最新北师大版九年级上册数学《第二章 一元二次方程》单元测试
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北师大版九年级数学第一学期学生学习评价检测试卷
第二章 一元二次方程
班级 姓名 学号 评价等级
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
（A ）012=+x （B ）12=+x y （C ）012
=+x （D ）
11
2=+x x
2．已知关于x 的一元二次方程x 2－kx －4＝0的一个根为2，则另一根是（ ） （A ）4 （B ）1 （C ）2 （D ）－2 3．将方程x 2+4x +1=0配方后，原方程变形为（ ）
（A ）(x +2)2=3 （B ）(x +4)2=3 （C ）(x +2)2 = -3 （D ）(x +2)2=-5 4．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2
，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ） （A ）x 2+130x -1400=0 （B ）x 2+65x -350=0 （C ）x 2-130x -1400=0 （D ）x 2-65x -350=0 5．若一元二次方程02
=++c bx ax 的有一个根为一1，则（ ）
（A ）0=++c b a （B ）0=+-c b a （C ）1=++c b a （D ）1=+-c b a 6．己知等腰直角三角形斜边上的高为方程0432
=--x x 的根，那么这个直角三角形斜边的边长为（ ）
（A ）2 （B ）8 （C ）2或8 （D ）无法确定 7．某城市2007年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2009年底增加到363公顷。
设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）
（A ）363)1(300=+x （B ）363)1(3002
=+x
80cm
x x
x
x
50cm
（C ）363)21(300=+x （D ）300)1(3632=-x
8．从一块正方形的木板上锯掉一块2cm 宽的长方形木条，剩下部分的面积是48c m 2,那么原正方形木板的面积是（ ）．
（A ）8 cm 2 （B ）8cm 2和6 cm 2 （C ）64cm 2 （D ）36cm 2 9．在关于x 的方程02
=++n mx x 的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，
n 应满足（ ）
（A ）0,0==n m （B ）0,0≠≠n m （C ）0,0≠=n m （D ）0,0=≠n m 10．设(x + y )(x + 2 + y ) —15 = 0，则x + y 的值为（ ）
（A ）— 5 或 3 （B ）—3 或 5 （C ） 3 （D ） 5
二、填空题
11．如果关于x 的方程05)2(2=+-+x m mx 是一元二次方程,那么m _____． 1２．如果x =1是方程032=+-x ax 的根，那么a ＝ ．
13．若方程01272=+-x x 的两根恰好是某直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的斜边长是 ．
14．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x ，则依题意可列方程 15．关于x 的二次三项式c bx ax ++2
,满足下表中的对应关系:
x
… －4 －2 －1 0 1 3 … c bx ax ++2
…
6
－4
－6
－6
－4
6
…
则一元二次方程02
=++c bx ax 的两个整数根分别是 ．
三、解答题
16.解方程
（1）9)1(42=-x （2）01582
=++x x
(３) 0110252=++x x (４)0132=+-x x
17.先阅读材料，然后按照要求答题
阅读材料：为了解方程()
0415)1(222=+---x x ，我们可以将12-x 视为一个整体，然后设y x =-12，()
22
21
y x =-，则原方程可化为0452=+-y y ①解得
4,121==y y 。
当1=y 时，112
=-x ，2,22±=∴=x x
当5,5,41422±=∴==-=x x x y 时， ∴原方程的解为：5,5,2,24321-==-==
x x x x
仿造上题解方程：0862
4=+-x x
18．某食品商店用3000元购进一批盒装饼干，以每盒比进价多5元的价格出售，在销售过程中，有5盒饼干因过期而无法出售，其余的全部卖完赚了450元．问这家食品商店每盒饼干的进价是多少元？
19．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降。
.如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件。
如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？
20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
图①图②
第二章 一元二次方程
一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：11． ≠0 12．－2 13．5 14．01272
=+-x x 15．－3，2 三、16．（1）5.0,5.221-==x x （2）5,321-=-=x x （3）5
1
21-==x x （4）2
5
3,25321-=
+=
x x 17．2,2,2,24321-==-==x x x x 18．设每盒饼干的进价为x 元，根据题意得 4505)53000
(
5=--x x
， 解得 251=x ，1202-=x (不合题意，舍去) ，则该食品店每盒饼干的进价是25元．19．设每件羽绒服应
降价x 元.由题意可得1200)220)(40(=+-x x ，解得：,101=x .202=x 每件羽绒服应降价10元或20元.
