1.1 集合概念及特征(精讲)(原卷版附答案).pdf
（6）{(x, y) | x y 6, x N , y N }
（7）方程 x(x a) 0, a R 的解集
3
本例题主要考查集合的表示方法,列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般 适用于有限集合但元素个数多或者无限集合 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有 31 天的月份的全体；
2．（2019·浙江湖州高一期中）设集合
,则（ ）
A． A
B．1 A
C．1 A
D．1,1 A
3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合 A {x∣x„ }, a 2 3 ,则 a 与集合 A 的关系是（ ）.
A． a A
B． a A
C． a A
a A
D．
考法五 求参数
2 1，a，2 1 a 1
【例 5】（2020·吴起高级中学高二月考（文））若
,则 a =（ ）
A．2
B．1 或－1
C．1
D．－1
本例题根据题意求参数时,求完参数记得检验元素之间的互异性！！！
【一隅三反】
A
1．（2020·上海高一课时练习）若集合
x | ax2 3x 2 0
中至多有一个元素,则实数 a 的取值范围是
6
本例题考查元素与集合的关系,即Î 、Ï ,开口朝向集合背靠元素
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）用符号“ ”或“ ”填空： 1
0______N； 3 ______N；0.5______Z； 2 ______Z； 3 ______Q； ______R.
A x x 1 x 1 0
D．平面内到 ABC 三个顶点距离相等的所有点
【例 2】（2020·全国高一课时练习）由实数 x, x,| x |, x2 , x2 所组成的集合中,含有元素的个数最多为
（）Leabharlann A．2B．3C．4
D．5
本例题主要考查的是元素互异性,即一个集合中每个元素不能一样或重复 【一隅三反】
2
x y 1．（2020·全国高一课时练习）已知 x,y 均不为 0,即 | x | | y | 的所有可能取值组成的集合中的元素个数为
（2）大于 3.5 小于 12.8 的整数的全体；
（3）梯形的全体组成的集合； （4）所有能被 3 整除的数的集合； （5）方程 (x 1)(x 2) 0 的解组成的集合；
（6）不等式 2x 1 5 的解集.
2．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
2x 3y 14, （1）方程组 3x 2 y 8 的解集； （2）方程 x2 2x 1 0 的实数根组成的集合；
4
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
（4）二次函数 y x2 2x 10 的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 y x2 2x 10 的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
考法三 集合中元素的意义
【例 3】（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？
A
B．1 或 3
C．－1 或 3
D．1,－1 或 3
考法二 集合的表示方法
【例 2】（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集.
（1）到 A、B 两点距离相等的点的集合
（2）满足不等式 x2 1 的 x 的集合
（3）全体偶数
（4）被 5 除余 1 的数
（5）20 以内的质数
（）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2020·全国高三其他（文））已知集合 A {(x, y) | x y 2, x, y N} ,则 A 中元素的个数为（ ）
