固定收益证券—第四章—久期与凸性
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
固定收益证券-久期与凸度的matlab计算
第一讲固定收益证券的matlab计算第一节固定收益基本知识固定收益证券: 一组稳定现金流的证券.广义上还包括了债券市场上的衍生产品及优先股.以债券为主.一. 固定收益的品种国债是固定收益的重要形式,以贴现债券(discount security)与息票债券(coupon bonds)两种形式发行.贴现债券: 发行价低于面值,不支付利息,在到期日获取面值金融的收益.息票:按一定的票息率发行,每隔一段时间支付一次利息,到期按面值金额赎回.美国的固定收益证券可以分为以下几个品种:1. (短期)国库券(Treasury bills, T-bills)期限小于一年,贴现发行,面值usu. 1~10万美元.是流动性最高的债券品种，违约风险小，其利率usu当作无风险利率。
2．政府票据（Treasury notes, T-notes）即美国中期国债，期限1~10年，是coupon.3. 长期国债（Treasury bonds, T-bonds）期限>10年，面值1~10万美元，是coupon.通常每半年付一息，到期偿本息。
4．零息票债券（Zero-coupon bond）零息票债券是指买卖价格相对布什有较大折让的企业或市政债券。
出现大额折让是由于债券并无任何利息，它们在发行时就加入折扣，或由一家银行除去息票，然后包装成为零息票债券发行，投资者在债券到期时以面值赎回。
零息票债券往往由附息债券所”剥离”出来:购买息票国债的经纪人可以要求财政部停止债券的现金支付,使其成为独立证券序列,这时每一证券都具有获得原始债券收益的要求权.如一张10年期国债被剥离成20张半年期债券,每张都可视为零息票,它们到期日从6个月到10年不等,最后本多支付是另一张零息证券,所有的支付都单独计算,并配有自己的CUSIP号码(统一由美国证券鉴定程序委员会颁布). 具有这种标识的证券都可以在联邦银行及其分支机构上进行电子交易,财政部仍旧具有支付责任.由于这种债券息票被“剥离”了,因此被称为本息剥离式国债STRIPS(separate trading of registered interest and principal of securities).1982年麻省海湾运输局发行了免税零息债券,标志着政府开始参与长期零息券的发行.1987年5月起,美国财政部也允许一个被剥离债券的息票重新组合成息票.5. 美国CD存单美国CD存单(certificate deposit): 由银行等金融机构向存款人改选的证券,存单上标有一个到期日和利率,并且以任意面值发行,可以买卖, 偿还期限小于1年.6. 回购协议(repurchase agreement)短期抵押贷款,是指一方向另一方出售证券的同时,承诺在未来的某一天按协定的价格将相同的证券买回,通常由借款方发起并贷出证券,回购中涉及的证券通常具有较高的信用质量.回购协议建立了货币市场和债券市场之间的联系.回购协议的步骤: (1) 以债券作为抵押借入资金; (2) 经过一段时间,按照约定的价格买回抵押债券.7. 可转换债券(convertible security)可转换债券(简称可转债)是一种具有固定收益的证券,其特点是持有者可以转换为普通股股票,在合约的条款中规定了可转换债券转换为普通股的条件,持有者决定何时转换为股票.可转换债券介于普通股和普通债券之间,故又称股票类连接证券. 可转债属于次级债券,如果企业破产,满足要求权的次序是:优先债权→次级债→可转债→优先股→普通股.可见,总体上看,可转债属于权益类证券,其特点是享有先于普通股获得股息偿付的优先权和较高的收益,并且有机会分离公司股份上涨的好处.8. 浮动利率债券(FRN))浮动利率债券(FRN, floating rate notes)是偿还期内利率发生变化的债券.如2010年3月到期,按委付息的浮动利率债券,其基准为3个月libor.浮动利率债券具有以下几个特征:①规定了利率上限与利率下限②基准利率大多为LIBOR，也可为汇率、股票指数、债券指数等；③利率可以正向浮动，也可以反向浮动。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
久期与凸性
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
第四章持续期与凸性(固定收益证券-北大,姚长辉)-文档资料
算出来的结果不同
• portfolio B
– 没有变化!