20．设金色纸边的宽为x 分米，根据题意，得（2x ＋6）(2x ＋8)＝80.解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）．金色纸边的宽为1分米．。
北师大版九年级上册一元二次方程单元测试题
北师大版数学九年级上册第2章一元二次方程测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程的二次项系数是()A.2B.-3C.4D.-42.把方程化为一元二次方程的一般形式是()3.方程经过配方法化为(的形式，正确的是()4.方程的解为()A.x=0B.x=35.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()6.根据关于x的一元二次方程可列表如下：x00.51 1.1 1.2 1.3x²+px+q—15—8.75—2—0.590.84 2.29则方程的正数解满足()A.0<x<0.5B.0.5<x<1C.1<x<1.1D.1.1<x<1.27.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得()C.168(1-2x)=1288.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为()A.25B.36C.25或36D.-25或-369.设一元二次方程的两实根分别为x₁和x₂，则(()A.-10B.10C.2D.-210.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是()A.24B.24或C.48二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.当k时,方程是关于x的一元二次方程.12.如果a是关于x的一元二次方程.的一个根，-a是关于x的一元二次方程.的一个根，则m的值是.13.根据下表得知，方程的一个近似解为x≈.(精确到0.1)x-4.2-4.3-4.4-4.5-4.6x²+2x-10-0.76-0.110.56 1.25 1.9614.某小区2019年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是.15.若关于x的一元二次方程的一个根是-2,，则另一个根是.16.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件.若设这个百分数为x，则可列方程.17.方程甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，；乙同学看错了一次项，解得的根是-2，-3，则原方程为.18.如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和为(那么矩形ABCD的面积是cm².三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(每小题3分，共12分)选择适当的方法解下列方程：(配方法)；20.(8分)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而杏梅有所增.(1)该地某果农今年收获樱桃和杏梅共400千克，其中杏梅的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?(2)该果农把今年收获的樱桃、杏梅两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年杏梅的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年杏梅的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和杏梅的销售总金额与他去年樱桃和杏梅的市场销售总金额相同，求m的值.21.(8分)当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根?此时这两个实数根是多少?22.(8分)已知a,b是方程的两个根，求代数式的值.23.(10分)已知关于x的一元二次方程(其中a,b,c分别为三边的长.(1)如果.是方程的根，试判断的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由.24.(12分)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元?第2章测试卷1.D2.A3.A4.D5.A6.D7.B8.C9.C10.B11.k≠-312.-313.-4.314.20%15.117.x²--5x+6=018.1619.解所以所以x+1=0或x+1-6=0,所以(3)这里即20.解(1)设该果农今年收获樱桃至少x千克，根据题意得：解得：答：该果农今年收获樱桃至少50千克；(2)由题意可得：令原方程可化为：整理可得：解得：(舍去),答:m的值为12.5.21.解由题意,得即解得当时，方程有两个相等的实数根22.解由题意,得(所以原式23.解是等腰三角形.理由如下：是方程的根，是等腰三角形.是直角三角形.理由如下：∵方程有两个相等的实数根，是直角三角形.24.解(1)2x50一x(2)由题意,得化简，得解得因为该商场为了尽快减少库存，所以降的越多，越吸引顾客，故选.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.。
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元测试题(含答案)
第二章 一元二次方程 单元测试题 （满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一 二 三 总分 得分一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.x 2+2x =x 2−1B.ax 2+bx +c =0C.x(x −1)=1D.3x 2−2xy −5y 2=02. 用配方法解一元二次方程4x 2−4x =1，变形正确的是( ）A.(x −12)2=0B.(x −12)2=12C.(x −1)2=12D.(x −1)2=03. (m −1)x 2+√mx =1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.m ≠1B.m ≥0C.m ≥0 且 m ≠1D.m 为任意实数4. 方程x(x +12)=0的根是( ) A.x 1=0，x 2=12B.x 1=0，x 2=−12 C.x 1=0，x 2=−2 D.x 1=0，x 2=2 5. 方程(x −1)(x +3)=12化为ax 2+bx +c =0的形式后，a 、b 、c 的值为（ ）A.1、2、−15B.1、−2、−15C.−1、−2、−15D.−1、2、−156. 方程2x 2−8=0的根为（ ）A.x =−2B.x =2C.x =±2D.以上都不对7. 将二次三项式1x 2−2x +1进行配方，正确的结果应为（ ）A.1 2(x+2)2−1B.12(x+2)2+1 C.12(x−2)2−1 D.12(x−2)2+18. 方程y2−8y+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程为（）A.(y−4)2=11B.(y−4)2=21C.(y−6)2=11D.以上都不对9. 若关于x的方程kx2−2x+14=0有实数根，则实数k的取值范围是()A.k<4B.k<4且k≠0C.k≤4D.k≤4且k≠010. 已知方程x2−(2k+1)x+k2−2=0的两个实数根的平方和为11，则k的值是()A.−3B.3C.1D.−3或1二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 12x2−5x+________=12(x−________)2．12. 方程2x2+4x+1=0的解是x1=________；x2=________．13. 两个数的差为8，积为48，则这两个数是________．14. 当k________时，关于x的一元二次方程2x2−4x+k=0有两个实数根．15. 关于x的一元二次方程9x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.16. 某班有一人患了流感，经过两轮传染后，班上有49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是________．17. 当x=________时，代数式3−x和−x2+3x的值互为相反数．18. 若方程(m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，求m=________．19. 若方程x2+px+1=0的一个根为2−√3，则它的另一个根等于________．20. 用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积是625cm2，则这个框子的长为________cm，宽为________cm．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 解方程：(1)(x−3)2=5(x−3); (2)2x2−4x+1=0.22. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是多少？23. 一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，求盒子的高24. 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，①求m取值范围；②若x12+x22＝15，求实数m的值；25. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？26. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】C二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】252,512.