ACB 是△ACD 的外角，∴∠ACB ＝∠CAD +∠ADC ＝∠CBE +∠ADC ＝60°，又∠APM 是△PBD 的外角，∴∠APM ＝∠CBE +∠ADC ＝60°，故选项③正确；在△ACN 和△BCM 中，，∴△ACN ≌△BCM，易错题专训∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．【考察注意点】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）A．13B．14C．15D．16【易错思路引导】六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【规范解答】解：如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等边三角形．所以AI＝AF＝3，BG＝BC＝1．所以GI＝GH＝AI+AB+BG＝3+3+1＝7，DE＝HE＝HI﹣EF﹣FI＝7﹣2﹣3＝2，CD＝HG﹣CG﹣HD＝7﹣1﹣2＝4．所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3＝15；故选：C．【考察注意点】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．3．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（ ）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．【易错思路引导】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【规范解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形【易错思路引导】把点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断．【规范解答】解：当点Q移动到MQ＝2，此时Q在A的左侧，且AQ＝AP＝1，△APQ是等腰三角形，当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形，当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝1时，△APQ是等边三角形，当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝2AP＝2时，△APQ是直角三角形，∴在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形，故选：D．【考察注意点】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（ ）A．2B．4C．6D．8【易错思路引导】延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，根据等边三角形的判定求出△BEM是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠EMB＝60°，BM＝EM＝BE＝6，求出DM，求出MN，求出BN，再根据等腰三角形的性质求出BC即可．【规范解答】解：延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴EM＝BM，∴△BEM是等边三角形，∴BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°，∵BE＝6，∴EM＝BM＝BE＝6，∵DE＝2，∴DM＝6﹣2＝4，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝90°﹣∠EMB＝30°，∴MN＝DM＝2，∵BM＝6，∴BN＝BM﹣MN＝6﹣2＝4，∴BC＝2BN＝8，故选：D．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出MN的长是解此题的关键．6．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【易错思路引导】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【规范解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【考察注意点】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键．二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 4 ．【易错思路引导】利用平移可得A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，再判定△A′B′C是等边三角形，进而可得答案．【规范解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，∵BC＝6，BB′＝2，∴B′C＝6﹣2＝4，∴△A′B′C是等边三角形，∴A′C＝A′B′＝4，故答案为：4．【考察注意点】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及平移的性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于 34 cm．【易错思路引导】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【规范解答】解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴BG＝GC＝BC＝6cm，DH＝DE＝EH＝4cm，∠P＝∠G＝∠H＝60°，∴△PGH是等边三角形，∴PG＝PH＝GH＝GC+CD+DH＝6+6+4＝16（cm），∴AF＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝16﹣6﹣6＝4（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝16﹣4﹣4＝8（cm）．∴六边形的周长为：6+6+6+4+8+4＝34（cm）；故答案为：34．【考察注意点】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝ 60° ．【易错思路引导】根据平行线的性质证得∠EAC＝90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1＝∠2＝∠3＝30°，可得∠BAC＝60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．【规范解答】解：∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，故答案为：60°．【考察注意点】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1＝∠2＝∠3＝30°是解决问题的关键．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 60 海里．