南京市高三一模(数学)含答案
南京市2019届高三第一次模拟考试（数学）2019.01
参考公式：1.样本数据12,,
,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。
2.柱体、椎体的体积公式：1,3
V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。
一、填空题：（5分×14=70分）
1.函数22y x x =-的定义域是 .
2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,
0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .
5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元
素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3
π，以,a b 为邻边
作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b
+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 .
13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 .
14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看
作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e
⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个.
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.
15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()24f π=.
（1）求,ωϕ的值；（2）若6()(0)25
f α
απ=-<<，求cos2α的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是
BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最
大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的
圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才
能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43.
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a a
已知表中的第一列数125,,,
a a a 构成一个等差数列，记为{}n
b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n
c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．
中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值；
（2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11|()()|4|
|f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市2019届高三第一次模拟考试 数学附加题 2019.01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、
B ），过
C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线A
D ，垂足为
D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:40m x y --=，求实数,a b 的值.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,30,1,6O O ACB BAC BC A A ∠=∠===，M 是1CC 的中点.
（1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n
++≤.。
江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月)数学参考答案
1 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分 又由6cosC =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB AC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AO PC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C . 因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分。
江苏省南京市天印高级中学2023-2024学年高三下学期一模考试数学试题含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．142．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．13103．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--4．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+5．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件6．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-8．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3B ．5C ．3D ．59．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．611．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元12．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市燕子矶中学2025届高三最后一模数学试题含解析
江苏省南京市燕子矶中学2025届高三最后一模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<4．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．645．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．68．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8310．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π11．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题(含答案与解析)_8689
南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 13. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） AB. 32-C.32D.6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ）A. 12aB. 12πaC. 24aD. 24πa8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()e xxf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x > B. 1x y +> C. 14xy <D.<10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）的的.A. ()1213P A A =B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. ABC 中，()sin sin B A A C -+=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ；在（2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2m Q x m x m =<<，记m P Q 中元素个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．的1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð【答案】A 【解析】【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为U A B ð. 故选：A2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算求出复数z ，再求模长即可求解. 【详解】由已知得：z ()()221i i 1i1i 11i 2i 2i 221i +++====-+---，所以，||z ==故选：C ．3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+， 即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =. 故选：A.4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍 B. 4倍C. 6倍D. 8倍【答案】B 【解析】【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.