2018-2019学年福建省宁德市高一下学期期末质量检测数学试题 扫描版
宁德市2018—2019学年度第二学期高一期末考试参考答案说明：1．本解答给出了每题要考察的主要知识和能力和一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4 14． 15．2 16．9π2三、解答题：本大题 共6小题，共70分。
17. 本题主要考查直线方程有关知识。
考查知识应用、运算化简能力。
满分10分。
17.解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为1(7)2y x =-得12k =， 则12AB k k=-=- .................................................. 2分 又(3,2)A ,∴直线AB 的方程为22(3)y x -=--....................... 4分 即280x y +-=（或28y x =-+） ................................... 5分（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩...... 7分 解得：40x y =⎧⎨=⎩.................................................... 9分 即点B 坐标为(4,0) ............................................... 10分18. 本题主要考点线面位置关系和空间几何体的体积公式等基础知识。
考查运算化简能力、推理论证能力和数形结合思想。
满分12分。
18．(1)证明:连结AC 交BD 于O ，连结EO ........ 1分∵四边形ABCD 是正方形，在PAC ∆中，O 为AC 中点， ................. 2分又∵E 为PA 中点 ∴EO ∥PC ................ 3分又∵PC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ......... 5分∴PC ∥平面BDE .......................... 6分(2)解：取AD 中点F ，连结EF则EF ∥PD 且122EF PD == ................ 8分 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD∴EF 就是三棱锥E BCD -的高 ............... 9分在正方形ABCD 中，21482BCD S ∆=⨯= ......... 10分 ∴-111682333BCD E BCD V S EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥 ..... 12分 19.本题主要考解三角形的相关知识。
考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想。
满分12分。
19.解：(1)由222a b c bc =+-得222b c a bc +-= ................................. 1分 ∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== ........................................... 3分 又∵()0πA ∈， ∴π=3A ................................................ 5分(2) ∵1sin 2ABC S bc A ∆= ............................................. 6分∴1πsin 23bc =，则1bc = ............................................. 7分 把2a =代入222a b c bc =+-得2214b c +-=即225b c += .................... 9分∴222()2527b c b c bc +=++=+=，则b c +=.......................... 11分∴ABC ∆2. .............................................. 12分20.本题主要考概率与统计相关知识。
考查运算化简能力、推理计算能力、数据处理能力和化归转化思想。
满分12分。
20.解：(1)根据频率和为1得(0.00250.02750.040.005)101x ++++⨯= ............. 2分则0.025x = ............................................................ 3分第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3+=，则中位数落在第三组[)70,80内. 4分由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75. ...................... 6分(2) 设事件A ：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.[)50,60的人数为2000.0255⨯=人......................................... 7分 ∴该组男司机3人，女司机2人. ......................................... 8分记男司机为：123,,A A A ，女司机为：12,B B .5人抽取2人进行座谈有: ()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10个基本事件. ...................................... 9分其中2人均为女司机的基本事件为()12,B B ................................ 10分 ∴1()10m P A n == ∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是110. ..................... 12分 21.本题主要考点线面位置关系，面面垂直、线面垂直、线面角、二面角等基础知识。
考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想。
满分12分。
21.（1）证明：法一：AB PA AB AD ⊥⊥由已知得：且，PA AD A =∴AB PAD ⊥面∵AB ∥CD ∴CD PAD ⊥面. .......................................... 2分∵PD PAD ⊂面∴CD PD ⊥又∵EF ∥PD ∴CD EF ⊥ .................... 3分∵CD BE ⊥，BE EB E =∴CD BEF ⊥面.............................. 4分 BF BEF ⊂面∴CD BF ⊥............................................. 5分 又∵PB BC F PC =且是中点∴PC BF ⊥∴PC CD C =∴BF PCD ⊥面...... 6分 ∵BF PBC ⊂面∴PBC PCD ⊥面面..................................... 7分法二：同法一得CD PAD ⊥面 .......................................... 2分又∵BE ∥AD ，AD PAD ⊂面，BE PAD ⊄面，∴BE ∥PAD 面 .......... 3分EF 同理∥PAD 面，BE EF E =，BE BEF ⊂面,EF BEF ⊂面∴PAD 面∥BEF 面 ................................................... 4分∴CD BEF ⊥面，BF BEF ⊂面CD BF ∴⊥ ............................... 5分又∵PB BC F PC =且是中点∴PC BF ⊥∴PC CD C =∴BF PCD ⊥面....... 6分 ∵BF PBC ⊂面∴PBC PCD ⊥面面...................................... 7分（2）由（1）知BF PCD ⊥面∴PF PB PCD 为直线在平面上的射影.∴BPC PB PCD ∠为直线与平面所成的角 ................................... 8分∵AB PA AB AD ⊥⊥且∴P AB C PAD --∠二面角的平面角是 ................. 9分∵2PA AD ==∴PD =12EF PD ==............................ 10分又∵BF PCD ⊥面∴BF EF ⊥.在Rt BFE ∆中1BF =在Rt PDC ∆中PC ................................... 11分∴在Rt PFB ∆中sin BF BPC PB ∠= ..................................... 12分 (注：若有其它解法，参照上述评分标准相应给分)22.本题主要考直线与圆的有关问题。
考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想。
满分12分。