【易错思路引导】证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝60海里，即可求解．【规范解答】解：如图，由题意得：AB＝BC＝60海里，∠BAD＝50°，∠CBE＝10°，AD∥BE，∴∠ABE＝∠BAD＝50°，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝60海里，即A，C两地相距60海里，故答案为：60．【考察注意点】本题考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握方向角的概念，证明△ABC 为等边三角形是解题1关键．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 3 ．【易错思路引导】连接AA′，先由点M是线段AC、线段A′C′的中点可知，AM＝MC＝A′M＝MC′＝3，故可得出∠MCA′＝∠MA′C＝30°，故可得出∠MCB′的度数，根据四边形内角和定理可得出∠C′MC的度数，进而可判断出△AA′M的形状，进而得出结论．【规范解答】解：连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC＝6，∴AM＝MC＝A′M＝MC′＝3，∵∠MA′C＝30°，∴∠MCA′＝∠MA′C＝30°，∴∠MCB′＝180°﹣30°＝150°，∴∠C′MC＝360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）＝180°﹣（150°+60°+90°）＝60°，∴∠AMA′＝∠C′MC＝60°，∴△AA′M是等边三角形，∴AA′＝AM＝3，故答案为：3．【考察注意点】本题考查的是等边三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边；其中正确的有 ①②③ （填上所有正确结论的序号）三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP【易错思路引导】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB＝OC＝OP，即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解题；③AB上找到Q点使得AQ＝OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA＝BQ，即可解题；④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．【规范解答】解：如图，①连接OB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD是BC垂直平分线，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③在AB上找到Q点使得AQ＝OA，则△AOQ为等边三角形，则∠BQO＝∠PAO＝120°，在△BQO和△PAO中，，∴△BQO≌△PAO（AAS），∴PA＝BQ，∵AB＝BQ+AQ，∴AC＝AO+AP，故③正确；④作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④错误．故答案为：①②③．【考察注意点】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO ≌△PAO是解题的关键．13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ①②④⑤ ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）【易错思路引导】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．【规范解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，结论②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确．没有条件证出OP＝OQ，③错误；综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【考察注意点】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．【易错思路引导】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案．【规范解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），∵CD∥BE，∴∠1＝∠CBE＝40°，∵∠ACD＝20°，∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20海里，答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．【考察注意点】此题主要考查了方向角，等边三角形的性质与判定，利用方向角得出△ABC是等边三角形是解题关键．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．【易错思路引导】（1）证明△ABC为等边三角形，∠C＝60°，证出CD＝CE，则可得出结论；（2）证出∠E＝∠DBC，则可得出BD＝ED，由等边三角形的判定可得出结论．【规范解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∠C＝60°，∵BD是AC边上的高，∴AD＝CD，∵CE＝AD，∴CD＝CE，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：同（1）可知CD＝CE，∴，∵△ABC为等边三角形，∴，∴∠E＝∠DBC，∴BD＝ED，即△BDE为等腰三角形．【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）【易错思路引导】（1）根据△ABC为等边三角形，则∠C＝∠B＝60°，由DE∥BC得到∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形；（2）由等边三角形的性质可得出结论．【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD＝，∵AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝，∴BD＝DE，即△BDE为等腰三角形，同理△DEC为等腰三角形．∵AB＝BC，E为AC的中点，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠ADE＝∠ABC＝60°，∴DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB＝30°，同理∠BCD＝∠EDC＝30°，∴FB＝FC，DF＝EF．即△DEF和△BFC都为等腰三角形．