【答案】−2+√22,−2−√2213.【答案】4和12或−12和−414.【答案】≤2 15.【答案】k <1 16.【答案】28 17.【答案】−1或318.【答案】3 19.【答案】2+√3 20.【答案】25,25三、 解答题 （本题共计 6 小题，每题 10 分 ，共计60分 ）21.【答案】解：(1)(x −3)2=5(x −3),(x −3)2−5(x −3)=0,(x −3)(x −3−5)=0,∴ x −3=0或x −8=0，∴ x 1=3，x 2=8.(2)2x 2−4x +1=0,x 2−2x =−12,x 2−2x +1=−12+1,(x −1)2=12, x −1=±√22, ∴ x 1=1+√22，x 2=1−√22. 22. 【答案】方程的另一个根是−2．23.【答案】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为(4−2x)dm ，宽为(3−2x)dm ，由题意得，(4−2x)(3−2x)=4×3×12整理得：4x 2−14x +6=0．24.【答案】（1）由题意有△＝(2m +1)2−4(m 2+1)≥0，解得m ≥34． 即实数m 的取值范围是m ≥34． （2）由x 12+x 22＝15得(x 1+x 2)2−2x 1x 2＝15，∴ x 1+x 2＝−(2m +1)，x 1+x 2＝m 2+1，∴ [−(2m +1)]2−2(m 2+1)＝15，即m 2+2m −8＝0，解得m ＝−4或m ＝2． ∴ m ≥34， ∴ m ＝2．故实数m 的值为2．25.【答案】解：(1)设每千克核桃应降价x元．根据题意，得，×20)=2240，(60−x−40)(100+x2化简，得，x2−10x+24=0，解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60−6=54（元），54×100%=90%．60答：该店应按原售价的九折出售.26.【答案】解：(1)设年平均增长率为x，由题意得：20(1+x)2=28.8，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍）．答：年平均增长率为20%.(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：(y−6)[300+30(25−y)]=6300，整理得：y2−41y+420=0，解得：y1=20，y2=21．∴ 让顾客获得最大优惠，∴ y=20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．。
北师大版九年级数学上册,第二章,一元二次方程,单元测试卷完整版
北师大版九年级数学上册,第二章,一元二次方程,单元测试卷完整版选择题若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围（）A. B. C. D. 且【答案】D【解析】试题根据题意得：9－4a≥0，且a≠0 解得：a≤且a≠0．选择题的一个解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据配方法的一般步骤把常数项移到等号的右边，再把二次项的系数化为1，最后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求出x的值．x2+4x=－1，（x+2）2=3，x+2=，x1=2，x2=﹣2，则x2+4x+1=0的一个解是2．故选D．选择题一元二次方程有一根为零的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将x=0代入已知方程，求得c=0．根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则c=0．故选C．选择题用因式分解法解方程，下列方法中正确的是A.(2x－2)(3x－4) =0 ∴2－2x=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1C.(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3D.x(x+2)=0 ∴x+2=0【答案】A【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断.A.(2x－2)(3x－4)=0，∴2－2x=0或3x－4=0，本选项正确；B.(x+3)(x－1)=1，x2－x+3x－3－1=0，x2+2x－4=0，故错误；C.(x－2)(x－3)=2×3，x2－3x－2x+6－6=0，x2－5x=0，x(x－5)=0，故错误；D.x(x+2)=0，∴x=0，x+2=0，故错误；故选A.选择题下列方程中，不含一次项的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0），根据一般形式，可以作出正确的选择．A．化成一般形式是：x2﹣x﹣5=0，含有一次项；B．化成一般形式是：5x2﹣9x=0，含有一次项；C．化成一般形式是：x2﹣x=0，含有一次项；D．化成一般系数是：x2﹣2=0，不含一次项．故选D．选择题某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达万人次，其中第一年培训了万人次，设每年接受科技培训人次的平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】关系式为：第一年的培训人次+第二年的培训人次+第三年的培训人次=95，把相关数值代入即可．∵第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训人次的平均增长率为x，∴第二年的培训人次为20×（1+x），第三年的培训人次为20（1+x）2．∵活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，∴可列方程为20+20（1+x）+20（1+x）2=95．故选B．选择题方程的根是（）A. B. C. 和D. 和【答案】D【解析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．方程整理得：x2+2x﹣3=0，分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，解得：x=1或x=﹣3．故选D．选择题用配方法解方程，则配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，，，故选B。
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试卷-带答案一、单选题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x 2+1x 2=4 B ．ax 2+bx +c =0C ．(x −1)(x +3)=−3D ．4x 2−xy +7=0 2．方程(x −2)(x +2)=x −2的解是（ ）A ．x =0B ．x =−1C ．x =2或x =−1D ．x =2或x =0 3．一元二次方程x 2−x +14=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根4．已知x =1是关于x 的一元二次方程(1−k )x 2+k 2x −1=0的根，则常数k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或－15．把方程 x 2−8x +1=0化成 (x +m )2=n 的形式，则 m 、n 的值是：（ ）A ．4，−15B ．4，15C ．−4，−15D ．−4，156．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=2,x 2=−4，则关于y 的一元二次方程a （y +1）2+b （y +1）+c =0的解是（ ）A ．y 1=2，y 2=−4B ．y 1=−1，y 2=−5C ．y 1=3,y 2=−3D ．y 1=1,y 2=−57．关于x 的一元二次方程x 2+3x −m =0的两个根为x 1，x 2，且x 1=2x 2，则m −x 1+x 2的值为（ ）A ．1B ．−1C ．3D ．−38．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm ，宽50cm 的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽度为xcm （风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）A ．(50+x)(80+x)=5400B ．(50−x)(80−x)=5400C．(50+2x)(80+2x)=5400D．(50−2x)(80−2x)=5400二、填空题9．方程(x−2)(2x+1)=x2+2化为一般形式为．10．若一元二次方程x2−4x+c=0的根的判别式的值为8，则c=．11．已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有a+b+c=0，a−b+c=0，则该方程的两个根是．12．若关于x的方程x2−kx+3=0的一个根是1，则另一根是，k是．13．若关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．14．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程x2−6x+8=0的两根，则等腰三角形的周长为．15．设α、β是方程x2+2023x−2=0的两根，则(α2+2023α−1)(β2+2023β+2)=．16．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为．三、解答题17．用合适的方法解下列方程：(1)x(x−3)=x−3；(2)2x2−3x−1=0．18．已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2−2=0有两个实数根x1，x2．