【详解】设火星的公转周期为1T ，长半轴长为1a ，火星的公转周期为2T ，长半轴长为2a ，则，128T T =，且32113222T T ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②①②得： 311222(8T a T a ==， 所以，124a a =，即：124a a =. 故选：B ．5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 的图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. B. 32-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， 20,62k ππϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意． 故选：D ．6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A ，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC 的长度，再求出直线0x +=的倾斜角，即可求得OA与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x -+=距离为12，所以BC ==直线0x +=π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ） A. 12a B. 12πaC. 24aD. 24πa【答案】B 【解析】【分析】根据条件得到P 点轨迹为以MN 为直径的球，进而得出点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，即可求出结果.【详解】因为0PM PN ⋅=，故P 点轨迹为以MN 为直径的球，如图，易知MN 中点即为正方体中心O ，球心在每个面上的射影为面的中心，设O 在底面ABCD 上的射影为1O ，又正方体的棱长为2a ，所以MN =， 易知1OO a =，1O M a =，又动点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，轨迹长度为6212a a ⨯π=π，故选：B ．8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()ex xf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2【答案】C 【解析】【分析】利用导数研究()e xxf x =的单调性，作出其图象，根据图象平移作出()ln 2y f x =+的图象，数形结合即可得到答案． 【详解】∵()e x x f x =，∴()1e xxf x ='-， 根据导数易知()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减; 由题意令()()ln 2f x f x =+，即ln 2ln 2e ex x x x ++=，解得ln 2x =； 作出图象：则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为两函数图象交点处函数值，为ln 22． 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x >B. 1x y +>C. 14xy <D.<【答案】ACD 【解析】【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵123x =，∴12log 3x =，同理12log 4y =， ∵12log y x =在0x >时递增，故y x >，故A 正确； ∵12log 121x y +==，∴B 错误；∵0x >，0y >，∴2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，而x y <，故14xy <，∴C 正确；∴212x y +=++=+<<，∴D 正确．故选：ACD ．10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）A. ()1213P A A = B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC ，由条件概率的公式即可判断B ，由()n P A 与()1n P A -的关系，即可得到()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，从而判断D 【详解】对A ，()12224339P A A =⨯=，所以A 错误； 对B ，()22211533339P A =⨯+⨯=，故()()()121224|5P A A P A A P A ==，所以B 正确； 对C ，()()()()12121225473999P A A P A P A P A A +=+-=+-=，所以C 正确；对D ，由题意：()()()1121133n n n P A P A P A --⎡⎤=+-⎣⎦，所以()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦， ()123P A =，()112112326P A -=-=，所以()11111126323n nn P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 则()101011123P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以D 错误． 故选：BC ．11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线1l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出121y y =；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到1322x x x +=；C 选项，求出()10,2D y +，11DF y =+，结合焦半径公式求出11AF y =+，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到2ABC ABM S S = ，表达出ABM S △，利用基本不等式求出最小值，从而得到ABC 面积最小值. 【详解】A 选项，由题意得()0,1F ，准线方程为1y =-， 直线1l 的斜率存在，故设直线1l 的方程为1y kx =+， 联立24x y =，得2440x k --=，124x x =-，故2212121116y y x x ==，A 正确； B 选项，12y x '=，直线2l 的斜率为212x ，故直线3l 的方程为()2112x y y x x -=-，即2122x y x y =++，联立24x y =，得()2212220x x x y --+=，故1322x x x +=， 所以B 错误；C 选项，由直线3l 的方程()2112x y y x x -=-，令0x =得()2112xy x y =-+， 又124x x =-，所以12y y =+，故()10,2D y +，故11DF y =+，又由焦半径公式得11AF y =+，所以C 正确； D 选项，不妨设12x x <，过B 向3l 作垂线交3l 于M ，根据B 选项知，1322x x x +=， 故2ABC ABM S S = ， 根据直线3l 的方程()2112x y y x x -=-， 当2x x =时，()22221222111122222x x x x x y x x y y y =-+=+-=++， 故2221,22x M x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 故222222221211212111614222244444x x x x x BM y y x x x ⎛⎫=++-=+-=++=+ ⎪⎝⎭，故()2212111111114144248ABMS x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3311141888x x ⎛⎫⎛⎫=+≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当114x x =，即12x =时，等号成立， 故ABC 的面积最小值为16，D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.【答案】15 【解析】【分析】利用二项式的展开式通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630k -=，解得2k =， 所以常数项为236C 15T ==， 故答案为：15.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由直线EF 与渐近线方程联立求出E 的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．【详解】直线EF 与渐近线方程联立得(),,b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2E a x c =，E ab y c =，∴EF 中点M 的坐标为22,22a c ab cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 又M 点在双曲线上，代入其标准方程，得()2222222144c a c a a c+-=， 化简得222c a =，∴22e =，e =．的． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 【答案】83##223【解析】【分析】变形后得到sin cos sin cos ααββ+=+，利用辅助角公式得到π2αβ+=，得到1sin cos 2αα-=-，两边平方后得到3sin cos 8αα=，利用同角三角函数关系求出18tan tan sin cos 3αβαα+==.【详解】由题可知sin sin cos cos αβαβ-=-+，所以sin cos sin cos ααββ+=+，ππ44αβ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3πππ3π,,,244244αβ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又αβ≠，所以πππ44a β+++=，故π2αβ+=， 所以1sin cos 2sin sin αβαα-=--=，两边平方后得221sin 2sin cos cos 4αααα-+=，故3sin cos 8αα=，1sin cos 18tan tan tan tan cos sin sin cos 3αααβαααααα+=+=+==．