【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【易错思路引导】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【规范解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【易错思路引导】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【规范解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝【考察注意点】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t （s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？【易错思路引导】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BM和BN 的长，根据等边三角形的判定可得结论；（2）若△MBN是直角三角形，则∠BNM＝90°或∠BMN＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．【规范解答】解：（1）△BMN是等边三角形，理由：当t＝2时，AM＝4cm，BN＝8cm，∵△ABC是等边三角形且边长是12cm，∴BM＝12﹣4＝8（cm），∠B＝60°，∴BM＝BN，∴△BMN是等边三角形；（2）在△BMN中，BM＝（12﹣2t）cm，BN＝2tcm，①当∠BNM＝90°时，∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴，∴，∴t＝2；②当∠BMN＝90°时，∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴，∴，∴t＝4，综上：当t＝2或t＝4时，△BMN是直角三角形．【考察注意点】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【易错思路引导】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB＝BC＝9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB＝BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程﹣P运动的路程＝18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t 的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．【规范解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴CP＝2t，则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴BQ＝5t；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，所以当t＝s时，△PBQ为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t﹣2t＝18，解得t＝6，则6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇．【考察注意点】此题考查了等边三角形的性质，是一道探究型动点题，解决此类型题先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否成立，对于动点问题，常常化动为静，寻找特殊位置，从而解决问题，例如此题的第三问，应理解为追及问题，找出等量关系Q运动的路程﹣P运动的路程＝2倍的等边三角形边长是解题的关键。
小学五年级数学解析：三角形的基本性质与面积计算
小学五年级数学解析：三角形的基本性质与面积计算一、三角形的定义与分类1. 三角形的定义定义：三角形是由三条线段围成的多边形。
它的基本特性包括三条边和三个角。
2. 三角形的分类按边分类：等边三角形：三条边的长度相等，三个角的度数均为60度。
等腰三角形：有两条边长度相等，两个相等的角对着等边。
不等边三角形：三条边长度不等，三个角度数也不相等。
按角分类：锐角三角形：三个角都是锐角（小于90度）。
直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
钝角三角形：其中一个角是钝角（大于90度）。
二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和性质内角和：所有三角形的三个内角的和总是180度。
应用：已知两个角的度数，可以求出第三个角的度数。
例题解析：例题1：一个三角形的两个角分别是45度和65度，求第三个角的度数。
解答：第三个角度数 = 180度 - 45度 - 65度 = 70度。
2. 三角形的稳定性稳定性：三角形是唯一一个即使所有边长度固定，也不会因外力作用而变形的多边形。
这个性质使得三角形在建筑设计中具有重要的应用。
例子：桥梁结构中使用三角形支撑，确保结构在重压下不变形。
3. 三角形的边长关系任意两边之和大于第三边：这是三角形成立的必要条件。
例题解析：例题2：判断边长为3cm、4cm、8cm的三条线段能否构成一个三角形。
解答：3cm + 4cm = 7cm < 8cm，不能构成三角形。
三、三角形的面积计算1. 面积公式公式：三角形的面积 = 底×高÷ 2。
推导：通过将三角形复制并拼成一个平行四边形，得出三角形面积是平行四边形面积的一半。
2. 面积计算例题例题解析1：题目：已知三角形的底边长为10cm，高为5cm，求三角形的面积。
解答：面积 = 10cm × 5cm ÷ 2 = 25平方厘米。
例题解析2：题目：一个等腰三角形的底边长为8cm，高为6cm，求三角形的面积。
解答：面积 = 8cm × 6cm ÷ 2 = 24平方厘米。
四年级下数学同步练习-三角形的特性(带解析)
人教版小学数学四年级下册三角形的特性练习卷（带解析）1．下面三种框架中，（）最牢固。
A．B．C．2．下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的是（）A．B．C．D．3．工人叔叔要做一个牢固的四边形框架，应该做成下面的（）A．B．C．4．下面用木条钉的框架，比较牢固的是（）A．B．C．5．下图分别是木工师傅做的4扇门，最牢固的门是（）A．B．C．D．6．小刚用木条钉支架，钉成下面□图最不容易变形。
□内应填（）A．B．C．D．7．下面图形是木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A.B.8．下面几个方框图中，最稳固的是（）A.B.C.D.9．贝贝的小凳子的腿松动了，按哪个加固比较好？（）A.B.C.10．下列图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A.B.C.D.11．用铁丝围成的下列图形中，具有稳定性的图形是（）A.B.C.12．下图中最有稳定性的图形是（）B.C.13．下面哪种方法不能使平行四边形具有稳定性？（）A.B.C.14．你认为下列几个木框最牢固的是（）A.B.C. .15．下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的是（）A.B.C.D.16．下面是用木条钉的框架，比较稳固的是（）B. C.17．下面是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A．B．C．D．18．一个三角形的一条边是4cm，另一条边是7cm，第三条边可能是下面的（）A．8cm B．3cm C．11cm D．13cm19．下面的线段可以拼成一个三角形的是（）A．3厘米、4厘米、7厘米B．6厘米、2厘米、3厘米C．2厘米、4厘米、3厘米20．可以围成三角形的三条线段的长是（）A．8厘米、5厘米、3厘米B．2厘米、3厘米、3厘米C．5厘米、7厘米、2厘米21．一个长方形木框，用一根木条加固，下面的方法（）最好。
