湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题
绝密★启用前湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}，则C U A=（）A. {1,3,6,7}B. {1,3,5,7}C. {2,4,6}D. φ2．幂函数y=xα（α是常数）的图象（）A. 一定经过点(0,0)B. 一定经过点(−1,−1)C. 一定经过点(1,1)D. 一定经过点(1,−1)3．若直线l1:2x−ay−1=0过点(1,1)，l2:x+2y=0，则直线l1与l2（）A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点(2,−1)4．阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是20、32、77，则输出的a、b、c分别是（）A. 20、32、77B. 77、20、32C. 32、20、77D. 77、32、205．设a=313,b=(14)3.1,c=log0.43，则a,b,c的大小关系为（）A. c<a<bB. c<b<aC. b<a<cD. a<b<c6．已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围为( ) A. (−∞,1] B. (−∞,1) C. (−2,0) D. [−2,0]7．设f(x)={2e x−1,x＜2，log3(x2−1)，x≥2.则f(f(2))的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38．已知圆(x+a)2+y2=4截直线x−y−4=0所得的弦的长度为2√2，则a等于（）A. ±2√2 B. 6 C. 2或6 D. −2或−69．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A. 若l⊥α,α⊥β，则l⊂βB. 若l∥α,α∥β，则l⊂βC. 若l∥α,α⊥β，则l⊥βD. 若l⊥α,α∥β，则l⊥β10．函数f(x)=xln|x|的大致图象是（）A. B.C. D.11．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A. 4+π3B. 8+π3C. 4+83π D. 8+83π12．点P(x,y)是直线kx+y+3=0上一动点，PA,PB是圆C:x2+y2−4y=0的两条切线，A,B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为（）A. 2√2B. ±2√2C. 2D. ±2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若函数y =f(x)的定义域为[0,3]，则函数g (x)=f(3x)x−1的定义域是__________．14．若点P 在圆C 1:(x −2)2+(y −2)2=1上，点Q 在圆C 2:(x +2)2+(y +1)2=4上，则|PQ |的最小值是__________． 15．已知在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是_________．16．已知函数f K (x)的定义域为实数集R ，满足f K (x)={1,x ∈K,0,x ∉K （K 是R 的非空真子集），若在R 上有两个非空真子集M,N ，且M ∩N =∅，则F(x)=f M (x)+f N (x)+1f M∪N (x)+1的值域为__________．三、解答题17．设集合A ={x|−1<x <2},B ={x|2a −1<x <2a +3}. （1）若A ⊆B ，求a 的取值范围； （2）若A ∩B =∅，求a 的取值范围. 18．已知函数f(x)=kx 2−2x +4k .（1）若函数f(x)在R 上恒小于零，求实数k 的取值范围；（2）若函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围.19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD =60∘，AB =2，PD =√3，AD =BD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若PE =2EB ，求二面角E −AC −B 的大小.20．已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切，过点B(−4,0)的动直线l 与圆A 相交于M,N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当|MN|=2√11时，求直线l 的方程.21．已知函数f(x)的定义域为R ，若对于任意的实数x,y ，都有f(x)+f(y)=f(x +y)，且x >0时，有f(x)>0.（1）判断并证明函数f(x)的单调性；（2）设f(1)=1，若f(x)<m 2−2am +1对所有x ∈[−1,1],a ∈[−2,2]恒成立，求实数m的取值范围.22．已知圆O:x2+y2=2，直线l过点M(32,32)，且OM⊥l，P(x0,y0)是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N′是N关于x轴的对称点.（1）求直线l的方程；（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30∘，求x0的取值范围；（3）已知A,B是圆O上不同的两点，且∠ANN′=∠BNN′，试证明直线AB的斜率为定值.参考答案1．A【解析】试题分析：因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}，则由集合的补集的定义可得C U A= {1,3,6,7}，故选A.考点：集合的补集.2．C【解析】试题分析：因为α<0时，幂函数y=xα的图象不过(0,0)点，故A错；α是偶数时幂函数y=xα的图象不过(−1,−1)点，故B错；由幂的运算性质，令x=1，对任意的α∈R总有y=1，即幂函数y=xα的图象一定经过点(1,1)，故选C.考点：幂函数的性质.3．C【解析】试题分析：∵直线l1:2x−ay−1=0过点(1,1),∴2−a−1=0,∴a=1，∴直线l1:2x−y−1=0的斜率为2,∵l2:x+2y=0的斜率为−12,∴直线l1:2x−y−1=0与l2:x+2y=0互相垂直，故选C考点：两直线垂直的性质.4．B【解析】试题分析：由流程图知，a赋给x,x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为20，c的值赋给a，即输出a为77，b的值赋给c，即输出c为32，故输出a,b,c的值为77,20,32，故选B.考点：程序框图.【点睛】本题主要考查程序框图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．B【解析】试题分析：∵a=313,b=(14)3.1,c=log0.43,∴a=313>30=1,0<b=(14)3.1<(14)0=1,c=log0.43<log0.41=0,∴c<b<a,故选B.考点：指数函数、对数函数的性质.6．C【解析】试题分析：函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为x=−12，故函数在区间(0,1)上单调递增，因为根据函数f(x)在(0,1)上有零点，可得{f(0)=a<0f(1)=2+a>0，求得−2<a<0，故选C.考点：二次函数的性质及零点定理.7．C【解析】略8．D【解析】试题分析：圆心到直线的距离为d=√2，由圆方程可知圆半径为2，根据勾股定理可得(a+4)22+(√2)2=22，解得a=−2或a=−6，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.9．D【解析】试题分析：若l⊥α,α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α,α∥β，则或l∥β，故B错误；若l∥α,α⊥β，则l⊥β或l∥β，故C错误；若l⊥α,α∥β，由两平面平行的性质，我们可得l⊥β，D正确, 故选D.考点：空间直线与平面的位置关系.10．A【解析】试题分析：根据函数的奇偶性可知，y=x是奇函数，y=ln|x|是偶函数，那么f(x)表示的为奇函数与偶函数的之积，那么得到的函数是奇函数，因此排除C,D,在选项B中，令x从右侧趋近于零那么可知函数值为负数，所以说选项B错误，故选A.考点：函数的图象及性质.11．B【解析】试题分析：由三视图可知，此几何体为组何体，下面是棱长为2的正方体，上面是球体的14，且球的半径为1，所以该机器零件的体积为V=23+14×43π×13=8+π3，故选B.考点：几何体的三视图及空间几何体的体积【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.12．D【解析】试题分析：如图，S PACB=2SΔPCB=2×12|PA|·|AC|=2|PA|=2√|PC|2−|AC|2= 2√|PC|2−4,∴当|PC|最小时，面积取最小值，而|PC|最小即为点C到直线l的距离d，又d=√k2+1∴2√d2−4=2⇒k2=4⇒k=±2，故选D.考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及性质及解析几何求最值，属于难题.解决解析几何求最值的问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用直线与圆的几何性质求四边形面积的最值. 13．[0,1) 【解析】试题分析：因为函数y =f(x)的定义域[0,3]，所以函数g(x)=f(3x)x−1应满足：{0≤3x ≤3x −1≠0,0≤x <1,∴g(x)的定义域是[0,1)，故答案为[0,1).考点：函数的定义域.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题，由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出. 14．2 【解析】试题分析：因为圆C 1:(x −2)2+(y −2)2=1的圆心坐标C 1(2,2)，半径r =1，圆C 2:(x +2)2+(x +1)2=2圆心(−2,−1)，半径R =2，d =|C 1C 2|=5>2+1=R +r ，∴两圆的位置关系是外离，又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(R +r)=5−3=2，故答案为2.考点：圆的方程及圆与圆的位置关系. 15．60° 【解析】试题分析：如图，取BC 中点E ，连接DE,AE,AD ，因为三棱柱为正三棱柱，可得得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角.设各棱长为1，则AE =√32,DE =12,tan∠ADE =AE DE=√3212=√3,∴∠ADE =60∘，故答案为60∘.考点：正棱柱的性质及直线与平面成的角. 16．{1} 【解析】试题分析：当x ∈C R (M ∪N)时，∵M ∩N =ϕ，所以x ∉M ∪N,x ∉M,x ∉N,f M∪N (x)=0,f M (x)=0,f N (x)=0,∴F(x)=1，；当x ∈N 时，x ∉M,x ∈M ∪N,f M∪N (x)=1,f M (x)=0,f N (x)=1,∴F(x)=1；当x ∈M 时，x ∉N,x ∈M ∪N,f M∪N (x)=1,f M (x)=1,f N (x)=0,∴F(x)=1；故F(x)={1,x ∈M1,x ∈N 1,x ∈C R (M ∪N)，即值域为{1}，故答案为{1}. 考点：函数的值域及新定义问题.17．（1）−12≤a ≤0.；（2）a ≥32或a ≤−2.【解析】 试题分析：（1）由A 为B 的子集可列不等式组确定出a 的范围；（2）由A 与B 的交集为空集列不等式组确定出a 的范围即可.试题解析：（1）∵A ⊆B ，∴{2a −1≤−12a +3≥2，解得−12≤a ≤0.（2）∵A ∩B =∅，∴2a −1≥2或2a +3≤-1，解得a ≥32或a ≤−2. 考点：集合的基本运算. 18．（1）k <−12；（2）k ≤14. 【解析】试题分析： (1)结合 二次函数的图象，函数f(x)在R 上恒小于零，可得{k <0Δ<0⇒{k <04−16k 2<0进而得实数k 的范围；（2）根据二次函数的单调性，讨论 k >0，k =0，k <0三种情况，只需[2,4]是函数减区间的子集即可.试题解析：（1）由题意得：{k <0Δ<0⇒{k <04−16k 2<0，解得k <−12.（2）因为函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，①若k >0，则只需函数f(x)的对称轴1k≥4，解得0<k ≤14；②若k =0，f(x)=−2x +k 在区间[2,4]上单调递减； ③若k <0，则只需函数f(x)的对称轴1k ≤2，显然成立. 综上可知实数k 的取值范围是：k ≤14. 考点：函数的单调性以及不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）已知单调性求参数的取值范围或值．19．（1）证明见解析；（2）60°．【解析】试题分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得AC⊥PD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，再有线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直得判定定理可得结论；（2）连接OE，由（1）可知EO⊥AC，又AC⊥BD，可得∠EOB即为二面角E−AC−B的平面角，过E作EH∥PD，交BD于点H，则EH⊥BD，可求得tan∠EOH=EHOH=√3，进而得结果.试题解析：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD.∵AD=BD,∠BAD=60∘，∴ΔABD为正三角形，四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD.（2）如图，连接OE，由（1）可知EO⊥AC，又AC⊥BD，∴∠EOB即为二面角E−AC−B的平面角，过E作EH∥PD，交BD于点H，则EH⊥BD，又PE=2EB,AB=2,PD=√3,EH=√33,OH=13，在RtΔEHO中，tan∠EOH=EHOH=√3，∴∠EOH=60∘，即二面角E−AC−B的大小为60∘.考点：线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及二面角的求法.20．（1）(x+1)2+(y−2)2=20；（2）x=−4或5x+12y+20=0.【解析】试题分析：(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为(−1,2)，从而求解圆的标准方程；(2)先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程.试题解析：（1）设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r=√5=2√5，∴圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20.