A．1
B．5
C．6
D．无数个
3．（2020·全国高一）已知集合 M＝{1,m＋2,m2＋4},且 5∈M,则 m 的值为（ ）
A．1 或－1
③
；
M y y x2 1 , P x, y y x2 1
④
A．①
B．②
C．③
D．④
考法四 元素与集合的关系
3
1
【例 4】（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2） 3 ______Q；（3） 3
______Z；（4）3.14______R；（5） 3 ______N；（6） 9 _____Q.
思维导图
1.1 集合的概念及特征（精讲）
常见考法
考点一 集合的判断
【例 1】（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能组成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
本例题主要考查的是元素的确定性,即集合的中元素要有客观的标准可以衡量,不能用主观 去衡量,例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。
________．
7
2．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合 A {2, (a 1)2 , a2 3a 3} ,且1 A ,则实数 a 的值为 ________．
A = {x Î R | ax2 - 3x - 4 = 0}
3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合
【一隅三反】 1．（2020·全国高一）下列各组对象中能组成集合的是（ ）
A．充分接近 3 的实数的全体
B．数学成绩比较好的同学
C．小于 20 的所有自然数
D．未来世界的高科技产品
2．（2020·全国高一课时练习）下列对象能组成集合的是（ ）
A．高一年级全体较胖的学生 B．比较接近 1 的全体正数
C．全体很大的自然数
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
2．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的 M、P 表示同一集合的是( )
M 3, 1, P 3, 1
①
；
② M 3,1, P 1,3 ；
M y y x2 1 , P t t x2 1
y
|
y
1 x
；
B
x| y
x2 2x
；
C
x,
y
|
y
1 x
D
x,
y
|
x
y
3
1
；
E
x
0,
y
1
；
F
x
y
1,
x
y
1 .
5
本例题考查的是集合中的元素的意义,元素的意义可能是数集、点集等,一般用描述法表 示,注意看描述法最左端。
【一隅三反】
1．（2020·上海高一课时练习）集合{(x, y) | xy„ 0, x R, y R} 是指（ ）
2021年高中数学必修第一册1.1《集合的概念》同步课件（含答案）
2021年高中数学必修第一册1.1《集合的概念》同步课件（含答案）1、人教A版必修第一册第一章集合与常用规律用语n情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:很多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？康托尔〔G.Cantor,1845-1918〕.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.情景导学n情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会.n通知8月28日上午8时，高一年级的学生在体育馆集合进行军训动员.德育处问题1：这2、个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？高一学生全体高一学生的全体构成一个集合，下面我们就具体地讨论集合的相关学问.问题思索n我们已经接触过一些集合：1.将以下数字填入相应的集合：自然数集合有理数集合 2.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合.n探究1集合的定义考察以下问题：〔1〕1～20以内的全部偶数；〔2〕立德中学今年入学的全体高一学生；〔3〕全部正方形；〔4〕到直线l的距离等于定长d的全部的点;〔5〕方程的全部实数根；〔6〕地球上的四大洋。
思索:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研3、究的对象统称为元素，元素分别是什么？n集合定义的理解1.是肯定范围内确实定的对象；2.是不同的对象；3.是这些对象的全体.n一般地，我们把讨论对象统称为元素.通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示.我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.组成集合的元素肯定是数吗？组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？问题：归纳总结n1.全部的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素是确定的探究2：集合中元素的性质“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“4、帅”才算“帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象．因此，不能构成集合．不能.其中的元素不确定问题探究n2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？集合中的元素是互异的不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5.问题探究n3.高一〔5〕班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有改变？集合中的元素是没有顺序的通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？确定性、互异性、无序性集合没有改变问题探究两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.n启示：任何集合的元素都不能违反确定性5、、互异性、无序性.我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的关系.1.推断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流.【提示】〔1〕是由4,6,8,10四个元素组成的集合.〔2〕由集合元素确实定性知其不能组成集合.练习n3.已知下面的两个实例：〔1〕用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.〔2〕用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.探究3：元素和集合的关系思索：那么a，b与集合A分别有什么关系?问题探究n 元素a与集合A的6、关系假如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；假如a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。
人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征(精练)(解析版)
0 是集合0,1 的一个元素 0 0,1 ，则④正确
本题正确选项： D
3（2023·四川绵阳）已知集合 A {2, 1, 0,1, 2, 3} ， B x A x A ，则 B （ ）
A．{1, 2}
B．{2, 1}
C． {0, 3}
D． {3}
【答案】D
【解析】∵ A {2, 1, 0,1, 2, 3} ，即集合 B 的可能元素 2, 1, 0,1, 2,3，则有：
a
3 2
时，
A
7 2
,
3,12，符合，
故由
a
的值构成的集已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝{2}时，集合 B
＝（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
【答案】D
【解析】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即 x2 p 1 x q 0 有且只有一个实数解 x 2 ,
由 0 A ，则 0 0 A ，可得 0 B ； 由 1 A ，且1 A ，可得 1 B ，且1 B ； 由 2 A ，且 2 A ，可得 2 B ，且 2 B ； 由 3 A，且 3 A ，可得 3 B ；
综上所述： B 3 .
