人教版八年级数学上册 第27章 相似单元同步检测试题(附答案)
人教版九年级数学第27章《相似》单元同步检测试题完成时间：120分钟满分：150分姓名成绩10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）1．观察下列每组图形，相似图形是（）A. B. C. D.2．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（）A．150°B．105°C．15°D．无法确定大小3．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（）A．2 B．3 C．－3 D．3或－34．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③C．①和③D．②和④5．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12第5题图第6题图第7题图6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.APAB＝ABAC D.ABBP＝ACCB7．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（）A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶28．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1第8题图第9题图9．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④ D．①②③10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A B C D5分，共20分）11．如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为.第11题图第12题图12．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝mm. 13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为cm．第13题图第14题图14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．90分）15．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．16．（10分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．17．（10分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，求CD的长．18．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC 延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.19．（12分）如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP. 求证：CE2＝ED·EP.20．（12分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？21．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ ∽△CDQ ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当 t 为何值时，DP ⊥AC ?22．（12分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F .求证：CD 2＝DF ·DG .人教版九年级数学 第27章 《相似》 单元同步检测试题参 考 答 案完成时间：120分钟 满分：150分姓名 成绩10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）1．观察下列每组图形，相似图形是（ D ）A .B .C .D .2．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（ C ） A ．150° B ．105° C ．15° D ．无法确定大小3．已知四条线段的长度分别为2，x －1，x ＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为（ B ） A ．2 B ．3 C ．－3D ．3或－34．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ B ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为（ C ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12第5题图 第6题图 第7题图6．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ D ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C .AP AB ＝AB AC D . AB BP ＝AC CB7．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于（ D ） A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶28．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 为（ B ） A ．2.5 B ．1.6 C ．1.5 D ．1第8题图 第9题图9．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①AFFD =12；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ D ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ D ）A B C D5分，共20分）11．如图，在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N .若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为 1 .第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12．如图，已知零件的外径为25 mm ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC ＝OD )量零件的内孔直径AB .若OC ∶OA ＝1∶2，量得CD ＝10 mm ，则零件的厚度x ＝ 2.5 mm .13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm ，到屏幕的距离为40 cm ，且幻灯片中图形的高度为6 cm ，则屏幕上图形的高度为 18 cm ． 14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为 113°或92° ．90分）15．（10分）如图，A 、B 、C 、P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA 与△ABC 是否相似，并说明理由； （2）求∠BAC 的度数．解：（1）△PBA 与△ABC 相似， 理由如下：∵AB =2212 =5，BC =5，BP =1，∴55==BC BA AB BP ， ∵∠PBA =∠ABC ， ∴△PBA ∽△ABC ； （2）∵△PBA ∽△ABC ∴∠BAC =∠BPA ， ∵∠BPA =90°+45°=135°， ∴∠BAC =135°．16．（10分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，求旗杆的高度．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ，则ACEFDC DE =， ∵DE =0.5米，EF =0.25米，DG =1.5m ，DC =20m ， ∴AC25.0205.0=， 解得：AC =10，故AB =AC +BC =10+1.5=11.5（m ）， 答：旗杆的高度为11.5m ．17．（10分）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP =1，D 为AC 上 一点，若∠APD =60°，求CD 的长．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B =∠C =60°，∵∠APB =∠PAC +∠C ，∠PDC =∠PAC +∠APD ， ∵∠APD =60°，∴∠APB =∠PAC +60°，∠PDC =∠PAC +60°， ∴∠APB =∠PDC ， 又∵∠B =∠C =60°， ∴△ABP ∽△PCD ，∴CD BP PC AB =，即CD123=， ∴CD =32．18．（12分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于点E ，交BC 延长线于F .求证：CD 2＝DE ·DF .证明：∵∠ACB ＝90°， ∴∠F ＋∠FEC ＝90°. ∵DF ⊥AB ， ∴∠A ＋∠AED ＝90°. ∵∠AED ＝∠FEC ， ∴∠A ＝∠F .∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，∴CD ＝DA . ∴∠A ＝∠ACD .∴∠ACD ＝∠F . 又∵∠CDE ＝∠FDC ， ∴△CDE ∽△FDC . ∴CD FD ＝DEDC .∴CD 2＝DE ·DF .19．（12分）如图，已知CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，BG ⊥AP . 求证：CE 2＝ED ·EP .证明：∵CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高， ∴△ACE ∽△CBE . ∴CE BE ＝AE CE， 即CE 2＝AE ·BE . ∵CE ⊥AB ，BG ⊥AP ,∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠P ＋∠GDP ＝90°. ∴∠EBD ＝∠P . ∴△AEP ∽△DEB . ∴AE DE ＝EP EB ， 即AE ·EB ＝ED ·EP . ∴CE 2＝ED ·EP .20．（12分）如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB =6cm ，CD =4cm ，BD =14cm ，点P 在BD 上由点B 向点D 方向移动，当点P 移到离点B 多远时，△APB 和△CPD 相似？解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠B =∠D =90°， ∴当CD BP DP AB =或DPBPCD AB =时，△PAB 与△PCD 是相似三角形， ∵AB =6cm ，CD =4cm ，BD =14cm ，∴4146BP BP =-或BPBP-=1446，解得：BP =2或12或542，即BP =2或12或542时，△PAB 与△PCD 是相似三角形．21．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝10，点P 为AB 边上一动点，DP交AC 于点Q .(1)求证：△APQ ∽△CDQ ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当 t 为何值时，DP ⊥AC ?解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD . ∴∠APQ ＝∠CDQ . 又∵∠AQP ＝∠CQD ， ∴△APQ ∽△CDQ . (2)当t ＝5时，DP ⊥AC . 理由：∵t ＝5，∴AP ＝5. ∴AP AD ＝510. 又∵DA DC ＝1020，∴AP AD ＝DA DC. 又∵∠PAD ＝∠ADC ＝90°， ∴△PAD ∽△ADC . ∴∠ADP ＝∠DCA .∵∠ADP ＋∠CDP ＝∠ADC ＝90°， ∴∠DCA ＋∠CDP ＝90°. ∴∠DQC ＝90°，即DP ⊥AC .22．（12分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F .求证：CD 2＝DF ·DG .证明：∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°. ∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△CBD.∴CDBD＝ADCD，即CD2＝AD·BD.∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF. ∴△BDF∽△GDA.∴BDGD＝DFDA，即AD·BD＝DF·DG.∴CD2＝DF·DG.。
人教版八年级数学上册 第27章 相似周周练(27.1～27.2)(含答案)