22.解：(1)直线l 的方程为：2(0)y k x -=-即20kx y -+= ....................... 1分由22(1)1x y -+=得圆心(1,0)C ，半径1r = ................................ 2分直线与圆相交得d r <1<. .................................... 4分 解得34k <-.所以斜率k 的取值范围为34k <-. ............................. 5分(2)联立直线与圆方程：222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩ .................................... 6分消去y 整理得22(1)(4-2)40k x k x +++= ................................... 7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩ ................... 9分则1212OA OB y y k k x x +=+ ................................................... 10分21212121212284222()221222221141k kx kx x x k k k k k k x x x x x x k --++++=+=++=+=+=-+=⋅+∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值1. ................................................. 12分。
福建省宁德市2018-2019学年高一下期末数学试卷(有答案)
2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠ D．||=||5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16π C．24π D．32π7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A． B．C．2D．49．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】扇形面积公式．【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠ D．||=||【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16π C．24π D．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A． B．C．2D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x ﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B 或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【考点】直线的一般式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是V=V=．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，∴S△ACD===1．又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…。
福建省宁德市近年-近年学年高一数学下学期期末质量检测试题(扫描版)(最新整理)
宁德市2018—2019学年度第二学期高一期末考试参考答案说明：1．本解答给出了每题要考察的主要知识和能力和一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4 14． 15．2 16．9π2三、解答题:本大题 共6小题，共70分.17。
本题主要考查直线方程有关知识.考查知识应用、运算化简能力。
满分10分。
17.解：(1)由AB 边上的高所在直线方程为1(7)2y x =-得12k =,则12AB k k=-=- ........................................ 2分 又(3,2)A ，∴直线AB 的方程为22(3)y x -=-- .............. 4分 即280x y +-=(或28y x =-+） ............................ 5分 （2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩7分解得：40x y =⎧⎨=⎩......................................... 9分 即点B 坐标为(4,0) .................................... 10分18. 本题主要考点线面位置关系和空间几何体的体积公式等基础知识。
2018-2019学年福建省宁德市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年福建省宁德市高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线0x y -=的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】1k = 得到倾斜角为45︒. 【详解】01tan 145x y k θθ-=⇒=⇒=⇒=︒故答案选B 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2．某部门为了了解用电量y （单位：度）与气温x （单位：C ︒）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程0.8y x a =-+，则a =（ ）A ．12.6B ．13.2C ．11.8D ．12.8【答案】A【解析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案. 【详解】461173x ++== ，104773y ++== ，中心点为(7,7) 代入回归方程0.8y x a =-+70.8712.6a a =-⨯+⇒=故答案选A本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键. 3．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面【答案】D【解析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c a C =，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理得到答案. 【详解】sin sin sin sin (sin 0)sin 190c a C C A C C A A =⇒=≠⇒=⇒∠=︒故答案为B 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5．圆()()22132x y -+-=被y 轴所截得的弦长为（ ）A ．1 BC ．2D ．3【答案】C【解析】先计算圆心到y 轴的距离，再利用勾股定理得到弦长. 【详解】()()22132x y -+-=，圆心为(1,3) r =圆心到y 轴的距离1d =弦长2l == 故答案选C本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，45A =︒，30B =︒，2b =，则a =（ ）A B C ．D ．3【答案】C【解析】利用正弦定理得到答案. 【详解】2sin sin sin 45sin 30a b a a A B =⇒=⇒=︒︒故答案选C 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B C 与直线11A C 所成角是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案. 【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒故答案选B本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8．圆224x y +=与圆222440x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B【解析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系. 【详解】22222440(1)(2)9x y x y x y +-+-=⇒-++=圆心距d ==5,1R r R r +=-=R r d R r +>>-相交故答案选B 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解. 10．过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ）A ．512310x y -+=B ．3y =或43130x y +-=C ．1x =或512310x y -+=D ．1x =或512410x y +-=【答案】C【解析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案. 【详解】 如图所示：当斜率不存在时：1x =当斜率存在时：设531251231023112k b k y kx b x y d b ⎧=+⎧=⎪⎪⎪=+⇒⇒⇒-+=⎨⎨==⎪⎪=⎩⎪⎩故答案选C 【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍.四边形ABCD 为矩形，ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，4AB =，2AD EF ==，则此“刍甍”的表面积为（ ）A．8+B．8+C．8+ D．8+【答案】A【解析】分别计算出每个面积，相加得到答案. 