A．B．C．22．一个长方形木框，用一根木条加固，以下的方法第（）最稳固。
A．B．C．23．下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A．B．C．D．24．小猴要给一块地围上篱笆，你认为（）的围法更牢固些。
专题01 三角形的初步认识(知识串讲+热考题型+真题训练)(原卷版)
专题01 三角形的初步认识【考点1】三角形．【考点2】三角形三边关系．【考点3】三角形的稳定性；线段的性质：两点之间线段最短【考点4】三角形的角平分线、中线和高．【考点5】三角形内角和定理．【考点6】三角形的外角性质．【考点7】全等图形．【考点8】全等三角形的性质．【考点9】全等三角形的判定．【考点10】全等三角形的判定与性质．【考点11】全等三角形的应用．【考点12】角平分线的性质．【考点13】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【考点14】线段垂直平分线的性质．知识点 1 三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；记作：△ABC，如图：其中：线段AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．知识点2 三角形的分类：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
知识点3 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的稳定性①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等知识点5 三角形的重要线段知识点 6 三角形的内角①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法：剪角拼角法：知识点7 直角三角形：①直角三角形的两个角互余。
直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形知识点8 三角形的外角①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
六年级数学三角形试题答案及解析
六年级数学三角形试题答案及解析1.（2分）（2010•徐闻县）在三角形中，三个内角∠1，∠2，∠3，那么∠1=∠2﹣∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A.锐角B.直角C.钝角【答案】B【解析】根据三角形内角和等于180°，求出∠2=90°，从而判断这个三角形是直角三角形．解：∠1=∠2﹣∠3，即∠2=∠1+∠3，∠1+∠2+∠3=180°，2∠2=180°，∠2=90°；故这个三角形一定是直角三角形．故选：B．点评：本题主要考查三角形的分类、三角形内角和定理的运用，熟练掌握定理是解题的关键．2.图中阴影部分的面积是多少．(取)【答案】1.92【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：；另一部分的面积为：；所以阴影部分面积为：．3.如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】平方厘米【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．4.如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是多少？【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．5.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15【解析】连接．∵∴又∵∴，∴．6.如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．7.图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？【答案】22.5【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)，(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．8.已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．【答案】20【解析】如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图．由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20．9.右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【答案】49.5【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．10.如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【答案】6.5【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以11.是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【答案】3【解析】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以．12.图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？【答案】48【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是．13.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．【答案】19【解析】连接BG，份根据燕尾定理，，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是1914.如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？【答案】【解析】连接、、．根据燕尾定理，，，所以，那么，．类似分析可得．又，，可得．那么，．根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．15.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【答案】【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP⑴求：在中，根据燕尾定理，设(份)，则(份),(份),(份),所以，所以,,所以,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的⑵求：在中，根据燕尾定理,所以,同理在中，根据燕尾定理,所以，所以同理另外两个五边形面积是面积的，所以16.