(1)求实数m的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=21，求m的值．19．已知关于x的一元二次方程x2−(m+6)x+6m=0．(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且8，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．20．阅读下面的例题与解答过程：解方程：x2−|x|−2=0．解：当x≥0时x2−x−2=0，解得x1=2，x2=−1（舍去）；当x<0时x2+x−2=0，解得x3=−2，x4=1（舍去）．∴原方程的解是x1=2，x2=−2．在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想．请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：(1)x2−2|x|=0；(2)x2−2x−4|x−1|+5=0．21．成都“蒲江猕猴桃”是维C含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地2020年开始种植“猕猴桃”200亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为50%．(1)求到2022年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价2元，每天可多售出80千克．①若降价x(0≤x≤20)元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为10元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利2160元，则售价应降低多少元？22．如图，在矩形ABCD中AB=5 cm,BC=6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P,Q分别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时；两点停止运动，设运动时间为t秒．(0<t<3)(1)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm？(3)连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8 cm2若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在t的值，使得△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2:13？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：A、该方程属于分式方程，不符合题意；B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；C、(x−1)(x+3)=−3化简得：x2+2x=0符合一元二次方程的定义，符合题意；D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；故选：C．2．解：方程整理，得：(x−2)(x+2)−(x−2)=0分解因式，得：(x−2)(x+2−1)=0可得：x−2=0或x+2−1=0解得：x1=2，x2=−1故选：C．3．解：x2−x+14=0∵Δ=(−1)2−4×1×14=0∴此方程有两个相等的实数根．故选：A．4．解：当x=1时(1−k)+k2−1=0解得k=1或k=0．根据题意1−k≠0可知k≠1∴k=0．故选：A．5．解：∵x2−8x+1=0∴x2−8x=−1∴x2−8x+16=−1+16∴(x−4)2=15∴m=−4故选：D．6．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=2,x2=−4∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=2,y2+1=−4∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1=1,y2=−5．故选：D．7．解：∴x2+3x−m=0的两根为x1，x2∴x1+x2=−31=−3，x1⋅x2=−m∴x1=2x2∴x1=−2，x2=−1∴x1⋅x2=−1×(−2)=−m∴m=−2．∴m−x1+x2=−2−(−2)+(−1)=−1．故选：B．8．解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+2x)cm 根据题意得(50+2x)(80+2x)=5400．故选：C．9．解：(x−2)(2x+1)=x2+2可化为：2x2+x−4x−2=x2+2移项，得：2x2−x2+x−4x−2−2=0合并同类项，得：x2−3x−4=0故答案为：x2−3x−4=0．10．解：由题意得：Δ=(−4)2−4×1×c=8解得：c=2故答案为：2．11．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，a+b+c=0，a−b+c=0即12a+b+c=0,(−1)2a+(−1)b+c=0∴方程的解为x1=1,x2=−1故答案为：x1=1,x2=−1．12．解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−kx+3=0的两个实数根，其中x1=1∴{x1+x2=kx1x2=3即{1+x2=kx2=3解得：{k=4x2=3故答案为：3，4．13．解：由题意得Δ=22−4×(−1)×m=4+4m∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m≠0即：4+4m>0解得：m>−1∴m>−1且m≠0．故答案为：m>−1且m≠0．14．解：x2−6x+8=0因式分解得：(x−2)(x−4)=0x−2=0或x−4=0所以x1=2，x2=4因为2+2=4，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形所以等腰三角形的腰为4，底边长为2所以三角形的周长为4+4+2=10．故答案为：10．15．解：∴α、β是方程x2+2023x−2=0的两根∴α2+2023α=2，β2+2023β=2∴(α2+2023α−1)(β2+2023β+2)=(2−1)×(2+2)=4故答案为：4．16．解：设出全市5G用户数年平均增长率为x可得：2(1+x)2=9.68解得：x1=1.2=120%,x2=−3.2（不合题意，舍去）故答案为：120%．17．（1）解：x(x−3)=x−3；整理得：x2−4x+3=0(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1；（2）解：2x2−3x−1=0∴b2−4ac=(−3)2−4×2×(−1)=17>0∴方程有两个不相等的实数根∴x=3±√172×2∴x1=3+√174，x2=3−√174．18．（1）解：∴关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2−2=0有两个实数根x1，x2∴Δ=[−(2m+1)]2−4(m2−2)≥0∴4m2+4m+1−4m2+8≥0；∴m≥−94（2）解：∴关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2−2=0有两个实数根x1，x2∴x1+x2=2m+1，x1x2=m2−2∴x12+x22=21∴(x1+x2)2−2x1x2=21∴(2m+1)2−2(m2−2)=21∴4m2+4m+1−2m2+4=21∴m2+2m−8=0解得m=2或m=−4（舍去）．19．（1）证明：∴b2−4ac=(m+6)2−24m=m2−12m+36=(m−6)2∴(m−6)2≥0∴b2−4ac≥0∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：原方程可变为(x−m)(x−6)=0则方程的两根为x1=m，x2=6∴直角三角形三边为6，8，m；①若m为直角三角形的斜边时，则：62+82=102∴m=10（负值已舍去）；②若8为直角三角形的斜边时，则：62+m2=82∴m=2√7（负值已舍去）；综上所述，m的值为10或2√7．20．（1）解：当x≥0时x2−2x=0，解得x1=0，x2=2；当x<0时x2+2x=0，解得x3=−2，x4=0（舍去）；∴原方程的解为x1=0，x2=2，x3=−2；（2）解：当x≥1时x2−2x−4x+4+5=0，即x2−6x+9=0，解得x1=x2=3当x<1时x2−2x+4x−4+5=0，即x2+2x+1=0，解得x3=x4=−1∴原方程组的解为x1=x2=3，x3=x4=−1．21．（1）解：200(1+50%)2=450（亩）答：到2022年“猕猴桃”的种植面积达到450亩；x)=(200+40x)千克；（2）解：①设售价应降低x元，则每天可售出(200+802②依题意，得：(20−10−x)(200+40x)=2160整理，得：x2−5x+4=0解得：x1=4,x2=1．∴要尽量减少库存∴x=4．答：售价应降低4元．22．（1）解∴∴点B在PQ的垂直平分线上∴BP=BQ∴5−t=2t解得t=53时，点B在PQ的垂直平分线上；∴当t=53（2）解：∴PQ的长度等于5 cm，∠B=90°∴BP2+BQ2=PQ2=25∴(5−t)2+(2t)2=25解得t1=2，t2=0（舍去）∴当t=2时，PQ的长度等于5 cm；（3）解：∴△PQC的面积等于8 cm2(6−2t)(5−t)=8∴12解得t1=1，t2=7（舍去）∴当t=1时，△PQC的面积等于8 cm2（4）解：∴△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2:13∴△BPQ的面积与矩形ABCD的面积之比等于2:15∴1 2×2t(5−t)=215×5×6解得t1=1，t2=4（舍去）∴当t=1时，△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2:13．。