【详解】11222(24)2222248222ABEF BCF ABCD S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+故答案选A 【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180︒的四边形，在平面凸四边形ABCD 中，30A ∠=︒，135B ∠=︒，AB =2AD =，设CD t =，则t 的取值范围是（ ）A ．3⎡⎤⎣⎦B ．)3⎡⎣C ．12⎤⎥⎣⎦ D ．12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【解析】先利用余弦定理计算1DB =，设D C B θ∠=，将C D t =表示为θ的函数，再求取值范围. 【详解】 如图所示：2222cos 34611BD AD AB AD AB A BD =+-⋅=+-=⇒=9045DBA DBC ∠=︒⇒∠=︒在DBC ∆中，利用正弦定理：2(15135)sin 45sin sin t BDt θθθ=⇒=︒<<︒︒当90θ=︒时，有最小值为2当15θ=︒1 （不能取等号）t 的取值范围是12⎫⎪⎪⎣⎭故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将CD t =表示为θ的函数是解题的关键.二、填空题13．已知直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行，则a =______. 【答案】4【解析】利用直线平行公式得到答案. 【详解】直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行44a a -=-⇒=故答案为4 【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14．如图，为了测量树木AB 的高度，在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30°，若10CD =米，则树高为______米.【答案】【解析】先计算10AC =，再计算AB =【详解】在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30° 则3010DCA AC DC ∠=︒⇒==在ABC ∆中，AB =故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15．在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差. 【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26 平均值为：2223242526245++++=方差为：22222(2224)(2324)(2424)(2524)(2624)25-+--+-+-=+故答案为2 【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16．已知三棱锥的底面是腰长为2的体积为______. 【答案】9π2【解析】先判断球心在1PO 上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积. 【详解】三棱锥的底面是腰长为2AC =1O 为AC 中点，1O 为ABC ∆外心，连接1PO ，1PO AC ⊥111PA AO PO ⇒=22211111PB PO BO PO BO PO =+⇒⊥⇒⊥平面ABC球心在1PO 上设半径为2223349(1)232r r r r V r ππ⇒-+=⇒=⇒== 故答案为9π2【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．在ABC ∆中，已知点()3,2A ，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为340x y --=，AB 边上的高所在直线的方程为()172y x =-. （1）求直线AB 的方程； （2）求点B 的坐标.【答案】（1）280x y +-=（2）()4,0 【解析】（1）先计算12AB k k=-=-，过点()3,2A ，得到答案. （2）联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得答案.【详解】解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为()172y x =-得12k =， 则12AB k k=-=-.又∵()3,2A ，∴直线AB 的方程为()223y x -=--， 即280x y +-=（或28y x =-+）.（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩. 解得：4x y =⎧⎨=⎩，即点B 坐标为()4,0. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，且4PD AD ==，点E 为线段PA 的中点.（1）求证：PC P 平面BDE ； （2）求三棱锥E BCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）163【解析】（1）证明EOPC 得到PC P 平面BDE .（2）先证明EF 就是三棱锥E BCD -的高，再利用体积公式得到三棱锥E BCD -的体积. 【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于O ，连结EO . ∵四边形ABCD 是正方形， 在PAC ∆中，O 为AC 中点， 又∵E 为PA 中点 ∴EOPC .又∵PC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE .∴PC P 平面BDE .（2）解：取AD 中点F ，连结EF .则EF PD 且122EF PD ==. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF 就是三棱锥E BCD -的高. 在正方形ABCD 中，21482BCD S ∆=⨯=. ∴-111682333BCD E BCD V S EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥. 【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足222a b c bc =+-. （1）求角A ；（2）若2a =，ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3A π=（22【解析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到1bc =，利用余弦定理得到225b c +=，计算得到答案. 【详解】解：（1）由222a b c bc =+-得222b c a bc +-=.∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==，∴1sin 234bc π=，则1bc =. 把2a =代入222a b c bc =+-得2214b c +-=即225b c +=.∴()2222527b c b c bc +=++=+=，则b c +=.∴ABC ∆2. 【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20．据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[)90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x 的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1）0.025x =，中位数的估计值为75（2）110【解析】（1）根据频率和为1计算x ，再判断中位数落在第三组[)70,80内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案. 【详解】解：（1）根据频率和为1得()0.00250.02750.040.005101x ++++⨯=. 则0.025x =.第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3+=，则中位数落在第三组[)70,80内. 由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75. （2） 设事件A ：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.[)50,60的人数为2000.0255⨯=人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .5人抽取2人进行座谈有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为()12,B B . ∴()110m P A n ==. ∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是110. 【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．如图1，在Rt PDC ∆中，90D ∠=︒，A ，B ，E 分别是PD ，PC ，CD 中点，4PD =，CD =.现将PAB ∆沿AB 折起，如图2所示，使二面角P AB C --为120︒，F 是PC 的中点.（1）求证：面PCD ⊥面PBC ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】（1）证明BF ⊥面PCD 得到面PCD ⊥面PBC .（2）先判断BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，再计算其正弦值. 【详解】（1）证明：法一：由已知得：AB PA ⊥且AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥面PAD . ∵AB CD ∥，∴CD ⊥面PAD .