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．17.如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求【答案】32/11【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．18.如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比19.如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是多少？【答案】【解析】根据题意可知，，所以，那么，故．20.如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小．当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积) 21.如图，,,则 .【答案】5：2【解析】根据燕尾定理有,,所以22.如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】25【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米．23.如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【答案】120【解析】∵，∴，；又∵，∴，(平方厘米)．24.如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于（）．【答案】【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．25.四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．【答案】2【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．26.已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【答案】21【解析】连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．27.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．28.如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？【答案】12【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．那么的面积为．29.如图，中，，，，，互相平行，，则．【答案】1：3：5：7：9【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有30.右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？【答案】336【解析】连接、．根据燕尾定理，，，所以；再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根据题意，有，可得(平方厘米)。
四年级数学下册典型例题系列之第五单元三角形的特性部分(解析版)人教版
2021-2022学年四年级数学下册典型例题系列之第五单元三角形的特性部分（解析版）【考点一】认识三角形。
【方法点拨】1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2.三角形有3条边、3个角和3个顶点。
【典型例题】一个三角形有( )条边、( )个顶点和( )个角。
解析：3 3 3【对应练习1】由三条( )围成的图形叫做三角形，一个三角形有( )个角。
解析：线段 3【对应练习2】由三条( )围成的图形叫作三角形，三角形有( )条边，( )条高。
解析：线段 3 3【对应练习3】由三条( )围成的图形叫做三角形。
一个三角形有( )条边，( )个角，( )个顶点。
三角形具有( )性。
解析：线段三三三稳定【考点二】数三角形。
【方法点拨】数三角形从小到大，按顺序数，避免漏数。
【典型例题】图中有( )个三角形。
解析：10【对应练习1】数一数按要求填一填。
有( )个角有( )个三角形解析：8 15【对应练习2】如图，数一数图中共有（）个三角形。
解析：13【对应练习3】数一数下面图中有多少个三角形？解析：15个【考点三】三角形的性质。
【方法点拨】1.三角形具有稳定性。
2.四边形具有不稳定性。
【典型例题】下面几种图形，（）具有稳定性。
A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．梯形解析：B【对应练习1】芳芳家的桌子腿松了，按（）加固最好。
A．B．C．解析：A【对应练习2】自行车的车架做成( )形，是应用了这种图形的稳定性。
解析：三角【考点四】三角形高的认识。
【方法点拨】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。
注意事项∶三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底.【典型例题】下面各图中，给指定底边上的高画的正确的是（）。
A．B．C．解析：C【对应练习1】下面图（）中的虚线是三角形给定底边上的高。
小学四年级下册数学讲义第五章 三角形 人教新课标版(含解析)
人教版小学四年级数学下册同步复习与测试讲义第五章三角形【知识点归纳总结】1. 三角形的特性三角形具有稳定性．三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【经典例题】例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（）A、 B、C、分析：紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．解：A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，故选：C．点评：此题是考查了三角形三边关系的应用．例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A、 B、 C、分析：不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；故选：C．点评：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．2.三角形的分类1．按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90°．直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．钝角三角形：有一个角大于90°．判定法二：锐角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．钝角三角形：最大角大于90°．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．