周周练 (27、1～27、2)(时间：40分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．(保定高阳月考)下面图形中，形状相同的一组是(D )2．(新疆生产建设兵团)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是(D )A ．DE ＝12BCB 、AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ∶S △ABC ＝1∶23．(河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对4．(安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为(B )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 35．如图，已知：DE ∥AC ，DF ∥AB ，则下列比例式中正确的是(B )A 、AE EB ＝BD DC B 、DF AB ＝DC BCC 、AE AB ＝AF ACD 、BD DC ＝FC AF6．(巴彦淖尔中考)如图，P 为▱ABCD 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2、若S ＝3，则S 1＋S 2的值为(B )A ．24B ．12C ．6D ．37．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△AEF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF 、其中正确的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．48．(台湾中考)如图，矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE ＜AC 、若P 、Q 两点分别在AD 、AE 上，AP ∶PD ＝4∶1，AQ ∶QE ＝4∶1，直线PQ 交AC 于R 点，且Q 、R 两点到CD 的距离分别为q 、r ，则下列关系正确的是(D )A ．q ＜r ，QE ＝RCB ．q ＜r ，QE ＜RC C ．q ＝r ，QE ＝RCD ．q ＝r ，QE ＜RC二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为30°．10．(邢台临城县一模)已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a 的值为32．11．(临沂中考)如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O 、若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝4．12．在长8 cm ，宽6 cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是27cm 2、13．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB 、其中正确结论的序号是①④．14．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ，则MN ＝3－5．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A 、(1)求证：△BDC ∽△ABC ；(2)如果BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC 、 (2)∵△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝CD BC、 ∴63＝CD6、∴CD ＝2、16．(10分)(白银、张掖中考)如图，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF 、(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形； (2)求证：OA 2＝OE ·OF 、证明：(1)∵EC ∥AB ， ∴∠C ＝∠ABF 、 ∵∠EDA ＝∠ABF ， ∴∠C ＝∠EDA 、 ∴DA ∥CF 、 ∵EC ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)∵DA ∥CF ，∴△OBF ∽△ODA 、∴OA OF ＝ODOB 、∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED 、∴OE OA ＝ODOB 、∴OA OF ＝OE OA， 即OA 2＝OE ·OF 、17．(12分)(秦皇岛海港区月考)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CD BD、(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小；(3)若AD ＝3，BD ＝2，求BC 的长．解：(1)证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°、 又∵AD CD ＝CD BD ，∴△ACD ∽△CBD 、 (2)∵△ACD ∽△CBD ， ∴∠A ＝∠BCD 、在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°、 ∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°、 (3)∵AD CD ＝CDBD， ∴CD 2＝AD ·BD ＝6，即CD ＝6、 ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10、18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD 、(1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC 、解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 、 ∴∠ADO ＝90°、 ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ADO 、 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADO ∽△ACB 、(2)由(1)知：△ADO ∽△ACB ， ∴AD AC ＝OD BC、 ∴AD ·BC ＝AC ·OD 、 又∵OD ＝1， ∴AC ＝AD ·BC 、。
第27章 相似单元测试卷(含答案)
第27章相似单元检测卷一、选择题.（每小题3分，共30分）1.下列四组线段中，不是成比例线段的为（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=1，b=2，c=6，d=3D.a=2，b=5，c=15，d=232.下列命题正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的正方形都相似D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A.12=DE BC B. =AD AEAB ACC.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶2第3题图第5题图第6题图4.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是（）A.1∶16B.1∶4C.1∶6D.1∶25.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）6.（2016·安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A.4B.42C.6D.437.如图，在下列由位似变换得到的图形中，其相似比为2的是（点A是原图形上的点）（）A.OA=OA′B.OA=AA′C.OA=12AA′D.OA′=2AA′8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：①△ABE∽△AEF；②AE⊥EF；③△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个第8题图第9题图第10题图9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4，BC=6，以斜边AB上一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A.2.5B.1.6C.1.5D.110.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E、F,则BFEF的值是（）A. 2-1B.2+ 2C. 2+1D. 2二、填空题.（每小题3分，共24分）11.若△ABC∽△A′B′C′,AB=16cm,A′B′=4cm,AD平分∠BAC,A′D′平分∠B′A′C′,A′D′=3cm,则AD= cm.12.若△ABC的三边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边长为15cm,那么△A′B′C′的最小边长为.13.已知E(-3，3),F(-1，-1),以坐标原点O为位似中心，按相似比为2∶1把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标为.14.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,且AD=12BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE=2∶1，则AEFCBFSSVV= .第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图15.如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部（点O）16m的点A 处，则小明的影子AM长m.16.（2016·湖南娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）17.（2016·四川成都）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= .18.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6,BC=8,沿DE将△ABC折叠，使点C落在AB边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ,则CD 的长是 .三、解答题.（共66分）19.（8分）（2016·广西南宁改编）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2,2），B （4,0），C （4，-4）.（1）请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2，并求出111222A B C A B C S S V V 的值.20.（8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：（1）△ACB ∽△DCE ;（2）EF ⊥AB .21.（8分）（2016·浙江杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED =∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且=AD DE AC CG . （1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若12=AD AC ，求AF FG的值.22.（8分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，连接DE .求证：∠AED =∠ABC .23.（10分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD ,BC =20cm,BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40cm 、8cm.为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50cm ，那么横梁EF 应为多长？（材质及厚度等忽略不计）24.（12分）如图，在直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使得AD=5.过点D作DH⊥OA，垂足为H.（1）求证：△ADH∽△BAO;（2）求点D的坐标.25.（12分）（2016·湖北襄阳）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=25，求BE的长.。
【人教版】八年级数学上第27章《相似》单元测试题(含答案)
第二十七章相似一.填空题(每题3分，共18分)1．若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为________．图27－Z－1 图27－Z－2 图27－Z－32．如图27－Z－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件：________，使△ABC∽△AED.3．如图27－Z－2，AE，BD相交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD 于点D.若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE＝________.4．如图27－Z－3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′.已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．5．如图27－Z－4，路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明站在距离灯的底部(点O)20 m的A处，则小明的影子AM的长为________m.图27－Z －4 图27－Z －56．如图27－Z －5，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝________．二.选择题(每题4分，共32分)7．由5a ＝6b (a ≠0，b ≠0)，可得比例式( )A.b 6＝5aB.b 5＝6aC.a b ＝56D.a －b b ＝158．下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．4 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，5 cmC ．3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cmD ．1 cm ，2 cm ，2 cm ，4 cm 9．如图27－Z －6，△ACD 和△ABC 相似需具备的条件是( )A.AC CD ＝AB BCB.CD AD ＝BCACC ．AC 2＝AD ·AB D ．CD 2＝AD ·BD图27－Z －6 图27－Z －7 图27－Z －8 10.如图27－Z －7，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB .若AD ＝2BD ，则CFBF的值为( )A.12B.13C.14D.2311．如图27－Z －8，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图27－Z －9中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图27－Z －912．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图27－Z －10所示，以O 为位似中心，把△ABC 放大为原来的2倍得到△A ′B ′C ′，那么点A ′的坐标为( )A ．(－8，－4)B ．(－8，4)C ．(8，－4)D ．(－8，4)或(8，－4)图27－Z －10 图27－Z －11 图27－Z －12 13．将两个三角尺(含45°角的三角尺ABC 与含30°角的三角尺DCB )按图27－Z －11所示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD的面积之比等于( )A ．