∵PD ⊂面PAD ，∴CD PD ⊥，又∵EF PD ，∴CD EF ⊥，∵CD BE ⊥，BEEB E =，∴CD ⊥面BEF .BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =，∴BF ⊥面PCD .∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD . 法二：同法一得CD ⊥面PAD . 又∵BEAD ，AD ⊂面PAD ，BE ⊄面PAD ，∴BE 面PAD .同理EF 面PAD ，BE EF E =，BE ⊂面BEF ，EF ⊂面BEF .∴面PAD 面BEF .∴CD ⊥面BEF ，BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥. 又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =，∴BF ⊥面PCD .∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD .（2）由（1）知BF ⊥面PCD ，∴PF 为直线PB 在平面PCD 上的射影. ∴BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，∵AB PA ⊥且AB AD ⊥，∴二面角P AB C --的平面角是PAD ∠.∵2PA AD ==，∴PD =∴12EF PD ==又∵BF ⊥面PCD ，∴BF EF ⊥.在Rt BFE ∆中，1BF ==.在Rt PDC ∆中，PC ==∴在Rt PFB ∆中，sin BF BPC PB ∠==. 【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 的斜率之和为定值. 【答案】（1）34k <-（2）见解析 【解析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩.韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩计算OA OB k k +，化简得到答案.【详解】解：（1）直线l 的方程为：()20y k x -=-即20kx y -+=. 由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.直线与圆相交得d r <1<.解得34k <-.所以斜率k 的取值范围为34k <-. （2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 消去y 整理得()()2214240k x k x ++-+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩. 则1212OA OB y y k k x x +=+ 21212121212284222()22122241k kx kx x x k k k k x x x x x x k --++++=+=++=+=+⋅+2211k k =-+=.∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值1. 【点睛】本题考查了斜率k 的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
福建省宁德市高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
福建省宁德市2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版）宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（B ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分． （3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.A2. B3. C 4．D 5. B 6. B 7. A 8. C 9．C 10.D 11.C 12. A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．1- 14. 3- 15．相交 16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）Q 直线l 的倾斜角30o α=, ∴直线l 的斜率为3tan303=o , ······ 2分 Q 直线l 过点(3,2)P , ∴直线l 的方程为：32(3)3y x -=-····· 4分 即：330x y -+= ······················· 5分（说明：直线方程写成3330x y -+=不扣分）（Ⅱ）Q 直线m 与直线l 垂直的, ∴直线m 斜率为3-, ·········· 6分∴直线m 的方程是33(1)y x -=--, 即323y x =-+ ······· 7分直线m 与x 轴交点坐标是(2,0),与y 轴交点坐标是(0,23), ………………9分∴求直线m 与坐标轴围成的三角形面积为1232232⨯⨯=. ······ 10分 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）AP AB BP =+u u u r u u u r u u u r………………………………………………………………2分=12AB BC +u u u r u u u r ………………………………………………………………4分=12AB AD +u u u r u u u r………………………………………………………………6分（Ⅱ）Q 矩形ABCD 中, AD DC ⊥, ∴0AD DC u u u r u u u r⋅= ·········· 7分又22216DC DC AB ===u u u r u u u r u u u r …………………8分()AQ DC AD DQ DCu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ⋅=+⋅…………………9分 PQDC A()AD DC DC u u u r u u u r u u u rλ=+⋅………………10分2()164AD DC DC u u u r u u u r u u u r λλ=⋅+== ·············· 11分1λ=4∴ ··························· 12分 19. （本题满分12分）解法一：（Ⅰ）Q 角α的终边经过(2,1)A ,∴ 2,x = 1,y = 225,r x y +………………………………………1分∴5sin 5y r α===, ……………………………………………3分 25cos 5x r α== ……………………………………………………5分 1tan 2y x α== ························ 6分 （Ⅱ）Q 角β的终边经过B (3,1),∴3,x = 1,y =1tan 3y x β∴== ················ 7分 tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- ·················· 8分1123111123+==-⨯ ······················· 10分 02Q παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，, +0αβπ∴∈（，）············· 11分 +=4παβ∴ ························ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）Q 角β的终边经过B (3,1),∴ 3,x = 1,y = 2210,r x y + ············· 7分∴sin 10y r β==, cos 10x r β=············· 9分 ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ·············· 10分 251051050==········· 11分 02Q παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，, +0αβπ∴∈（，）+=4παβ∴ ························· 12分C 1B 1A 1DABC（注：若求2sin()2αβ+=,得到+=4παβ,3+=4παβ, 扣1分） 20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：∵AC CB =，D 为AB 中点,∴CD AB ⊥,…………………………………2分 ∵1AA ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ………3分∴1AA CD ⊥, ………………………………4分又∵1AB AA A =I ,AB ⊂平面11AA B B ,1AA ⊂平面11AA B B ………………5分∴CD ⊥平面11AA B B …………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知得222AC CB AB +=∴90ACB ∠=︒ ………………………………………………………………7分 ∵D 为AB 中点，∴12ADC ACB S S ∆∆=………………………………………………………………8分 11122AC BC =⨯⋅⋅=……………………………………………………9分 又1AA ⊥平面ABC∴11A A DC A ADC V V --= …………………………………………………………10分113ADC S AA ∆=⋅……………………………………………………11分1123=⨯⨯23= ………………………………………………12分 