（2）当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=−4，此时|MN|=2√11，符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =k(x +4)，即kx −y +4k =0，设MN 的中点为Q ，则AQ ⊥MN ，∴|AQ|2+(12|MN|2)=r 2，又|MN|=2√11，r =2√5， ∴AQ =√20−11=3，又|AQ|=√k 2+1，∴√k 2+1=3⇒k =−512，则直线l 的方程为：y =−512(x +4)，即5x +12y +20=0，综上可知直线l 的方程为：x =−4或5x +12y +20=0. 考点：点到直线的距离公式、圆的方程及直线的方程.【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、直线方程及直线与圆的位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(x,y) ，根据题意列出关于x,y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的. 21．（1）f(x)为单调递增函数，证明见解析；（2）m >4或m <−4. 【解析】 试题分析：（1）设x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2−x 1)， 当x >0时，有f(x)>0，所以f(x 2)>f(x 1)，故f(x)在R 上为单调递增函数；（2）要使f(x)<m 2−2am +1对所有x ∈[−1,1],a ∈[−2,2]恒成立，只要m 2−2am +1>1，即m 2−2am >0恒成立，再根据一次函数的性质列不等式组求解即可. 试题解析：（1）f(x)为单调递增函数，证明如下：先证明f(x)是定义在R 上的奇函数，令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0， 令y =−x ，则f(x)+f(−x)=f(0)=0,∴f(−x)=−f(x)， f(x)是定义在R 上的奇函数，设x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2−x 1)， 当x >0时，有f(x)>0，所以f(x 2)>f(x 1)， 故f(x)在R 上为单调递增函数.（2）由（1）知f(x)在[−1,1]上为单调递增函数， 所以f(x)在[−1,1]上的最大值为f(1)=1，所以要使f(x)<m 2−2am +1对所有x ∈[−1,1],a ∈[−2,2]恒成立， 只要m 2−2am +1>1，即m 2−2am >0恒成立，令g(a)=m 2−2am =−2am +m 2，则{g(−2)>0,g(2)>0即{4m +m 2>0,−4m +m 2>0解得m >4或m <−4.故实数m 的取值范围是m >4或m <−4. 考点：函数的单调性及不等式恒成立问题. 22．（1）x +y -3=0；（2）3−√72≤x 0≤3+√72；（3）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由OM ⊥l ，可得直线l 的斜率为−1，再根据点斜式即可得直线l 的方程；（2）由x 0+y 0−3=0与x 02+y 02≤8可得，x 02+（3-x 02)≤8，进而可得x 0的取值范围；（3）由∠ANN ′=∠BNN ′，可得k AN =−k BN ，设k AN =k ，则则直线AN 的方程为：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【全国百强校】湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期第二次阶段性检测数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}A=x 02x <<，{}220B x x x =+-≥，则A B = （ ） A ．(]0,1 B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,2【答案】B考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.()()01f x x =-+的定义域是（ ） A ．()1-+∞ B ．(),1-∞- C ．RD ．()()1,11,-+∞【答案】D 【解析】 试题分析：11011≠->⇒⎩⎨⎧>+≠x x x x 且，故选D.考点：函数的定义域.3.直线10x y -+=倾斜角的度数为（ ） A ．30 B ．45C ．90D ．135【答案】B【解析】试题分析：1=k ，所以倾斜角为45 ，故选B. 考点：直线的倾斜角.4.设函数()221,1,2,1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1- B ．34C ．1516D ．4 【答案】C考点：分段函数.5.在棱长为a 的正方体1111C D ABCD B —A 中，M 是AB 的中点，则三棱锥1C DM —A 的体积为（ ）A ．316aB ．313aC ．323a D 2 【答案】A 【解析】试题分析：33161213131V 11a a AA S V CDM CDM A DM A C =⨯⨯=⋅==--，故选A. 考点：三棱锥的体积.6.关于直线m ，n 与平面a ，β，有以下四个命题：①若m //a ，n //β且a //β，则m //n ；②若m a ⊥，n β⊥且a β⊥，则m n ⊥； ③若m a ⊥，n //β且a //β，则m n ⊥；④若m //a ，n β⊥且a β⊥，则m //n . 其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．③④C ．①④D ．①②【答案】A考点：空间中线面，面面的位置关系.【思路点睛】判断或证明线面平行的常用方法有: ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理ααα////,,a b a b a ⇒⊄⊆；③利用面面平行的性质定理βαβα//,//a a ⇒⊆；④利用面面平行的性质βαβαβα////,,,//a a a a ⇒⊄⊄.线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是"由已知想性质,由求证想判定",也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.7.函数()21x f x e -=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）A B C D【答案】C 【解析】试题分析：易得)(x f 为偶函数，故排除A,B ，又由()21x f x e -=0>，故排除D,故选C. 考点：函数的图象.8.三棱锥S —ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C D ．【答案】D考点：三视图.【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知点()2,3A -、()3,2B --，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A考点：求直线的斜率.10.某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A ．2B ．6.5C ．8.8D ．10【答案】D 【解析】试题分析：根据题意,第二年该产品年售量为)8.11x -（万件,年销售收入为70%1%x x ⋅-)8.11x -（万元,则第二年商场在A 种产品收取的管理费为70%1%x x ⋅-)8.11x -（%x 万元,故所求函数为：)0()10118(1007>--=x x x x y ，令14)10118(1007>--x x x，化简得020122≤+-x x ,解得x x ∴≤≤,102的最大值是10.故选D.考点：函数的应用.11.如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠= ，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，AD //BC ，且22AB DE BC AF ===（如图1）.将四边形ADEF 沿AD 折起,连结BE 、BF 、CE （如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的是（ ）A ．AC //平面BEFB ．B 、C 、E 、F 四点不可能共面C ．若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直 【答案】A考点：空间线面关系. 12.设函数()1421xx f x +=-+-，()()2141g x g ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．(],4-∞C ．(]4,0-D ．[)4,+∞【答案】B 【解析】 试题分析：令021>=x t ，则有()1221-+-=t t x f ，当0>t 时0122≤-+-t t ，即()]0,(1-∞∈x f ，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，故有()()2141g x g ax x =-+]0,(-∞⊃，令14)(2+-=x ax x u ，则]1,0(⊃u ，当0>a 时，1)0(=u ，0416≥-=∆∴a ，解得40≤<a ；当0≤a 时，显然成立；综上：4≤a 故选B. 考点：函数的值域.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.计算：1327125-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】53考点：指数运算.14.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，120AOC ∠=，11160A O B ∠= ，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧．则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小是 ．【答案】45 【解析】试题分析：设点1B 在下底面圆周的射影为B ,连结1BB ,则11//AA BB ,C BB 1∠∴为直线C B 1与1AA 所成角(或补角),111==AA BB ,连结OC BO BC 、、,3,32,3111πππ=∠∴=∠=∠=∠BOC AOC B O A AOB ，BOC ∆∴为正三角形,1tan ,11=∠==∴C BB BO BC ,∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45 .考点：异面直线所成角.【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.15.已知直线()1:248l a x y ++=与直线()2:12l x a y +-=平行，则a 的取值为 ． 【答案】3-考点：两直线平行的条件.【方法点睛】两直线位置关系的判断：0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：02121=+B B A A ；平行：1221B A B A =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！16.已知正方体1111ABCD B C D —A 中，M ，N ，Q 分别是棱11D C ，11A D ，BC 的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：①当P 在1BD 上运动时，恒有MN //面APC ；②当P 在1BD 上运动时，恒有1AB ⊥面PBC ；③若123BP BD =，则1C Q //面APC ；④若过点P 且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m 条，过点P 且与直线1AB 和11A C 所成的角都为60 的直线有m 条，则7m n +=．其中正确的命题为 ．（填写序号） 【答案】②④考点：空间中的线面位置关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个顶点为()3,0A -，()2,1B ，()0,3C ，求： （1）过点A 与BC 平行的直线m 的方程； （2）BC 边垂直平分线n 的方程.【答案】（1）30x y ++=；（2）10x y -+=. 【解析】试题分析：（1）两直线平行则斜率相等，所以有1m ac k k ==-即可得直线m 的方程；（2）求出BC 边中点坐标为()1,2，再求斜率即可. 试题解析：（1）31102BC k -==--，1m ac k k ==-， 因此直线m 的方程为()013y x -=-⨯+，即30x y ++=.……（5分） （2）BC 边中点横坐标为2012+=，BC 边中点纵坐标为1322+=， 因此，BC 边中点坐标为()1,2.又1m BC k k ⨯=-，所以1n k =.因此直线n 的方程为()211y x -=⨯-，即10x y -+= …………………………（10分） 考点：直线方程. 18.(本小题满分12分)在四棱锥ABCD P —中,PD ⊥ 面ABCD ,ABCD 为正方形，M 为PC 中点. （1）求证：PA //平面MBD ； （2）求证：AC PB ⊥.【答案】（1）证明见解析；(2)证明见解析.考点：空间的线面位置关系. 19.（本小题满分12分）长方体1111ABCD A B C D —中，1AA =16，BC=10，AB=8，点E ，F 分别在1AA ，1DD 上，AE=DF=4，过E ，F 的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线BF 与平面a 所成角的正弦值.（注：图中未标注名称的点均为线段等分点，仅为（1）中作图提供参考.）【答案】（1）正方形见解析；（2）1554.试题解析：（1）交线围成的正方形EFGH 如图所示.………………（6分）（2）作1HN AA ⊥，垂足为N ，因为EFGH 为正方形，所以10EH EF ==，于是6EN ==.作BM EH ⊥，垂足为M ，连接FM .因为//EF AD ，AD ⊥面11ABB A ，所以EF ⊥面11ABB A ，又BM ⊂面11ABB A ，因此EF BM ⊥，又EF EH E = ，所以BM ⊥面EFGH .因此BFM ∠为直线BF 与平面EFGH 为成角.………………（9分）1122BEH S BM EH AB BH ∆=⨯=⨯，可得8BM =，BF ==在直角三角形BFM 中，sinBM BFM BF ∠===.………………（12分）考点：空间中线面位置关系.20.（本小题满分12分）已知函数()x a f x x b+=+（a 、b 为常数）. （1）若1b =，解不等式()10f x -<；（2）当0b =，0a <时，存在实数m ，()n m n <使函数()f x 的定义域与值域均为[],m n ，求此时实数a 的取值范围.【答案】（1）当1a <时，不等式的解集为：()0,1a -，当1a =时，不等式的解集为：x O ∈，当1a >时，不等式的解集为：()1,0a -；（2）104a -<<.