四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

台实2019级高一下入学考试
数学试题
本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页。

满分100分。

考试结束将答题卡交回。

第Ⅰ卷（共48分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能将答案答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列命题中正确的是
A ．OA O
B AB -= B ．=AB BA
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
2．数列1111,,,,
24816
--的一个通项公式是
A ．1
2
n - B ．(1)2n n - C ．1(1)2n n +- D ．1(1)2n n --
3．数列{}n a ，若13a =，21=-+n n a a ，则5a =
A ．9 B.13 C.10 D.11 4．在ABC ∆中，内角A
B
C 、、的对边分别为a b c 、、，若a
A
b B cos cos =
，则ABC ∆的形状一定是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
5．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于 A ．1 B 13．13 D 723- 6．若数列{}n a 为等差数列，99198S =，则4849505152a a a a a ++++=
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
7．ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
2aSinA cSinC aSinC +-=bSinB ， 则B ∠=
A ．
6π B ． 4π C ．3π D ． 34
π 8．如图所示，已知3AC BC =， OA a =， OB b =， OC c =，则下列等式中成立的是
A. 31
22
c b a =- B. 2c b a =-
C. 2c a b =-
D. 31
22
c a b =-
9．在ABC ∆中，已知5a =，15b =，0
30A =，则c 等于
A ．5
B ．5或25
C ．25
D ．以上都不对
10．已知ABC ∆和点M 满足0
=++MC MB MA ,若存在实数m 使得AM m AC AB =+成立，则m =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
. . .
16
941
. . .
10
6
3
1
. . .
9
4
1
6
3
1
A ．189
B ．1024
C ．1225
D ．1378 12．在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，给出下列四个结论，
①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>；②等式cos cos c a B b A =+一定成立； ③
sin sin sin a b c
A B C +=
+； ④若(AB AC |AB||AC |+).0BC =，且12
AB AC .|AB||AC |=，则ABC ∆为等边三角形；以上结论正确的个数是
第8题图
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（共52分）
注意事项：
1．用钢笔将答案直接写在答题卷上。

2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分,把答案直接填在答题卷的横线上。

13. 21+与21-的等差中项是 .
14．已知ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 . 15.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”： a b ⨯是一个向量，它的模
sin a b a b θ⨯=.若(3,1)a =--，(1,3)b =，则a b ⨯= .
16．如右图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AC ⋅= .
三、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．
(2)若33a =，5c =，求b . 18.（本小题满分10分）
已知a ，b ，c 是一个平面内的三个向量，其中a
=（1，2） （1）若|c |＝25，c ∥a ，求c 及a ·c
.
（2）若|b |＝35，且a ＋2b 与3a －b 垂直，求a
与b 的夹角的余弦值.
第16题图
19.（本小题满分10分）
在等差数列{}n a 中，57a =，2612a a +=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1
11n n n b a a =-+，求数列{}n b
的前n 项和n S ．
20．（本小题满分10分）
如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+. （1）求ACB ∠的大小；
（2）若A ABC CB =∠∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，
1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.
台实2019级高一下入学考试数学答案
一．选择题：1—6DBDAAC 7—12 BABBCD 二．填空题：13. 2 14. 0
60120或 15.2
16. 23
-
三．解答题：
17.解：
（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，.........3分 又因B 为锐角，解得6
B π
=．...........5分
（2）由题意得
2223
2cos 27252335524572
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=-=，........8分 解得7b =
．...........10分
18.解：（1）∵，设．
又∵||=， ∴λ2+4λ2=20，解得λ=±2．……………3分
当2=λ时，，
． ……………4分
当2-=λ时，
，
……5分
（2）0)3()2(=+⋅+b a b a
223520a a b b ∴+⋅-=………6分
又5||=a
，2
53||=b
04452553=⨯-⋅+⨯∴b a 即2
3
=⋅b a ………………………………8分
设a 与b 夹角为θ，则5
12
53523||||cos =⋅
=
⋅⋅=b a b a θ 5
1的夹角的余弦值为与b a
∴ ……………………………10分
19.解：
（1）∵2612a a +=，∴46a =，......2分 即54761d a a =-=-=．.......4分 ∴2n a n =+．........5分 （2）由（1）可得1
(1)(3)
n b n n =
++，
即111213n b n n ⎛⎫
=
- ⎪++⎝⎭
...........7分
1111111112243546
13n S n n ⎛⎫=
-+-+-++
- ⎪++⎝⎭
1111122323n n ⎛⎫
=
+-- ⎪++⎝⎭
..........9分 525122(2)(3)
n n n +=
-++．...........10分 20解：
（1）在ABC ∆中，由A B C π++=，所以()sin sin A B C =+ ∵()sin cos a c B B =+，
∴()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+()sin sin cos C B B =+， ∴sin cos sin sin B C C B =，又∵sin 0B ≠，∴cos sin C C =...................4分 又∵()0,C π∈，∴4
C
π
，即ACB ∠为
4
π
...................5分 （2）在BCD ∆中，2DB =，1DC =，由余弦定理可得
2222cos 54cos BC BD CD BD CD D D =+-⋅⋅=-，.............7分
又∵4
ABC ACB π
∠=∠=
，∴ABC ∆为等腰直角三角形，
∴111
sin 222ABCD ABC BCD S S S BC BC BD CD D ∆∆=+=
⋅+⋅⋅5cos sin 4
D D =-+5
44D π⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭，............9分
∴当34D π=
时，四边形ABCD 面积有最大值，最大值为5
4
+分。