故答案为：83四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，()sin sin B A A C -=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 【答案】（1）π4B =； （2）π12BAC ∠=或5π12．【解析】【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =可得B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【小问1详解】在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =． 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =． 因为0πB <<，所以π4B =． 【小问2详解】法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①． 在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷=，即12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12． 法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =． 因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CM BM AM=， 所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠，化简得sin BAM ∠=． 因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-， 故π12BAC ∠=或5π12． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ； （2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】【分析】（1）取1AA 的中点M ，先证明四边形BMPQ 是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设CQ CB λ=()01λ≤≤，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点Q 坐标()()4,,013Q t t -≤≤，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解t ；法三：一作二证三求，设()04BQ x x =≤≤，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得. 【小问1详解】证明：取1AA 的中点M ，连接MP ，MB ．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ， 又点M ，P 分别是棱1A A ，1D D 中点，所以MP AD ∥，且1132A D ADMP +==．在正方形ABCD 中，BC AD ∥，4BC =，又3BQ QC =，所以3BQ =． 从而MP BQ ∥且MP BQ =，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以PQ MB ∥． 又因为MB ⊂平面11ABB A ，PQ ⊄平面11ABB A ，所以PQ ∥平面11ABB A ；【小问2详解】在平面11AA D D 中，作1A O AD ⊥于O ．因为平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，1A O AD ⊥，1A O ⊂平面11AA D D ，的所以1A O ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N ，则ON OD ⊥．以{}1,,ON OD OA为正交基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为四边形11AA D D 是等腰梯形，112AD =，4=AD ，所以1AO =，又11AA D D ==，所以14A O =．易得()4,1,0B -，()0,3,0D ，()4,3,0C ，()10,2,4D ，50,,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0DC = ，10,,22DP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()0,4,0CB =-．法1：设()()0,4,001CQ CB λλλ==-≤≤ ，所以()4,4,0DQ DC CQ λ=+=-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1202440y z x y λ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取()4,4,1m λ= ， 另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得34λ=±（舍负），因此3434CQ =⨯=，1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法2：设()()4,,013Q t t -≤≤，所以()4,3,0DQ t =-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得12024(3)0y z x t y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，取()3,4,1m t =- ，另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得0=t 或6（舍），因此1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法3：在平面11A ADD 中，作PH AD ⊥，垂足为H ．因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11 A ADD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面11A ADD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又DQ ⊂平面ABCD ，所以PH DQ ⊥． 在平面ABCD 中，作HG DQ ⊥，垂足为G ，连接PG ．因为PH DQ ⊥，HG DQ ⊥，PH HG H = ，PH ，HG ⊂平面PHG ， 所以DQ ⊥平面PHG ，又PG ⊂平面PHG ，所以DQ PG ⊥．因为HG DQ ⊥，PG DQ ⊥，所以PGH ∠是二面角P QD A --的平面角． 在四棱台1111ABCD A B CD -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ，11AA D D ==，点P 是棱1DD 的中点， 所以2PH =，12DH =．设()04BQ x x =≤≤，则4CQ x =-，DQ ==在QHD △中，1114222HG ⨯⨯=，从而HG =．因为二面角P QD C --的平面角与二面角P QD A --的平面角互补，且二面角P QD C --sin PGH ∠=tan 5PGH ∠=．所以在Rt PHG △中，5PHHG==，解得1x =或7x =（舍）．所以当二面角P QD C --时，BQ 的长为1． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．【答案】（1）0.09；（2）22n =. 【解析】【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】记电压“不超过200V”、“在200V~240V 之间”、“超过240V”分别为事件A ，B ，C ，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D ．因为()2~220,20U N ，所以()()()110.682000.1622P Z P A P U μσμσ--<<+-=≤===，()()()2002400.68P B P U P Z μσμσ=<<=-<<+=，()()()110.682400.1622P Z P C P U μσμσ--<<+-=>===．所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.160.150.680.050.160.20.09=⨯+⨯+⨯=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 【小问2详解】从该机器生产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X ，则()~,0.09X B n ， 所以()2222C 0.910.09n n n p P X -===⋅⋅．由21211222C 0.910.0910.911C 0.910.091n n n n n n p n p n -++-⋅⋅+==⨯>⋅⋅-，解得19129n ≤<． 所以当221n ≤≤时，1n n p p +<； 当22n ≥时，1n n p p +>；所以22p 最大． 因此当22n =时，n p 最大．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=的（2）①证明见解析；②存在，BM =【解析】【分析】（1）先求出右顶点D 和M 的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为()4y t k x -=-，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案. 