2.4矢量场的环量及旋度

S
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该 矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明： 由旋度的定义
S 0
c
lim
c

c
Α dl S
ˆn rot A e
A d l ( A) dS
对于有限大面积s，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim

c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
ex ey ez
F
x y z Fx Fx Fx
由旋度的定义可以得到矢量场的旋度与该矢量场的关系为：
ˆ x RotA x Ax ˆ y y Ay
ˆ x
ˆ z z Az
z
Az
ˆ z
()
A
A

x
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
2.1
场
一、场的概念：具有某种物理性质的物理量在空间的分布；
在数学上用函数表示. 即：场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中 任一个点都有一个确定的标量值或矢量.
二、场的分类：
数(标）量场 如温度场,电位场, 高度场等 如力场、速度场等 矢量场
三. 数(标)量场
1、定义 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标 的变化而变化，有时还可随时间变化。
2) 在圆柱坐标系下：
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin

则在一定体积V内的总的通量为：

V
F (r )dV F (r )dS
s
式中：S为包围体积V的闭合面 得证！
例题一：( 例1.2.3 书 pp.6)
已知空间中矢量场分布满足 A(r ) r ，求
矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
该矢量场的场量等于其空间位置矢量值 r 。在空间任 意位置，r 是变量。
ˆ S S n
边界曲线为C，面元法线方向为 ˆ n
，当面元面积无限缩小
M
C
A
取不同的路径，其 环量密度不同。
讨论
环量密度是面上的函数，表示环量在面上的分布。 环量密度的面积分就等于面边界闭合回路的环量。 某面上各点的环量密度与该面的取向有关。 不同的方向，环量密度不同。 一定存在一个方向，其环量密度比其它方向的大。
散度定理的证明
从散度定义，可以得到：
F (r ) lim
F (r )dS
s
V
V
d lim V V dV
是通量源密度， 由于 F
即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
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式中：S为包围V的闭合面
l l
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动； 反之，则矢量场存在涡漩运动。 反映矢量场漩涡源分 布情况。
二、矢量的旋度
法线方向与曲线绕 向成右手螺旋法则
1. 环流面密度 在场矢量 A(r ) 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其
时，可定义A(r ) 在点M处沿 n ˆ 方向的环量面密度 rotn A Adl rotn A lim c 环量密度 s 0 s ˆ 方向的漩涡源密度； rotn A 表示矢量场 A(r )在点M处沿 n
( A) 0
证：
Ay Ax Az Ay Ax Az ( ( ( A x ) y )z ) y z z x x y A Ay A A Ay A A ( z ) ( x z ) ( x ) x y z y z x z x y
R R
小结
1）矢量场的通量
通量的定义 封闭曲面通量的意义
2）散度的定义 3）散度的计算 4）高斯定理 思考题
1、通量和散度的意义各是什么？ 2、高斯定理的意义是什么？其积分面的方向是如何规定的？ 3、如果矢量场对于某区域封闭面S的通量为零，那么矢量场在该区域 中的散度处处为零吗？为什么？
第三节 矢量场的环流
xex yey zez 在圆柱坐标系下： r er zez 在球面坐标系下： r rer
在直角坐标系下： r
例题二： ' ' ， 已知：R ex ( x x' ) e y ( y y ) ez ( z z )
R 求：矢量 D 3 在R0处的散度。 R

)
c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2


c2

c
A dl ＝

s
( A) dS
斯托克斯定理给出了闭合线积分与 面积分的关系，反映了曲面边界上 的矢量场与曲面中旋度源的关系
得证！
四、矢量场旋度的重要性质
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
divA( r ) lim
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积


s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
( divF (r ) 0 正源)
divF (r ) 0负源)
( divF (r ) 0无源）
讨论：在矢量场中， 1）若 divA(r ) 0，则该矢量场称为有源场，为源密度； 2）若 divA(r ) 0 处处成立，则该矢量场称为无源场。
3、散度的计算
Fx Fy Fz 1) 在直角坐标系下：divF (r ) x y z ( ex ey ez ) ( Fx ex Fy ey Fz ez ) x y z F (r ) 式中： ( ex ey ez ) 哈密顿算符 x y z
由求旋度的公式可见，旋度运算是求导运算的组合，因 此，其运算规则与微分运算规则相似，例如
( A B) A B
(CA) C A (A) A A
三、斯托克斯定理
l
A d l ( A) dS
举例：
2、标量场的-等值线(面).
其方程为
为标量场
h ( x, y, z ) const
等值线
四、矢量场
1、定义： 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方
向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该 区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
举例：
线都和对应于该点的矢量 A 相切
为矢量场
为矢量 A(r ) 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
S A(r ) dS
A ( r ) dS
s
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
1）面元 dS
讨论
定义；
2）穿过闭合面的通量

s
A(r ) cos (r )ds
4. 旋度的计算
在直角坐标系下：
rotF exrotx F ey rot y F ezrot z F
Fz Fy Fx Fz Fy Fx ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y (ex ey ez ) ex Fx ey Fy ez Fz x y z
(A) A A
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反 映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。

V
F (r )dV F (r )dS
s
该公式表明了区域V 中场 F (r ) 与边界S上的场 F (r ) 之间的关系。
一、矢量的环流 环流的定义：
在场矢量
A(r )
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路 L 环流的计算 径L，则称 A(r ) 沿L积分的结果称为矢量 A(r ) 沿L的环流。即：
环量; 该环量表示绕线旋转趋势的大小； 矢量场的涡旋是由某种“力”（涡旋 l A(r )dl 源）引起的。 讨论：1）线元矢量 dl 的定义； 2) A(r )dl A(r ) cos (r )dl
2 2 2 2 2 2 Az Az Ay Ay Ax Ax xy yx zx xz yz zy
=0
小结
1）矢量场的环量 2）环量密度
3）旋度的定义 4）旋度的计算 5）斯托克斯定理
思考题
1 2 1 1 F F (r ) 2 (r Fr ) (sin F ) r r r sin r sin
一些常用的运算恒等式
( A B) A B (CA) C A
2、矢量场的矢量线：特点：曲线上每一点处，曲
矢量线
3、矢量线方程
在直角坐标下: 二维场
Ax Ay dx dy
三维场
第二节
一、矢量线（力线）
矢量场的通量
散度
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
二、矢量场的通量
若矢量场 A(r ) 分布于空间中，在空间中存 在任意曲面S，则定义：
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 0 ，闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源； c) 若 0 ，闭合面无源。
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
三、矢量场的散度
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：