1∶ 2B ．1∶2C ．1∶ 3D ．1∶314．如图27－Z －12，已知⊙O 是等腰直角三角形ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.2 三.解答题(共50分)15．(10分)已知：如图27－Z －13，△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC .求证：AB ·BC ＝AC ·CD .图27－Z －1316．(12分)如图27－Z －14，在平面直角坐标系中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1.(1)△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是________； (2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；(3)设P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是________．图27－Z－14 图27－Z－15 17．(12分)如图27－Z－15，AB是半圆O的直径，P是BA的延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.求证：(1)∠PBC＝∠CBD；(2)BC2＝AB·BD.18．(16分)如图27－Z－16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm 的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(0<t<5)秒，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小面积．图27－Z －16教师详解详析1．36 [解析] ∵两个相似六边形的周长比是3∶2， ∴它们的面积比为9∶4. ∵较大六边形的面积为81， ∴较小六边形的面积为81×49＝36.故答案为36.2．∠B ＝∠AEB (答案不唯一) [解析] ∵∠B ＝∠AEB ，∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED .故添加条件∠B ＝∠AEB 即可使得△ABC ∽△AED .3．2.5 [解析] ∵BA ⊥AE ，AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42＝5. ∵BA ⊥AE ，ED ⊥BD ， ∴∠A ＝∠D ＝90°. 又∵∠ACB ＝∠DCE ， ∴△ABC ∽△DEC ，∴AC BC ＝CD CE， 即45＝2CE ， ∴CE ＝2.5. 故答案为2.5. 4.125．5 [解析] 如图，设路灯为点C .由题意可得△MAB ∽△MOC ，所以AB CO ＝AM OM，即1.68＝AM AM ＋20， 解得AM ＝5.6.13 [解析] ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°. 又∵AB ＝3，BC ＝6， ∴AD ＝BC ＝6， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3. ∵BE ＝1.8， ∴DE ＝3－1.8＝1.2. ∵AB ∥CD ，∴DF AB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8， 解得DF ＝2 33，则CF ＝CD －DF ＝33，∴CF CD ＝333＝13. 7．D 8.D9．C [解析] ∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出需添加的条件是AC AB ＝ADAC，∴AC 2＝AD ·AB . 故选C.10．A [解析] ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∠FEC ＝∠A ，∠C ＝∠AED ， ∴△EFC ∽△ADE ，∴CF DE ＝EF AD， ∴CF BF ＝CF DE ＝EF AD ＝BD AD ＝12. 故选A.11．C [解析] A 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C项，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D项，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选C.12．D13．D [解析] 由题意，知∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD.设BC＝a，则AB＝a，CD＝3a，∴AB∶CD＝1∶3，∴S△AOB∶S△COD＝1∶3.故选D.14．C [解析] ∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4 2，∴∠D＝90°.在Rt △ABD 中，AD ＝45，AB ＝4 2， ∴BD ＝285. ∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE .∵AD ∶BC ＝45∶4＝1∶5， ∴△ADE 与△BCE 的相似比为1∶5.设AE ＝x ，则BE ＝5x ，∴DE ＝285－5x ， ∴CE ＝28－25x .∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得x ＝1.15．证明：∵∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠C ，∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACB 中，∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠C ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝BD BC， 即AB ·BC ＝AC ·BD ，∴AB ·BC ＝AC ·CD .16．解：(1)△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比＝A 1B 1AB ＝42＝2.故答案为2. (2)如图所示：(3)P (a ，b )为△ABC 内一点，依次经过上述两次变换后，点P 的对应点P 2的坐标为(－2a ，2b )．故答案为(－2a ，2b )．17．证明：(1)如图，连接OC ，∵PC 与⊙O 相切，∴OC ⊥PC ，即∠OCP ＝90°.∵BD ⊥PD ，∴∠BDP＝90°，∴∠OCP＝∠BDP，∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD.(2)如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠CDB. 又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即BC2＝AB·BD.18．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，∴AB ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意知BM ＝2t cm ，CN ＝3t cm ，∴BN ＝(5 3－3t )cm.由BM ＝BN ，得2t ＝5 3－3t ，解得t ＝5 32＋3＝10 3－15. (2)①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC， 即2t 10＝5 3－3t 5 3， 解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC， 即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157. ∴当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似． (3)过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t .设四边形ACNM 的面积为y cm 2，则y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×5 3－12×(5 3－3t )t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32(t －52)2＋7583. 根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小，为7583. 即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，最小面积为7583 cm 2.。
【人教版】八年级数学上册第27章《相似》单元检测卷14套(含答案)
第一学期八年级数学期末复习专题相似三角形姓名：_____________班级：____________得分：______________一选择题：1.下列说法正确的是（）(A)两个矩形一定相似． (B) 两个菱形一定相似．(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．2.下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中,如果对应边成比例,那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例,那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④3.如图,菱形ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,M.N分别是边AB.AD 的中点,连接OM.ON.MN,则下列叙述正确的是（）A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形4.如图,在△ABC中,点D.E分别在边AB.AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.=D.=5.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.6.如图,P是△ABC的边AC上一点,连接BP,以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A. B. C.∠ABP=∠C D.∠APB=∠ABC7.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB.AC相交于点D.E,若AD=4,DB=2,则AE：EC值为( )A.0.5B.2C.D.8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,AB=5,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=（）A.2B.C.D.9.若,且,则的值是（）A.14B.42C.7D.10.如图,AD∥BE∥CF,直线l1.l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为( )A.4B.5C.6D.811.如图,P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A,B两点除外）,过P点作一直线,使截得的三角形与Rt△ABC相似,这样的直线可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条12.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点( )．A.(－2a,－2b)B.(－a,－2b)C.(－2b,－2a)D.(－2a,－b)13.如图,在矩形COED中,点D的坐标是（1,3）,则CE的长是（）A.3B.C.D.414.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上的一点,AE⊥EF,下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15.如图所示,若DE∥FG∥BC,AD=DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG （）A.2:6:9B.1:3:5C.1:3:6D.2:5:816.如图所示,一般书本的纸张是对原纸张进行多次对折得到的,矩形ABCD沿EF对折后,再把矩形EFCD沿MN对着,依此类推,若所得各种矩形都相似,那么等于（）A.0.618B.C.D.217.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( )A. B. C. D.218.如图所示,已知△ABC中,BC=8,BC上的高h=4,D为BC上一点,EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F（EF不过A.B）,设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )A. B. C.19.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD.AC于点E,F,则的值是（）A． B． C． D．20.彼此相似的矩形,,,…,按如图所示的方式放置．点,,,…,和点,,,…,分别在直线（k＞0）和x轴上,已知点.的坐标分别为（1,2）,（3,4）,则Bn的坐标是（）A. B. C. D.二填空题:21.如图,若△ADE∽△ACB,且=,DE=10,则BC=____________．22.如图,在△ABC中,D.E分别是边AB.AC上的点,DE∥BC,AD：DB=1：2,S△ADE=1,则S四边形BCED的值为_______．23.如图,上体育课,甲.乙两名同学分别站在C.D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米,甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是米.24.如图,AB是圆O的直径,点C在圆上,CD⊥AB于点D,DE//BC,则图中与△ABC相似三角形共有个．25.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= ．26.如图,已知D.E分别是△ABC的边AB和AC上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,如果AE=1,CE=2,那么EF：BF等于。
人教版八年级数学上册 第27章 相似专题练习：相似三角形的基本模型(含答案)