21（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵()=3sin 2+cos2f x x x ···················· 2分=2sin(2+)6x π······················ 4分 ∴当ππ2+=+2π62x k , ····················· 5分即π=+π6x k （k ∈Z ）时， ··················· 6分()f x 有最大值2 ······················· 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()=2sin (2+)6f x x π，由ππ3π+2π2++2π,262k x k k ≤≤∈Z ，……………………………………………8分 得π2π+π+π63k x k ≤≤， …………………9分 所以，当π2π[π,π]Z 63x k k k ∈++∈时，函数()f x 单调递减 ······· 10分(说明：写成开区间不扣分) ∵()f x 在区间)6m （，π上单调递减∴2<63m ππ≤··························· 12分22. （本题满分12分）解法一：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由已知得：222222+-20(1)(-1)(-1)(1)a b a b r a b r=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩………………………………………2分（说明：列对1~2个得1分，全部列对，得2分）解得21,4a b r === ………………………………………………4分 （说明：求对1~2个得1分，全部求对，得2分）∴圆E 的方程为22-1-14x y （）（）+= ……………………………………5分（Ⅱ）直线l 关于原点对称的直线'l 的方程为20x y ---=即++20x y =……………7分 由已知得，90PME PNE ∠=︒=∠所以以PE 为直径的圆F 过点M N 、，故线段MN 为圆F 、圆E 的公共弦.…8分 设(,)P a b ，则圆F 的方程为2222+1+1+1+1(-)+(-)=(-1)+(-1)2222a b a b x y即22+1)(+1)++0x y a x b y a b +--=（ ①…………………………………………9分 又圆E 的方程为222220x y x y +---= ②②-①得直线MN 的方程为(1)(1)20a x b y a b -+----=…………………10分 又点P 在直线'l 上，所以+20a b +=,∴(1)+(3)0a x a y ---=……………………………………………………11分 ∴()-30a x y x y --= 00300x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩,直线MN 过定点C(0,0). ………………………………………12分 解法二： （Ⅰ）设圆E 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则20202022D E F D E F D E⎧⎪-++=⎪---=⎨⎪⎪---=⎩………………………………………………2分 解得2,2D E F ==-=-………………………………………………4分∴圆E 的方程为222220x y x y +---= ………………………………5分（Ⅱ）同解法一.解法三：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=由已知得，线段AB 的中点C(0,0)………………………………1分 又11111AB k +==---Q …………………………………………………………2分 ∴线段AB 的垂直平分线的方程：-0x y = ………………………………3分 由0,20,a b a b -=⎧⎨+-=⎩解之得11a b =⎧⎨=⎩ ，…………………………………4分 又半径||2r EA == …………………………………5分∴圆E 的方程为22-1-14x y +=（）（）. ……………………6分（Ⅱ）同解法一(说明：其它解法相应给分)。
福建省宁德市高一下期末数学试卷(有答案)
福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．49．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】扇形面积公式．【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【考点】直线的一般式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是V=V=．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，∴S△ACD===1．又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…2016年8月31日。
福建省宁德市屏南县华侨中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析
福建省宁德市屏南县华侨中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A．某班个子较高的同学B．长寿的人C．的近似值D．倒数等于它本身的数参考答案：D【考点】集合的含义．【专题】计算题．【分析】通过集合的定义，直接判断选项即可．【解答】解：因为集合中的元素满足：确定性、互异性、无序性；选项A、B、C元素都是不确定的．所以D，倒数等于它本身的数，能够构成集合．故选D．【点评】本题考查集合的定义，集合元素的特征，基本知识的应用．2. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f （﹣2）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．5. 如果集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,5,8},B={1,3,5,7},那么(C U A)∩B等于( )A. {4}B. {1,3,4,5,6,7,8}C. {1,3,7}D. {2,8}参考答案：C6. 直线的倾斜角是（）A． B. C.D.参考答案：D7. 函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零点，即为函数f（x）=2cosπx与函数g （x）=ln|x﹣1|的图象交点的横坐标，由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零点，即为函数f（x）=﹣2cosπx与函数g（x）=ln|x﹣1|的图象交点的横坐标，由图象变化的法则可知：y=ln|x﹣1|的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A，B，C，D，E，F，6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x F=2，x B+x E=2，x C+x D=2，故所有交点的横坐标之和为6，故选：C．【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．8. 将函数的图像上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不变），则所得到的图像的函数解析式是（）A． B．C． D．参考答案：C略9. 集合A={x|y=}，B={y|y=x2+2}，则A∩B等于( )A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞） D．[2，+∞）参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，集合A为函数y=的定义域，由根式的意义可得集合A，集合B 为函数y=x2+2的值域，由二次函数的性质可得集合B，进而由交集的定义可得答案．【解答】解：y=中，有x≥1，则集合A={x|x≥1}，y=x2+2中，有y≥2，则有集合B={y|y≥2}则A∩B={x|x≥2}=[2，+∞），故选D．【点评】本题考查集合的交集运算，关键是掌握集合的表示方法以及集合的意义．10. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是2cm2则该扇形的周长是（）cm。
福建省宁德市北壁中学2018-2019学年高一数学文下学期期末试卷含解析