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷及答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为．二．一元二次方程的解2．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．3．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝．4．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为．三．解一元二次方程-公式法5．利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．B．C．D．6．解方程：2x2+3x﹣1＝0．四．解一元二次方程-因式分解法7．解方程：x2﹣4x+3＝0．8．用适当的方法解下列方程：（1）x2+5x﹣1＝0；（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；五．根的判别式9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠010．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠011．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于．14．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．六．根与系数的关系17．已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．18．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则＝．19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．20．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．21．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是．22．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015＝．23．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝．24．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．参考答案与试题解析一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为1．【解答】解：∵关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1∴m的值为1．二．一元二次方程的解2．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于2028．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝20283．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝6．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+＝（m﹣）2+2＝（）2+2＝22+2＝6．4．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为6．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，m2﹣3＝m∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝3×（+1）＝3×（1+1）＝6．三．解一元二次方程-公式法（共2小题）5．利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．B．C．D．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．6．解方程：2x2+3x﹣1＝0．【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+8＝17＞0，∴x＝解得：x1＝，x2＝．四．解一元二次方程-因式分解法7．解方程：x2﹣4x+3＝0．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．8．用适当的方法解下列方程：（1）x2+5x﹣1＝0；（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；【解答】解（1）∵x2+5x﹣1＝0，∴a＝1，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0∴，解得；（2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，∴（7x﹣6）（5x+2）＝0，∴7x﹣6＝0或5x+2＝0解得；五．根的判别式9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：D．10．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0【解答】解：，解得k＜1且k≠0．故选：D．11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0解得：k≤5且k≠113．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于2．【解答】解：Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，则+c＝214．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．【解答】解：∵|b﹣1|+＝0，∴b﹣1＝0，＝0，解得，b＝1，a＝4；又∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，∴Δ＝a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；15．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，得：1+m+m﹣2＝0，解得：m＝；（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．六．根与系数的关系17．已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝，∵+＝2，∴x1+x2＝2x1x2，∴﹣2＝2×解得k＝﹣1，方程化为﹣x2﹣2x+1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数解∴k的值为﹣1．故选：B．18．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则＝﹣2．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以则＝＝＝＝﹣2．19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝8．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∵m2+2m﹣5＝0∴m2＝5﹣2mm2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n＝10+m+n＝10﹣2＝820．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为3．【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝321．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是2．【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝k，+＝＝＝3，：k＝222．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015＝2026．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2015＝2（n+3）﹣mn+2m+2015＝2n+6﹣mn+2m+2015＝2（m+n）﹣mn+2021＝2×1﹣（﹣3）+2021＝2+3+2021＝2026．23．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝5．【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝524．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．。
第二章一元二次方程单元测试 2024—2025学年北师大版数学九年级上册