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
D．5
【答案】A
【解析】 0 是自然数，故 0 N ，（1）正确；
π 是无理数，故 π Q ，（2）错误；
由 3、4、5、5、6 构成的集合为3，4，5，6 有 4 个元素，故（3）错误；
数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点集是无限集，（4）错误；
1.1.1集合的概念
(4)
N，0.5
Z，0
Q，
R，π
Байду номын сангаас
N，0
Z，
Q，π
R，
N*；
Z；
Q；
R.
3.判断下列集合是有限集还是无限集.
(1)你所在班级的所有同学组成的集合；
有限集
(2)方程 + = 的所有正整数解组成的集合；有限集
(3)小于3的所有整数组成的集合；
无限集
典型例题
典型例题
【例】方程 = 的所有实数解组成的集合为，则 −
A
（用符号“ ∈ ”或“ ∉ ”填空）。
练习：如果是由方程 = 的所有解组成的集合，则 − ，
，
. （用符号“ ∈ ”或“ ∉ ”填空）
运用知识,强化练习
练习： 用符号“”或“”填空：
(4)数轴上表示大于0且小于1的所有点组成的集合. 无限集
课堂总结
➢1、集合的有关概念：集合、元素；
➢2、元素与集合的关系：属于、不属于；
➢3、集合中元素的特征；
➢4、集合的分类：有限集、无限集；
➢5、常用数集的定义及记法.
(2)某校汉字录入速度为90字符/min及以上的所有学生； 能
(3)方程( − )( + ) = 的所有实数解； 能
(4)大于−5且小于5的所有整数； 能
(5)大于3且小于1的所有实数； 能
(6)非常接近0的数. 不能；不满足元素的确定性.
2.用符号“∈”或“∉”填空.
集合的概念及特征(精讲)(原卷版)
1.1集合的概念及特征（精讲）考点一集合的判断【例1】（2022·全国·的实数的全体；③方程210x x +-=的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（）A ．①③B ．①②C ．①②③D ．①②③④【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）下面能构成集合的是（）A ．中国的小河流B ．大于5小于11的偶数C ．高一年级的优秀学生D ．某班级跑得快的学生2．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A ．与定点A ，B 等距离的点不能构成集合B ．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C ．一个集合中有三个元素a ，b ，c ，其中a ，b ，c 是ABC 的三边长，则ABC 不可能是等边三角形D ．高中学生中的游泳能手能构成集合3．（2022·全国·高一课时练习）下列所给对象不能构成集合的是（）A ．一个平面内的所有点B ．所有小于零的实数C ．某校高一（1）班的高个子学生D ．某一天到商场买过货物的顾客考点二集合与元素的关系【例2】（2022·湖南·高一课时练习）用符号“∈”和“∉”填空：（1）12______N ；（2）1______Z -；（3）2-______R ；（4）π______Q +；（5）23______N ；（6）0______∅．【一隅三反】1．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“∈”或“∉”填空：1____N ，－3____N ，0.3___Q ，N ，1__Z ，－3___Q ，0___Z ，R ，0___N *，π___R ，227___Q ，cos30o ___Z ．2．（2022·湖南岳阳）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1N-∈B ．*0N ∉C QD ．25R∉3．（2022·北京大兴）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，则（）A ．1A -∈B ．1A∈C ．AD ．2A∈考点三集合的表示方法【例3】（2021·全国·高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A ；(2)所有正奇数组成的集合B ；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C ；(4)直角坐标平面上，抛物线2y x =上的点组成的集合D ．【一隅三反】1．（2021·山东省淄博）集合*63A x N Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（）A．{}1,2,4,9B．{}1,2,4,5,6,9C．{}6,3,2,1,3,6----D．{}6,3,2,1,2,3,6----2．（2022·浙江）方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（）A．{1}B．(1,1)C．{(1,1)}D．{1,1}3．（2022·广东）把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）{|37}x N x ∈<<；（4）中国古代四大发明考点四集合中元素的个数【例4-1】（2022·湖南）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A．4B．6C．8D．12【例4-2】（2022·内蒙古）已知集合{}0,1,2A =，(){},,,,B x y x A y A x y A x y A =∈∈+∈-∈，则集合B 中元素的个数是（）A ．6B ．3C ．4D ．5【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·湖南）已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·浙江）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5考点五集合互异性及其应用【例5-1】（2022·广西）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A ∈，则a 的值为（）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，2【例5-2】（2022云南）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（）A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（）A ．25m <<B ．25m ≤<C ．25<≤m D ．25m ≤≤【一隅三反】1．（2022·陕西）设集合{}22,1,2A a a a =--+，若4A ∈，则=a （）A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或22．（多选）（2022·新疆）已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（）A．2B．2-C．3-D．13．（多选）（2022·河北）已知集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，那么a 的可能取值为（）A．1-B．1C．53D．0。
高一数学集合 1.1总结(附带练习及答案)
第一章集合与简单逻辑1.1集合二、基本概念1、如何理解集合的概念集合的定义“某些指定的对象集在一起就成为一个集合”只是一种描述性的说明，集合是数学中最原始的，不加定义的概念，这和我们在初中时学过的点、直线、平面等数学名词一样，都是不给出定义的概念。
例如：①正数的集合；②我校篮球队的队员组成一个集合；③太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋组成一个集合。
由以上例子可知，我们所研究的集合，应该是“把某些具有共同特征的对象集在一起”而其中的“共同特征”就是我们判定研究对象是否在集合内的依据。
2、元素及元素的性质集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性。
第一条性质：确定性，对于集合A 和给定的某一个对象a ，要么a A ∈，要么a A ∉。
两者必居其一，也就是说：集合中的元素必须是明确而确定的，例如“我们班级高个子的同学”就不能组成一个集合，因为组成它的对象既不明确，也不确定。
即没有确定标准。