福建省宁德市北壁中学2018-2019学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）A．（1，4）B．[1，4）C．{1，2，3} D．{2，3，4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z||x|＜4}={x∈Z|﹣4＜x＜4}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={1，2，3}，故选：C．2. 如果不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A试题分析：不等式对一切实数均成立，等价于对一切实数均成立，所以，解得，故选A.考点：函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解及一元二次函数的图象与性质的综合应用，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、转化为对一切实数均成立，进行求解，其中正确运用一元二次函数的图形与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.3. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A. B .C. D.参考答案：B4. 设两条直线的方程分别为x+y+a=0和 x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．5. 已知平面上直线的方向向量=(),点和在上的射影分别是和，则=,其中等于（）A． B． C．2D．参考答案：D6. （5分）若奇函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=log a（x+k）大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：对数函数的图像与性质；奇函数．专题：计算题；图表型；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数g（x）的图象．解答：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0．即（k﹣1）a x+（k﹣1）a﹣x=0，解之得k=1．又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴a＞1，可得g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）．函数图象必过原点，且为增函数．故选：C点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．7. 设的定义域为，若满足下面两个条件，则称为闭函数.①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，如果为闭函数，那么的取值范围是（）（A）≤（B）≤＜1 （C）（D）＜1参考答案：A略8. 某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7参考答案：C【分析】由均值和中位数定义求解．【详解】由题意，，由茎叶图知就中位数，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查茎叶图，考查均值与中位数，解题关键是读懂茎叶图．9. 已知x1、x2是关于x1的方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝０的两个实根，那么+的最大值是A.19B.17C. D18参考答案：D10. 函数，若，则的值为 ( ）A．3 B．0 C．-1 D．-2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数，且则___________.参考答案：12. 一艘船的最快速度为4km/h行驶，而河水的流速为3km/h，船最快到达对岸所使用的时间是2小时，则河宽为.参考答案：8KM略13. 等比数列中，如果则等于（）A. B. C. D.1参考答案：D14. 已知角α和角β的终边关于直线y=x对称，且β=﹣，则sinα= ．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】不妨取α∈[0，2π），则由角β=﹣，且角β的终边与角α的终边关于直线y=x对称，可得α，由此求得sinα．【解答】解：不妨取α∈[0，2π），则由角α和角β的终边关于直线y=x对称，且β=﹣，可得α=，sinα=．故答案为：．15. 函数的值域为．参考答案：16.参考答案：817. 的值等于．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】切化弦，利用差角的正弦公式，即可得出结论．【解答】解：=﹣====．故答案为：．【点评】本题考查差角的正弦公式，考查学生的技术能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
福建省宁德市2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
福建省宁德市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置. 1.直线0x y -=的倾斜角为（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】1k = 得到倾斜角为45︒.【详解】01tan 145x y k θθ-=⇒=⇒=⇒=︒ 故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量y （单位：度）与气温x （单位：C ︒）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程$$0.8y x a=-+，则$a =（ ）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案. 【详解】461173x ++== ，104773y ++== ，中心点为(7,7) 代入回归方程$$0.8y x a=-+ $$70.8712.6aa =-⨯+⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c a C =，则ABC ∆是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】sin sin sin sin (sin 0)sin 190c a C C A C C A A =⇒=≠⇒=⇒∠=︒ 故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆()()22132x y -+-=被y 轴所截得的弦长为（ ）A. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先计算圆心到y 轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】()()22132x y -+-=，圆心为(1,3) r =圆心到y 轴的距离1d =弦长2l == 故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，45A =︒，30B =︒，2b =，则a =（ ）B.3C.D.3【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】2sin sin sin 45sin 30a b a a A B =⇒=⇒=︒︒故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B C 与直线11A C 所成角是（ ） A. 45︒ B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案. 【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆224x y +=与圆222440x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含【答案】B 【解析】 【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系. 【详解】22222440(1)(2)9x y x y x y +-+-=⇒-++=圆心距d =5,1R r R r +=-=R r d R r +>>-相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件 C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A 【解析】 【分析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ）A. 512310x y -+=B. 3y =或43130x y +-=C. 1x =或512310x y -+=D. 1x =或512410x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示： 当斜率不存在时：1x =当斜率存在时：设25312512310231112k b k y kx b x y k b d b k ⎧=+⎧=⎪⎪⎪=+⇒⇒⇒-+=-+⎨⎨==⎪⎪=+⎩⎪⎩故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍.四边形ABCD 为矩形，ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，4AB =，2AD EF ==，则此“刍甍”的表面积为（ ）A. 883+B. 873+C. 83+D. 843+【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.【详解】11222(24)222224822ABEF BCF ABCD S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故答案选A 【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180︒的四边形，在平面凸四边形ABCD 中，30A ∠=︒，135B ∠=︒，AB =2AD =，设CD t =，则t 的取值范围是（ ）A. 3⎡⎤⎣⎦B. )3⎡⎣C.12⎤⎢⎥⎣⎦D.12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦定理计算1DB =，设DCB θ∠=，将CD t =表示为θ的函数，再求取值范围. 