数学类比推理方法
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数学类比推理方法
作者：林中虎
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第04期
类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义．它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具．在人类悠久的发展史上，类比推理方法(下文简称为“类推法”)被誉为科学活动中“伟大的引路人”、“人类认知的核心”．与之相对应的，《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一．并且近年来高考试卷中也频频出现了类比思维的问题．笔者在查阅相关文献后，将对类推法的相关知识及其在高中数学中的运用进行述评，以供研讨．
1 类推法的含义
类比推理是人的抽象逻辑思维的一种主要形式．从形式逻辑的角度米看，类比推理就是根据两个(或两类)对象在某些属性上相同或相似，而且已知其中的一个(或一类)对象还只有其他特定属性，从而推出另一个(或另一类)对象也具有该特定属性为结论的推理．这种解决问题的方法即为类推法．它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d．而类推法的结构从简单地讲，主要由本象和类象(或者来源和目标)两个部分组成．类推法的过程也可用下列框图(如图1)表示如下：
2 类推法的特征
2。1 或然性
图1类比推理是不同于演绎，也不同于归纳的一种独立的推理形式．理由有二：其一，在思维运动的方向上，演绎推理的前提蕴涵结论，其思维过程是从一般到特殊、个别；归纳推理的前提并不必然蕴涵结论，其思维过程是从个别、特殊过渡到一般．类比推理由已知的相似点推出未知的可能的相似点，其思维过程是从特殊过渡到特殊．其二，在推理形式和要求上，演绎推理获得真实结论的条件是前提真实和推理形式正确，归纳推理结论的可靠性程度完全建立在枚举事例的数量上，而类比推理的结论是否可靠，主要是根据被类比的两个对象的相似属性的多少，相似属性愈多，则结论愈可靠．波利亚(G．Polya)提出，类比推理是归纳推理的基
数字推理八大解题方法
数字推理八大解题方法
【真题精析】 例1.2，5，8，11，14，( ) A．15 B．16 C．17 D．18 [答案]C [解析]数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先采用逐差法。 差值数列是常数列。如图所示，因此，选C。 【真题精析】 例1、(2006·国考A类)102，96，108，84，132，( ) A．36 B．64 C．70 D．72 [答案]A [解析]数列特征明显不单调，但相邻两项差值的绝对值呈递增趋势，尝试采用逐差法。 差值数列是公比为-2的等比数列。如图所示，因此，选A。
【真题精析】 例1.(2009·江西)160，80，40，20，( ) A．B．1 C．10 D．5 [答案]C [解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。 商值数列是常数列。如图所示，因此，选C 【真题精析】 例1、2，5，13，35，97，( ) A．214 B．275 C．312 D．336
[答案]B [解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。 商值数列是数值为2的常数列，余数数列是J2-I：h为3的等比数列。如图所示，因此，选B。 【真题精析】 例1、(2009·福建)7，21，14，21，63，( )，63 A．35 B．42 C．40 D．56 [答案]B [解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。 商值数列是以为周期的周期数列。如图所示，因此，选B。 【真题精析】 例1．8，8，12，24，60，( ) A．90 B．120 C．180 D．240
[答案]C [解析]逐商法，做商后商值数列是公差为0.5的等差数列。 【真题精析】 例1. -3，3，0，3，3，( ) A．6 B．7 C．8 D．9 [答案]A [解析]数列特征：(1)单调关系不明显；(2)倍数关系不明显；(3)数字差别幅度不大。优先采用加和法。
最新小学数学教学中如何培养小学生的推理能力
小学数学教学中如何培养小学生的推理能力小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是《课标》指定的一个重要的教学内容。《数学课程标准》中指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人学习和生活经常使用的思维方式。推理一般的包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。而归纳推理又多表现为不完全归纳推理”。数学推理，是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，它是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。在小学数学教学中，如能重视强化学生的推理意识，培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据一丝不苟的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法，促进已有知识、经验、技能的有效迁移，提高学生的学习效率。