组合的持续期
• 组合持续期是单个债券持续期的加权总和（金额）或 加权平均（有效等）
D port f oliw oiD i
• 如果债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个 债券的持续期计算所依据的到期收益率是不同的。
Macaulay(比率) 持续期
P
n
Ct
t1 (1 y ) t
dP
dy
n t C t t1 (1 y ) t1
n t C t
D t1 (1 y ) t P
dP 1 D dy P 1 y
Macaulay 持续期
P
n
Ct
t1 (1 y / 2 ) t
dP
dy
n
t C t
持续期
• 持续期包含了关于债券到期收益率、票 面利率和到期时间的信息。
• 持续期是债券或者是债券组合在一个时 点上的特征，持续期与时俱进。
• 持续期是大多数避险策略中的重要内容。
金额持续期
P
n t 1
Ct
dt
n t 1
Ct (1 yt )t
dP
n t 1
t Ct (1 yt )t1
dyt
– 总共上升 1.4%，这与使用有效持续期（ Deffective=16）
计算出来的结果不同
• 组合 B
– 没有变化!
例 4-8
• 2年即期利率下降10 个基点，30即期利率上升 10个基点
• 组合 A
– 2年即期利率下降10个基点，组合价值上升 0.1% – 30年即期利率上升10个基点，组合价值下降 1.5%
久期与凸性最通俗的理解
久期与凸性最通俗的理解
久期是证券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性，同时考虑到利率变化和到期收益变化是成正比的，故当利率变化是，久期大的债券对这个变化的敏感度会越高，表现便是亏得越大或者赚的更多。
凸性是对久期的补充在价值变动的百分比过大时，仅用久期进行利率敏感性分析误差会比较大，凸性就是用来减少误差的。
久期也称持续期，是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
例如：如果一只债券收益率下降了10BP，大概涨了多少钱？
10BP*久期
例如一只4.5久期的债券收益率下降10BP大概上涨了4.5*10=45 也就是0.45元。
如果债券市场上涨，什么样的券涨得更多？久期长，凸性大。
通俗点的说法：久期：与期限相关，可以反映价格对利率变动的敏感性，久期越长，对利率敏感性越高。
凸性：债券涨跌的弹性。
固定收益债券久期和凸度[解说]
![固定收益债券久期和凸度[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6fc4f10773231126edb6f1aff00bed5b9f3731b.png)
固定收益债券久期和凸度久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
久期收益率变化1％所引起的债券全价变化的百分比。
久期用来衡量债券价格对利率变化的敏感性。
债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。
在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。
因此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
具体地说,有公式其中,dy表示收益率的变化,dP表示价格的变化,D*表示修正久期,C表示凸性。
修正久期的具体计算公式为修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
凸性利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。
凸性可以衡量这种误差。
凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。
凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
凸性的具体计算公式为当两个债券的久期相同时，它们的风险不一定相同，因为它们的凸性可能是不同的。
如图所示，两个债券的收益率与价格的关系为红线与绿线，内侧的曲线（绿线）为凸性大的曲线，外侧的曲线为凸性小的曲线(红线)。