第二章一元二次方程单元测试北师大版2024—2025学年九年级上册一、选择题（每小题3分共12小题，满分36分）1.若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则() A．a>0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥02.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2=3.关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3 4.关于一元二次方程x2﹣2x﹣1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根5.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．46.2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．x（x﹣1）=380B．x（x﹣1）=380C．x（x+1）=380D．x（x+1）=3807.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1B．﹣3C．3D．48.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．﹣1B．0C．1D．29.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对9.已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2=1B．x1•x2=﹣1C．|x1|＜|x2|D．x12+x1=11.关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0且k≠﹣1 12.已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在二、填空题（每小题3分共6小题，满分18分）13.如果分式x2－4x－2的值为零，那么x＝________.14.若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的两根之积是．15.已知（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，则x2+y2=．16.若一元二次方程（m+2）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=．17.若方程x2+（m2﹣1）x+1+m=0的两根互为相反数，则m=18.一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．一元二次方程单元检测卷答题卡姓名：____座位号：______ 准考证号：_______一、选择题（每小题3分共12小题，满分36分）题号123456789101112答案二、填空题（每小题3分共6小题，满分18分）13、_________ 14、___________ 15、_______________16、_________ 17、___________ 18、_______________三、解答题（满分46分）19.（6分）解一元二次方程（1）（3x﹣1）2﹣4（x+1）2=0 （2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）20.（6分）已知关于x的方程mx2+（m﹣2）x﹣2=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．21.（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．22.（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2025年该市投入基础教育经费5000万元，2027年投入基础教育经费7200万元．（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2028年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？23.（9分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．24.（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．。
第二章一元二次方程 章节测试2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版九上一元二次方程章节测试一、选择题（共9小题）1. 方程x2+2=3x的解为( )A. x1=1，x2=2B. x1=−1，x2=−2C. x1=−1，x2=2D. x1=1，x2=−22. 【摸底测试3】方程x2+4x+3=0的两个根为( )A. x1=1，x2=3B. x1=−1，x2=3C. x1=1，x2=−3D. x1=−1，x2=−33. 关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1=0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是( )A. −1B. 1C. 0D. ±14. 方程(x+1)2=9的解为( )A. x1=2，x2=−4B. x1=−2，x2=4C. x1=4，x2=2D. x1=−2，x2=−45. 某商品经过三次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了172.8元．如果设平均每次涨价的百分率为x，则由题意列出的方程是( )A. 100x2=172.8B. 100(1+x)2=172.8C. 100x3=172.8D. 100(1+x)3=172.86. 已知方程x2−10x+n=0可以配方成(x−m)2=15的形式，那么x2−10x+m=n可以配方成下列的( )A. (x−5)2=20B. (x−5)2=30C. (x−5)2=15D. (x−5)2=407. 若a−b+c=0，则一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)必有一根是( )A. 0B. 1C. −1D. 无法确定8. 下列方程中，一元二次方程是( )A. √x2−1=0B. x2+1=0C. y+x2=1D. 1x2=19. 设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是( )A. a<−211B. 27<a<25C. a>25D. −211<a<0二、填空题（共5小题）10. 已知关于x的一元二次方程x2+5x−m=0的一个根是2，则另一个根是．11. 已知关于x的方程mx2−(2m−3)x−2+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是．12. 解方程 (xx+1)2+3(xx+1)−4=0，如果设 =y ，那么得到关于 y 的整式方程是 ． 13. 若一元二次方程 ax 2=b (ab >0) 的两个根分别是 m +1 与 2m −4，则 ab = ．14. 两个相邻偶数的积是 48，则这两个偶数的和为 ．三、解答题（共5小题） 15. 已知 −2 是关于 x 的一元二次方程 x 2−3x +c =0 的一个根，求 c 的值．16. 解下列关于 x 的方程：（1）a (x −1)=2x ； （2）a 2x 2+x 2=a ．17. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数．18. 某商店 7 月份的营业额为 350 万元，8，9 月份营业额的月增长率相同，9 月份的营业额为 504万元，求该商店 8，9 月份营业额的月增长率． 19. 解方程：(x +1)2−2(x −1)2=4x −5．答案1. A2. D【解析】x2+4x+3=0，(x+3)(x+1)=0，x+3=0或x+1=0，x1=−1，x2=−3，故选：D．3. A【解析】∵mx2−(m+1)x+1=0，即(mx−1)(x−1)=0，解得：x1=1m，x2=1．∵关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1=0有两个不等的整数根，∴m≠0，1m 为整数，且1m≠1．又∵m为整数，∴m=−1．4. A【解析】方程(x+1)2=9，开方得：x+1=3或x+1=−3，解得：x1=2，x2=−4．故选：A．5. D6. B【解析】方程x2−10x+n=0移项得x2−10x=−n，配方得x2−10x+25=25−n，即(x−5)2=25−n，根据题意得m=5，25−n=15，∴m=5，n=10，∴x2−10x+m=n即为x2−10x+5=10，可配方得(x−5)2=30．7. B【解析】当x=1时，ax2−bx+c=a×12−b×1+c=a−b+c=0，∴方程ax2−bx+c=0必有一根为1．8. B9. D【解析】∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ>0，由(a+2)2−4a×9a=−35a2+4a+4>0，解得−27<a<25，∵x 1+x 2=−a+2a，x 1x 2=9，又 ∵x 1<1<x 2，∴x 1−1<0，x 2−1>0， 那么 (x 1−1)(x 2−1)<0， ∴x 1x 2−(x 1+x 2)+1<0， 即 9+a+2a +1<0，解得 −211<a <0，最后 a 的取值范围为：−211<a <0． 故选D ．10. −7【解析】设另一个根为 x ，则 x +2=−5，解得 x =−7．故答案为 −7． 11. m <94 且 m ≠0【解析】{m ≠0,Δ>0,Δ=(2m −3)2−4m (m −2)=4m 2−12m +9−4m 2+8m =9−4m >0. ∴m <94．12. x x+1，y 2+3y −4=0 13. 14【解析】由题意得 m +1+2m −4=0， ∴m =1， ∴m +1=2， ∴x 2=b a=(m +1)2=4，∴ab =14． 14. −14 或 14【解析】设较小的偶数为 x ，则较大的偶数为 (x +2)， 依题意，得 x (x +2)=48， 整理得 x 2+2x −48=0， 解得 x 1=−8，x 2=6，当 x =−8 时，x +x +2=−14； 当 x =6 时，x +x +2=14．15. ∵−2 是关于 x 的方程 x 2−3x +c =0 的根．∴(−2)2−3×(−2)+c =0，即 4+6+c =0 ∴c =−1016. （1） 当 a ≠2 时，x =a a−2；当 a =2 时，原方程无解．（2） 当 a ≥0 时，原方程的根为 x 1=√a 3+aa 2+1，x 2=−√a 3+a a 2+1；当 a <0 时，原方程无实数根．17. 设原来的两位数十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 5−x ．根据题意，得[10x +(5−x )][10(5−x )+x ]=736.整理，得x 2−5x +6=0.解这个方程，得x 1=2,x 2=3,当 x =2 时，5−x =3，则原来的两位数是 23； 当 x =3 时，5−x =2，则原来的两位数是 32． 综上所述，原来的两位数是 23 或 32．18. 20%．提示：设营业额的月增长率是 x ，根据题意可列方程：350(1+x )2=504． 19.x 2+2x +1−2x 2+4x −2=4x −5.x 2−2x −4=0.x 1=1+√5 或 x 2=1−√5.。