【详解】如图所示：2222cos 34611BD AD AB AD AB A BD =+-⋅=+-=⇒=9045DBA DBC ∠=︒⇒∠=︒在DBC ∆中，利用正弦定理：2(15135)sin 45sin sin t BDt θθθ=⇒=︒<<︒︒ 当90θ=︒ 当15θ=︒1 （不能取等号）t 的取值范围是1⎫⎪⎪⎣⎭故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将CD t =表示为θ的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 13.已知直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行，则a =______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行44a a -=-⇒=故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木AB 的高度，在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30°，若10CD =米，则树高为______米.【答案】3【解析】 【分析】先计算10AC =，再计算53AB =【详解】在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30° 则3010DCA AC DC ∠=︒⇒== 在ABC ∆中，53AB = 故答案为53【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2 【解析】 【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差. 【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26 平均值为：2223242526245++++=方差为：22222(2224)(2324)(2424)(2524)(2624)25-+--+-+-=+故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为23为______. 【答案】9π2【解析】 【分析】先判断球心在1PO 上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积. 【详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于322AC = 1O 为AC 中点，1O 为ABC ∆外心，连接1PO ，1PO AC ⊥113,21PA AO PO ==⇒=22211111PB PO BO PO BO PO =+⇒⊥⇒⊥平面ABC球心在1PO 上设半径为2223349(1)(2)232r r r r V r ππ⇒-+=⇒=⇒== 故答案为9π2【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在ABC ∆中，已知点()3,2A ，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为340x y --=，AB 边上的高所在直线的方程为()172y x =-. （1）求直线AB 的方程； （2）求点B 的坐标.【答案】（1）280x y +-=（2）()4,0 【解析】 【分析】（1）先计算12AB k k=-=-，过点()3,2A ，得到答案. （2）联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得答案.【详解】解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为()172y x =-得12k =，则12AB k k=-=-. 又∵()3,2A ，∴直线AB 的方程为()223y x -=--， 即280x y +-=（或28y x =-+）.（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩.解得：40x y =⎧⎨=⎩， 即点B 坐标为()4,0.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，且4PD AD ==，点E 为线段PA 的中点.（1）求证：PC P 平面BDE ； （2）求三棱锥E BCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）163【解析】 【分析】（1）证明EO PC P 得到PC P 平面BDE .（2）先证明EF 就是三棱锥E BCD -的高，再利用体积公式得到三棱锥E BCD -的体积. 【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于O ，连结EO . ∵四边形ABCD 是正方形， 在PAC ∆中，O 为AC 中点， 又∵E 为PA 中点 ∴EO PC P .又∵PC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE . ∴PC P 平面BDE .（2）解：取AD 中点F ，连结EF .则EF PD P 且122EF PD ==. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF 就是三棱锥E BCD -的高. 在正方形ABCD 中，21482BCD S ∆=⨯=. ∴-111682333BCD E BCD V S EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥. 【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足222a b c bc =+-. （1）求角A ； （2）若2a =，4ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3A π=（22【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到1bc =，利用余弦定理得到225b c +=，计算得到答案. 详解】解：（1）由222a b c bc =+-得222b c a bc +-=.∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==，∴1sin 234bc π=，则1bc =. 把2a =代入222a b c bc =+-得2214b c +-=即225b c +=.∴()2222527b c b c bc +=++=+=，则7b c +=.∴ABC ∆的周长为72+.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[)90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x 的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1）0.025x =，中位数的估计值为75（2）110【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算x ，再判断中位数落在第三组[)70,80内，再计算中位数. （2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得()0.00250.02750.040.005101x ++++⨯=. 则0.025x =.第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3+=，则中位数落在第三组[)70,80内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75. （2） 设事件A ：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.[)50,60的人数为2000.0255⨯=人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .5人抽取2人进行座谈有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为()12,B B . ∴()110m P A n ==. ∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是110. 【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在Rt PDC ∆中，90D ∠=︒，A ，B ，E 分别是PD ，PC ，CD 中点，4PD =，22CD =.现将PAB ∆沿AB 折起，如图2所示，使二面角P AB C --为120︒，F 是PC的中点.（1）求证：面PCD ⊥面PBC ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）66【解析】【分析】（1）证明BF ⊥面PCD 得到面PCD ⊥面PBC .（2）先判断BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：AB PA ⊥且AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥面PAD . ∵AB CD ∥，∴CD ⊥面PAD .∵PD ⊂面PAD ，∴CD PD ⊥，又∵EF PD P ，∴CD EF ⊥， ∵CD BE ⊥，BE EB E =I ，∴CD ⊥面BEF .BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =I ，∴BF ⊥面PCD . ∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD . 法二：同法一得CD ⊥面PAD .又∵BE AD P ，AD ⊂面PAD ，BE ⊄面PAD ，∴BE P 面PAD . 同理EF P 面PAD ，BE EF E =I ，BE ⊂面BEF ，EF ⊂面BEF . ∴面PAD P 面BEF .