在收益率增加相同单位时，凸性大的债券价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。
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• 由于期货存续期较短，因此业界直接认为长期国债 期货的久期约等于标的债券的久期
互换的久期 • 互换的美元久期就等于固定利率债券美元久期与浮 动利率债券美元久期之差
久期
• 久期的缺陷
久期假设整条利率曲线发生平行移动，即所有期限的 利率变化幅度相等。当利率期限结构非平行变化严重 时，久期的可信度将大大下降。
dV V t D dy
美元久期（$D）：到期收益率变动引起的证券价值变 动金额 dV D V t
dy
经济含义：久期反映了证券价值利率风险的主要部分 几何含义：证券价值与YTM曲线上各点的切线斜率
久期
• 久期的计算
简单的证券：解析解
复杂的证券：有效久期（effective duration）
ti t
V t
不存在麦考林久期和修正久期的差别
久期的真正含义是固定收益证券价格对利率的一阶敏 感性
久期
• 关于不含权债久期的一些结论
零息票债券的麦考利久期等于其剩余到期期限
只剩一期到期的附息票债券等价于零息票债券，其麦 考利久期也等于其剩余期限
对于剩余期限超过一期的（固定利率）附息票债券来 说，其麦考利久期由于是未来付息期的加权平均，因 此一定小于其剩余期限
N D1 TV1 t 6.8 10000000 61.05 D2 TV2 t 10.01 111.27 １000
基于久期的利率风险管理
• 将久期D1调整为目标久期D1*
D1* D1 T V1 t D2 T V 2 t
基于久期的利率风险管理
F t, T , T * DS F t, T , T * T t
久期
• 利率衍生品的久期
长期国债期货标准券 FQ t, T , T *
$DQ FQ R 1 F 1 $DF CF R CF
的美元久期$DQ
• 因此，长期国债期货的久期约等于Ds-(T-t)
久期
• 不含权债券的久期
麦考利久期是期限的加权平均，其单位是年
但必须注意 麦考利久期这种时间加权的属性以及相应带来的以年 为单位的特征，只是特定定价公式求导后得到的结果 若以连续复利计算
D dV 1 dy V t
ci e
i 1
n
y t ,tn ti t
c e
i1 i
n
y t ,tn ti t
ti t
2
2V t
1 d2V 1 n 2 y t ,tn ti t $C ci e ti t 2 2 dy 2 i1
凸性
• 有效凸性
V V t V t V V V 2V t 1 1 y y C 2 2 V t y 2 V t y
• 组合的凸性
与组合的久期相似，这也是一种近似
• 基于久期和凸性的利率风险管理
基于久期的利率风险管理 考虑凸性情况下的利率风险管理
25
基于久期的利率风险管理
• 风险管理目标
组合的久期和美元久期为0
从本质上说，久期套期保值的本质是匹配并 对冲组合中的美元久期，而非久期，通常称 之为“美元久期中性”
DV01-- 一个基本点的美元值
• 一个基本点：DV01或者DV BP； • 一个金融工具的DV01是当收益率变动一个基本点时每 100美元面值将会变动的数额；
16
• DV01和久期提供了类似的信息。
• 收益率的β值度量作为基准等价物的金融 工具的收益率每变动一个基本点时，现货 金融工具的收益率可能发生变化的基本点 的数目。 DV 01x FVb FVx x DV 01b
基于久期的利率风险管理
• 最优套期保值比率
dV t dV1 t h dV2 t
dV1 DV $ D1 dy 1 1 t h dV2 $ D2 D2V2 t dy
• 最优套期保值数量
N h D1 V1 t Q1 D1 TV1 t D2 V2 t Q2 D2 TV2 t Q1 $D Q 1 1 Q2 $ D2 Q2
一阶敏感性（与久期相关）
二阶敏感性（与凸性相关）
3
久期
• 常用的三种利率风险一阶敏感性的度量指标
久期 基点价格值（DV01）
• 贴现率每变化一个基点所引起的资产价值变动额
价格变动收益率值（yield value） • 资产价值变动给定金额时所需要的贴现率变化
4
久期
• 久期的定义