在小学数学教学中如何培养小学生的推理能力？下面谈谈我在教学中的一些体会。 一、在小学数学教学中，要让学生说理，养成学生推理有据的好习惯 语言是思维的外壳，组织数学语言的过程，也是教给学生如何判断的推理过程，而与语言最密不可分的是演绎推理，小学生解题时大多是不自觉地运用了演绎推理，因此教学中教师必须追问为什么，要求学生会想、会说推理依据，养成推理有据的习惯，例如：14和15是不是互质数时一定要学生这样回答：公因数只有1的两个数叫做互质数，因为14和15 只有公因数1，所以14和15是互质数。这样运用演绎推理方法，经常进行说理训练，有利于培养学生的演绎推理能力。 二、教给学生正确的推理方法 小学生学习模仿性大，如何推理、需要提出范例，然后才有可能让学生学会推理。小学数学中不少数学结论的得出是运用了归纳推理，教学时就要有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理。例如，在教乘法交换律时，我是这样引导学生学习的，计算多组算式：5×3=15、3×5=15所以5×3=3×5还有：15×4=4×15引导学生观察、分析，找出这些算式的共同点：左、右两边因数相同，交换因数的位置积不变，归纳出乘法交换律。 三、要把培养学生的推理能力贯穿在日常的数学教学中 能力的发展决不等同于知识技能的获得。知识可以用“懂”来描述，技能可以用“会”来描述，都可以立竿见影。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因此教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地结合在这一过程中。例如；在讲《分数的初步认识》这一课时时，学生在认识了二分之一，三分之一，四分之一……这些分数后，提出问题：二分之一和三分之一哪个分数大？先让学生说出自己的的猜想，接着验证：取两张相同的纸片，一个折出二分之一，另一个折出三分之一，再比较大小，一目了然，二分之一大于三分之一。接着再推理三分之一和四分之一哪个分数大？从而得出结论：分子为一的分数，分母小的分数大。这样再完成教学任务的同时，不知不觉中培养了学生的推理能力。 四、要把推理能力的培养植根于学生熟悉的生活实践中 要想促进学生推理能力更好地发展，除了书本知识外，还有很多活动能有效地发展学生的推理能力，例如：①大树与影子有什么关系，成什么比例，计算糖水里含糖量可能用什么比例解答，在解答之前，要用变化规律进行猜想，得到合情推理，再进行验证。②用举反例的方式证明结论不成立，如给小明家打电话，若多次接通但无人接听，则由此得出“小明不在家”的判断。③开展一些有趣的游戏或活动，培养学生的推理能力，如分圆比赛，就能得出“圆的周长与∏有关系”这一结论。
数学广角推理
《数学广角——推理》教学设计 教学内容：教科书第109页例一，做一做第一题，练习二十一第一、三题。教学目标： 1.通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，理解逻辑推理的含义。初步获得一些简单的推理经验。 2.能借助连线、列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。 3.在简单的推理过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。 4.使学生感受推理在生活中的广泛运用，初步培养学生有顺序的全面的思考问题的意识。 教学重点： 理解逻辑推理的含义，经历简单的推理过程，初步获得一些简单的推理经验。 教学难点： 初步培养学生有序的，全面的思考问题及数学表达的能力。 教学过程： 一、游戏引入（轻松热身赛） 游戏：猜一猜硬币在哪只手。 师：同学们，你们喜欢玩游戏吗？ 生：喜欢。 师：接下来老师将带领同学们玩一个“猜一猜”的游戏，老师的两只手拿着两个物品，猜一猜老师左手拿的是什么？右手拿的又是什么？看谁猜的准？
学生乱猜，并指明三位学生猜一猜。 师：大家猜什么的都有，那到底是什么？请听老师一个提示：老师的一只手拿的是一块橡皮擦。另一只手拿的是一枚硬币，我们再来猜一猜。 生1：左手拿的是橡皮擦，右手拿的是硬币。 生2：左手拿的是硬币，右手拿的是橡皮擦。 师：这两种情况，到底是哪一种？你们能确定吗？ 生：不能 师：请再听老师一个提示：老师右手拿的不是硬币，同学们，你们现在能再确定地猜一猜吗？（请两位学生猜并说一说你是怎么猜的呢？）生：右手拿的是橡皮擦，左手拿的是硬币。 师：你能说一说你是怎么猜的呢？ 生：右手拿的不是硬币，我们可以肯定右手拿的是橡皮擦，左手就是硬币了。 师：你们同意吗？ 生：同意 师：下面就让我们共同见证一下。 教师揭晓答案 师：刚才同学们根据老师的提示，猜对了左右手拿的物品，非常棒！对于刚才的游戏，你们明白了什么呢？（请三位学生说说感想）生：我们在猜东西的时候不能乱猜，应该要根据已知的信息，然后动动脑筋，再猜。 师：对，同学们回答的真好，这就说明在猜的时候，我们不能漫无目的的随便猜，而要根据所给的条件来猜，像这样根据已知信息和条件，逐
类比推理在数学教学实践中的应用研究
类比推理在数学教学实践中的应用研究