【小问1详解】由右焦点为()1,0F ，得1c =，因为AM a AF =，所以()41a a a -=-，若4a ≥，则()41a a a -=-，得2402a a -+=，无解，若4a <，则()41a a a -=-，得24a =，所以23b =，因此C 的方程22143x y +=.【小问2详解】设()4,B t ，易知过B 且与C 相切的直线斜率存在， 设为()4y t k x -=-，联立()224143y t k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222348444120k x k t k x t k ++-+--=，由()()()2222Δ64443444120k t k k t k ⎡⎤=--+--=⎣⎦，得2212830k tk t -+-=， 设两条切线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，则1282123t t k k +==，212312t k k -=. ①设BF 斜率为3k ，则3413t tk ==-， 因为123223tk k k +==，所以BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列， 的②法1：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，所以()10,4P t k -， 同理，得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y t k k =-+， 易得BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得()()121222,2N k k t k k +-+， 所以()122122,22NP k k k k =--- ，()121222,22NQ k k k k =---，要使0NP NQ ⋅= ，即()()2212124140k k k k +--=，整理得12121k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法2：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，因此()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y tk k=-+，因为BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得1222N x k k =+， 要使0NP NQ ⋅= ，则2PNQ π∠=，所以2N PQ x =，即1212222k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法3：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒， 从而1tan PBQ ∠=，又1212tan 1k k PBQ k k -∠=+，所以121211k k k k -=+，因为12k k -===，23112t -=+，解得27t =，t =，所以BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法4：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，从而cos BP BQ PBQ BP BQ⋅∠==⋅ ，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，因此()14,4BP k =-- ，()24,4BQ k =--，所以BP BQ BP BQ ⋅==⋅)121k k +=，即222222121212122241k k k k k k k k ++=+++， 整理得()22212121261k k k k k k ++=+，所以22223326112123t t t ⎛⎫--⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法5：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -， 由等面积法得1122B PBQ PQ x S BP BQ ⋅==⋅即121144422k k -⋅=⋅()22212121261k k k k k k +=++， 所以22222336131212t t t ⎛⎫--⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos ,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2mQ x m x m =<<，记m P Q 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）(]0,2；（3）m b m =. 【解析】【分析】（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0f x >；（3）利用（1）中结论，()()ππcos 12121k k k k >-++，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos 21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =-<<+∑，可得m b m =【小问1详解】因为2a =，所以()()2sin cos 212sin sin f x x x x x x x =+-=-， π04x <<，2sin 0x >． 设()sin gx x x =-，π04x <<， 则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()()00g x g >=， 因此()0f x >． 【小问2详解】函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<， 方法一：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin h x f x a x x x ax '==+-，()()()222cos sin cos 2cos cos h x a x x x a ax a a ax a ax a ⎛⎫'=--<-=- ⎪⎝⎭，.因为201a <<，所以存在0,2a θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2cos a a θ=， 则当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220h x a a a ⎛⎫'<-=⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,θ上单调递减， 从而()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,θ上单调递减，因此()()00f f θ<=，不合题意；综上，02a <≤． 方法二：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，先证明当0x >时，2sin x x x -<. 令()2sin G x x x x =--，则()12cos G x x x '=--，令()12cos H x x x =--，则()2sin 0H x x '=-+<， 所以()G x '在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G ''<=， 所以()G x 在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G <=， 因此当0x >时，2sin x x x -<. 又由（1）得sin 0x x ->，此时()()()()()2222sin cos s 22in 2a x ax ax a a x a x ax a x a f x a x x x ax ⎡⎤⎡⎤⎡⎤<-+=--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦'=+-，则0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃且022a x a-<，当()00,x x ∈时，()0f x '<。
江苏省南京市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
江苏省南京市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A1B．25- C．D．1 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果. 【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.2．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021 B ．2021 C ．919 D ．1819【答案】A【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n n a a +-=， 又∵31a =5， ∴()3112n 32n1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭， ∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n ++ ()1n k n k =+-； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm【答案】D【解析】【分析】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长.