时间序列分析讲义 第2章滞后算子

§2.3二阶差分方程
我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：
将其利用滞后算子表示为：
对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求 和 使得：
显然 和 是差分方程对应的特征方程的根：
当特征根 和 落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：
，
这时二阶差分方程解可以表示为：
注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent，1987，p. 184)：
例2.2 (1)假设 是一个时间序列，假设转换关系为： ，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。(2)假设 和 是两个时间序列，算子转换方式为： ，此算子是将两个时间序列求和。
定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做 。即对任意时间序列 ，滞后算子满足：
显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即： 。
§2.2一阶差分方程
利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式：
也可以表示为：
在上述等式两边同时作用算子： ，可以得到：
计算得到：
利用滞后算子性质得到：
上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。
注意到算子作用后的等式：
类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为 ，对任意时间序列 ，二阶滞后算子满足：
一般地，对于任意正整数 ，有：
命题2.1滞后算子运算满足线性性质：
()
(2)
证明：(1)利用滞后算子性质，可以得到：
(2)
由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。
(2)在形式上逆算子可以表示为：
这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列 ，有：
当 时，逆算子 的定义以后讨论。
如果时间序列 是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为：
可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数 ，下述形式的表达式均是方程的解。
上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。
例2.4假设变量 表示股票价格， 表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻 买入股票，然后在时刻 卖出股票，则他将获得实际红利收入 和价格收益 ，因此投资者的收益率为：
在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，则上述方程可以转化为股票价格的差分方程模型：
如果知道红利序列 和股票价格的初值 ，则可以得到股票价格路径为：
如果时间序列 是有界的，即存在有限的常数 ，使得任意时间均有： ，并且 ，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零。从而有：
如果利用“1”表示恒等算子，则有：
记：
因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。
定义2.1：当 时，定义算子 的逆算子为 ，它满足：
(1)
其中 表示单位算子，即对任意时间序列 ，有：
但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，则可能有很多价格轨迹满足价格的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，则有：
(1)如果初始时期股票价格等于红利贴现，即 ，则有：
，
此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称为在收益率是常数情形的股价基础成分。
(2)假设初始股价超过了 ，即 ，这时股票价格出现了扩散现象，这与资产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。
§2.5初始条件和无界序列
假设给定下述线性差分方程：
一般情况下，求解p阶差分方程的特解，需要p个初值： ，也需要外生变量的一个输入序列： ，这样一来根据差分方程结构，便可以确定 的时间路径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？
通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为：
，
命题2.1外生变量 对 现值的影响和外生变量 持续扰动对 的动态影响乘子是：
证明：将差分方程的解表示为：
，
其中：
，
设：
利用算子多项式表示：
对 现值的影响可以表示为：
注意到：
因此有：
长期乘数相当于 的情形，从而得到公式所示的公式。
上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的结论是一致的。
将上述表达式带入到二阶差分方程解中：
其中： ，
利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为：
，
上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。
例2.3对于二阶差分方程而言，其特征方程是：
得到特征根为：
，
上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。
§2.4p阶差分方程
上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p阶差分方程情形。将p阶差分方程表示成为滞后算子形式：
例2.1 (1)时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时： ；(2)另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即： ， 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3)在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为： ， 是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从 分布。
时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。
将上式左端的算子多项式分解为：
这相当于寻求 使得下述代数多项式恒等：
定义 ，则可以将上述多项式表示成为：
这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。
如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行下述分式分解：
通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：
，
显然有：
利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：
第二章滞后算子及其性质
§2.1基本概念
时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：
如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：