久期：给定时刻（如 时刻）固定收益证券价值变动的 百分比对到期收益率变动的一阶敏感性
• 久期+凸性的中性策略
当目标美元久期和目标美元凸性均为零时， 即可得到最优套期保值比率。
基于久期的利率风险管理
• 基于久期与凸性的利率风险管理：例
假设原组合和两种新资产的基本情况如下表所示
如果设定目标美元久期和美元凸性均为零，易求得 ，资产2 和资产3的最优套期保值比率分别应为0.81和0.27
即使在收益率曲线水平移动的假设下，从泰勒展开式 可以看到，久期仅仅是资产价值对利率的一阶敏感性 ，无法反映和管理资产价格的全部利率风险，当利率 变化较大时这个缺陷尤其显著。
久期
• 久期缺陷的解决方案
久期不能刻画利率的非平行移动 • 关键利率久期
• 主成份的久期
久期不能刻画利率的大幅度变化
• 凸性
• 利率衍生品的久期
利率衍生品的美元久期才有意义 远期利率协议多头的美元久期
欧洲美元期货多头的美元久期：25 长期国债期货的美元久期和久期
$ DF dF R t ,T T t dS dI R t ,T T t * e S t , T I t e dR dR dR
凸性（convexity）反映的是泰勒展开式中 的二阶敏感性
1 d2V 1 C 2 dy2 V t
美元凸性
1 d2V $C C V t 2 dy
凸性的影响往往为正
凸性
• 凸性的作用：
凸性的引入提高了风险管理的精度
凸性
• 凸性的计算
不含权债连续复利
2
1dV 1 C 2 2 dy V t
18
• 假定该交易商同时持有Y发行的9年期面值 为180万美元的空头头寸。利用DV01模型 计算，可知与之等价的基准等价物国库券 空头头寸为1,066,500美元。
• 可以在期货市场上持有4.4个20年期国库 券(面值10万美元)空头来实现完全套期保 值。
19
凸性
• 凸性的影响
凸性
• 凸性的定义
浮动利率债券本质上和下一个付息日就到期的零息票 债券一样，因此其麦考利久期就等于下一个付息日的 期限
使用连续复利计算，也可以得到相同的结论。
久期
• 久期的影响因素
其他条件相同，息票率越高的债券久期越小
其他条件相同，剩余期限越长的债券久期越大
其他条件相同，到期收益率低时，债券久期较大
久期
17
DV01—套期保值
• 例如：一位债券交易商持有某发行者X发行的15 年期债券。该债券的DV01为0.0792，而作为基 准等价物的20年期国库券的DV01是0.0884。而X 所发15年期债券的收益率的β值(βx)为0.84。 于是：
0.0792 FVb 2,000,000 0.84 1,505,158 0.0884
CH4 利率风险管理
1
• 利率风险管理
利率风险的度量 基于久期和凸性的利率风险管理
2
利率风险的敏感性分析
• 证券对利率敏感性的泰勒展开
V 1 dV 1 d2V 1 dnV 2 n dy dy ... dy ... 2 n V t V t dy 2! V t dy n! V t dy
j
组合的久期：等于单个资产久期的加权平均 Vj DP D j j VP 注意
以上组合久期的计算方法是一个近似
久期
• 不含权债券的久期
普通复利形式的不含权债券价格
V t
i1 n
ci ya t, tn 1 m
i
对应的久期
n ci ti t dV 1 1 1 D i ya t, tn dya V t V t i 1 y t , t a n 1 1 m m 麦考利久期与修正久期
V V 1 V t V V V t D 2 V t y V t y 2 V t y
久期
• 投资组合的久期
组合的美元久期：等于单资产美元久期的加总 $ DP $ D j
基于久期的利率风险管理
• 基于久期的利率风险管理：例
假设一个手中管理着价值1000万美元、久期为6.8的国债组合 的基金经理非常担心利率在接下来的一个月内波动剧烈，决 定于2007年10月3日使用12月到期的长期国债期货USZ7进行利 率风险管理。当她进入市场时，USZ7报价为111.27美元。 2007年10月3日，针对USZ7期货而言交割最合算的债券是息票 率为7.125％、将于2023年2月15日到期的长期国债。其转换 因子为1.1103，现货报价为126.40美元。根据债券修正久期 的计算公式，该债券的修正久期为10.18，故此USZ7的久期近 似等于10.18-2/12=10.01。