【经典例题】例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；故选：A．点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．3. 三角形的内角和三角形内角和为180°．直角三角形的两个锐角互余．【经典例题】例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）A、90°B、180°C、60°分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．故选：B．点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状．解：因为∠1=∠2+∠3，所以∠1=180°÷2=90°，所以这个三角形是直角三角形．故选：B．点评：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共10小题）1．下列几组长度能拼成三角形的是（）A．4cm、5cm、9cm B．3cm、6cm、10cmC．4cm、6cm、5cm2．一个三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）A．1厘米B．2厘米C．3厘米D．14厘米3．有2根木条的长度分别是6分米和12分米，取第三根木条是（）分米可钉成一个三角形．A．6B．1C．12D．184．在一个三角形中，∠1＝70°，∠2＝50°，这个三角形是（）三角形．A．直角B．锐角C．钝角5．一个三角形的三个内角中，最小的一个角是50°，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．以上三种都有可能6．三角形按角可分为______三角形、______三角形和______三角形．（）A．直角锐角钝角B．等边等腰正C．锐角等边直角D．等边直角等腰7．在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°（）A．大B．小C．相等8．一个三角形的两个内角分别是23°，66°，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形9．一个直角三角形的内角和是180°，如图，将两个直角三角形拼成一个更大的三角形，这个拼成的三角形的内角和是（）A．90°B．180°C．360°D．无法确定10．下面三角形中未知角的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°二．填空题（共8小题）11．三角形按边分类可分为三角形、三角形、三角形．12．用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是．这个三角形按边分是三角形，按角分是三角形．13．如图中，有个钝角三角形．14．两根小棒长分别是4厘米、8厘米，要围成一个三角形，第三根小棒应该比厘米长，比厘米短．15．电线杆上的三角形支架运用的是三角形的．16．用三根长度分别是10cm、5.7cm和3.2cm小棒围三角形，围成．（填“能”与“不能”）17．在一个三角形中，∠1＝65°，∠2＝40°∠3＝，这是三角形．在一个直角三角形中，其中一个锐角是35°，另一个锐角是．18．一个直角三角形中的一个锐角是40度，另一个锐角是度．等腰直角三角形的一个底角是度．三．判断题（共5小题）19．用4cm、7cm、10m长的三根绳子不能围成三角形，（判断对错）20．把一个锐角三角形顺时针旋转90°，它就变成了直角三角形．（判断对错）21．一个等腰三角形的顶角是78度，则这个三角形一定锐角三角形．（判断对错）22．直角三角形全都是直角．（判断对错）23．有一个角是95°的三角形一定是钝角三角形．（判断对错）四．操作题（共1小题）24．在方格纸上分别画一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形．五．应用题（共5小题）25．妈妈有一条等腰三角形的围巾，其中一个角是120°，其余两个角各是多少度？26．一个等腰三角形中一个内角是80°，另外两个角各是多少度？（先判断已知内角，再进行计算）27．一个等腰三角形的底角等于55°，它的顶角等于多少度？28．在一个三角形中，∠1＝60°，∠2比∠1小15°，那么∠3是多少度？29．求如图三角形中未知角的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：A、4+5＝9，所以不能围成三角形；B、3+6＝9＜10，所以不能围成三角形；C、4+5＝9＞6，所以能围成三角形；故选：C．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．2．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于8﹣6＝2，而小于8+6＝14，2＜第三边＜14，结合选项可知：可以是3厘米；故选：C．【点评】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．3．【分析】依据三角形的特性，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而可以确定出第三条边的取值范围，问题得解．【解答】解：据分析可知：12﹣6＜第三条边＜12+6，即6＜第三条边＜18，所以可以说12分米；故选：C．【点评】此题主要考查三角形的特性，注意基础知识的积累．4．【分析】根据三角形内角和是180°，用180度减去∠1和∠2的度数，即可求出第三个角的度数，进而判断出三角形的类型．【解答】解：180°﹣70°﹣50°＝60°因为该三角形的三个内角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形按角分类的方法的灵活应用．5．【分析】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，于是就可以判定这个三角形的类别．【解答】解：因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】此题主要考查依据角的度数判定三角形的类别方法．6．【分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为两类：不等腰三角形和等腰三角形；等边三角形是等腰三角形的特殊形式，进而解答即可．【解答】解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角形按角分类的方法．7．【分析】依据三角形的内角和是180°，假设三角形一个钝角的度数为91度，那么两个锐角的和等于89度，所以在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°小；即可解决问题．【解答】解：假设三角形一个钝角的度数为91度，那么两个锐角的和等于89度，所以在在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°小．故选：B．【点评】此题考查了三角形内角和在三角形分类中的应用．8．【分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，已知这个三角形的两个内角度数，据此即可求出第三个角的度数，如果第三个角是锐角，这个三角形就是锐角三角形；如果第三个角是直角，这个三角形就是直角三角形；如果第三个角是钝角，这个三角形就是钝角三角形．