小专题(三) 相似三角形的基本模型下面仅以X 字型.A 字型.双垂型.M 字型4种模型设置练习，帮助同学们认识相似三角形的基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题． 模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB ＝∠OCD ，则△ABO ∽△CDO .1．(滨州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD ＝13．2．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE ＝∠ACB ， ∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF . 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF . ∴BD CE ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC .3．(潍坊中考)如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：答案不唯一，如：∠A ＝∠BDF ，∠A ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BFD ，∠EDA ＝∠BFD ，DF ∥AC ，BD AE ＝BF ED ，BD DE ＝BF AE 等，可以使得△FDB 与△ADE相似．(只需写出一个)4．(福州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD .(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；(2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52. ∴AD 2＝AC ·CD . (2)∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC . ∴AB BD ＝AC BC. 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD .∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(C)A．3B．4C．5D．66．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B) A．3 6 B．15C．9 5 D．3＋3 57．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝313．模型4M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．8．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，求AB 的长．解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴∠B ＝∠D ＝90°. ∴∠ACB ＋∠A ＝90°. ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠A ＝∠ECD . ∴△ABC ∽△CDE . ∴AB CD ＝BC DE. 又∵C 是线段BD 的中点，ED ＝1，BD ＝4，∴BC ＝CD ＝2. ∴AB ＝4.9．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°.∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°. ∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DEF . ∴△ABE ∽△DEF .(2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，∴AE＝DE＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF，∴ABDE＝AEDF，即42＝2DF.∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.∴EDCG＝DFCF，即2GC＝13.∴GC＝6.∴BG＝BC＋GC＝10.。
人教版八年级数学上册 27.2 相似三角形(1)同步练习(附答案解析)
27、2相似三角形同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有( )、A、对B、对C、对D、对2、如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，，，，则的值是（）、A、B、C、D、3、如图，已知，，则( )、A、B、C、D、4、同一时刻，身高1、6米的小华在阳光下的影长为0、8米，一棵树的影长为4、8米，则这棵树的高度为( )、A、米B、米C、米D、米5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是( )、A、B、C、D、6、若，则可得比例式（）、A、B、C、D、7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）、A、B、C、D、8、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A、原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B、关于原点对称C、关于轴对称D、关于轴对称9、如图，在中，，若，则（）A、B、C、D、10、如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是和及，那么的值（）A、有无数个B、有个以上，但有限C、可以有个D、只有个11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（）A、B、C、D、12、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为（）．A、B、C、D、13、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A、B、C、D、14、若，且，则的值是（）A、B、C、D、15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于_________,周长比等于______，面积的比等于______、17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的、18、引理：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所的三边与原三角形三边对应成比例、即，已知：如图，，交于点、于点、则有、19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是( , )、( , )、( , )20、已知，则．（分数写成a/b形式）三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、小李家到学校的距离是，在本市地图上的距离为，问这张地图的比例尺是多少?22、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．23、如图，，是的内切圆，分别切于点，连接．的延长线交于点，．(1) 求证：四边形为正方形．(2) 求的半径．(3) 求的长．27、2相似三角形同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有( )、A、对B、对C、对D、对【答案】B【解析】解：，，，，、故正确答案是对、2、如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，，，，则的值是（）、A、B、C、D、【答案】C【解析】解：，，，，，，，、故正确答案是、3、如图，已知，，则( )、A、B、C、D、【答案】B【解析】解：，、，，即,，、故正确答案是、4、同一时刻，身高1、6米的小华在阳光下的影长为0、8米，一棵树的影长为4、8米，则这棵树的高度为( )、A、米B、米C、米D、米【答案】D【解析】解：根据题意得人的身高和人的影长与树的高度和影长成比例得到树的高度为(米)、故正确答案是9、6米、5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是( )、A、B、C、D、【答案】B【解析】解：，这四条线段是能构成比例的线段、，这四条线段是能构成比例的线段、，这四条线段是能构成比例的线段、，这四条线段不是能构成比例的线段、故正确答案是、6、若，则可得比例式（）、A、B、C、D、【答案】A【解析】解：把等积式，转化成比例式，可以是：、、、、等、故正确答案为：、7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）、A、B、C、D、【答案】B【解析】解：求两条线段的比值时，两条线段的长度单位必须统一故正确答案为、8、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A、原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B、关于原点对称C、关于轴对称D、关于轴对称【答案】D【解析】解：∵横坐标都乘以，纵坐标不变，∴对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴对应点关于轴对称，∴所得图形关于轴对称，9、如图，在中，，若，则（）A、B、C、D、【答案】C【解析】解：，．10、如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是和及，那么的值（）A、有无数个B、有个以上，但有限C、可以有个D、只有个【答案】C【解析】解：根据题意，两条边长分别是和的直角三角形有两种可能，一种是和为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为；另一种可能是是直角边，而是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得；第二种是，解得．所以可以有个．11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（）A、B、C、D、【答案】A【解析】解：与是位似图形，且与的位似比是，的面积是，与的面积比为，则的面积是．12、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为（）．A、B、C、D、【答案】B【解析】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高米，则，．13、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A、B、C、D、【答案】C【解析】解：如图，，，三角尺与影子是相似三角形，三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比为．14、若，且，则的值是（）A、B、C、D、【答案】A【解析】解：设，则，又，则，得，即，所以．15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A、B、C、D、【答案】C【解析】解：，，中两边分别不是夹这两个角的边，不能证明两个三角形相似．其他选项均可以证明，故为正确答案．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于_________,周长比等于______，面积的比等于______、【答案】，，【解析】已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于,周长比等于，面积比等于、故答案为：，，、17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的、【答案】相似三角形的对应边成比例【解析】解：测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形对应边成比例的原理而设计的、故答案为：相似三角形的对应边成比例、18、引理：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所的三边与原三角形三边对应成比例、即，已知：如图，，交于点、于点、则有、【答案】截得的三角形【解析】解：平行线分线段成比例定理有一个推论是：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例、故答案为截得的三角形、19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是( , )、( , )、( , )【答案】-6、0、3、3、0、-3【解析】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应点的坐标分别是：、、．20、已知，则．（分数写成a/b形式）【答案】6【解析】解：由比例的性质，得，．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、小李家到学校的距离是，在本市地图上的距离为，问这张地图的比例尺是多少?【解析】解：，根据比例尺图上距离:实际距离得这张地图的比例尺是、即它的比例尺是、答：这张地图的比例尺是、22、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．【解析】解：设正方形的边长为，则，是正方形，，，，即，解得，所以，这个正方形零件的边长是．23、如图，，是的内切圆，分别切于点，连接．的延长线交于点，．(1) 求证：四边形为正方形．【解析】证明：是的内切圆，分别切于点，，四边形是矩形，，四边形为正方形．(2) 求的半径．【解析】解：由题意可得：，，，设的半径为，则，解得：，故的半径为．(3) 求的长．【解析】解：的半径为，，，，设，在中，，解得：，．。
人教版八年级数学上册 27.2 相似三角形(3)同步练习(附答案解析)