∴CD ⊥面BEF ，BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =I ，∴BF ⊥面PCD . ∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD .（2）由（1）知BF ⊥面PCD ，∴PF 为直线PB 在平面PCD 上的射影. ∴BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，∵AB PA ⊥且AB AD ⊥，∴二面角P AB C --的平面角是PAD ∠.∵2PA AD ==，∴PD =12EF PD ==又∵BF ⊥面PCD ，∴BF EF ⊥.在Rt BFE ∆中，1BF ==.在Rt PDC ∆中，PC =∴在Rt PFB ∆中，sin 6BF BPC PB ∠==. 【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 的斜率之和为定值. 【答案】（1）34k <-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩.韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩计算OA OB k k +，化简得到答案.【详解】解：（1）直线l 的方程为：()20y k x -=-即20kx y -+=. 由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.直线与圆相交得d r <1<.解得34k <-.所以斜率k 的取值范围为34k <-. （2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 消去y 整理得()()2214240k x k x ++-+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩.则1212OA OB y y k k x x +=+21212121212284222()22122241k kx kx x x k k k k x x x x x x k --++++=+=++=+=+⋅+2211k k =-+=.∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率k 的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
2018—2019学年第二学期福建省中高一数学期末试卷及答案解析
2018—2019学年第二学期福建省高一数学期末试卷一、选择题1、将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5=（）A ．2018×2012B ．2018×2011C ．1009×2012D ．1009×2011 2、已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是 A ．B ．C ．D ．3、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定4、已知x =是函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－，]上的最小值为A ．－2B ．－1C ．－D ．－5、已知α为锐角，且A ．B ．C ．－D ．±6、在△ABC 中，，则这个三角形一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形 7、已知若，则实数对（λ1，λ2）为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．无数对 8、若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A ．－B ．－C ．－D ．－9、若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．C ．2或D ．无法确定 10、若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A ．B ．C ．D ．11、设a n =（n ∈N *），则a 3=A ．B ．C ．D ．12、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A ．B ．C ．－D ．－二、填空题13、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A －B ）cos （B －C ）cos （C －A ）=1，则△ABC 为正三角形。
福建省宁德市坎市中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析
福建省宁德市坎市中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C 的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．2. 若,那么满足的条件是（）A． B． C． D．参考答案：B3. 四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF 是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4. 已知集合M={0,1},P= {x|< <9,x Z} ,则M∩P=( )A.｛-1，0｝B.{1}C.{0}D.{0,1}参考答案：C5. 与向量=（12，5）平行的单位向量为（）A． B．C． D．参考答案：C略6. 在数列中，已知对任意，则等于 ( )．A． B． C． D．参考答案：B7. 840和1764的最大公约数是()A．84 B．12 C．168 D．252参考答案：A8. 函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式可得f（﹣1）f（0）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f （x）=x+3x的零点所在的区间．【解答】解：由函数的解析式可得f（﹣1）=﹣1+=﹣＜0，f（0）=0+1=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（﹣1，0），故选：B．【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．9. 已知圆O1的方程为，圆O2的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切参考答案：C【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，求出圆心距，可以求出圆心距的最小值，然后与两圆半径的和、差的绝对值，进行比较，最后得出答案.【详解】因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2，又因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为，因此有，两圆的半径和为，半径差的绝对值为，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距的最小值是解题的关键.10. 对a，b∈R，记max{a，b}=，函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是（）A．0 B．C．D．3参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x﹣2|哪一个更大先求出f（x）的解析式，再求出f（x）的最小值．【解答】解：当x＜﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，|x﹣2|=2﹣x，因为（﹣x﹣1）﹣（2﹣x）=﹣3＜0，所以2﹣x＞﹣x﹣1；当﹣1≤x＜时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x，因为（x+1）﹣（2﹣x）=2x﹣1＜0，x+1＜2﹣x；当＜x＜2时，x+1＞2﹣x；当x≥2时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=x﹣2，显然x+1＞x﹣2；故f（x）=据此求得最小值为．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P，使得△APB的最大边是AB发生的概率为，则= ．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得=，从而=．故答案为：．12. 如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为A. B. C. D.参考答案：C略13. 已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为．参考答案：12x+8y﹣15=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】设出直线方程，利用平行线之间的距离求解即可．【解答】解：两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0，由题意可得：，解得b=﹣．与它们等距离的平行线的方程为：12x+8y﹣15=0．故答案为12x+8y﹣15=0．【点评】本题考查直线方程的求法，平行线之间的距离的应用，考查计算能力．14. 已知实数满足则点构成的区域的面积为，的最大值为参考答案：8，11试题分析：先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形面积，令，变为，显然直线过时，z最大进而求出最大值。