【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-o，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+o ()3350sin 40sin 6030sin 40sin 2ααααα⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭o ， ()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--o()3350cos 30cos 40cos 6040cos 2ααααα⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭o 因为AB CB =，则333340sin 40cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理化简得sin 23cos αα=，又22sin cos 1αα+=， 得31sin 22α-= ，31cos 22α+= 33333340sin 4020622222222AB αα⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝即该正方形的边长为206cm .故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.5．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 6．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】() 22112i i i i +=-=-+.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.7．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 8．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q , cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数，故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.9．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1x x f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10x f x x x e =+->，解得15x -+>或15x --<由()()2'10x f x x e =-<，解得：1515x ---+<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 10．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A ．25-B ．25C ．25-D ．25【答案】A【解析】【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解【详解】 由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，故()21OB =u u u v ，向量OA u u u v 在向量OB uuu v 上的投影是255OA OB OB⋅==-u u u v u u u v u u u v . 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.11．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．483π+D ．144183π+【答案】C【解析】【分析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为r =,圆锥的高h =截去的底面劣弧的圆心角为23π，底面剩余部分的面积为221412sin 2323S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ==，圆锥的高6h ==，圆锥母线l =120°，底面剩余部分的面积为2222212212sin 66sin 24323323S r r πππππ=+=⨯+⨯⨯=+11(2464833V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.12．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e【答案】C【解析】【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立.设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0.又()()1'23h x m x=-+,若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值.若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增. 故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+,故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e . 故选：C【点睛】 本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三南京数学一模试卷
高三南京数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 4}3. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 1，点P(2, 0)到圆心的距离是：A. 1B. 2C. √3D. 34. 函数y = ln(x+1)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (-∞, -1)C. (-1, +∞)D. (0, +∞)5. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，n≥2，那么a_3 =：A. 5B. 7C. 9D. 116. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. 4πD. 6π7. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5 = 25，S_10 = 100，则a_6 + a_7 =：A. 14B. 20C. 26D. 328. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f'(x) =：A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x + 3C. 3x^2 - 3x + 2D. 3x^2 - 3x + 1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2) = _______。
10. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，求顶点坐标为 _______。
11. 已知等比数列{a_n}的公比为2，且a_1 = 1，则a_5 = _______。
12. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与x轴的交点坐标为 _______。
南京市、盐城市2023届高三年级一模数学试题(含解析)
南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试数学注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x ,2M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x ,21N ，则（）A.M 是N 的真子集B.N 是的真子集MC.NM = D.φ=⋂N M 2.若()()()()R a a x x x x f ∈++=1为奇函数，则a 的值为（）A.1- B.0C.1D.11或-3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正太分布()24σ，N ()0>σ，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.9.0 B.7.0 C.3.0 D.1.04.已知函数()()()πϕϕ<<+=02sin x x f 的图象关于直线6π=x 对称，则ϕ的值为（）A.12πB.6π C.3π D.32π5.三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A.272cmπ B.2162cmπ C.2216cmπ D.2288cmπ6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2121+=+n n S S ，*∈N n ，则6S =（）A.231 B.16 C.30D.2637.已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x E =+的两条弦AB ，CD 相交于点P （点P 在第一象限），且x AB ⊥轴，y CD ⊥轴.若5:1:3:1:::=PD PC PB P A ，则该椭圆E 的离心率为（）A.55B.510 C.552 D.51028.设R b a ∈,，ab2642-=，bba265-=，则（）A.ba <<1 B.ab <<0 C.ab <<0 D.1<<a b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届南京市第一中学高三最后一模数学试题含解析