27.2相似三角形同步练习(三)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如果，则下列各式中不成立的是（）A.B.C.D.2、若四条线段成比例，且则线段的长为（）A.B.C.D.3、如图，四边形的对角线、相交于点，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是( )A. ②和④相似B. ①和④相似C. ①和③相似D. ①和②相似4、已知，点、、对应点分别是、、，，等于( )A.B.C.D.5、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A. 原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B. 关于原点对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称6、如图，已知，与相交于点，，那么下列式子正确的是（）A.B.C.D.7、如图，直线，两直线和与分别相交于点和点．下列各式中，不一定成立的是（）A.B.C.D.8、如图，已知，，，，则的值为（）A.B.C.D.9、以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A.B.C.D.10、若，则等于（）A.B.C.D.11、如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，在上取一点，使，连接．对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A. ①②B. ①②③C. ①④D. ①②④12、阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离米，窗口高米，则窗口底边离地面的高为（）A. 米B. 米C. 米D. 米13、如图，一个斜边长为的红色三角形纸片，一个斜边长为的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A.B.C.D.14、如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（）A.B.C.D.15、如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的面积是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，在平行四边形中，，与相交于点，则_______．17、将边长为的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为_________.18、如图，已知，，，且，则.19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是(, )、(, )、(, )20、如图，在中，，，为边上的高．动点从点出发，沿→方向以的速度向点运动．设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒（），则秒时，．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、阳光下，小亮测量“望月阁”的高．（如图），由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线上点处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点时，看到“望月阁”顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从点沿方向走了米，到达“望月阁”影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米．已知，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高的长度．22、如图，已知、分别是等边的边、上的点，，，，求的边长.23、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．27.2相似三角形同步练习(三) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如果，则下列各式中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，可设，，，选项正确，不能选；，选项正确，不能选；，选项正确，不能选；，选项错误；故正确答案为：．2、若四条线段成比例，且则线段的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意得：，即，解得，故答案为：.3、如图，四边形的对角线、相交于点，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是( )A. ②和④相似B. ①和④相似C. ①和③相似D. ①和②相似【答案】C【解析】解：，又，．故正确答案是：①和③相似．4、已知，点、、对应点分别是、、，，等于( )A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，故选：．5、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A. 原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B. 关于原点对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称【答案】D【解析】解：∵横坐标都乘以，纵坐标不变，∴对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴对应点关于轴对称，∴所得图形关于轴对称，6、如图，已知，与相交于点，，那么下列式子正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，，．7、如图，直线，两直线和与分别相交于点和点．下列各式中，不一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：直线，，，，故选项不一定成立．故正确答案是：8、如图，已知，，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，，即，解得．9、以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，故本选项正确；，故本选项正确；，故本选项错误；，故本选项正确．10、若，则等于（）B.C.D.【答案】A【解析】解：，，．11、如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，在上取一点，使，连接．对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A. ①②B. ①②③C. ①④【答案】D【解析】解：为直径，，，而，，所以①正确；，，而，，，，，，所以②正确；不能确定为直角三角形，不能确定等于，与不能确定相等，所以③错误；，点在以为直径的圆上，，，而，，为的切线，所以④正确．综上，正确的有①②④．12、阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离米，窗口高米，则窗口底边离地面的高为（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】解：连接、，光是沿直线传播的，，，，即，解得：．13、如图，一个斜边长为的红色三角形纸片，一个斜边长为的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：如图，正方形的边，，，，，，设，则，，，在中，，即，解得，红、蓝两张纸片的面积之和为．14、如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，，，，，，，．故正确答案是：15、如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：平分，；又四边形是平行四边形，，，，，垂足为，．在中，，，，，；．，，，．，，，则．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，在平行四边形中，，与相交于点，则_______．【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，，，，，，，又两个三角形以为顶点时高相同，，故正确答案为：．17、将边长为的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为_________.【答案】【解析】解：如图，、、、、、分别为各边的三等分点，，，为等边三角形，，，，，为等边三角形，同理，都是边长为的等边三角形，.正确答案是：.18、如图，已知，，，且，则.【答案】10【解析】解：过点作的平行线，分别交于点、交于点、交于点.，，，，，，，四边形、、都是平行四边形，.，即，，.，，即，，，，.，.，，，，，，..故答案为：.19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是(, )、(, )、(, )【答案】-6、0、3、3、0、-3【解析】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应点的坐标分别是：、、．20、如图，在中，，，为边上的高．动点从点出发，沿→方向以的速度向点运动．设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒（），则秒时，．【答案】6【解析】解：中，，，为边上的高，，又，则，，，，，，，，，解得．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、阳光下，小亮测量“望月阁”的高．（如图），由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线上点处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点时，看到“望月阁”顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从点沿方向走了米，到达“望月阁”影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米．已知，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高的长度．【解析】解：，，由题意得：，，故，则，即解得：答：“望月阁”的高的长度为．22、如图，已知、分别是等边的边、上的点，，，，求的边长.【解析】解：为等边三角形，，.设的边长，那么，.，，.，，..又，....即的边长是.23、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．【解析】解：设正方形的边长为，则，是正方形，，，，即，解得，所以，这个正方形零件的边长是．。
人教版八年级数学上册 第27章相似 2018届检测卷(含答案)
第二十七章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察下列每组图形，相似图形是()2．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是()A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，33．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为()A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶ 54．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB的值为()A．3∶5∶4 B．1∶3∶2 C．1∶4∶2 D．3∶6∶5第4题图第5题图第7题图第8题图5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E.若线段DE ＝5，则线段BC的长为()A．7.5 B．10 C．15 D．206．下列四组图形中，一定相似的图形是()A．各有一个角是30°的两个等腰三角形；B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形；C．各有一个角是120°的两个等腰三角形；D．各有一个角是直角的两个三角形7．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE的长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了( )A ．0.5米B ．0.6米C ．0.3米D ．0.9米8．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( ) A ．(2，2)，(3，2) B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)9．如图，为测量河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AD 与BC 交于点E .若测得BE ＝15m ，EC ＝9m ，CD ＝16m ，则河的宽度AB 为( )A ．35m B.653m C.803m D.503m第9题图 第11题图 第12题图10．如图，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )11．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是( )A.EA BE ＝EG EFB.EG GH ＝AG GDC.AB AE ＝BC CFD.FH EH ＝CF AD12．将一个三角形和一个矩形按照如图所示的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )A ．新三角形与原三角形相似B ．新矩形与原矩形相似C ．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D ．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似13．如图，已知在等腰△ABC 中，顶角∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线，则AD AC的值为( )A.12B.5－12 C ．1 D.5＋12第13题图 第14题图 第15题图14．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D ，E ，F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是( )A ．5B ．10C ．25D ．5015．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是AB ︵的中点，点D 是AC ︵的中点，连接AC ，BD 交于点E ，则DE BE等于( ) A.15 B.316 C ．1－22 D.2－1216．如图，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC ＝FG ；②S △F AB ∶S四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ ·AC ，其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第16题图 第17题图 二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)17．