第二条性质：互异性，也就是说，同一个集合中的元素必须是互不相同的，例如：23与9，只能表示同一个元素。
第三条性质：无序性，即：集合中的元素是没有先后顺序的。
例如，{}5,4,6与{}4,5,6是同一个集合。
3、关于集合表示方法集合有三种表示方法，但在具体的解题过程中，应该具体问题具体分析，灵活使用三种表示方法，一般地，对于有限集常采用列举法，而对于无限集则最好用描述法，当需要显示两个集合之间关系时，结合图示法使用。
在使用列举法时还应注意： （1）元素间用分隔号“，”； （2）元素不重复； （3）不考虑元素顺序；（4）对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。
使用描述法时，应注意：（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）； （2）说明该集合中元素的性质； （3）不能出现未被说明的字母；（4）多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”； （5）所有描述的内容都要写在集合括号内； （6）用于描述的语句力求简明、确切。
第01讲 集合的概念及基本关系(3大考点10种解题方法)(解析版)
第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。
任何一个对象α对于某一个集合A 来说，或是属于该集合)(A ∈α即，或是不属于该集合)A (∉α即。
2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇；真子集：对于集合A 和B ，若B A ⊆,且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B8.相等的集合：对于两个集合A 和B ，若B A ⊆，且A B ⊇，则叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =；【要点注意】（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆∅，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；（3）子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；（4）若B A ⊆，则AB 或B A =；（5）相等的集合中的所含元素完全相同；（6）连接元素与集合的符号有：∈和∉；（7）连接集合与集合的符号有：⊆，，≠=,等；（8）含有n 个元素的集合的子集共有n2个,真子集有12-n个。
（9）子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．3.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D ．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是()A．0B．1C．2D．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．4.若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a =)A．1-B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解．【答案】（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N 表示________集合；集合*Z 表示________集合；集合*R 表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N 表示自然数集合；集合*Z 表示正整数集合；集合*R 表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪ th B．13Q∈C．Q Z⊆D．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为()R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A．6B．5C．4D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中， ∈R ，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．题型六：元素个数问题3.集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且噸 是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y噸 ∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．4.已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.题型八：二次函数与集合6.设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为()A．04a <<B．40<≤a C．40≤<a D．40≤≤a 【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则 ＞t△ − t，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．2.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.题型十：子集与真子集1.已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则()A．M N=B．M ⊊N C．N ⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x噸，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，N ＝{x |x 噸 ，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是()A．(,1)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1-8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =，所以{}1,0,1A =-，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R ，0∉Q ，0.7∈N ，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D .5．（2021·山东聊城一中高一期中）若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.【详解】0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合B ．由1，3，1-，13，32，647个元素C ．{}1,2,3,4,5,6和{}6,5,4,3,2,1表示相同的集合D ．{}∅表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A ；由集合元素的互异性可判断B ；由集合元素的无序性可判断C ；由{}∅表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A ，不大于3的自然数组成的集合是{}0,1,2,3，故A 错误；对于B ，由3624=31=结合集合元素的互异性，可知由1，3，1-，13，32，64成的集合有5个元素，故B 错误；对于C ，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C 正确；对于D ，∅表示空集，{}∅表示以空集为元素的集合，故D 错误；故选：C 二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由3x <-所有实数组成的集合E 是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是F ，,E F 都存在，故A 错误；对B ：{}{}2|4402E x x x =-+==，F 由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故{}2F E ==，故B 正确；对C ：{|E x Z =∈32x -{}}1,1,3,5Z ∈=-，因为{}1,1-⊆F ⊆E ，故F 为含有1,1-且是{}1,1,3,5-的子集{}{}{}{}1,1,1,1,3,1,1,5,1,1,3,5----，共有4个，故C 正确；对D ：(){}()()(){},|2,1,1,2,0,0,1,2E x y y x x x Z ==≤∈=--，故D 错误.