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类比推理在数学教学实践中的应用研究-中学数学论文 类比推理在数学教学实践中的应用研究 山西运城临猗县临晋中学林晓娜 类比推理是人们认识客观对象的推理模式之一，是通过对已有知识的了解，在学习相关知识的过程中，将已知知识转移到对新知识的理解上，通过这种比对方式找出规律，从而获得新知识的掌握。 一、类比推理在教学中的作用 学习数学与学习其他知识的过程都是一样的，需要寻找出学习知识的思路。演绎推理就是建立完善的思维体系，通过合理推理进行总结、类比来证明思路的过程。成功的演绎推理不注重结果，而注重验证结果的推理过程。类比推理中最重要的就是学习验证结论的过程，现阶段我国学生普遍缺少解决问题及找出问题的原因的能力，通过类比推理的思路学习，可以帮助学生培养其判断成因、预测结果的能力，而这正是学习类比推理思路的意义所在。在新课改的推动下，高中数学教材当中加入了推理与证明的知识内容，教学中运用类比推理思路有着十分深远的意义。 二、类比推理在教学中的应用现状 类比推理有助于提高学生的思维能力，通过对目前高中数学课堂的观察来看，大多数教师在教学时只注重类比推理的形式，却没有关注到类比推理在培养学生创新能力、创新意识中的作用，学生学习类比推理知识题通常以应付考试的念头居多。类比推理结论的正确与否将直接影响学生试卷上的分数,教师通过大量的时间来教授类比推理，这对于学生而言不一定正确，类比推理的结论存在也使得学生同样需要花费时间去验证，教师认为太过强调类比推理教学将不利于学生应
推理能力
推理能力 （一）课标解读 关于推理能力，《课标》是这样阐述的：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”。 这段话包含三层内容：推理能力的重要性；什么是合情推理和演绎推理；两种推理的相辅相成。 1、推理能力的重要性 推理的本质功能是推出新结论，生成新知识，因此，它对于数学和数学学习极其重要。可以说，没有推理，就没有今天的数学。同样可以说，没有推理，就没有真正的数学学习。 2、合情推理和演绎推理 ○1合情推理 合情推理以特殊的知识为前提，推出一般性的知识为结论的推理，思维过程是从特殊到一般。它包括不完全归纳推理和类比推理。 A、不完全归纳推理 “归纳”是由特殊到一般的推理，即由特殊（个别）性知识的前提推出一般性结论。不完全归纳推理仅仅考察了某类事物的部分对象，由此推出的一般性结论，可能真，也可能假，它是合情推理。例如： 因为17×3+17×5=（3+5）×17、23×2+23×4=23×（2+4） 所以a×c+b×c=(a+b)c，得出乘法分配律 B、类比推理 “类比”是由特殊到特殊的推理，即以两个或两类对象有部分属性相同为前提，推出它们的其它属性也有相同的结论，也称类推。如用类比推理得出分数的基本性质。 因为被除数和除数都乘或除以相同的数（0除外），商不变，且被除数÷除数=分子/分母。 所以，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 ○2演绎推理 演绎推理是必然性推理即只要推理前提是真，则得到的结论一定为真），思维过程是从一般到特殊。例如推理判断255是不是3的倍数。 因为一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提） 255各位上数的和2+5+5=12，12是3的倍数（小前提）所以，255是3的倍数。（结论）
高二数学类比推理综合测试题 (1)
类比推理 一、填空题 1．下列说法正确的是______ A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想 D ．合情推理得出的结论无法判定正误 2．下面几种推理是合情推理的是______ ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180° 3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为 三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为______ A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积，r 为四面体内切球的半径) D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)
4.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____ ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③ 5．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质： (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第 四个面面积的14 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有______ A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对 6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
举例说说数学思想在现实生活中的运用