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件______________，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．18．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为________尺．19．如图所示，n ＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2……△B n ＋1D n C n 的面积为S n ，则S 1＝________，S n ＝________(用含n 的式子表示)．三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(8分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝3.求AE AC的值．21．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，点D 为BC 上一点，BD ＝2.过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE ＝∠B .求线段EC 的长度．22．(9分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC (顶点是网格线的交点)．(1)将△ABC向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画一个格点三角形A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.23．(9分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC 于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．24．(10分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯CD 的高．25．(11分)如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)，双曲线y ＝k x(x >0)的图象经过BC 上的点D 与AB 交于点E ，连接DE ，若E 是AB 的中点． (1)求点D 的坐标；(2)点F 是OC 边上一点，若△FBC 和△DEB 相似，求点F 的坐标．26．(12分)如图①所示，在△ABC 中，点O 是AC 上一点，过点O 的直线与AB ，BC 的延长线分别相交于点M ，N .【问题引入】(1)若点O 是AC 的中点，AM BM ＝13，求CN BN的值； 温馨提示：过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G .【探索研究】(2)若点O 是AC 上任意一点(不与A ，C 重合)，求证：AM MB ·BN NC ·CO OA＝1； 【拓展应用】(3)如图②所示，点P 是△ABC 内任意一点，射线AP ，BP ，CP 分别交BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F .若AF BF ＝13，BD CD ＝12，求AE CE的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A8．C 9.C 10.C 11.C 12.A 13.B14．C 解析：∵在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，AC ＝102，∴2AB 2＝200，∴AB ＝BC ＝10.设EF ＝x ，则AF ＝10－x .∵EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC ，∴EF BC ＝AF AB ，即x 10＝10－x 10，∴x ＝5，∴EF ＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.15．D 解析：连接AD ，CD ，作AF ∥CD 交BE 于F ，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是AC ︵的中点，∴可设AD ＝CD ＝1，根据平行线的性质得∠AFD ＝∠CDF ＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，则AF ＝ 2.∵∠AFD ＝∠F AB ＋∠ABF ＝45°，又∠ABF ＝22.5°，∴∠F AB ＝∠ABF ，∴BF ＝AF ＝2，∴BD ＝2＋1.∵∠DAC ＝∠ABD ，∠ADB ＝∠ADB ，∴△ADE ∽△BDA ，∴DE AD ＝AD BD ，即DE ＝12＋1＝2－1，∴BE ＝2，∴DE BE ＝2－12. 16．D 解析：∵四边形ADEF 为正方形，∴∠F AD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，∴∠CAD ＋∠F AG ＝90°.∵FG ⊥CA ，∴∠G ＝90°，∴∠F AG ＋∠AFG ＝90°，∴∠CAD ＝∠AFG .在△FGA和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠CAD ，AF ＝AD ，∴△FGA ≌△ACD (AAS)，∴AC ＝FG ，∴①正确；∵BC＝AC ，∴FG ＝BC .∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ，∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF＝90°，S △F AB ＝12FB ·BC ＝12S 四边形CBFG ，∴②正确；∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°，∴③正确；∵∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ ，∴FE ·AD ＝AD 2＝FQ ·AC ，∴④正确．17．∠B ＝∠ACD (或∠ADC ＝∠ACB 或AC 2＝AD ·AB )18．4519.14 n 2（n ＋1）解析：∵n ＋1个边长为1的等腰直角三角形有一条边在同一直线上，∴易知△B 1C 1B 2，△B 2C 2B 3，△B 3C 3B 4，…，△B n C n B n ＋1均为直角边长为1的等腰直角三角形．连接B 1B 2，显然B 3，B 4，B 5，…，B n 都在直线B 1B 2上，且B 1B 2∥AC 1，∴△B 1B 2D 1∽△C 1AD 1，∴B 1D 1∶D 1C 1＝B 1B 2∶AC 1＝1∶1，∴S 1＝12S △B 1C 1B 2＝12×12＝14；同理△B 2B 3D 2∽△C 2AD 2，B 2D 2∶D 2C 2＝B 2B 3∶AC 2＝1∶2，∴S 2＝23×12＝13，∴S 3＝34×12＝38，S 4＝45×12＝25，…，S n ＝n 2（n ＋1）. 20．解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，(4分)∴AE AC ＝DE BC ＝23.(8分) 21．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠ADE ＋∠CDE ，∠B＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，(3分)∴△ABD ∽△DCE .(4分)∴AB DC ＝BD EC.(5分)∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝2，∴DC ＝BC －BD ＝4，∴84＝2EC，∴EC ＝1.(9分) 22．解：(1)作出△A 1B 1C 1，如图所示．(4分)(2)作出△A 2B 2C 2，如图所示．本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A 2B 2C 2满足条件即可．(9分)23．解：(1)AB 是⊙O 的切线．(1分)理由：在△ACE 中，∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＋∠AEC ＝90°，又∵∠CAE ＝∠ADF ，∠AEC ＝∠FDC ，∴∠ADC ＝∠ADF ＋∠FDC ＝∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∴AD ⊥CD ，∴AB 是⊙O 的切线．(4分)(2)连接CF .∵CD 是直径，∴∠CFD ＝90°，∴∠DCF ＋∠FDC ＝90°.∵∠CAE ＋∠AEC＝90°，∠AEC ＝∠FDC ，∴∠PCF ＝∠P AC .又∠CPF ＝∠APC ，∴△PCF ∽△P AC ，∴PC P A＝PF PC ，∴PC 2＝PF ·P A .(7分)设PF ＝a ，则PC ＝2a ，∴4a 2＝a (a ＋5)，∴a ＝53或a ＝0(舍去)，∴PC ＝2a ＝103.(9分) 24．解：由题意知AE ＝AM ＝BN ＝1.75m.∵CD ⊥AC ，AM ⊥AC ，∴CD ∥AM ，∴△DCE ∽△MAE .∵AE ＝AM ，AM ⊥EC ，∴△MAE 为等腰直角三角形，∴△DCE 为等腰直角三角形．设CD ＝x m ，则EC ＝x m ，AC ＝EC －EA ＝(x －1.75)m.(4分)∵CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，∴BN ∥CD ，∴△ABN ∽△ACD ，(6分)∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125.(9分) 答：路灯CD 的高为6.125m.(10分)25．解：(1)∵四边形OABC 为矩形，E 为AB 的中点，点B 的坐标为(2，3)，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32.∵点E 在反比例函数上，∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x.(3分)∵四边形OABC 为矩形，∴点D 与点B 的纵坐标相同，将y ＝3代入y ＝3x 可得x ＝1，∴点D 的坐标为(1，3)．(5分)(2)由(1)可得BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝BC －CD ＝1.∵E 为AB 的中点，∴BE ＝32.(6分)若△FBC ∽△DEB ，则BC BE ＝CF BD ，即232＝CF 1，∴CF ＝43，∴OF ＝CO －CF ＝3－43＝53，∴点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53；(8分)若△FBC ∽△EDB ，则BC DB ＝FC EB ，即21＝FC 32，∴FC ＝3.∵CO ＝3，∴点F 与点O 重合，∴点F 的坐标为(0，0)．(10分)综上所述，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53或(0，0)．(11分)26．(1)解：过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G .∵ON ∥AG ，∴CO AO ＝CN NG.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，∴NG ＝CN .(2分)∵MN ∥AG ，∴NG BN ＝AM MB ，∴CN BN ＝NG BN ＝AM MB＝13.(4分) (2)证明：由(1)可知NG BN ＝AM MB ，CO AO ＝CN NG ，∴AM MB ·BN NC ·CO AO ＝NG BN ·BN NC ·CN NG＝1.(7分) (3)解：在△ABD 中，点P 是AD 上一点，过点P 的直线与AB ，BD 的延长线分别相交于点F ，C .由(2)可得AF BF ·BC CD ·DP P A＝1.(9分)在△ACD 中，过点P 的直线与AC ，CD 的延长线分别相交于点E ，B .由(2)可得AE CE ·BC BD ·DP P A ＝1.(9分)∴AF BF ·BC CD ·DP P A ＝AE CE ·BC BD ·DP P A ，∴AE CE ＝AF BF ·BD CD ＝13×12＝16.(12分)。
人教版八年级数学上册 第27章 相似 2018年春达标检测卷(含答案)
第二十七章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为( )A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C ．a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3 2．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(第3题) (第4题) (第5题)4．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2) 5．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式是( )A ．b ＝a ＋cB ．b ＝acC ．b 2＝a 2＋c 2D ．b ＝2a ＝2c6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为；④两个相似多边形的面积比为，则周长的比为、其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C ，D ，E为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)8．如图，已知D ，E ，F 分别为等腰△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，AB ＝AC ，BD ＝2，CD ＝3，CE ＝4，AE ＝32，∠FDE ＝∠B ，则AF 的长为( )A ．5、5B ．4、5C ．4D ．3、5 9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE EC ＝，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF S △EBF S △ABF ＝( )A ．B ．C ．D ．10．如图，在△ABC 中，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC ＝FG ；②S △F AB ∶S 四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ ·AC ，其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 二、填空题 (每题3分，共30分)11．比例尺为1∶4000 000的地图上，两城市间的图上距离为3 cm ，则这两城市间的实际距离为________km 、12．