【解答】解：180°﹣23°﹣66°＝91°这个三角形最大的一个角是91°，是钝角答：这个三角形是钝角三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了两个方面的内容：三角形内角定理；三角形按角分类．9．【分析】只要是三角形，它的内角和就是180度，不管三角形是大还是小，它的内角和都是180度，据此解答．【解答】解：把两个直角三角形拼成一个大三角形，这个三角形的内角和是180°．故选：B．【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度．10．【分析】根据三角形的内角和是180度可知，用180度减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数．【解答】解：180﹣（100+25）＝180﹣125＝55（度）答：三角形中未知角的度数是55度．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．故答案为：不等边，等腰，等边．【点评】此题考查了三角形的分类；要看清分类要求．12．【分析】因为三角形三个边相等都是3厘米，根据等边三角形的定义，可得这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．据此解答即可．【解答】解：因为三角形三个边相等都是3厘米，所以这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．故答案为：60°、等边、锐角．【点评】本题考查等边三角形的定义，以及等边三角形性质．13．【分析】在三角形中，其中有一个角为钝角的三角形为钝角三角形；三个角都为锐角的三角形为锐角三角形；其中有一个角为直角的为直角三角形．据此意义据所给图形观察填空即可．【解答】姐：如图中，有1个钝角三角形；故答案为：1．【点评】本题通过图形考查了学生对于三角形分类及各类三角形意义的理解．14．【分析】根据三角形三边关系即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行计算即可．【解答】解：8+4＝12cm8﹣4＝4cm所以第三根小木棒的长度应该介于4cm和12cm之间．故答案为：4，12．【点评】本题考查三角形三边关系，要牢记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．15．【分析】根据三角形的特性：具有稳定性；进行解答即可．【解答】解：电线杆上的三角形支架运用的是三角形的稳定性；故答案为：稳定性．【点评】此题考查了三角形的特性，注意三角形的稳定性在实际生活中的应用．16．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对选项进行分析即可．【解答】解：5.7+3.2＜10，所以不能围成三角形；故答案为：不能．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．17．【分析】根据三角形内角和定理知：三角形内角和是180°，根据所给角的度数，计算即可．【解答】解：180°﹣65°﹣40°＝75°因为三个角的度数都是锐角，所以这是个锐角三角形．180°﹣90°﹣35°＝55°答：在一个三角形中，∠1＝65°，∠2＝40°∠3＝75°，这是锐角三角形．在一个直角三角形中，其中一个锐角是35°，另一个锐角是55°．故答案为：75°；锐角；55°．【点评】本题主要考查三角形的内角和，关键利用三角形内角和是180°计算．18．【分析】（1）因为三角形的内角和是180°，根据“180°﹣90°﹣已知角的度数＝另一个角的度数”求出另一个角的度数即可；（2）直角三角形一个角是直角；等腰三角形的两个角相等；先用180度减去90度，求出两个角的度数和，再除以2即可求解．【解答】解：（1）180﹣90﹣40＝90﹣40＝50（度）（2）（180﹣90）÷2＝90÷2＝45（度）答：另一个锐角是50度．等腰直角三角形的一个底角是45度．故答案为：50，45．【点评】解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点依据三角形的内角和定理．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：因为：4+7＞10，所以能围成一个三角形；原题说法错误．故答案为：×．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．20．【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某点顺时针旋转90°，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形，即旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．【解答】解：一个图形绕某一点顺时针旋转90°，其大小、形状不变，位置发生变化，原题的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题是考查旋转的特征．图形平移、旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．21．【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据等腰三角形两底角相等，先用“180°﹣78°”求出两个底角度数的和，然后除以2求出等腰三角形的底角度数，进而判断即可．【解答】解：（180°﹣78°）÷2＝102°÷2＝51°这个三角形的三个角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】解答此题的关键是先求出底角，进而根据角的大小，进行判断即可．22．【分析】根据三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此解答即可．【解答】解：直角三角形全都是直角，说法错误，因为有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形中最多有1个直角；故答案为：×．【点评】此题考查了直角三角形的概念，注意平时基础知识的积累．23．【分析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；进行解答即可．【解答】解：95°的角是钝角，有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】考查了三角形的分类，此题应根据钝角三角形的含义进行解答．四．操作题（共1小题）24．【分析】根据含义：有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；两个腰相等的三角形，叫等腰三角形；画出即可．【解答】解：画图如下：【点评】此题主要考查的是对各个三角形意义和特点的理解，应灵活运用．五．应用题（共5小题）25．【分析】因为三角形的内角和是180度，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“180°﹣120°＝60°”求出两个底角的度数，再用“60°÷2＝30°”求出一个底角的度数．【解答】解：（180°﹣120°）÷2＝60°÷2＝30°答：其余两个角都是30度．