试题解析：（1）()x a f x x b +=+ ，1b =，()1x a f x x +∴=+, ()()()11111x a x a f x x x -+-+∴-==-+， ()10f x -< ，10x a x -+∴<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①当10a ->，即1a <时，不等式的解集为：()0,1a -，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：x O ∈，③当10a -<，即1a >时，不等式的解集为：()1,0a -，………………（6分）（2）当0b =时，()1x a a f x c x+==+， 因为0a <，所以()f x 在(),0-∞，()0,+∞上单调递增，()f x 的定义域与值域均为[],m n ，故[](),,0m n ⊆-∞或[](),0,m n ⊆+∞.因此()f m m =且()f n n =，所以m ， n 是方程()f x x =的两个根，即方程20x x a --=有同号的相异实数根.………………（10分） 因为0mn a =->，m ，n 同号，所以只需140a ∆=+>即可， 解得14a >-. 故此时负实数a 的取值范围是104a -<<.………………（12分） 考点：解不等式和二次函数与方程. 【方法点睛】解分式不等式的常用方法，将分式等价转化为整式不等式，10x a x -+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦，进而再讨论10a -与的关系即可；注意两根相等时解集为空集；分析条件定义域与值域均为[],m n ，转成研究函数的单调性和最值，根据条件可知函数单增，所以有()f m m =且()f n n =，转成研究方程20x x a --=有同号的相异实数根即可.21.（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成的角分别为30 ，45 ，M 、N 分别为DE 、BD 的中点，且1MN =.（1）求证：MN ⊥平面ABCD ；（2）求线段AB 的长；（3）求二面角A DE B --的平面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）AB =；（3面角,用面积法求出BO 和BH ,由sin BO BHO BH∠= 求得二面角A DE B --的平面角的正弦值. 试题解析：（1）证明：因为面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD 面ABEF AB =，EB AB ⊥，所以EB ⊥面ABCD .因为M ，N 分别为DE ，DB 的中点，所以//MN EB ，故MN ⊥面ABCD .………………（4分）（2）由（1）可知EDB ∠为DE 与面ABCD 所成角，30EDB ∠= ，在直角三角形EBD 中，22EB MN ==，90EBD ∠= ，所以4DE =.又面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD 面ABEF AB =，AD AB ⊥，所以AD ⊥面ABEF .所以DEA ∠为DE 与面ABEF 所成角，45DEA ∠= ，因此，在直角三角形中，.在直角三角形中，AB ==………………（8分） （3）如图，过B 作BO AE ⊥于点O ，过O 作OH DE ⊥于点H ，连接BH .因为AD ⊥面ABEF ，BO ⊂面ABEF ，所以AD BO ⊥.又BO AE ⊥，AD AE A = ，所以BO ⊥面ADE ，DE ⊂面ADE ，故BO DE ⊥，又OH DE ⊥，OH BO O = ，所以DE ⊥面BOH .BH ⊂面BOH ，故BH DE ⊥，又OH DE ⊥，因此BHO ∠为所求二面角的平面角.在直角三角形DBE 中，由面积相等有BH DE BD BE ⨯=⨯，得BH =在直角三角形ABE 中，同理可得BO =sin BO BHO BH ∠==………………（12分） 考点：空间的线面位置关系；二面角.【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线MN EB 与平行,再推证MN 与平面ABCD 垂直即可.关于的二面角的余弦值的问题,解答时利用题中的已知条件找到BH DE ⊥，又OH DE ⊥，因此BHO ∠为所求二面角的平面角.22.（本小题满分12分）对于在区间[],a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意的[],x a b ∈，均有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是接近的，否则称()f x 与()g x 在[],a b 上是非接近的.现在有两个函数()()log 3t f x x t =-与()()1log 01t g x t t x t ⎛⎫=>≠ ⎪-⎝⎭且，现给定区间[]2,3t t ++. （1）若12t =，判断()f x 与()g x 是否在给定区间上接近； （2）是否存在t R ∈，使得()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上是接近的；若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不是；（2）0t <≤.试题解析：（1）当1t 2=时，()()()21122311log log 1224f x g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=--=-- ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令()()2121log 14h x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，当57,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12log 6,1h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ()()1f x g x ∴-≥，即()f x 与()g x 在给定区间上是非接近的.………………（4分）（2）()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上有意义，由题意知，0t >且1t ≠，230,0120,t t t t t +-<⎧∴<<⎨+->⎩.………………（5分） ()()()22log 43t f x g x x tx t -=-+ .若()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上是接近的，则有()22log 431t x tx t -+≤，()221log 431t x tx t ∴-≤-+≤ (*)令()()()2222log 43log 2t t x x tx t x t t ϕ⎡⎤=-+=--⎣⎦∴当01t <<时，[]2,3t t ++在对称轴2x t =的右侧，即()()22log 43t x x tx t ϕ=-+在[]2,3t t ++上为减函数， ()()max log 44t x t ϕ∴=-，()()min log 96t x t ϕ∴=-………………（10分）所以由（*）式可得()()01,log 441,log 961,t t t t t ⎧<<⎪-≤⎨⎪-≥-⎩解得0t <≤. 综上，两函数在给定区间是接近的，则的取值范围为：0t <≤.………………（12分） 考点：函数的单调性，最值，解不等式，二次函数，对数函数的性质.。
湖南省长沙市望城区2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题(无答案)
湖南省长沙市望城区2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题（无答案）第Ⅰ卷 选择题（共40分）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．0sin 390=( )A ．21B ．21-C ．23D ．23- 2．右边的程序运行后，输出的结果是（ ）A. 1，3B. 4,1C. 0,0D. 6,03. cos5° sin65°－sin5° sin25°的值是（ ） A.21 B.－21 C.23 D.－234()1,tan ,cos ,1a b αα⎛⎫== ⎪，且a ∥b ，则锐角α的余弦值为（ ）5．在ABC ∆中，有如下四个命题：①=-；②AB BC CA ++=0 ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是( )A ．① ②B ．① ③ ④C ．② ③D ．② ④6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约有( )A ．30辆B ． 40辆C ． 60辆D ．80辆7．设0<α<β<2π，sin α=53，cos(α－β)＝1312， 则sin β的值为（ ）A.6516 B.6533 C.6556 D.6563 8. 要得到y=2sin2x 的图象只需将y=sin2x+cos2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 9．函数cos tan y x x =（0x π≤≤且2x π≠）的图象为 （ ）10.函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）. Ａ．110 Ｂ．23 Ｃ．310 Ｄ．45第Ⅱ卷 非选择题（共80分）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11. 已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程a bx y += 必过定点___ __.12.把8913.，则ααsin cos -的值是 . 14．已知(1,2)a =,)2,3(-=,且ka b +与b a -垂直，则k= . 15的图象为C ，则 ①图象C 关于直线 ②图象C 关于点 ③函数()f x 在区间内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移位可以得到图象C ．以上结论中正确的序号是三．解答题（每小题12分）16.已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()f α （２）若31cos()25πα-=，求()f α的值17.如图是抽取了高二年级100个学生的体重绘成的频率分布直方图。
湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期综合素能检测数学试题(二)
俯视图侧(左)视图数学必修二综合测试题 2一、选择题（每题5分，共60分）1.已知直线01:1=++ayxl与直线221:2+=xyl垂直，则a的值是（）A 2 B－2 C．21D．21-2.下列说法不正确的．．．．是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.3. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．04.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积（）2.cmA.60B.70C.80D.905.将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n重合，则m n+=（）44.5A21.5B23.5C40.5D6.函数()lg(21)xf x=++的定义域为（）A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞)C．(－5，0) D ．(－2，0)7.已知函数53()8,f x x ax bx=++-且(2)10,f-=那么(2)f=（）A.10B.-10C.-18D.-268.函数2()lnf x xx=-的零点所在的大致区间是（）.(1,2)A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D9.设函数()log(0,1)af x x a a=>≠且，满足(9)2,f=则19(log2)f-=（）Ａ．3log 22B .2C .2D 10.已知函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围是（ ） .(,2)A -∞ 13.(,]8B -∞ .(,2]C -∞ 13.[,2)8D二、填空题：（每题5分，共25分）11.如果实数满足22(2)3,x y ++=则yx的最大值为 ．12.函数xy a =在[1,2]上的最大值比最小值大,2a则a = 13.直线,l α⊂平面经过α外一点A 与,l α都成30︒的角有 个.14．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则r 的取值范围是15．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，则下列命题：①E 、C 、D 1、F 四点共面； ②CE 、D 1F 、DA 三线共点；③EF 和BD 1所成的角为90°；④A 1B ∥平面CD 1E 中，正确的是 . 三、解答题（共75分） 16、（12分）已知函数()2=21xf x a +-为奇函数． （1）求实数a 的值； （2）证明()1f x >.17.（12分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于 A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.18．（本题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，O 是底面正方形ABCD 的中心，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：P A ∥EO ； （Ⅱ）证明： DE ⊥平面PBC ．19.（13分）若函数()f x 满足21(log )(),1a a f x x a x=--其中0,a >且1a ≠ （1）求函数()f x 的解析式 （2）判断()f x 的奇偶性和单调性（3）当(,2)x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.20.（13分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB a F F ==分别是11,AC A C 的中点. (1)求证：平面11AB F ∥平面1.C BF (2)求证：平面11AB F ⊥平面11.ACC A (3)求平面11AB F 与平面1C BF 之间的距离.21.（13分）某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，（２）该店为了保证职工最低生活费开围？（３）当商品价格每件为多少元时，月利最大？并求出最大值。
【精品】湖南省长沙市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
长沙市第一中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为，而，则，故选 D.点睛：我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标，这是很关键的一步，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集，在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 集合之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，，故，故选C.3. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程的一个根位于下列哪个区间内（）A. B. C. D.【答案】C【解析】4. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：的图象与的图象关于y轴对称。