如图，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，请补充一个条件：________________，使Rt △ABC ∽Rt △ADE 、13．如图，在▱ABCD 中，E 在DC 上，若DE EC ＝，则BF BE ＝________、(第12题) (第13题) (第14题) (第15题)14．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF ＝1，则BC ＝________，△ADE 与△ABC 的周长之比为________，△CFG 与△BFD 的面积之比为________．15．如图，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠ABC ＝∠AED 、若DE ＝4，AE ＝5，BC ＝8，则AB 的长为________．16．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题)17．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝102、四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D ，E ，F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．18．如图，身高为1、7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A ，E ，C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 cm ，BE ＝3 m ，则树CD 的高度为________．19．如图，A ，B ，C ，D 依次为一直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A ，D ，E 三点，且∠AOD ＝120°，设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为________．20．在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，3)，在x 轴上取一点C ，使以B ，O ，C 为顶点的三角形与△AOB 相似，请写出符合条件的C 点坐标：____________、三、解答题(第21～25题每题8分，第26、27题每题10分，共60分) 21．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝3、求AEAC的值．(第21题)22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，点D 为BC 上一点，BD ＝2、过点D 作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B、求线段EC的长度．(第22题)23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′、(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；(不要求写画法)(2)计算△A′B′C′的面积．(第23题) 24．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”，它的西面45 m处有一高16 m的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走12 m．求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部的“明珠”部分的高度)．(第24题)25．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？(第25题)26．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P 、(1)若PC ＝PF ，求证：AB ⊥DE ；(2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ，为什么？(第26题)27．如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE 、 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α、(1)当α＝0°和α＝180°时，求AE BD 的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． (3)当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，求线段BD 的长．(第27题)参考答案一、1、B 2、A 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、C 9、D10．D 点拨：∵四边形ADEF 为正方形，∴∠F AD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，∴∠CAD ＋∠F AG ＝90°、∵FG ⊥CA ，∴∠G ＝90°＝∠ACB ，∴∠DAC ＝∠AFG 、在△FGA 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠DAC ，AF ＝DA ，∴△FGA ≌△ACD (AAS )，∴AC ＝FG ，①正确；∵BC ＝AC ，∴FG＝BC 、∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ，∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF ＝90°，S △F AB ＝12FB ·FG ＝12S 四边形CBFG ，②正确；∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABF＝45°，③正确；易知∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ ，∴AD ·FE ＝AD 2＝FQ ·AC ，④正确．二、11、12012、AC BC ＝AEDE (答案不唯一)13．14、2；；15．10 点拨：∵∠ABC ＝∠AED ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△AED ∽△ABC ，∴AE AB＝DE CB ，∴5AB ＝48，∴AB ＝10、 16．(3，3) 17．25 18．5、1 m 19．y ＝4x(x ＞0)20．(－4，0)，⎝⎛⎭⎫94，0，⎝⎛⎭⎫－94，0三、21、解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC 、 ∴AE AC ＝DE BC ＝23、 22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C 、∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ，而∠B ＝∠ADE ， ∴∠BAD ＝∠CDE ， ∴△ABD ∽△DCE 、∴AB DC ＝BD EC、 ∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝2， ∴DC ＝BC －BD ＝4， ∴84＝2EC ，∴EC ＝1、 23．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6、(第23题)24．解：设AE ＝h ，∵CD ∥AB ，∴△F AB ∽△FCD ，∴AF CF ＝ABCD ，即AF AF －45＝h ＋1616，∴AF ＝45（h ＋16）h 、同理易证△AGE ∽△CGD ，∴AG CG ＝AECD ，即AG AG －45＝h 16，∴AG ＝45hh －16、又∵AG －AF ＝12，∴45h h －16－45（h ＋16）h ＝12、整理得h 2－16h －960＝0，∴h ＝40或h ＝－24(不合题意，舍去)． ∴大厦主体建筑的高度AE 为40 m 、25．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时， △QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2、(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·AB ＋12AP ·BC ＝(36－6t )＋6t ＝36、在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝APBC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t 6，即t ＝1、2；②当QA BC ＝APAB 时，△P AQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3、所以当t ＝1、2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似． 26．(1)证明：如图，连接OC 、∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC ＝∠AFH 、 又∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCF ＋∠ACO ＝90°、 ∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠CAO 、 ∴∠AFH ＋∠CAO ＝90°、 ∴∠FHA ＝90°、∴AB ⊥DE 、(第26题)(2)解：点D 在AC ︵的中点时，AD 2＝DE ·DF 、 理由如下：如图，连接AE ， ∵点D 是AC ︵的中点， ∴DC ︵＝DA ︵， ∴∠CAD ＝∠AED 、 又∵∠ADE ＝∠FDA ， ∴△ADF ∽△EDA ， ∴AD ED ＝DF DA， ∴AD 2＝DE ·DF 、27．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4、∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC 、∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝45，∴AE ＝CE ＝25，∴AE BD ＝254＝52、当α＝180°时，如图①，易得AC ＝45，CE ＝25，CD ＝4，∴AE BD＝AC ＋CE BC ＋CD ＝45＋258＋4＝52、(第27题)(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，∴CE CA ＝CDCB，∠EDC ＝∠B ＝90°、 如题图②，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴CE CA ＝CDCB仍然成立． 又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△ACE ∽△BCD ，∴AE BD ＝ACBC 、在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋82＝45、 ∴AC BC ＝458＝52，∴AE BD ＝52，∴AE BD的大小不变． (3)当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，∴BD ＝AC ＝45；当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD ＝AC 2－CD 2＝8、又易知DE ＝2，∴AE ＝6、∵AE BD ＝52，∴BD ＝1255、综上，BD 的长为45或1255、。
新人教版第27章 相似 典型练习(含详细解析)
27 相似典型练习一、选择题（本大题共5小题，共16.0分）1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A. B. C. D.2.如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A.B.C.D. 14m3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A. 3cmB.C.D.4.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共32.0分）6.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则=______．7.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为______．8.如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为______．9.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．10.如图，AB为⊙O的直径，AB=4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ=AB2．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为______．11.如图，在纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同的剪法，那么长的取值范围是___________________.12.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=______．13.如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为______．14.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=______．15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共83.0分）16.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．19.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF=BF•CF．（1）求证：AD•AB=AE•AC；的值．（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与△△20.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．21.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E 作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．