2025届南京市第一中学高三最后一模数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．432．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()U A B =（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤≤ C ．{}11x x -≤≤ D ．{}1x x ≥- 3．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)5．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④6．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12 7．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y += B ．221916x y -= C ．221916x y -=（0x <） D ．221916x y -=（0x >） 8．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32D ．349．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B 33C ．3D ．3210．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．811．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．212．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市中华中学南京师范大学附属中学2023届高三联考一模数学试题含答案
南京市中华中学、南京师范大学附属中学2023届高三联考一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知,M N 为全集R 的两个不相等的非空子集，若()()R R N M ⊆痧，则下列结论正确的是（ ）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x M x N ∃∈∉C ．,x N x M ∃∉∈D ．,R x M x N ∀∈∉ð3．过圆O ：225x y +=外一点(P 作圆O 的切线，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．2B C D ．34．已知数列{}n a 是等比数列，()()247869a a a a a λ+⋅=-且公比()1,2q ∈，则实数λ的取值范围为（ ） A ．()1,9B ．()2,10C ．()1,8D ．()1,6-5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（ ） A ．135种B ．360种C ．90种D ．270种6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭7．已知函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象与函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π0,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭8．设2154113,,8520a eb ec ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c < a < b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案
盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． D 2． C 3． C4． B5． A6． D7． D8． B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9． CD10． ABC11． AB12． ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13． －314． 22315． 1516． 1，2011四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分) 解：选①因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ，又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分 设BC ＝x ，分别在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22×DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ··············································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选②因为S ΔABC ＝3S ΔBCD ，所以12AB ×AC sin A ＝3×12DB ×DC sin D ，又因为AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，所以12×6×4sin A ＝3×12×4×2sin D ，所以sin D ＝sin A ． ······································································································ 2分 因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ．又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分 设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ······································································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选③在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ×DC ×cos D ＝DB 2＋DC 2－2DB →·DC →＝42＋22－2×(－4)＝28． ··················· 4分 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－282×4×6＝12． ········································································ 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分18．(本题满分12分)（1）证明：因为{b n }是公差为3的等差数列，所以b n ＋1－b n ＝3． ····································································································· 2分 又因为a n ＝2n ＋4，所以a b n ＋1－a b n ＝(2b n ＋1＋4)－(2b n ＋4)＝2(b n ＋1－b n )＝6，所以{a b n }是等差数列． ································································································ 6分 注：写出b n ＝3n －1也得2分．（2）解：因为{a b n}是公比为2的等比数列，首项为a b 1＝a 2＝2×2＋4＝8，所以a b n ＝8×2n －1＝2n ＋2． ··· 8分又因为a b n ＝2b n ＋4＝2n ＋2， 所以b n ＝2n ＋1－2， ································································ 10分 则数列{b n }的前n 项和S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2n ＝2n ＋2－2n －4． ······················· 12分 19．(本题满分12分)解：（1）由表中数据知，x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝1250＋1050＋1000＋9004＝1050，所以b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑n i ＝1x 2i －n x－2＝9950－1050030－25＝－110， ································································· 2分所以a ^＝y －－b ^x －＝1050－(－110)×52＝1325，故所求回归直线方程为y ^＝－110x ＋1325． ······································································· 4分 令x ＝5，则y ^＝－110×5＋1325＝775，故该路口2022年不戴头盔的人数约775人． ···································································· 6分 (2)提出假设H 0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．由表中数据得K 2＝50×(7×27－3×13)210×30×40×20＝4.6875＞3.841． ······················································ 9分而P (K 2≥3.841)＝0.05，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关． ······················································· 12分 20．(本题满分12分)（1）证明：因为AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，所以B 1D ⊥AC ． ··················································· 2分又因为平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，B 1D 平面AB 1C ，所以B 1D ⊥平面ABC ． ································································································ 5分（2）解：方法一在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F ， 由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，以{DE →，DF →，DB 1→}为基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． ···································· 7分 因为AB ＝8，BC ＝6，所以AC ＝10，BD ＝5． 