故选：BC .9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（）A ．若{(1,2)}P =，则P∅∈B ．{|1}{|1}x x y y >⊆C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D ．{2,4}有3个非空子集【答案】BD【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD 三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______．【答案】{(1,2),(2,1)}【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥{}|1x x >.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，{}|2x x ≥{}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-；（2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-；（4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数．【答案】⊆=⊇⊆【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆故答案为：⊆，=，⊇，⊆14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集{2,3,5,6,9}U =，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是___________.【答案】{}3,5,9【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第23位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{}5,6,9，第25位的子集为{}3,6,9，第24位的子集为{}2,6,9，第23位的子集为{}3,5,9故答案为：{}3,5,915．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈；③{0,1,2}{1,2,0}⊆.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈，故②正确；由子集的概念可得{0,1,2}{1,2,0}⊆，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如{}孙悟空，它有两个子集：空集∅和{}孙悟空．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合{},A a b =，它有4个子集：{}{}{},,,,a b a b ∅；对于三个元素组成的集合{},,B a b c =，它有8个子集：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅；规律：一般地对于有n 个元素的集合{}12,,,n a a a ，共有2n 个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣.(1)判断2,5,25是否属于集合A ；(2)若正整数y 能表示为某个整数的平方，z A ∈，证明：yz A ∈；(3)若集合{}43,B xx k k ==+∈Z ∣，证明：A B =∅.【答案】(1)2,5,25属于集合A ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，由此即可证明yz A ∈；(3)根据m 与n 的奇偶分类讨论即可.(1)由222222211,512,2534=+=+=+，可知2,5,25属于集合A ；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，又由z A ∈，设()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，有()22222()()yz a b c ab ac =+=+，由,,a b c ∈∈∈Z Z Z ，有,ab ac ∈∈Z Z ，故有yz A ∈；(3)①当,m n 都为偶数时，不妨设()()11222,2m k k n k k =∈=∈Z Z ，有()2222221212444x m n k k k k =+=+=+，此时x 为4的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；②当,m n 都为奇数时，不妨设()()112221,21m k k n k k =+∈=+∈Z Z ，有()()()222222121212212142x m n k k k k k k =+=+++=++++，此时x 为2的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；③当,m n 一奇一偶时，不妨设()()112221,2m k k n k k =+∈=∈Z Z ，有()()2222221212121441x m n k k k k k =+=++=+++，此时x 被4整除余1，而集合B 中的元素被4整除余3，此时A B =∅.由①②③可知，A B =∅.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.②求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.19．（2021·全国·高一专题练习）设N n ∈且3n ≥，有限集合12{,,}n M a a a =⋯，，其中12310n n a a a a a -≤<<<⋯<<，若对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a M -∈，则称集合M 为“含差集合”.（1）分别判断集合{0,2,4}A =和集合{1,2,3}B =是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合12345{,,,,}C a a a a a =，集合2{|,,4}D x x ka k N k ==∈≤，若集合C 是“含差集合”，试判断集合C 与集合D 的关系，并加以证明.【答案】（1）A 是，B 不是；（2）C D =，证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合C ，再与集合D 比较即可.【详解】（1）由{0,2,4}A =，可知0j i a a -=或2或4，因为0,2,4A ∈，所以集合{0,2,4}A =是“含差集合”，由{1,2,3}B =，可知0j i a a -=或1或2，因为0B ∉，所以{1,2,3}B =不是“含差集合”，（2）因为12345{,,,,}C a a a a a =是含差集合，所以123450a a a a a ≤<<<<，且对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a C -∈，因为1a 最小，所以10a =，因为32323a a C a a a -∈⎧⎨-<⎩，所以322a a a -=或321a a a -=（舍）所以322a a =，又4342a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且234a a a <<，10a =，可得43a a -=2a ，3a ；42a a -=2a ，3a ；当433a a a -=时，43224a a a ==；当432a a a -=时，423a a =；当422a a a -=时，422a a =；因为322a a =，43a a >，此种情况不成立，当423a a a -=时，423a a =；所以423a a =，又5453a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且345a a a <<，10a =，322a a =，423a a =，可得54a a -=2a ，3a ，4a ；53a a -=2a ，3a ，4a ；当542a a a -=时，524a a =；当543a a a -=时，525a a =；当544a a a -=时，526a a =；当53a a -=2a 时，5243a a a ==，因为54a a >，此种情况不成立，当53a a -=3a 时，524a a =；当53a a -=4a 时，525a a =；所以10a =，322a a =，423a a =，524a a =或525a a =，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =或2222{0,,2,3,5}C a a a a =此种情况225a a C -∉，不成立，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =，而22222{|,N,4}{0,,2,3,4}D x x ka k k a a a a ==∈≤=，所以C D =.。