举例说说数学思想在现实生活中的运用 张喜桂米占郡 【内容提要】建模、数形结合、化归与转化、归纳推理等数学思想，广泛地运用于现实生活中，可以化解难以解决的问题，形成理性的思维体系，促使人们在实践中思考、研究数学，用数学思想有效地解决现实生活中的问题。 【关键词】数学思想举例现实生活应用意识和技能 美国教育家杜威把教育定义为：“教育乃是社会生活延续的工具。”他强调“社会的改造要依靠教育的改造。”①辩证地指出了教育对社会生活产生的巨大作用。诚然，教育的每一个环节、每一门学科，都在以它不同的功能解决现实生活中的问题，从而促进社会的发展。就数学而言，我们生活的每一刻、每一处，都离不开数学和数学思想。例如孩子在具备了完整的意识后，就懂得“家里有3口人”、“房子是方的”如此概念；正常人从会算数起到年老，都知道拿用10元钱买8元的东西应该找回2元的道理，即便不读书的人也懂得；木工师傅即使不了解“直线的基本性质”也知道压住线斗的两端弹出一条直线，等等。 广袤的世界、繁杂的社会现象，从事物的外形构造到内部功能、从逻辑思维到世界观的形成，每一个环节都渗透着、充斥着数学思想方法。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。主要有：建模思想、数形结合思想、统计思想、比较思想、变换思想、分类讨论思想、类比思想、归纳推理思想、隐含条件思想、图形运动思想、化归与转化思想、方程与函数思想等等。 下面举例说说数学思想在现实生活中的运用。 一、建模思想的运用 所谓数学建模思想，就是用数学语言把实际问题概括的表述出来的一种数学结构，它是对客观事物的一种空间形式和数量关系的一种反映。它的基本结构是：把实际问题抽象为数学模型，经过演算得出数学模型的解，再推理出实际问题的解，最后回归解决实际问题。我们可以通过下面图框表述： 这种模式的构建过程，其实渗透了一种思维过程，即由生活现象引发假设→进行推理论证→得出一种规则和真理→应用这一规则和真理。例如，投篮球过程中最高点应该是多少米才能准确落入篮圈？有些人经过反复地实验、观察、思考，头脑里产生了抛物线的影像，然后利用抛物线的性质，根据个人身高和篮板到地面距离等条件，计算出抛掷最高点，以这一结论指导学生在实践中巩固、活动。这一过程，实际上就是运用数学建模思想解决相关实际问题的过程。 这个过程还可以动态地延伸，拿上例来说，有心人还会进一步做出思考：如何利用抛物线在投掷篮球的应用中，更深层次地拓展到计算“根据市场变化、消费者等条件调整商品销售的数量，达到利润的最大化。”为此，数学建模思想不仅仅能够解决实际生活中的问题，而且更深层次地构建了一种完整的思维体系。 二、数形结合思想的运用 “数形结合”在教学中就是对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答；在实际生活中就是借助图形直观出数据难以说明的问题，借助数据解决图形无法测算和推理的问题。从这个意义上看，数形是紧密结合的，“数无形，少直观；形无数，难入微”。依数据绘图，可化抽象为直观；根据图形求数，让实际问题更能得出准确的数据定位。 例如：为测量一池塘难以达
高中数学四大推理方法巧解证明题.doc
高中数学四大推理方法巧解证明题- 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。 一、合情推理法 在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。 二、演绎推理法 对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。 三、间接和直接证明法 （一）直接证明法 直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综
合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。 （二）间接证明法 间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。 四、归纳推理法 同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。 在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况进行分类，之后根据分类在进行证明，假如每种情况都可以得到证明，那么所得到的结论就必然是正确的，这种分类证明、归纳方法，可以使同学们找到突破口，从而使证明题得到解答。 结束语： 在数学证明题的实际解答过程中，要根据题目的具体情景
高二数学类比推理综合测试题
第2课时类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是() A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B [解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180° A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案] C
[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理． 3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长， r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为 ( ) A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积，r 为四面体内切球的半径) D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) [答案] C [解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③
苏教版小学数学四年级推理思想渗透的案例研究结题报告