22.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．23.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′=CE'；（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．2.【答案】B【解析】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．3.【答案】D【解析】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=，故选：D．根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．4.【答案】C【解析】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=×90°=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF=CF③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴==，∵EG∥CD，∴==，∴=，∵AD=AE，∴EG•AE=BG•AB，故④正确，故选：C．①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得==，由EG∥CD，推出==，推出=，由AD=AE，EG•AE=BG•AB，故④正确，本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．6.【答案】2【解析】解：∵=，∴=2，∵l1∥l2∥l3，∴==2，故答案为：2．根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7.【答案】【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．8.【答案】1：9【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解.【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：9.故答案为1：9.9.【答案】6-2【解析】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3-，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6-2，故答案为6-2．如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得=，延长构建方程即可解决问题；本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】4【解析】解：如图所示：连接AQ．∵BP•BQ=AB2，∴=．又∵∠ABP=∠QBA，∴△ABP∽△QBA，∴∠APB=∠QAB=90°，∴QA始终与AB垂直．当点P在A点时，Q与A重合，当点P在C点时，AQ=2OC=4，此时，Q运动到最远处，∴点Q运动路径长为4．故答案为：4．连接AQ，首先证明△ABP∽△QBA，则∠APB=∠QAB=90°，然后求得点P与点C重合时，AQ的长度即可．本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，证得△ABP∽△QBA是解题的关键．11.【答案】3≤AP＜4【解析】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP＜4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．故答案为：3≤AP＜4．分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．12.【答案】或【解析】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②如图2，当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．分两种情形分别求解：①如图1,当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②如图2，当AQ=PQ，∠PQB=90°时；本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题. 【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，，∵CG=DG，CF=FB，∴，∵AG⊥FG，∴∠AGF=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DAG=∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，∴=，∴=，∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴，在Rt△GCF中，，∴，∴AB=2b=2.故答案为2.14.【答案】1+【解析】解：作CH⊥AB于H．∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=2BH=2•BC•cos30°=BC，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，∴∠PAB=∠PBC，∴△PAB∽△PBC，∴===，∵PA=，∴PB=1，PC=，∴PB+PC=1+．故答案为1+．作CH⊥AB于H．首先证明BC=BC，再证明△PAB∽△PBC，可得===，即可求出PB、PC；本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．15.【答案】【解析】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4-x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME==，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=，∴AF==．故答案为：．取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF= x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，16.【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2-x，EC=2-y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2-x，x=2-2，代入y=x+2，解得：y=4-2，即AE=4-2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2-y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4-2或．【解析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2-x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2-y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．17.【答案】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴∴CF=，∴AC=2AF=．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．18.【答案】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．∵E是AC的中点，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，∴∠BCD=∠ADE．又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，∴DF2=BF•CF．（2）∵AE•AC=AG•AD，∴=．∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，∴=．由（1）知：△CFD∽△DFB，∴=，∴=，∴EG•CF=ED•DF．【解析】（1）由∠ACB=90°、CD⊥AB利用同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，由E是AC的中点利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE=AE，进而可得出∠ADE=∠A，结合对顶角相等可得出∠FCD=∠FDB，再结合公共角∠CFD=∠DFB，即可证出△CFD∽△DFB，根据相似三角形的性质可证出DF2=BF•CF；（2）由AE•AC=AG•AD结合∠A=∠A可证出△AEG∽△ADC，根据相似三角形的性质可求出∠AEG=∠ADC=90°，结合∠ACB=90°可得出EG∥BC，进而可得出=，根据（1）△CFD∽△DFB可得出=，等量替换后可得出=，进而即可证出EG•CF=ED•DF．本题考查了相似三角形的判定与性质、互余、平行线的判定与性质以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质找出△CFD∽△DFB；（2）根据相似三角形的性质及平行线的性质找出=、=．19.【答案】证明：（1）∵EF•DF=BF•CF，∴，∵∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF=∠B，∴∠B=∠AED，∵∠CAB=∠DAE，∴△CAB∽△DAE，∴，∴AD•AB=AE•AC；（2）由（1）知AD•AB=AE•AC，∴AD=6，BD=6，EC=1，∵△，△∴△，四边形∵△，△∴△，四边形∴△=28．△【解析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可．本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．20.【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ADC =90°， ∴∠CDF +∠ADF =90°，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90°，∴∠DAF +∠ADF =90°，∴∠DAF =∠CDF ，∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠FCD +∠DGF =180°，∵∠FGA +∠DGF =180°，∴∠FGA =∠FCD ，∴△AFG ∽△DFC ．（2）如图，连接CG ．∵∠EAD =∠AFD =90°，∠EDA =∠ADF ，∴△EDA ∽△ADF ，∴ = ，即 = ，∵△AFG ∽△DFC ，∴ = ，∴= ，在正方形ABCD 中，DA =DC ，∴AG =EA =1，DG =DA -AG =4-1=3，∴CG = =5，∵∠CDG =90°，∴CG 是⊙O 的直径，∴⊙O 的半径为 ．【解析】 （1）欲证明△AFG ∽△DFC ，只要证明∠FAG=∠FDC ，∠AGF=∠FCD ；（2）首先证明CG 是直径，求出CG 即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）∵AC 是⊙O 的切线，∴CA ⊥AB ，∵EH ⊥AB ，∴∠EHB =∠CAB ，∵∠EBH =∠CBA ，∴△HBE ∽△ABC ．（2）连接AF ．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴CA2=CF•CB=36，∴CA=6，AB==3，AF==2，∵=，∴∠EAF=∠EAH，∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH，∵AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF=AH=2，设EF=EH=x，在Rt△EHB中，（5-x）2=x2+（）2，∴x=2，∴EH=2．【解析】（1）根据切线的性质即可证明：∠CAB=∠EHB，由此即可解决问题；（2）连接AF．由△CAF∽△CBA，推出CA2=CF•CB=36，推出CA=6，AB==3，AF==2，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF=AH=2，设EF=EH=x，在Rt△EHB中，可得（5-x）2=x2+（）2，解方程即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．22.【答案】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、BC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，又∵AB•BC=AC2，∴BD2=AC2，∴=．【解析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．23.【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BD=AE=EC．由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．∴AD′=AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．（2）连接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形．∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．∴∠DBD′=∠DD′B=30°，∴∠BD′A=90°．∵∠D′AE′=90°，∴∠BAE′=30°，∴∠BAE′=∠ABD′，又∵∠BFD′=∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，∴．∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′==，∴=．【解析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′=AE′，然后再利用SAS证明△BD′A≌△CE′A，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接DD′，先证明△ADD′为等边三角形，然后再证明△△ABD′为直角三角形，接下来，再证明△BFD′∽△AFE′，最后，依据相似三角形的性质求解即可．本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键．。