第二章 一元二次方程 单元测试(含答案) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册
第二章一元二次方程一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（ ）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）A．1B．2C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（ ）A．0B．2C．−2D．0或25．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≥-1B．m≤1C．m≥-1且m≠0D．m≤1且m≠06．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．x2−2x+3=0B．x2+6x+9=0C．4x2=3x+2D．3x2−x+2=07．一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ）A．12x(x+1)=30B．12x(x−1)=30C．x（x+1）=30D．x（x−1）=308．已知m，n是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023二、填空题（每题4分，共20分）9．已知关于x的方程(m+2)x m2−2+3x−1=0为一元二次方程，则m的值是 ．10．用配方法解一元二次方程x2+4x−3=0，配方后的方程为(x+2)2=n，则n的值为 .11．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2−11x+30=0的一个根，则这个三角形的周长是 .12．若m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，则m+n+3mn的值为 13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．三、计算题（共10分）14．解方程：（1）x2−8x−9=0；（2）x2−x−1=0．四、解答题（共46分）15．已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的一个根为1，求m的值及另一个根．16．已知关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求m的值．17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？18．据某市车管部门统计，2020年底全市汽车拥有量为150万辆，而截至到2022年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求年平均增长率；（2）如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达多少万辆？参考答案1．B2．A3．D4．D5．D6．C7．D8．C9．210．711．2212．013．3或414．（1）解：x2−8x−9=0 (x−9)(x+1)=0，x1=9，x2=−1；（2）解：x2−x−1=0x2−x=1，x2−x+14=1+14，x2−x+14=54，(x−12)2=54，x−12=±52，x 1=52+12=1+52，x2=−52+12=1−52．15．（1）证明：由题意得，Δ=[−(2m+1)]2−4m(m+1)=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根为1，∴1−(2m+1)+m(m+1)=0，∴m2−m=0，解得m=0或m=1；当m=0时，原方程为x2−x=0，解得x=0或x=1；当m=1时，原方程为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2；综上所述，当m=0时，方程的另一个根为x=0；当m=1时，方程的另一个根为x=2．16．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）解：∵x1和x2是方程x2−2x−m=0的两个实数根，∵x1+x2=2，x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，∴22+2m=6，解得：m=1．17．（1）解：当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；（2）解：设每件商品降价x元，根据题意，得：（50-x）（30+2x）=2000，整理，得：x2−35x+250=0，解得：x=10，x2=25，1∵商城要尽快减少库存，∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．18．（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得150（1+x）2=216．解得：x=0.2或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．∴年平均增长率为20%．（2）解：216（1+20%）2=311.04（万辆）．答：如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达311.04万辆．。
最新北师大版九年级数学上册《一元二次方程》单元测试题及答案(精品试题).docx
《第2章一元二次方程》一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，22．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=43．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠04．用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（）A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=05．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定6．若分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣37．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=109．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=18210．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣111．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关12．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20二．填空题13．方程x2﹣3=0的根是．14．当k= 时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．16．写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是．三．解答题（本题有7小题，共52分）17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．18．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．19．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？20．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？21．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．22．龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？23．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B 即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B 即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．《第2章一元二次方程》参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．3．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠0【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞且k≠0．故选B．