《苏教版小学数学四年级推理思想渗透的案例研究》结题报告 一、课题研究的目的意义（课题核心概念及所要解决的问题分析） 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是指数学活动中形成的理性认识。现代数学教学论认为数学思想是人们对数学本质的认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观念。数学思想是和数学方法既有联系又有区别的概念，思想是方法的灵魂，指导着方法的运用。 数学基本思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。本课题所指的数学思想是数学基本思想，即2011版数学课程标准所提出的：抽象、推理和模型思想。这三大基本思想内涵丰富，通常包括着许多下位思想，如方程思想和函数思想，合情推理与演绎推理等，数学基本思想的获得是在多种具体数学思想的学习领悟中累积生成的。 推理思想是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。课标指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。” 推理思想作为数学的一个重要的思想方法，无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法，在小学数学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。准确而全面地把握教材是有效教学的前提，数学基本思想是伴随数学知识的编排，以内隐的方式呈现的，往往被一线教师忽视，因此做好教材的深度研究，挖掘内隐的数学思想，并在教学中实践，就成为思想渗透教学的关键。 教材有狭义和广义之分，本课题所指教材为狭义教材，即苏教版小学数学四年级教科书（课本）。准确而全面地把握教材是有效教学的前提，数学基本思想是伴随数学知识的编排，以内隐的方式呈现的，往往被一线教师忽视，因此做好
二年级数学下册推理(公开课)
数学广角——推理教学设计 教学内容：教科书第109页 教学目标： 1、知识与技能：能根据已知条件通过活动判断出结论，培养学生初步的观察、分析及推 理能力 2、过程与方法：经历简单推理的过程，初步获得一些简单的推理经验 3、情感态度与价值观：体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心和 探索数学的兴趣 教学重、难点： 据已知条件通过活动判断出结论，感受简单的推理过程 教学准备： 投影仪，粉笔、磁扣、纸盒 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 出示柯南图片：同学们，请看大屏幕，看看谁来了？ 你们喜欢柯南吗？ 你知道柯南是做什么的吗？ 让孩子说说柯南的厉害之处，预设：孩子能点到推理 今天这节课，我们就一起和柯南来学习一些推理的知识（板书推理） 二、讲授新课 （一）粉笔游戏 （出示较短的一根粉笔）这是一根粉笔，老师把它藏在老师的其中一只手里，来，猜猜，在哪只手里？ 谁来举手告诉我？（教师做举手的姿势，松开左手） 预设：学生异口同声说在另一只手里 为什么在这只手里呢？ 因为老师就两只手，那现在排除了这只手，就肯定在另一只手中（摊开手让学生看看粉笔）渗透排除法（板书排除） （二）猜磁扣游戏 这有1、2、3三个盒子，一个装红磁扣，一个装黄磁扣，还有一个是空的，猜猜黄磁扣在
哪号盒子里。 老师给提示摇两下3号盒子，没有声音 教师再提示：取出1号盒子的红球 在游戏中请学生说说想法 打开来看看，验证学生的推理是正确的 小结强调提示信息 （三）讲解例题1 出示：有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本 小红说：我拿的是语文书小丽说：我拿的不是数学书 小红、小丽和小刚拿的分别是什么书？ 1、找数学信息？ “三人各拿一本”这句话是什么意思？ 2、同桌合作，把你们的推理用你们喜欢的方式记录在这张白纸上 3、展示学生的作品 （1）、文字法 学生讲解推理过程 全班反馈 （2）、连线法 学生讲解推理过程 全班反馈 （3）、比较文字法和连线法 你更喜欢哪种方法 方法优化 （4）强化连线法 师生共同完成连线 （5）小结推理的方法，板书：抓关键，巧排除 三、巩固练习——动物王国的小侦探 （一）帮助小狗找名字
北师大版高中数学22第一章第1节类比推理教学设计方案
北师大版高中数学选修2-2 《类比推理》教学设计方案 江西省高安中学熊智勇 一、教学内容 课题：类比推理 教材：北师大版普通高中课程标准实验教材数学（选修2-2） 年级：高二年级所需课时：1课时 二、教材分析 本节选自选修2-2推理与证明中的归纳与类比，教材将类比推理作为合情推理的一个重要内容，是整个高中阶段对类比推理的高度概括与总结，也是将这种培养学生思维能力的方式从幕后走向台前，是点晴之笔。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳的科学，数学不只是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步学习高等数学作准备。 三、学情分析 类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。 四、教学目标 （一）知识与技能： 1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去； 2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。 （二）过程与方法： 本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以学案辅助教学，以问题组的形式展开，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围。（三）情感态度与价值观： 1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的正确数学意识。 教学重点：体会用类比推理发现新的数学结论和方法的思考方式与规律，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。