1.1 集合的概念(答案版)
1.集合与元素 一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。
2．集合的特征(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A ；不属于()，a∈A ．(3)自然数集：N ；正整数集：N *或N ＋；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R.(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn 图图示法．3．集合的基本关系集合与集合：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：∈含有n 个元素的集合有2n 个子集；∈含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；∈含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：用适当的方法表示下列集合．(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；(2)绝对值等于6的数组成的集合；(3)所有三角形组成的集合；(4)直线y ＝x 上去掉原点的点组成的集合；(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；(6)24的所有正因数组成的集合；1.1集合的概念知识讲解典型例题(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用列举法表示为{B ，R ，I ，C ，S}．(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．(3)用描述法表示为{x |x 是三角形}或{三角形}．(4)用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．(5)用描述法表示为{x |2＜x ＜5，且x ∈Q }．(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(7)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |到y 轴的距离为|x |所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．例2：下列各组集合中表示同一集合的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合；对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合；对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，，集合的元素是点，集合不表示同一集合．一、选择题1．下列各组对象中能构成集合的是（ C ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2. 下列命题中正确的是( C ){(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N ={(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 同步练习∈0与{0}表示同一个集合；∈由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．∈和∈B ．∈和∈C ．∈D ．∈和∈解析：选C ∈中的0不是集合，故∈错；由集合中元素的无序性知∈正确；由集合中元素的互异性知∈错；因为集合{x |4<x <5}表示无限集，它不可以用列举法表示，故∈错．3．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( C )∈M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} ∈M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)} ∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{t |t ＝x 2－1}∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}A ．∈B ．∈C ．∈D ．∈解析：选C 在∈中，M ＝{3，－1}是数集，P ＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故∈错误；在∈中，M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故∈错误；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，P ＝{t |t ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故∈正确；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}表示数集，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故∈错误，故选C.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋12n ，n ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n －1n ，n ∈N *D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N * 解析：选D 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N *. 5．集合{x |x 2－6x ＋9＝0}中的所有元素之和为( )A ．0B ．3C ．6D ．9解析：选B ∈{x |x 2－6x ＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.6．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为（ B ）A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或37．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．8．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．9．集合中的不能取的值的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】由题意可知，且且，故集合中的不能取的值的个数是个．二、填空题1．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【答案】{4,9,16} [由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．]2. 以下五个写法中：∈{0}∈{0，1，2}；∈∈∈{1，2}；∈{0，1，2}={2，0，1}；∈0∈∈；∈A∩∈=A ，正确的个数有 2 个。