若a>1,则，随x增大而下降，b,d符合，但的图象上升，的图象下降均不符合；所以，的图象下降，的图象上升，故选C。
考点：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和性质。
点评：典型题，涉及指数函数、对数函数的图象和性质问题，要注意考察底数的取值范围。
5. 已知，则（）A. B. C. D.【解析】试题分析：考点：比较大小6. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】上的偶函数，，，故选B.7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定义域为，即无解，当时，不合题意；当时，，即或，则实数的取值范围是，故选 B.8. 函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的零点个数即为函数的图象和函数的图象的交点的个数，如图所示：数形结合可得，函数的图象和图象交点的个数为2，故选 C.9. 一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（）A. B. C. D.【解析】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，，两边取对数，，即，∴，故选 C.10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有，则称和在上是“依函数”，区间为“依区间”，设与在区间上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为与在上是“依函数”，则即即，化简得，因为的即与轴没有交点，由开口向上得到恒成立；所以由解得，所以它的“依区间”是，故选C.11. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的零点为，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．∵函数的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数在（0，+∞）上是增函数，可得，故选D．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f （x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）？f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．12. 已知函数且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【解析】函数，当时，单调递减且，当时，，开口向下，对称轴为，故其在上单调递减且，综上可得在定义域上为减函数，由，且得：，令，故为减函数，若，则，解得：，综上可得：，故选 B.点睛：本题主要考查了分段函数单调性的应用，解题的关键在于构造函数，难度中档；要使分段函数为减函数，既要保证左段递减、右段递减，同时还需保证左边的最小值不小于右边的最大值，构造出，利用两个减函数之和仍为减函数，根据单调性解抽象函数的不等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图象过点，那么的值为__________．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴，故答案为.14. 已知集合中元素在映射下对应中元素，则中元素在中对应的元素为__________．【答案】【解析】设中元素在中对应的元素为，则，解得：，，即B 中元素在中对应的元素为，故答案为.15. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】由可得，即得或，由在上为减函数，在上为增函数，由复合函数的单调性可得函数的单调减区间为，故答案为.16. 已知函数满足对任意实数，都有，设，若，则__________．【答案】【解析】∵函数满足对任意实数，都有，令，则，解得：，令，，则，即，∵，∴，故，∴，即，故答案为.点睛：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，指数的运算性质，难度中档；由已知中函数满足对任意实数，都有，可得，进而，，结合，可得答案三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用分数指数幂的运算性质，同底数幂相乘底数不变，指数相加，同底数相除，底数不变，指数相减可得结果；（2）利用对数的运算法则及换底公式可得结果. 试题解析：（1）；（2）.18. 已知集合，集合.（1）若；求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）时求出集合，根据补集的定义写出；（2）得，中不等式解集分三种情况讨论：、和时，求出对应集合，根据求出的取值范围.试题解析：（1）若，则，故或（2），不等式解集分三种情况讨论：①，则不成立；②，则，由得得；③，则，由得得.综上所述：的取值范围为.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.............19. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若直线与该图象有三个公共点，从左至右分别为，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】试题分析：（1）由一次函数及对数函数的单调性可得函数的单调性；（2）由已知可得，由对数性质可得，，，故根据一次函数的性质可得其范围.试题解析：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由题知直线与该图象由三个公共点，则，由得故.20. 某商场经营一批进价为元/台的小商品，经调查得知如下数据.若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：销售价（元/台）日销售量（台）日销售额（元）日销售利润（元）（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对的对应点，并写出与的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求与的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案】（1）；（2）见解析；（3）销售单价为元时，可获得最大日销售利润. 【解析】试题分析：（1）找到对应的4个点，即，设与的一次函数解析式为：，由图表数据可得出、；（2）根据表格先计算出进价，再根据（日销售额=销售价×日销售量，日销售利润=（销售价-进价）×日销售量）得表格中的数据；（3）由（1）知销售单价为元时，日销售量，日销售利润，，根据二次函数的性质得结果.试题解析：（1）如下图.设与的一次函数解析式为：，依据数据可得：解之得：，，∴一次函数解析式为：.（2）由表可得，解得，故可得下表：日销售额（元）日销售利润（元）（3）由（1）知销售单价为元时，日销售量（台），由表格知进价为元，则日销售利润故当时，取最大值，即销售单价为元时，可获得最大日销售利润.21. 已知为奇函数，为偶函数，且.（1）求函数及的解析式；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据，的奇偶性便有，联立便可解出，；（2）求出，设，根据的范围，求出的范围，根据对数函数的单调性便可得出的范围，从而便可得出的取值范围.试题解析：（1）为奇函数，为偶函数，，.又①，故，即②，.（2）因为，所以，设，则，因为的定义域为，所以的定义域为，即，所以，则，因为关于的方程有解，则，故的取值范围为.22. 已知.（1）当时，若恰好存在两个实数使得，求实数的取值范围；（2）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，记，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）有两个解，由图象可知有两个不等的根且无根，所以总判别式，解不等式可解。
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湖南省长沙市一中高一上学期期末考试（数学）（时量：1 总分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（70分）和第Ⅱ卷（30分）两部分．考试内容为必修①与必修④全部内容．第I 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填在答题卷中对应位置． １．3cos 的值Ａ．大于0 Ｂ．小于0 Ｃ．等于0 Ｄ．无法确定２．已知全集,{1,0,1,2},{0,1}U Z A B ==-=，则U AC B为Ａ．{1-，2） Ｂ．{1，2}Ｃ．{1-，0） Ｄ．{1-，0，2）３．已知角α的终边过点)2,1(-P ，则αcos 的值为Ａ．－55Ｂ．－ 5 Ｃ．552 Ｄ．25４．已知向量b a b x a ⊥==),6,3(),1,(，则实数x 的值为Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．21-５．已知函数)cos()(,2sin)(x x g x x f -=+=ππ，则Ａ．()f x 与()g x 都是奇函数 Ｂ．()f x 与()g x 都是偶函数 Ｃ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 Ｄ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数６．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是Ａ．（－1，0） Ｂ．（0，1） Ｃ．（1，2） Ｄ．（2，3）７．设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=，j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于Ａ．15Ｂ．10Ｃ．7.5Ｄ．5８．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为Ａ．27-Ｂ．21-Ｃ．21Ｄ．27二．填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．９．函数()tan()23x f x π=-的最小正周期是 ． 10．函数2log 2-=x y 的定义域是 ．11．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan ．12．我国2000年底的人口总数为M ，人口的年平均自然增长率p ，到2010年底我国人口总数是 ． 13．已知5,4,120a b a b θ===与夹角,则向量b 在向量a 上的投影为 ．14．将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 ．15．在等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若CP AB PB AC ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．三．解答题：本大题共3小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分8分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-． （１）求(15)f 的值；（２）求函数()f x 的单调递增区间．17．（本小题满分8分）平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（１）求满足a mb nc =+的实数n m ,； （２）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值．18．（本小题满分9分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）．求： （１）y 关于x 的函数表达式； （２）总利润的最大值．第II 卷四．解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分10分）已知函数1()cos(2)sin cos ,26f x x x x x Rπ=++∈．（１）求()f x 的对称轴方程；（２）若(,0)2πα∈-，且()4f α=，求α的值．本小题满分10分）已知函数)822()(2+++=a ax x x x f 有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<． （１）求实数a 的取值范围； （２）记13)(x x a g -=，求函数)(a g 的值域．21．（本小题满分10分）如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC|＝t(t>0)，连AC 交BE 于D点．（１）用t 表示向量OC 和OD 的坐标；（２）求向量OD和EC的夹角的大小．参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． １．3cos 的值Ａ．大于0 Ｂ．小于0 Ｃ．等于0 Ｄ．无法确定２．已知全集,{1,0,1,2},{0,1}U Z A B ==-=，则U AC B为Ａ．{1-，2） Ｂ．{1，2}Ｃ．{1-，0） Ｄ．{1-，0，2）３．已知角α的终边过点)2,1(-P ，则αcos 的值为Ｂ．－ 5 Ｃ．552 Ｄ．25４．已知向量b a b x a ⊥==),6,3(),1,(，则实数x 的值为Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．21-５．已知函数)cos()(,2sin)(x x g x x f -=+=ππ，则Ａ．()f x 与()g x 都是奇函数 Ｂ．()f x 与()g x 都是偶函数 Ｃ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 Ｄ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数６．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是Ａ．（－1，0） Ｂ．（0，1） Ｃ．（1，2） Ｄ．（2，3）７．设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且24+=，43+=，则△OAB 的面积等于Ａ．15Ｂ．10Ｃ．7.5Ｄ．5８．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为Ａ．27-Ｂ．21-Ｄ．27二．填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．