请谈一谈推理能力在数学课程标准中的具体描述。
1、请谈一谈“推理能力”在《数学课程标准》中的具体描述。 答：推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。 2．推理是数学的基本思维方式，在小学阶段主要学习合情推理，即归纳推理（主要是不完全归纳推理）和类比推理。请举例说一说不完全归纳推理在课堂教学中的应用。 答：“不完全归纳法”在实际教学中运用很广范，那么如何提高学生的推理能力，又如何更有效地运用不完全归纳法进行设计教学呢？下面以“小数乘法”这一教学内容为例进行说明。 一、调动学生观察，建立新旧知识的联系，并引出问题。 出示表格，观察该表中每组数据你有什么发现？。 在对比观察中，学生可能会发现每组中各算式都很相似，并能说出表中每个算式的异同点。教师即不失时机地点出像“2.8×3= 2.8×0.3=”这样在算式中含有小数的乘法算式就是今天我们要学习的“小数乘法”。 引导学生观察，使学生自主发现新知，了解到将要学习什么内容，明白学习目的。 二、引导学生猜测，激发学生的学习兴趣。 先将每组算式的第一个算式计算出来，（如下表）然后提问：每组的第一个算式是我们已经学过的整数乘法，我们都会算。那么下面的小数乘法算式应该怎样计算？它们的乘积会是多少？你想它们的乘积会跟什么有关呢？ 对于上面这些问题学生自然还不会回答，但他们却能提出各种猜想。 通过引导学生对新知的猜测，不但发展了学生的智力还有效激发了他们的求知欲，同时也为下面的后续学习指明了方向。 三、动手实践引导学生再次观察，发现问题。 教师引导学生利用计算器对表中算式进行计算。算后出示表格如下：
学年高中数学 推理与证明 类比推理学案含解析北师大版选修
类比推理 1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点) 2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点) [基础·初探]教材整理1 类比推理 阅读教材P 5“类比推理”至P 6 前16行，完成下列问题. 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.
类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号). ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对. 【答案】①②③ 教材整理2 合情推理 的最后4个自然段，完成下列问题. 阅读教材P 6 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 合情推理的结果不一定正确. 下列说法正确的是( ) A.由合情推理得出的结论一定是正确的
B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误 【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】B [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]
类比推理在高中数学教学中的应用
学科论文 浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 姓名冯娟 单位阜阳市第二中学 学科数学 2013年5月
浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 阜阳二中数学组：冯娟 摘要：类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。 关键词：类比推理猜想证明数学学习 笔者现阶段所教授的是高三文科普通班，学生基础相对比较薄弱。学生对数学这一学科几乎到了“谈数色变”的程度。在平时的教学中，常常有学生抱怨：我怎么想不到这样的方法？笔者认为学生困惑的根源是缺乏知识的迁移能力和未形成系统的知识体系。作为数学教师，笔者认为应该帮助学生构建系统的知识体系，培养学生的知识迁移运用能力，而类比思想是串联新旧知识的纽带。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，一下内容是笔者在教学实践中的深刻体会。 一、类比推理思想的重要性 类比是猜想的前提，而猜想又是发现和创造前提，虽然，笔者们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。在人类历史上，类比获得的科技发明不胜枚举：鲁班类比带齿的草叶发明了锯，科学家类比蝙蝠规避障碍物的原理发明了雷达，类比金枪鱼的结构发明了金枪潜艇--- 二、类比推理思想在教学中的应用” 1、类比推理在概念形成过程中的应用 数学概念是整个数学知识结构的基础。在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，了解概念事物的形成过程。