1-1 集合的概念(精讲)(原卷版)
1.1 集合的概念（精讲）考点一集合的概念【例1】（2021·浙江）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数π相差很小的全体实数【一隅三反】1．（2021·江苏高一）下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1 B．2 C．3 D．42．（多选）（2021·全国高一单元测试）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数3．（2021·全国高一课时练习）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（）①我校高一年级聪明的孩子②直角坐标系中，横、纵坐标相等的点③不小于3的整数的近似值A．②B．②③④C ．②③D ．①③考点二 元素与集合的关系【例2】（2021·广东）用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ； （2）若2|Ax x x ，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N ，则8_______________C ，9.1____________C . 【一隅三反】1.（2021·安徽省安庆九一六学校）下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈B ．0Z ∈C ．32Q ∈ D ．Q π∈2．（2021·全国高一课时练习）用符号“∈”或“∉”填空： （1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .3．（2021·全国高一课时练习）已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+;A ．4B ．3C ．2D ．1考点三 集合的表示方法【例3-1】（1）（2021·全国高一课时练习）把集合2|450{}x x x --=用列举法表示为（ ） A ．{|1,5}x x x =-= B ．{|15}x x x =-=或 C ．2{450}x x --=D ．{-1,5}（2）（2021·安徽省桐城中学高一月考）方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可表示为（ ）A ．{}1,2B ．()1,2C ．(){},1,2x y x y ==D ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭【例3-2】（2021·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （2）反比例函数2y x=的自变量组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集【一隅三反】1．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.2．（2021·全国高一课时练习）若集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，用列举法表示B =________． 3．（2021·北京大峪中学高一期中）方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是 4．（2021·全国高一课时练习）把下列集合用适当方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==； （4）{}|12B x N x =∈≤≤ ；（5）{}2|320C x x x =-+=.考点四 元素的个数【例4】（1）（2021·江苏苏州市）设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（2021·江苏南通市）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（2021·黑龙江大庆市）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（ ）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5【一隅三反】1．（2021·江西宜春市）设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2021·阜阳市颍东区衡水实验中学）已知集合{}2,2A =-，{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合B 等于（ ） A ．{}4,4- B ．{}4,0,4- C ．{}4,0-D ．{}03．（2021·全国）若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4B ．6C ．7D ．10考点五 已知元素的特征求参数【例5-1】（1）（2021·河北艺术职业中学）若a ∈{1，a 2﹣2a +2}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．0D ．1 或2（2）（2021·江西）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}（3）（2021·全国高一课时练习）已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞（4）（2021·宝山区）已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 【例5-2】（2020·上海）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.【一隅三反】1．（2021·安徽省桐城中学）已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．4D ．2或42．（2021·寿县第一中学）已知集合{}2|1A x x =<，且a A ∈，则a 的值可能为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．13．（2021·全国高一单元测试）设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（ ） A ．25m <<B ．25m ≤<C ．25<≤mD ．25m ≤≤4．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．15．（多选）（2020·河北安平中学高一月考）已知集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，那么a 的可能取值为（ ） A ．1-B ．1C ．53D ．0。
高考数学专项： 集合的概念(讲义)-原卷版
1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C， 表示，元素用小写字母a，b，c， 表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x-=的实数解D．周长为10的三角形变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A．我校所有体质好的同学B．我校所有800米达标的女生C．全国所有优秀的运动员D．全国所有环境优美的城市变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．1 N B．*0NC Q D．2R 5变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A．14R B Q C．3 N D Z变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z，π______Q．变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N．5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
（2）互异性一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。
（3）无序性组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