【点评】本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角即可．26．【分析】已知等腰三角形的一个角是80°，要分两种情况考虑：80°的角可能是顶角，也可能是底角，据此根据三角形内角和是180°和等腰三角形的两个底角相等的性质进行计算即可解答问题．【解答】解：①当80°的角是顶角，（180°﹣80°）÷2＝50°，则两个底角是50°、50°；②当80°的角是底角，180°﹣80°﹣80°＝20°，则顶角是20°．答：一个等腰三角形的一个内角是80°，那么另外两个角是50°、50°或者20°、80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论．27．【分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是180°，顶角的度数＝180°﹣两底角的度数，据此解答．【解答】解：180°﹣55°×2＝180°﹣110°＝70°答：它的顶角是70度．【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征、三角形内角和及应用．28．【分析】∠1是60°，∠2比∠1小15°，那么∠2＝60°﹣15°＝45°，再根据三角形的内角和等于180度，用180°﹣∠1﹣∠2即可求出∠3的度数．【解答】解：∠2＝60°﹣15°＝45°∠3＝180°﹣60°﹣45°＝120°﹣45°＝75°答：∠3等于75°．【点评】掌握三角形的内角和是180度是解题的关键．29．【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据三角形内角和定理求出∠4的度数即可解答问题．【解答】解：∠3＝180°﹣70°＝110°∠4＝180°﹣30°﹣70°＝80°【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义的计算应用．。
三角形的性质习题(有答案)
三角形的性质习题(有答案)1. 两边之和大于第三边题目：对于三角形ABC，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 11cm，请判断三角形ABC是否成立。
答案：根据三角形的性质，两边之和大于第三边，我们可以计算：AB + AC = 5cm + 11cm = 16cmBC = 8cm由于16cm大于8cm，所以三角形ABC成立。
2. 等腰三角形题目：若三角形ABC中，AB = AC，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若两边相等，则为等腰三角形。
所以三角形ABC为等腰三角形。
3. 直角三角形题目：对于三角形ABC，已知AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，请判断三角形ABC是否为直角三角形。
答案：根据三角形的性质，若两边的平方和等于第三边的平方，则为直角三角形。
我们计算：AB^2 + BC^2 = 6cm^2 + 8cm^2 = 36cm^2 + 64cm^2 = 100cm^2 AC^2 = 10cm^2由于AB^2 + BC^2等于AC^2，所以三角形ABC为直角三角形。
4. 等边三角形题目：若三角形ABC的三边长度都相等，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若三边长度都相等，则为等边三角形。
所以三角形ABC为等边三角形。
5. 锐角三角形题目：对于三角形ABC，已知角A = 40°，角B = 60°，角C = 80°，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若三个角度都小于90°，则为锐角三角形。
由题可知，三个角度A、B、C都小于90°，所以三角形ABC 为锐角三角形。
6. 拉普拉斯定理题目：对于任何三角形ABC，已知L是三角形ABC内部一点到三个顶点A、B、C的距离之和，请判断以下等式是否成立：AL + BL + CL = 2L答案：根据拉普拉斯定理，对于三角形ABC，上述等式成立。
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2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲约10分钟；
（2）从生活实例中引出三角形的稳定性；
（3）要有讨论环节，
（4）要有适当板书。
【试题解析】
一、回顾复习，悬疑导入
问题1：用PPT展示一个三角形，大家知道三角形的那些知识?
复习：三角形的定义，三角形的相关概念。
四、回顾整理，反思提升
通过今天的实际应用，大家有哪些收获呢，可以说一说，知识上的，方法上的，数学思想上的，等等都行。
引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构。
总结知识得出：
1.本节主要学习三角形的稳定性、四边形的不稳定性及其它们在生产、生活中的应用。
2.注意的问题：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形不具有稳定性。
问题2：在我们的生产和生活中哪里用到了三角形?
学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三角架等。
问题3：为什么生活中的三角形这么多呢，它有怎么样的特性呢？
引出课题的学习。
二、合作探究，新课讲授
通过学生亲自动手实验得出三角形的稳定性，并能体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用。
（一）通过实际操作探索三角形的稳定性
问题1：三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用?
学生回答：桥梁、起重机、自行车架等。
问题2：三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用?
学生回答：衣服挂架、放缩尺等。
三、巩固应用1）（2）（3）（4）（5）（6）
学生：（1）（4）（6）中的图形具有稳定性。（在学生独立完成后，要求学生说明理由。）
问题4：在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变。
问题5：经过以上三次实验，你发现了什么规律?
学生讨论回答：可以发现，三角形不会变形，即三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
（二）通过生活中的实例感受数学知识在生产和生产中的应用
五、知识拓展，布置作业
1.完成课后习题1题；
2.思考制作一个几何模型，模型要体现三角形的稳定性，下节课一起展示分享。
板书设计：
三角形的性质
总结知识得出：
（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形不具有稳定性。
问题1：如图，在盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条。为什么要这样做?
学生讨论，得出各种结论。
问题2：用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变。
问题3：用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状会改变。