高中数学中的类比推理问题
类比推理问题一咼考命题新亮点 类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的 比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创 造性的方法，而且更能体现数学的美感。 （一）不同知识点之间的类比 数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计 展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可 以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理 【例1】若从点0所作的两条射线 0M 、ON 上分别有点Ml 、M2与点Ni 、N 2,则三角形面积之 别有点Pi 、P2与点Qi 、Q2和Ri 、R2，则类似的结论为： ______________________________________ 【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想 OP. OQ. OR. - J J （证明略） 「,」（明略） 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空 间三棱锥体积比的相应结论。 【例2】在 丄二町 中有余弦定理： 丄N ：：：__/_.拓展到空间，类 比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱亠"-」的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式，并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出 瞌如=认 +孔的鸟—23_^斗 ■'?「.’ '其中T 为侧面为 -与“〔丁 I 所成的二面角的平面角。 证明：作斜三棱柱-甘- 的直截面DEF,则一-二匕 为面与面"I' 所成角, 比为: _二：若从点0所作的不在同一个平面内的三条射线 Q 舗 了 OP 、0Q 和OR 上分
浅谈数学推理能力的构成
浅谈数学推理能力的构成 从苏联心理学家克鲁捷茨基的《中小学生数学能力心理学》中，可见数学推理能力是数学能力结构基本成分，在培养学生数学能力的过程中应注重培养数学推理能力. 从学生进行的学习活动的过程和特点，学习过程中学生有关心理特征的表现、变化各阶段的发展水平，影响教学活动顺利完成的其他因素等全面地进行考虑，我们对数学推理能力构成成分划分如下： 1.对数学材料迅速而正确的概括能力 在学生的学习活动中，概括起着重要的作用.学生接受的知识主要是已经概括的间接的数学知识，但这些知识必须经过自己的数学活动，进行理解、内化才能转为自己的知识.比方，接触了例题： 5.对推理结果反思能力 对推理结果反思能力指从推理结果分析出解题规律性的能力.学生的任务是检验自己的答案是否正确，但更重要的任务是进行“反思”，归纳思路，举一反三. 对推理结果反思能力中等学生在题后反思方面做的工作要少，因此对推理结果优化能力显得差点. 6.对推理过程中数学材料记忆能力
对推理过程中数学材料记忆能力与其他方面记忆有着 本质区别，主要指能有选择地、精练地、概括地记忆概念、法则、公式、定理以及推理和运算的典型模式和一般特点. 教学过程中，发现记忆能力强的学生重在对题目类型、解题的概括方法、推理的概要、证明的基本线索以及逻辑模式等都能立即记住，并且长久保持，多余的、不必要的数据，他们通常是不记忆的. 以上对中学生数学推理能力结构作了初步讨论，对于数学推理能力结构的合理的、科学的划分，以及各种成分对学生推理能力的影响等工作还有待于我们进一步研究，对数学推理能力结构的探讨将为科学培养中学生数学推理能力提 供理论依据.
试论小学数学教学中的类比推理
试论小学数学教学中的类比推理 摘要：在我国小学教学方法中一个比较典型的方法就是类比推理，这个方法由于其有助于学生思维的发散而经常被应用于小学数学教学中。类比推理的方法不仅符合我国小学数学教育的发展思路，而且也有助于培养学生的独立思考的能力。本文针对小学数学教学中的类比推理进行系统论述。 关键词：小学数学类比推理教学方法 类比是由两个（或两类）思维对象之间的某些方面的相同或相似，从而推出它们在其它方面也相同或相似的一种思维方法。用这样的思维方法进行推理就叫类比推理。“类比”一词最早出现在希腊文中，含有“比例”的意思，这里所指的比例不是简单的1：2=3：6中的比例，而是相关事物之间的某些相似关系的迁移，是自然界与人类社会内部互相联系的一种反映。因此，类比推理是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。它帮助不少科学家继往开来，推陈出新，获得许多重要学说、重大发现和创造发明。比如现代科技中应用广泛的“仿生学”就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。《小学数学新课程标准（2011年修订版）》在“总体目标”中明确提出：让学生学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。这对数学思维方法在小学数学教学中的渗透提出了新的要求。类比推理作为一种自由的、生动活泼的数学思维方法，在数学的学习中来认识和学习类比推理是比较简洁、明了，易于表达和训练的，是符合小学生心理和认知发展特点的。