又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12，得D (0，0，0)，A (3，－4，0)，B (3，4，0)，C (－3，4，0)，B 1(0，0，12)． 设点C 1(x ，y ，z )，由BC →＝B 1C 1→，得(－6，0，0)＝(x ，y ，z －12)， 即点C 1(－6，0，12)，则AC →＝(－6，8，0)，B 1C →＝(－3，4，－12)，C 1D →＝(6，0，－12)． 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－6x ＋8y ＝0，n ·B 1C →＝－3x ＋4y －12z ＝0，得3x ＝4y ，z ＝0．不妨取x ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(4，3，0)． ··············································· 10分 设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n ，C 1D →＞|＝|n ·C 1D →||n |·|C 1D →|＝|6×4＋0×3＋(－12)×0|5·62＋02＋(－12)2＝4525． ····································· 12分 方法二设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等． 过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ．因为BH ⊥AC ，平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AB 1C ，则BH 为点B 到平面AB 1C 的距离． ················································· 7分 在RtΔABC 中，易知d ＝BH ＝6×810＝245． ········································································· 9分由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥BC ．ExA BC C 1A 1B 1(第20题图)D yz F又因为B 1C 1//BC ，所以B 1D ⊥B 1C 1，则ΔDB 1C 1为直角三角形． 因为AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，所以AC ＝10，BD ＝5， 又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12．又因为B 1C 1＝BC ＝6，所以C 1D ＝62＋122＝65． ························································· 11分 设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝d C 1D ＝24565＝4525． ······································· 12分方法三设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 距离相等． 利用等积法V B 1－ABC ＝V B －AB 1C ，求点B 到平面AB 1C 的距离．下同方法二．21．(本题满分12分)解：（1）由虚轴长为2，知b ＝22． ··················································································· 1分 由两准线间的距离为263，知a 2c ＝63， ··········································································· 2分所以3a 4＝2c 2＝2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋12)，解得a 2＝1或a 2＝－13（舍），故双曲线方程为x 2－2y 2＝1． ················································· 4分（2）①若动直线l 的斜率不存在，则设l ：x ＝t ，代入双曲线方程可得P (t ，t 2－12)，Q (t ，－t 2－12)， 由AP ⊥AQ ，可得 (t －1)2－t 2－12＝0， 解得t ＝3或t ＝1(舍)，此时点A 到l 的距离为d ＝2； ························································· 6分 ②若动直线l 的斜率存在，则可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t ， 代入双曲线方程可得 (1－2k 2)x 2－4ktx －(2t 2＋1)＝0，则x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2． ·············································································· 8分由AP ⊥AQ ，知(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0．由y ＝kx ＋t 可知(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0， 化简可得 (1＋k 2)x 1x 2＋(kt －1)(x 1＋x 2)＋t 2＋1＝0，将x 1＋x 2＝4kt1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2代入，化简可得 (3k ＋t )(k ＋t )＝0． ··································· 10分若k ＋t ＝0，则直线经过右顶点A ，舍去；故3k ＋t ＝0，即直线经过定点M (3，0)， ········································································ 11分 则d ＜AM ＝2．综上①②，d 的最大值为2． ························································································ 12分 注：也可建立d 关于k 的函数来求最值，参照评分． 22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，得f′(x )＝－3x＋3x 2＋2ax －2a ，所以f′(1)＝0，又f (1)＝－3ln1＋13＋a ·12－2a ·1＝1－a ，所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝1－a ． ································································ 3分（2）由（1）得f′(x )＝x －1x[3x 2＋(2a ＋3)x ＋3]，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点， 不妨设x 1＞x 2＞0，所以x 1＋x 2＝－2a ＋33，x 1x 2＝1， ··················································································· 5分且需满足⎩⎨⎧△＝(2a ＋3)2－36＞0，2a ＋3＜0，所以a ＜－92， ····························································· 6分直线PQ 的斜率为k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝3ln x 1x 2x 2－x 1＋x 22＋1＋x 21＋a (x 2＋x 1)－2a ， ··································· 7分 先证： ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2(x 1＞x 2＞0)．证：令x 1x 2＝u ＞1，不等式即证φ(u )＝ln u －2(u －1)u ＋1＞0，所以φ′(u )＝1u －4(u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2＞0，所以φ(u )在(1，＋∞)上递增，所以φ(u )＞φ(1)＝0，故不等式成立． ············································································· 9分 所以k ＝3lnx 1x 2x 2－x 1＋(x 2＋x 1)2－2x 1x 2＋1＋a (x 2＋x 1)－2a ＜－6x 2＋x 1＋(x 2＋x 1)2－1＋a (x 2＋x 1)－2a ．令x 1＋x 2＝t ，则a ＝－3t ＋32＜－92，所以t ＞2，则k ＜－6t ＋t 2－1－3t ＋32(t －2)，所以k ＜(t －2)(t 2＋2t ＋3)t －(3t ＋3)(t －2)2＝t －22(－t ＋6t＋1)，因为t ＞2，所以k ＜t －22(－2＋62＋1)＝t －2，故k ＋2＜x 1＋x 2． ··········································· 12分注：也可将k ＋2－(x 1＋x 2)放缩后转化为a 的函数．。