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则k≠0．4．用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（）A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0【考点】换元法解分式方程．【分析】把y=代入原方程，移项即可得到答案．【解答】解：设=y，则原方程可化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0，故选：A．【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．5．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，解得：x1=3，x2=4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．故选C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．6．若分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意，可得x2﹣9=0且2x﹣6≠0，解得x=﹣3．故选D．【点评】本题主要考查分式的值为0的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．7．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为：=10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．9．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．故选B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．10．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，∴b a=（﹣）2=．故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【考点】根与系数的关系．【专题】新定义．【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，∴a+b=1，ab=m．∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．12．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】根据铁丝网的总长度为13m，长方形的面积为20m2，来列出关于x的方程，由题意可知，墙的对边为xm，则长方形的另一对边为m，则可利用面积公式求出即可．【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．故选：B．【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．二．填空题13．方程x2﹣3=0的根是x=±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．【解答】解：方程整理得：x2=3，开方得：x=±，故答案为：x=±【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．14．当k= 0 时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】将x=0代入已知的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到满足题意k的值．【解答】解：将x=0代入方程x2+（k+1）x+k=0得：k=0，则k=0时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．故答案为：0【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= 2016 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，∴m+n=﹣2，∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义．16．写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是x2+x﹣20=0 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先简单4与﹣5的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程．【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20，∴以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程为x2+x﹣20=0．故答案为x2+x﹣20=0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．三．解答题（本题有7小题，共52分）17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；（2）先移项，然后提公因式可以解答此方程．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0∴x﹣5=0或x+1=0，解得，x1=5，x2=﹣1；（2）3x（x﹣1）=2﹣2x3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0（3x+2）（x﹣1）=0∴3x+2=0或x﹣1=0，解得，．【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是根据方程的特点，选取合适的因式分解法解答方程．18．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．【专题】证明题．【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．19．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，∴2（x﹣2）2=288，∴（x﹣2）2=144，∴x﹣2=±12，解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，x=×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．20．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．21．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】阅读型．【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．22．龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每天售出数量﹣固定成本=8000．【解答】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元，列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000=8000，解得：x1=30，x2=25答：应将每件上衣的售价降低30或25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B 即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B 即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5﹣，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=，此时△PBQ的面积是否为，计算即可．【解答】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，×2t×（6﹣t）=××6×8，解得：t=2或4，∵0≤t≤4，∴t=2或4符合题意，答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，∴62=（2t）2+（6﹣t）2，解得：t1=0（舍），t2=，答：秒钟后，P、Q相距6厘米；（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，S△PBQ=S△ABC，（6﹣t）（8﹣2t）=××8×6，解得：t1=5+，t2=5﹣，∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4，∴t1=5+不符合题意，舍去，当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2，PQ将△ABC的周长分为两部分：一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3，另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1，25﹣3≠3﹣1，②当PQ平分△ABC周长时，AP+AC+CQ=PB+BQ，10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，t=，当t=时，PB=6﹣=，BQ=8﹣2×=，∴S△PBQ=××=≠12，综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．【点评】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．。