９．函数()tan()23x f x π=-的最小正周期是 π2 ． 10．函数2log 2-=x y 的定义域是),4[+∞．11．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan 1 ．12．我国2000年底的人口总数为M ，人口的年平均自然增长率p ，到2010年底我国人口总数是10)1(p M +⋅．13．已知5,4,120a b a b θ===与夹角,则向量b 在向量a 上的投影为2-．14．将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π 15．在等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若CP AB PB AC ⋅=⋅，则实数λ的值是2． 三．解答题：本大题共3小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分8分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-． （１）求(15)f 的值；（２）求函数()f x 的单调递增区间．解：（１）因为x x x x f 2sin cos sin 2)(==,………………………………………………4分所以1(15)sin 302f ==． ……………………………………………………………5分（２）令ππππk x k 22222+≤≤+-，解得ππππk x k +≤≤+-424，所以函数()f x 的单调递增区间为)](4,4[Z k k k ∈++-ππππ．……………………8分17．（本小题满分8分）平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（１）求满足a mb nc =+的实数n m ,； （２）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值．解：（１）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=，所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m ． ……4分 （２）()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-，()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k ． ………………………………………8分18．（本小题满分9分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）．求： （１）y 关于x 的函数表达式； （２）总利润的最大值． 解：（１）根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x)， …………………………………３分 x ∈［0，5］． ……………………………………………………………４分（注：定义域写成（0，5）不扣分）（２）令t ＝3x ，t ∈［0，15］，则x ＝t23，y ＝－t224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924． ………………………………………7分 因为2∈［0，15］，所以当3x ＝2时，即x ＝43时，y 最大值＝1924． …………8分答：总利润的最大值是1924亿元．…………………………………………………………9分四．解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分10分）已知函数1()cos(2)sin cos ,26f x x x x x Rπ=++∈．（１）求()f x 的对称轴方程；（２）若(,0)2πα∈-，且()4f α=，求α的值． 解：因为111()cos(2)sin 2sin(226223f x x x x ππ=++=+，……………………………4分 （１）令232212k x k x πππ+=π+⇒=π+，即为所求．………………………………6分（２）由（１）得1()sin(2sin(2)23432f ππα=α+=⇒α+=． 又(,0)2πα∈-，所以22333πππ-<α+<，由三角函数的图象（或单调性）知 23424πππα+=⇒α=-．故α的值为24π-． ………………………………10分本小题满分10分）已知函数)822()(2+++=a ax x x x f 有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<． （１）求实数a 的取值范围； （２）记13)(x x a g -=，求函数)(a g 的值域．解：（１）),4()2,4()4,(+∞----∞∈ a ． ……………………………………………3分 （２）分三种情况讨论，结合根的分布求出函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<---<<---+->--+=.4,822,24,82,4,82)(222a a a a a a a a a a a a g …………………………………………8分所以函数)(a g 的值域为),2(+∞． ……………………………………………………10分 21．（本小题满分10分）如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC|＝t(t>0)，连AC 交BE 于D 点．（１）用t 表示向量OC 和OD 的坐标； （２）求向量OD 和EC 的夹角的大小．解：（１）因为＝(12(t+1)，－32(t+1))，…………1分∵BC ＝t ，∴DC ＝t ，＝11+tAC，又＝(12，32)，＝－＝(12t ，－32(t+2))，∴AD ＝(t 2(t+1)，－3(t+2)2(t+1))，∴+=＝(2t+12(t+1)，－32(t+1))． ……………………………………………5分 （２）∵-=＝(t －12，－3(t+1)2)，∴·＝2t+12(t+1)·t －12＋32(t+1)·3(t+1)2＝t2+t+12(t+1)， 又∵||·||＝(2t+1)2+12(t+1)·(t －1)2+3(t+1)22＝t2+t+1t+1，∴cos<，>＝OD EC||·||＝12，∴向量与的夹角为60°．……10分。
湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期第三次月考数学试题 Word版含答案 (1)
长沙市第一中学2016-2017学年度下学年高一数学第三次月考试题时量:120分钟 总分:150分注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号、试室号、座位号涂写在答题卷上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
答案必须写在答题卷各题目规定区域内的相应位置上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁。
考试结束后，交答题卷。
数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题:①若a >b ，则1a <1b；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d③b a bc ac >>则若,22；④bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是 ( )A.0B.1C.2D.32．已知条件:p x y >，条件q >，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a （ ）A ． 31B . 31- C. 91 D. 91-4．在ABC ∆中，60,2,A AB =︒=且2ABC S ∆=，则BC=( )A ．3 C D ．75. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．1362022=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．162022=+y x （x ≠0） 6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元 7．在R 上定义了运算“*”：(1)x yx y *=-;若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,2 C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭8． 已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =（ ）A ．32B ．36C ．24D ．229．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的值取值范围是（ ）A ．4≥m 或2-≤mB ．4-≤m 或2≥mC ．42<<-mD ．24<<-m10．已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为（ ）A ． 315 B. 35 C.415 D.47 11．设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 2015=3S 2014+2016，a 2014=3S 2013+2016则公比q=（ ） A.2 B.1或4 C.4 D.1或212椭圆15y x 25422=+过右焦点有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d 11n 63∈［，］，那么的取值集合为（ ）A ｛4，5，6，7｝B 、｛4，5，6｝ C{3,4,5,6} D{3,4,5,6,7}二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．给出下列命题：①命题“同位角相等,两直线平行”的否命题为：“同位角不相等,两直线不平行,”. ②“１≠x ”是“03x 4-x 2≠+”的必要不充分条件. ③“p 或q 是假命题”是“p ⌝为真命题”的充分不必要条件.④对于命题p :x R ∃∈，使得2220x x ++≤, 则⌝p ：∉x R 均有2220x x ++> 其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）14．已知a >,,x y满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =15.椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________16．已知各项为正的等比数列{}n a 中，a 3与a 2015的等比中项为22，则2a 4+a 2014的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分。
湖南省长沙一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=3k﹣1，k∈z}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣2，1}2．复数的共轭复数是（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣1﹣i D．1﹣i3．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣44．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点．（）A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C．明天本地下雨的机会是80%D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报5．已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．D．6．若函数y=a x在区间[0，3]上的最大值和最小值的和为，则函数y=log a x在区间上的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．已知tanα=，则=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．8．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．如图是实现将某进制数a化为十进制数b的程序框图，若输入的k=2，a=110，n=3，则输出的b=（）A．14 B．12 C．6 D．39．已知等比数列的前n项和为A，前2n项和为B，公比为q，则的值为（）A．q B．q2C．q n﹣1 D．q n10．设点P为公共焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=，已知椭圆的长轴长是双曲线实轴长的4倍，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．11．已知圆锥底面半径为2，高为，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的体积为（）A．B．C． D．12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=2最近的两个相邻交点间的距离为，若f（x）＞1对恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在命题“若|m|＞|n|，则m2＞n2”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的表面积为．16．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2，[﹣2.2]=﹣3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=log2x，那么[f（﹣16）]+[f（﹣15）]+…+[f（15）]+[f（16）]的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与垂直．（1）求A；（2）若B+=A，a=2，求△ABC的面积．18．已知等差数列{b n}和各项都是正数的数列{a n}，且a1=b1=1，b2+b4=10，满足a n2﹣2a n a n+1+a n﹣2a n+1=0（1）求{a n}和{b n}通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和．19．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程=x+（附：==，=y﹣x）20．已知函数f（x）=（x﹣a）e﹣x，其中a为常数．（1）判断f（x）在x=0处的切线是否经过一个定点，并说明理由；（2）讨论f（x）在区间[﹣2，3]上的单调性．21．已知点P（0，4），Q为圆x2+y2=8上的动点，当Q在圆上运动时，PQ的中点M的运动轨迹为C，直线l：y=kx与轨迹C交于A，B两点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设E（m，n）是线段AB上的点，且，请将n表示为m的函数．22．已知函数f（x）=lnx．