全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。1.

如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC，在AB 上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC 的长。

2.已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M， PN⊥CD 于N，判断PM 与PN 的关系．

3.如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC⊥OA 于C， ∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO 的值．

4.已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC。

(1)求证：∠ABE=∠C；

(2)若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F，FD∥BC 交AC 于D，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．

A

B

C

D

E P D A

C

B

M N

P

D

A C

B O

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC，D 为AC 上一点，CE⊥BD 于E．若BD 平分∠ABC，求证CE=1

2

BD；

若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

7、如图：四边形ABCD 中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE⊥BE 。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．

E

D

C B

A

2

1P

F

M

D

B

A C

E

二、中点型

由中点应产生以下联想：1、想到中线，倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

1、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

2、已知：如图，ABC △中，45ABC

∠=°

，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；

（2）求证：1

2CE BF

=3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。

4、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

E

F C

D

B

A F

D

C A

B

E

三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。1、如图,已知:AD 是BC 上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

2、如图,已知：AB⊥BC 于B ,EF⊥AC 于G ,DF⊥BC 于D ,BC=DF．求证：AC=EF．

3、如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP 为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.求DE 的长。

4、如图，ΔABC 的两条高AD、BE 相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）∠DBH=∠DAC；（2）ΔBDH≌ΔADC。

F

G

E D

C

B

A

A

B

C

D

E

H

5.如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D，AD=2、5cm，DE=1.7cm,求BE的长

6.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

求证：MB=MD，ME=MF

当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

7.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E (1)试说明:BD=DE+CE.

(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果,不需说明.

（4）归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。用简洁的语言加以说明。

F E

D

C

B

A

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．

除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

2、已知等边三角形ABC 中，BD＝CE，AD 与BE 相交于点P，求∠APE 的大小。

3、如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

4、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上.求证：BE=AD

E

D

C

B A