例3．已知3A ,A 中含有的元素有23,21,1a a a ，求a 的值.变式3-1．若集合A 中含有三个元素3a ，21a ，24a ，且3A ，求实数a 的值.变式3-2．设x R ，集合A 中含有三个元素3，x ，22x x ．(1)求实数x 应满足的条件；(2)若2A ，求实数x 的值．变式3-3．已知集合A 有三个元素：3a ，21a ，21a ，集合B 也有三个元素：0，1，x .（1）若3A ，求a 的值；（2）若2x B ，求实数x 的值；变式3-4．已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ，则11a A a．(1)若3a ，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数 3a A a ，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？6.集合的表示方法（1）列举法我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为 洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度把“方程 021 x x 的所有实数根”组成的集合表示为 2,1 .像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。
专题1.1 集合(精讲精析篇)(解析版)
专题1.1集合（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． 5M B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【答案】D 【解析】由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，由51>，故5M ∉；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π2M -∈． 故选D ．【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2010·陕西省高考真题（理））已知全集，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】化简{}1,2A =，{}{}2,41,2,4B A B =⇒⋃=，{}()3,5UA B ⋃=,集合()UA B 中元素的个数为2个，故选B ．【例4】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【答案】0,2,2- 【解析】{}{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-； 因为方程4kx =最多有一个实数根,故2,2B 不可能成立.故答案为：0,2,2- 【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =， ()U U U C A B C A C B =． 【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.【典例6】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1） B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C 【解析】 ∵ ，∴ ，故选C.【典例7】（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,8【答案】D 【解析】{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，{4,5,6}B =， ∴{}4,5,6,7,8UA =，{}1,2,3,7,8UB =，∴()(){}=7,8UU A B ∩.故选：D.【典例8】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有32114211m m m m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例9】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．巩固提升1. （2017·全国高考真题（理））已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B. 2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==, {}3,5A B ∴⋂=,故选C3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.4.（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U AC B =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．2,0,1,2【答案】B 【解析】由题可知，{}2,1,2U C B =-，所以(){}1,2U A C B =故选：B5．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C 【解析】 因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C.6.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（ ）A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选：C ．7．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A Z 中的元素的个数是（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】C 【解析】39{|}{1,0,1,2,3,4}22A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.故选：C.8.（全国高考真题（理））已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A.0或3 B.0或3C.1或3D.1或3【答案】B 【解析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.9.（上海高考真题）设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】B 【解析】 当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.10.（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C 【解析】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ．11.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____. 【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}A B ⋂=.12．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.13．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________． 【答案】7 【解析】用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个． 故答案为：7.14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x【解析】 如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}352x x x <<≤-或.15.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．【答案】13【解析】由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5,④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个.故答案为：13。