（1）证明：曲线y=f（x）与曲线y=x﹣1有唯一公共点；（2）若f（x）的反函数为g（x），设m＜n，比较与的大小，并说明理由．2016-2017学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=3k﹣1，k∈z}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣2，1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=3k﹣1，k∈Z}，∴A∩B={﹣1，2}，故选C2．复数的共轭复数是（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣1﹣i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简已知复数，由共轭复数的定义可得答案．【解答】解：化简可得====﹣1﹣i，∴复数的共轭复数为：﹣1+i故选：B．3．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求出p，即可．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值：4．故选：B．4．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点．（）A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C．明天本地下雨的机会是80%D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义，即可得出结论．【解答】解：根据概率的意义，“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%，故选C．5．已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】可求出的坐标，并求出，这样根据单位向量的概念及向量坐标的数乘运算即可得出正确选项．【解答】解：，且；∴．故选D．6．若函数y=a x在区间[0，3]上的最大值和最小值的和为，则函数y=log a x在区间上的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】先根据指数函数的单调性求出a的值，再根据对数函数的性质即可求出答案．【解答】解：∵函数y=a x在区间[0，3]上的最大值和最小值的和为，∴1+a3=，解得a=，a=﹣（舍去），∴y=log x在区间[，2]上为减函数，∴y min=log2=﹣1，故选：B7．已知tanα=，则=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数间的基本关系和商数关系，即可得到cosα的值，再由三角函数的诱导公式以及二倍角公式化简代值，即可得答案．【解答】解：tanα=，则，又sin2α+cos2α=1，解得：cosα=﹣，则=cos2α﹣cosα=2cos2α﹣1﹣cosα=2×（）2﹣1=0．故选：A．8．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．如图是实现将某进制数a化为十进制数b的程序框图，若输入的k=2，a=110，n=3，则输出的b=（）A ．14B ．12C ．6D ．3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b 的值，当i ＞3时循环结束，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图， 可得程序框图的功能是计算并输出 b=0×20+1×21+1×22=6． 故选：C ．9．已知等比数列的前n 项和为A ，前2n 项和为B ，公比为q ，则的值为（ ）A ．qB ．q 2C ．q n ﹣1D ．q n【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，分析可得=，由等比数列通项公式可得，a n +1=a 1q n ，a n +2=a 2q n ，…a 2n =a n q n ，将其代入=中，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列的其前n 项和为A ，前2n 项和为B ， 即A=S n =a 1+a 2+…+a n ，B=S 2n =a 1+a 2+…+a n +a n +1+a n +2+…+a 2n ， B ﹣A=a n +1+a n +2+…+a 2n ，则=，又由a n+1=a1q n，a n+2=a2q n，…a2n=a n q n，故==q n；故选：D．10．设点P为公共焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=，已知椭圆的长轴长是双曲线实轴长的4倍，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设椭圆半长轴与双曲线的半实轴分别为a1，a2，半焦距为c．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，由椭圆与双曲线的定义可得：m+n=2a1，m﹣n=2a2．又4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，cos∠F1PF2=，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c，e2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，则m+n=2a1，m﹣n=2a2．∴m2+n2=2a12+2a22，mn=a12﹣a22，由余弦定理可得4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴4c2=2a12+2a22﹣2（a12﹣a22）×．化为：5c2=a12+4a22，由题意可得a1=4a2，即有5c2=16a22+4a22，即为c2=4a22，可得双曲线的离心率为e2==2．故选：B．11．已知圆锥底面半径为2，高为，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出轴截面图形，设出球的半径，求出圆锥的高，利用三角形相似，求出球的半径．【解答】解：几何体的轴截面如图，设球的半径为r ，球与圆锥侧面相切，则OE 垂直于AB 于E ，BD 垂直AD ，E 为AB 上一点，O 为AD 上一点，则△AEO ～△ADB ，∴，∴r=，∴球的体积为=故选：B ．12．已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=2最近的两个相邻交点间的距离为，若f （x ）＞1对恒成立，则φ的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得y=sin （ωx +φ）的图象和直线y= 的相邻的两个交点间的距离为，∴可得=，求得ω=2，可得f （x ）=2sin （2x +φ）+1．根据当x ∈（﹣，） 时，sin （2x +φ）＞0，可得2•（﹣）+φ≥2kπ，2•+φ≤2kπ+π，k∈Z，求得φ的范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=2最近的两个相邻交点间的距离为，令2sin（ωx+φ）+1=2，求得sin（ωx+φ）=，y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=的相邻的两个交点间的距离为，∴=，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．∵f（x）＞1对恒成立，∴当x∈（﹣，）时，2sin（2x+φ）+1＞1恒成立，即sin（2x+φ）＞0，∴2•（﹣）+φ≥2kπ，2•+φ≤2kπ+π，k∈Z，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，即φ∈[2kπ+，2kπ+]，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在命题“若|m|＞|n|，则m2＞n2”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为4．【考点】四种命题．【分析】判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．【解答】解：若|m|＞|n|等价于m2＞n2”故命题“若|m|＞|n|，则m2＞n2”真假命题，故其逆否命题为真命题，其逆命题为：“m2＞n2则，|m|＞|n＞1”为真命题，故其否命题也为真命题，故答案为：414．若x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为，由图可知，当直线过A （0，﹣1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2． 故答案为：2．15．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的表面积为 14+6+10π ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由前后两部分组成：前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体由前后两部分组成：前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．∴该几何体的表面积S=3×2+3×+2×+π×22+π×2×3=14+6+10π．故答案为：14+6+10π．16．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2，[﹣2.2]=﹣3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=log2x，那么[f（﹣16）]+[f（﹣15）]+…+[f（15）]+[f（16）]的值为84．【考点】对数的运算性质．【分析】由函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．∴[f（﹣16）]+[f（﹣15）]+…+[f（15）]+[f（16）]=2{[f（1）]+[f（2）]+…+[f （16）]}+[f（17）]+[f（（18）]，即可得出．【解答】解：由函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．∴[f（﹣16）]+[f（﹣15）]+…+[f（15）]+[f（16）]=2{[f（1）]+[f（2）]+…+[f（16）]}+[f（17）]+[f（（18）]=2×（2×1+4×2+8×3+4）+4+4=84．故答案为：84．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与垂直．（1）求A；（2）若B+=A，a=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，可得=bcosA﹣asinB=0，利用正弦定理可得sinBcosA﹣sinAsinB=0，sinB≠0，解得A．（2）B +=A ，可得B=，C=．由正弦定理可得c ，又sin =sin=，可得△ABC 的面积S=acsinB ．【解答】解：（1）∵，∴=bcosA ﹣asinB=0，∴sinBcosA ﹣sinAsinB=0，sinB ≠0，解得tanA=，A ∈（0，π），解得A=．（2）∵B +=A ，∴B=，C=．由正弦定理可得： =，解得c=4×=2，又sin=sin=，∴△ABC 的面积S=acsinB=2×=﹣1．18．已知等差数列{b n }和各项都是正数的数列{a n }，且a 1=b 1=1，b 2+b 4=10，满足a n 2﹣2a n a n +1+a n ﹣2a n +1=0 （1）求{a n }和{b n }通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知得到等差数列{b n }的公差的方程解之；结合a n 2﹣2a n a n +1+a n﹣2a n +1=0，得到（a n +1）a n =2a n +1（a n +1），数列{a n }是以1为首项为公比的等比数列，得到通项公式．（2）首项得到数列{c n }的通项公式，利用错位相减法求和．【解答】解：（1）因为等差数列{b n }a 1=b 1=1，b 2+b 4=10，满足a n 2﹣2a n a n +1+a n ﹣2a n +1=0，所以2b 1+4d=10，解得d=2，所以b n =2n ﹣1；由a n 2﹣2a n a n +1+a n ﹣2a n +1=0，得到（a n +1）a n =2a n +1（a n +1），数列{a n }各项都是正数，所以，所以数列{a n }是以1为首项为公比的等比数列，所以a n =．（2）设c n ==2n ﹣1+2n ﹣1，所以数列{c n }的前n 项和+2（1+2+3+…+n ）﹣n==2n +n 2﹣1．19．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x 、y 的线性回归方程=x +（附： ==， =y ﹣x ）【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；（2）利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【解答】解：（1）=（79+81+83+85+87）=83． ∵=（77+79+79+82+83）=80，∴政治成绩的方差= [（77﹣80）2+（79﹣80）2+（79﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]=4.8（2）（x i ﹣）（y i ﹣）=30，（x i ﹣）2=40，∴b=，∴a=80﹣=17.75，∴y=x+17.75．20．已知函数f（x）=（x﹣a）e﹣x，其中a为常数．（1）判断f（x）在x=0处的切线是否经过一个定点，并说明理由；（2）讨论f（x）在区间[﹣2，3]上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，计算f′（0），f（0）的值，求出切线方程，从而求出直线过定点（1，1）；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=，f′（0）=1+a，f（0）=﹣a，则在x=0处的切线方程是：y+a=（1+a）x，即a（x﹣1）+x﹣y=0，故定点是（1，1）；（2）由f′（x）=，得f（x）在（﹣∞，1+a）上递增，在（1+a，+∞）递减，因此，当1+a≥3即a≥2时，f（x）在[﹣2，3]递增，当1+a≤﹣2即a≤﹣3时，f（x）在[﹣2，3]递减，当﹣2＜1+a＜3即﹣3＜a＜2时，f（x）在[﹣2，1+a）递增，在（1+a，3]递减．21．已知点P（0，4），Q为圆x2+y2=8上的动点，当Q在圆上运动时，PQ的中点M的运动轨迹为C，直线l：y=kx与轨迹C交于A，B两点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设E（m，n）是线段AB上的点，且，请将n表示为m的函数．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用代入法，求动点M的轨迹C的方程；（2）直线l ：y=kx 与轨迹C 联立，可得（1+k 2）x 2﹣4kx +2=0，利用韦达定理及，即可得出结论．【解答】解：（1）设M （x ，y ），Q （x 0，y 0），∵P （0，4），M 为PQ 的中点，∴x 0=2x ，y 0=2y ﹣4，代入x 02+y 02=8，可得动点M 的轨迹C 的方程x 2+（y ﹣2）2=2； （2）直线l ：y=kx 与轨迹C 联立，可得（1+k 2）x 2﹣4kx +2=0， △=16k 2﹣8（1+k 2）＞0，可得k ＜﹣1或k ＞1，设A （x 1，kx 1），B （x 2，kx 2），n=mk ，则x 1+x 2=，x 1x 2=∵，∴代入整理可得=+==3k 2﹣1，∵k ＜﹣1或k ＞1，∴﹣＜m ＜且m ≠0，∵n=mk ，3n 2﹣m 2=3，E 在圆C 内，n ＞0，∴n=（﹣＜m ＜且m ≠0）．22．已知函数f （x ）=lnx ．（1）证明：曲线y=f （x ）与曲线y=x ﹣1有唯一公共点；（2）若f （x ）的反函数为g （x ），设m ＜n ，比较与的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）问题转化为求函数φ（x ）=lnx ﹣x +1零点的个数，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点即可；（2）求出g （x ）的解析式，通过作差法判断即可．【解答】解：（1）曲线y=f （x ）与曲线y=x ﹣1公共点的个数等于函数φ（x ）=lnx ﹣x +1零点的个数，∵φ（1）=ln1﹣1+1=0，故φ（x ）存在零点x=1，又φ′（x ）=﹣1=，（x ＞0），可得：0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，故x=1时，φ（x）有极大值也是最大值为φ（1）=0，即φ（x）≤0恒成立，故φ（x）存在唯一零点x=1，∴曲线y=f（x）与曲线y=x﹣1有唯一公共点（1，0）；（2）由题意得g（x）=e x，﹣g（）=﹣= [﹣﹣（n﹣m）]设函数v（x）=e x﹣﹣2x，（x≥0），v′（x）=e x+﹣2≥2﹣2=0，故v′（x）≥0（仅当x=0时“=”成立），因此v（x）递增，x＞0时，v（x）＞v（0）=0，另x=，可得﹣﹣（n﹣m）＞0，故＞．2017年4月2日。
湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
长沙市第一中学2016——2017学年度高二第一学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,|31,A B x x k k z =--==-∈，则A B = A. {}2,1,0,1,2-- B.{}1,0,1- C. {}1,2- D.{}2,1-2.复数21i -的共轭复数是 A. 1i + B. 1i - C. 1i -- D.1i -3.已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为A. 2B. 4C. -2D. -4 4.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点. A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 C. 明天本地下雨的机会是80%D.气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报5.已知()4,2a = ，则与a方向相反的单位向量的坐标为A.()2,1B. ()2,1--C.⎝⎭D.⎛⎝⎭ 6.若函数xy a =在区间[]0,3上的最大值和最小值的和为98，则函数log a y x =在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是A. -2B. -1C. 1D. 27.已知3tan 2παπα=<<，则cos 2sin 2παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭8.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.右图是实现将某进制数a 化为十进制数b 的程序框图，若输入的2,110,3k a n ===，则输出的b =A. 14B. 12C.6D. 39.已知等比数列的前n 项和为A,前2n 项和为，公比为q ，则B AA-的值为 A. q B. 2q C. 1n q - D.n q10.设点P 为公共焦点()()122,0,2,0F F -的椭圆和双曲线的一个交点，且123cos 5F PF ∠=，已知椭圆的长轴长是双曲线实轴长的4倍，则双曲线的离心率为A.12 B. 2211.已知圆锥底面半径为2这个球的体积为C. 85πD.165π12.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，其图象与直线2y =最近的两个相邻交点间的距离为3π，若()1f x >对,83x ππ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是 A. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在命题“若m n >，则22m n >”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 .14.若,x y 满足约束条件1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 .15.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的表面积为 .16.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[][][]22,2.12, 2.23==-=-，这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，且当1x ≥时，()2log f x x =，那么()()()()16151516f f f f -+-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 的值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，向量(),m b =与()cos ,sin n A B =垂直.（1）求A ； （2）若,212B A a π+==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知等差数列{}n b 和各项都是正数的数列{}n a ，且11221,10a b b b ==+=，满足211220n n n n n a a a a a ++-+-=（1）求{}n a 和{}n b 通项公式； （2）设1n n nc b a =+，求数列{}n c 的前n 项和.19.（本题满分12分）下表是高二某位文科生连续5次考试的历史、政治成绩，结果统计如下：（1）求该生5次考试历史成绩的平均分和政治成绩的方差；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程.y bx a =+20.（本题满分12分）已知函数()()xf x x a e -=-，其中a 为常数.（1）判断()f x 在0x =处的切线是否经过一个定点，并说明理由；（2）讨论()f x 在区间[]2,3-上的单调性.21.（本题满分12分）已知点()0,4P ,Q 为圆228x y +=上的动点，当Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的运动轨迹为C ，直线:l y kx =与轨迹C 交于,A B 两点. （1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）设(),E m n 是线段AB 上的点，且222311OEOAOB=+，请将n 表示为m 的函数.22.（本题满分12分）已知函数()ln .f x x =（1）证明：曲线()y f x =与曲线1y x =-有唯一公共点； （2）若()f x 的反函数为()g x ，设m n <，比较2m n g +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()g n g m n m --的大小，并说明理由.。
湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合，则M ∪N=（ ）A ．{x|x ≥﹣2}B ．{x|x ＞﹣1}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|x ≤﹣2}2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ，则复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（ ）A ．B ．C ．D ．4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．6种5．（x 2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=a 及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．﹣B ． +C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣7．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日8．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C．D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B． C．D．11．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π），x1≠x2，且f（x1）=f（x2），若x1，x 0，x2成等差数列，则（）A．f'（x0）＞0 B．f'（x）=0C．f'（x0）＜0 D．f'（x）的符号不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为．14．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．15．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．16．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{an}满足a 1=1，an+1=an2+an，则[++…+]= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的周期和递增区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1、x2，求实数m的取值范围．并计算tan（x1+x2）的值．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=，对角线AC 与BD 相交于O ，OF ⊥平面ABCD ，BC=CE=DE=2EF=2． （Ⅰ） 求证：EF ∥BC ；（Ⅱ）求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与椭圆C交于B1，B 2两点，当以B1B2为直径的圆经过椭圆C的左焦点F1时，求以A1A2为直径的圆的标准方程．21．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k，使恒成立，并求k的最大值．湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合，则M ∪N=（ ）A ．{x|x ≥﹣2}B ．{x|x ＞﹣1}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|x ≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法． 【分析】根据题意先求出集合M 和集合N ，再求M ∪N ． 【解答】解：∵集合M={x|x 2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x ＜﹣1}，集合={x|2﹣x ≤22}={x|﹣x ≤2}={x|x ≥﹣2}，∴M ∪N={x|x ≥﹣2}， 故选A ．2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ，则复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数z2，代入表达式利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ， z 2=﹣2﹣i ，复数====﹣i ．在复平面内对应的点在第四象限．故选：D ．3．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2•=5，解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选：C．4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B．5．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B． +C．D．【考点】定积分在求面积中的应用；二项式系数的性质．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【解答】解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以=15，解得a=2，所以曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为==﹣．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣．故选：D．7．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．8．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，可得a＞1，则函数是奇函数，可知B不正确；，时，函数＜0，排除A，当x→0+当x=a10时，函数=→0，排除D，故选：C．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S ≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S ≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056， 满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24． 故选：B ．10．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，可得PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积． 