然而在小学数学教学实践中发现大部分小学老师认为小学数学教学内容简单，没有什么数学思维方法可谈，在课堂教学时主要局限于解题的技能与技巧层面。虽然从知识层面来看小学数学的教学内容是比较简单，但那里面处处蕴含着数学思维方法，在教学中需要教师去挖掘和渗透。下面通过具体实例探讨一下类比推理在小学数学教学中的应用。 一、运用类比，推导公式 在教学圆柱体侧面积时，学生已有长方形面积的知识，教师可以先引导学生动手操作，观察认识圆柱体侧面部位，然后展开圆柱体的侧面，将曲面转化到平面上，让学生感知其侧面展开图是一个长方形。再让学生类比长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关系，由长方形的长（a）相当于圆柱体底面的周长（2πr），长方形的宽（b）相当于圆柱体的高（h）。从而由长方形面积公式S=ab推出圆柱体的侧面积公式S=2πrh 。学生通过这样的类比不但加深了对公式的理解，而且也很自然的记住了公式，根本不需要去死记硬背。 二、运用类比，总结解题方法 在小学数学应用题中，“工程问题”中的三个数量有工作效率×工作时间=工作总量这样的关系。而“行程问题”中的三个量也有类似的关系：速度×时间=路程。因此，工程问题的解法可以类推到行程问题中去。工程问题：“一个工程，A队单独做30小时完成，B队单独做40小时可以完成，两队合做，几小时可以完成全工程？”。在这个“工程问题”中，工作总量可以看作单位“1”，则A队的工作效
高中数学类比推理综合测试题有答案
高中数学类比推理综合测试题（有答案）选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的 ．合情推理必须有前提有结论B ．合情推理不能猜想CD．合情推理得出的结论无法判定正误 ] B[答案[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确， 故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180 ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)180 A．①② 页 1 第 B．①③④ C．①②④．②④D [答案] C[解析] ①是类比推理；②④
都是归纳推理，都是合情推理． 3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到 四面体的体积为() 13abcV＝A．＝13ShB．VC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) 为四面体的高)＋bc＋ac)h(h13(abD．V＝答案[] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是() ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都 页 2 第 相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ．①A B．①②C．①②③ D．③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹
二年级数学广角 推理
《数学广角——推理》 【教材分析】 本单元内容包括猜一猜和找规律。简单推理过程和找规律的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本单元主要是通过学生日常生活中最简单的事例，让学生运用操作、实验、猜测等直观手段感受简单的推理过程和探索图形的排列规律，向学生渗透数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识及列组合的数学方法。第一课时的教学内容包括“含有两个条件的推理”和“含有三个条件的推理”。逻辑推理思维性比较强，学生对纯“文字”的推理存在难度。 【学情分析】 学生在一年级下册教材中已经学习了一些图形和数的简单排列规律，本册教材就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过操作、观察、实验、猜测让学生学会对于推理过程的简单叙述。大部分二年级学生的学习基础比较好，对所学知识基本上能回答出结果。针对这些实际情况，在设计本单元时，教学的重点要为学生提供猜想、活动交流的机会，采取小组合作学习的方式，让学生通过操作、观察、猜测等活动去发现规律，使学生在描述、思考和讨论交流活动过程中充分感受事物的推理。同时，二年级学生年龄小，以形象思维为主，根据学生的年龄特点在设计教案时也要做到设计学生感兴趣的环节，灵活处理教材。 【教学目标】 ·知识与技能： 1、通过观察、猜测等活动，能借助已有的经验和体验感受简单推理的过程，并 能借助连线、列表的方式整理复杂信息，推理解决一些简单的数学问题。2、能初步有序地、全面地思考问题，并能用数学语言简单叙述推理依据。 ·过程与方法： 通过观察猜测、游戏、小组合作，口头叙述推理过程等活动，感受推理的作用，初步产生有序地、全面地思考问题的意识。 ·情感态度价值观： 培养数学语言表达的条理性，体会推理在生活中的应用，感受推理的乐趣。 【教学重难点】 重点：经历简单的推理过程，培养学生初步的观察、分析以及推理能力。 难点：能初步有序地、全面地思考问题，能有条理地叙述推理的依据。 【课时安排】1课时 【教法学法】 教法：讲授法、创设情境法、启发式谈话法 学法：观察法、自主学习法、合作探究法 【教学准备】课件、卡片、吸铁石 【教学过程】