【解答】解：由题意，设PC=2x ，则∵PA ⊥AC ，∠APC=，∴△APC 为等腰直角三角形， ∴PC 边上的高为x ， ∵平面PAC ⊥平面PBC ， ∴A 到平面PBC 的距离为x ，∵∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PB=x ，BC=x ，∴S △PBC ==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC ==，∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．11．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PB|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选C．12．已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π），x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，则（ ） A ．f'（x 0）＞0 B ．f'（x 0）=0C ．f'（x 0）＜0D ．f'（x 0）的符号不能确定 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意和求导公式及法则求出f′（x ）、f″（x ），由余弦函数的单调性判断出f″（x ）在（0，π）上递增，求出f″（0）和f″（π）的值，判断出f′（x ）的单调性，求出f′（0）和f′（π）的值后，根据题意判断出f （x ）的单调性，由等差中项的性质求出x 0，结合f （x ）单调性和f′（x ）的符号得到答案．【解答】解：由题意得，f′（x ）=，∴f″（x ）=在∈（0，π）上递增，又f″（0）=，f″（π）=，∴f′（x ）=在∈（0，π）上先减后增，∵又f′（0）=2＞0，f′（π）=2﹣2=0， 且x 1，x 2∈（0，π），x 1≠x 2，f （x 1）=f （x 2）， ∴函数f （x ）在（0，π）上不单调，∵x 1，x 0，x 2成等差数列，∴x 0=（x 1+x 2）， 则f'（x 0）＜0，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故答案为：4．14．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：15．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC 展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．16．用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n 2+a n ，则[++…+]= 2015 ．【考点】数列递推式．【分析】a 1=1，a n+1=a n 2+a n ＞1，可得=﹣，于是+…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．可得++…+=2016﹣．即可得出．【解答】解：∵a 1=1，a n+1=a n 2+a n ＞1，∴==﹣，∴=﹣，∴+…+=++…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．∴++…+=2016﹣．∴[++…+]=2015．故答案为：2015．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2﹣2cos 2x （x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的周期和递增区间；（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣m 在[0，]上有两个不同的零点x 1、x 2，求实数m 的取值范围．并计算tan （x 1+x 2）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得f （x ）=sin （2x ﹣），根据正弦函数的性质，即可求得函数f （x ）的周期和递增区间；（2）由题意可知方程g （x ）=f （x ）﹣m=0同解于f （x ）=m ，画出函数f （x ）=在[0，]上的图象，根据函数图象及正弦函数的性质，x 1与x 2关于直线对称，，tan （x 1+x 2）的值．【解答】解：（1）f （x ）=（x ∈R ）．由⇒（k ∈Z ），∴函数f （x ）的周期为T=π，递增区间为[，]（k ∈Z ）；…（2）∵方程g （x ）=f （x ）﹣m=0同解于f （x ）=m ；在直角坐标系中画出函数f （x ）=在[0，]上的图象，由图象可知，当且仅当m ∈[1，时，方程f （x ）=m 在[0，]上的区间[，）和（，]有两个不同的解x 1、x 2，且x 1与x 2关于直线对称，即，∴；故tan（x1+x2）=﹣1．…18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率；（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则： =×2000=3360…（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，这两户在同一分组的概率为P==…（Ⅲ）如图：K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…19．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥面ADEF，由此能证明EF∥BC．（Ⅱ）以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．…解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，），E（﹣，﹣，），向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量，设面BCFE 的法向量为：，，得到，令时，=（﹣1，，1），面AOF 的一个法向量，设面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角为θ，则cos θ===，∴sin θ=．故面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角的正弦值为．…20．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F 2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2，且与抛物线y 2=4x 交于A 1，A 2两点，与椭圆C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过椭圆C 的左焦点F 1时，求以A 1A 2为直径的圆的标准方程． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算可得c=1，a=2，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，B 1（1，），B 2（1，﹣），又F 1（﹣1，0），不满足条件；当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A 1A 2|的长，可得所求圆的半径，运用中点坐标公式可得圆心，进而得到所求圆的方程．【解答】解：（1）由题意可得e==，右焦点F 2（c ，0）到直线x+y+5=0的距离为3，可得=3，解得c=1，即有a=2，b==，可得椭圆的方程为+=1；（2）当直线l 与x 轴垂直时，B 1（1，），B 2（1，﹣），又F 1（﹣1，0），此时•≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1．不满足条件；当直线l 不与x 轴垂直时，设L ：y=k （x ﹣1），由，即（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B 1（x 1，y 1），B 2（x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=，因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以•=0，又F 1（﹣1，0），所以（﹣1﹣x 1）（﹣1﹣x 2）+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+（1﹣k 2）（x 1+x 2）+1+k 2=0，代入韦达定理，解得k 2=，由，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0，设A 1（x 3，y 3），A 2（x 4，y 4），则x 3+x 4==2+，x 3x 4=1，所以|A 1A 2|=x 3+x 4+p=2++2=，即有|A 1A 2|=，A 1A 2的中点为（1+，），即为（，±），可得以A 1A 2为直径的圆的标准方程为（x ﹣）2+（y+）2=，或（x ﹣）2+（y ﹣）2=．21．已知f （x ）=ln （mx+1）﹣2（m ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若m ＞0，g （x ）=f （x ）+存在两个极值点x 1，x 2，且g （x 1）+g （x 2）＜0，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，确定函数的单调性；（2）求出g （x ）的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m 的范围即可．【解答】解：（1）由已知得mx+1＞0，f′（x ）=，①若m ＞0时，由mx+1＞0，得：x ＞﹣，恒有f′（x ）＞0，∴f （x ）在（﹣，+∞）递增；②若m ＜0，由mx+1＞0，得：x ＜﹣，恒有f′（x ）＜0，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递减；综上，m ＞0时，f （x ）在（﹣，+∞）递增，m ＜0时，f （x ）在（﹣∞，﹣）递减；（2）g （x ）=ln （mx+1）+﹣2，（m ＞0），∴g′（x ）=，令h （x ）=mx 2+4m ﹣4，m ≥1时，h （x ）≥0，g′（x ）≥0，g （x ）无极值点，0＜m ＜1时，令h （x ）=0，得：x 1=﹣2或x 2=2，由g （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣2＞﹣且﹣2≠﹣2，解得：m ≠，∴x 1，x 2为g （x ）的两个极值点，即x 1=﹣2，x 2=2，且x 1+x 2=0，x 1•x 2=，得：g （x 1）+g （x 2）=ln （mx 1+1）+﹣2+ln （mx 2+1）+﹣2=ln （2m ﹣1）2+﹣2，令t=2m ﹣1，F （t ）=lnt 2+﹣2，①0＜m ＜时，﹣1＜t ＜0，∴F （t ）=2ln （﹣t ）+﹣2，∴F′（t ）=＜0，∴F （t ）在（﹣1，0）递减，F （t ）＜F （﹣1）＜0，即0＜m ＜时，g （x 1）+g （x 2）＜0成立，符合题意；②＜m ＜1时，0＜t ＜1，∴F （t ）=2lnt+﹣2，F′（t ）=＜0，∴F （t ）在（0，1）递减，F （t ）＞F （1）=0，∴＜m ＜1时，g （x 1）+g （x 2）＞0，不合题意，综上，m ∈（0，）．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x ﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k，使恒成立，并求k的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件可得存在实数k，使得+≥，利用基本不等式从而证得结论，可得k的最大值为4．【解答】解：（1）由不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2，可得①，或②，或③．解①求的x∈∅，解②求得﹣＜x≤，解③求得＜x＜4，综上可得，﹣＜x＜4．再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣，b=4．（2）由题意，恒成立，即存在实数k，使得+≥∵x＞y＞z，∴x﹣y＞0，y﹣z＞0，x﹣z＞0，∴[（x﹣y）+（y﹣z）]（+）=2++≥4，当且仅当=时取等号，即+≥故存在实数k≤4，使恒成立，k的最大值为4．。
湖南省长沙市2016-2017学年高一数学上册综合测评试题1
高一综合试题1．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝( )A.12B.413 C ．－95 D.25413．log 43、log 34、log 4334的大小顺序是( ) A ．log 34<log 43<log 43 34 B ．log 34>log 43>log 4334 C ．log 34>log 43 34>log 43 D ．log 4334>log 34>log 43 4．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确5．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( )A.14B.12 C ．2 D ．46．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <07．已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)．则f (6)＝ ( )A ．－2B ．－1C ．0D ．28．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) ( )A ．19B ．20C ．21D ．22二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4≤1a ，则实数x 的取值范围为________．12．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ .13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．14．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．15．(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为 ． (2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，则m 的取值范围为 ．三、解答题16．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．18．已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]∈D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f(x)＝log 12(x2－mx－m.)(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为常数(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。