样本平均数的方差的推导
样本均值的方差公式推导过程
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度。
样本均值又叫样本均数。
即为样本的均值。
在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。
当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。
样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
方差的概念与计算公式，例如两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73，70，75，72，70 平均值E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。
推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
揭秘平均数与方差的变化规律
揭秘平均数与方差的变化规律
当一组数据都扩大（缩小）a倍时，平均数也会扩大（缩小）a 倍；都增加（减少）b时，平均数也会增加（减少）b。
当一组都扩大（缩小）a倍时，方差会扩大（缩小）到原来的a²倍，都增加（减小）b时，方差不变。
样本同时乘以或除以一个数：方差乘以或除以该数的平方，平均数乘以或除以这个数，标准差乘以或除以这个数。
样本同时加上或减去一个数：方差不变，平均数加上或减去这个数，标准差不变。
设一组数据方差为m。
平均数为n。
1、当这组数据同时扩大两倍时，其方差为4m，其平均数为
2n。
2、当这组数据同时加2时，其方差为m，平均数为n+2。
数据都扩大x倍时，方差扩大x^2倍，平均数扩大x倍。
数据都加上a时，方差不变，平均数加a。
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数并没实质的联系，当然一般来说计算方差时要用到平均数（现多称作期望）。
比较稳定性，与平均数是没有关系的，只与方差有关，方差越大，稳定性越差。
方差越小，稳定性越高。
整组数据集体加上一个数字a，那么平均值为原值加上a，方差不变，集体乘以一个数字a，那么平均值为原值乘以a，方乘以a²，所以这里得到平均数、方差、标准差。
方差的变化规律
样本同时乘以或除以一个数，方差乘以或除以该数的平方，平均数乘以或除以这个数，标准差乘以或除以这个数。
样本同时加上或减去一个数，方差不变，平均数加上或减去这个数，标准差不变。
样本同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，方差乘以a的平方，平均数加上b，标准差乘以a。
第5章 用样本推断总体 5.1 总体平均数与方差的估计
做一做
种菜能手李大叔种植了一批 株数
新品种的黄瓜，为了考察这 20
20 18
种黄瓜的生长情况，李大叔 15
15
10
抽查了部分黄瓜株上长出的 10
5
黄瓜根数，得到右面的条形 图，请估计这个新品种黄瓜 0 10 13 14 15 黄瓜根数
平均每株结多少根黄瓜.
解： x 10 10 15 13 20 14 18 15 16.25
变式：抽查某商场10月份7天的营业额(单位：万元)， 结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5. 试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这7天营业额的平均数为：
x 3.0+3.1+2.9+3.0+3.4+3.2+3.5 3.157 7
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
例1：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动， 从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 员工人数
0 3 456 2 9 28 16 5
估计该单位的捐款总额. x= 30 2+50 5+80 3+100 2 =62.5(元) 12 捐款总金额约为：62.5 280=17500(元)
例2：老王家的鱼塘中放养了某种鱼1500条，若干年
后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质
量，
平均每条鱼的 质量/千克
2.8
第2次
20
3.0
第3次
10
2.5
（1）鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？
x= 15 2.8+20 3.0+10 2.5 =2.82(kg) 15 20 10
平均数方差的变化规律总结
平均数和方差是在数学当中的两个基础概念，那么平均数和方差的变化规律到底是怎样的呢？实际上，样本同时与一个相同的数相乘或者是相除，方差会乘以或者是除以这个数的平方，平均数乘以或者是除以这个数；样本同时加上或者减去一个数，方差不会发生数值的变化，平均数相应的会加上或者是减去这一个数字；样本同时乘以一个数再加上另一个数字，方差会乘以所乘数字的平方值，平均数会加上所加数字。
以上就是在计算过程当中平均数和方差的变化规律。
计量经济学β1方差推导
计量经济学β1方差推导
本文旨在推导计量经济学中的β1方差公式，该公式可用于计算线性回归模型中回归系数β1的标准误差。
首先，我们需要了解方差的定义及计算方法。
方差是指数据集中各个数据值与数据集平均数的偏离程度的平方和的平均数。
对于样本数据而言，方差的计算公式为： s^2=(∑(xi-x )^2)/(n-1)
其中，s^2表示样本方差，xi表示第i个数据值，x表示样本平均数，n表示样本容量。
接下来，我们考虑如何推导β1的方差公式。
回归系数β1表示自变量与因变量之间的线性关系的强度及方向，其计算公式为：β1=∑[(xi-x )(yi-)]/∑(xi-x )^2
其中，yi表示第i个因变量数据值，表示因变量的平均数。
为了计算β1的标准误差，我们需要首先计算方差。
由于β1可以表示为自变量与因变量之间协方差与自变量方差的比值，因此β1的方差可以通过以下公式进行计算：
Var(β1)=s^2/∑(xi-x )^2
其中，s^2表示因变量的样本方差，∑(xi-x )^2表示自变量的样本方差。
最后，我们可以使用标准误差的公式将β1的标准误差计算出来： SE(β1)=sqrt[Var(β1)]
综上所述，我们成功推导出了计量经济学中β1方差的计算公式，该公式可用于计算线性回归模型中回归系数β1的标准误差。
样本均值公式
样本均值公式
答案参考：
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量。
样本均值：
样本方差与总体方差的关系公式是样本方差等于总体方差除以n，总体方差的计算公式分母是n，样本方差的计算公式分母是n-1，抽取样本的目的是推算出总体的信息。
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度，样本均值又叫样本均数，即为样本的均值。
高中必修二数学方差公式
高中必修二数学方差公式方差是统计学中常用的一个概念，它用来描述一组数据的离散程度。
在高中数学必修二中，我们学习了方差的计算方法，即方差公式。
本文将围绕这一主题展开，详细介绍方差公式的含义、推导过程以及应用。
一、方差的含义和作用方差是用来衡量一组数据的离散程度，它描述了数据集中各个数据与其平均值之间的差异程度。
方差越大，说明数据的离散程度越大；方差越小，说明数据的离散程度越小。
通过计算方差，我们可以了解数据的分布情况，进而对数据进行分析和比较。
二、方差公式的推导方差公式的推导过程相对简单，首先我们需要计算每个数据与其平均值的差异，然后将差异的平方值相加，最后再求平均数。
具体步骤如下：1. 计算每个数据与其平均值的差异：假设有n个数据，分别记为x1、x2、x3...xn，它们的平均值为x̄。
则每个数据与平均值的差异为(xi - x̄)。
2. 差异的平方值相加：将每个数据与平均值的差异分别平方，然后将它们相加，得到所有差异的平方和，记为S。
3. 求平均数：将差异的平方和S除以数据个数n，即可得到方差。
方差的计算公式为：方差 = S / n。
三、方差公式的应用方差公式在实际问题中有着广泛的应用，下面列举几个常见的例子：1. 统计学中的方差：方差常用于描述一组数据的离散程度，通过计算样本方差可以对样本的离散程度进行分析。
2. 股票投资中的方差：股票的价格波动是投资者普遍关注的问题，通过计算股票价格的方差，可以评估股票的风险大小。
3. 生产质量控制中的方差：在生产过程中，通过计算产品质量的方差，可以了解产品的稳定性和一致性，以便进行质量控制和改进。
4. 金融风险管理中的方差：金融市场的波动性是金融机构和投资者关注的重要问题，通过计算金融资产收益率的方差，可以评估风险水平，并采取相应的风险管理措施。
除了以上几个应用领域外，方差公式在其他统计学和实证研究中也有着重要的作用。
掌握了方差公式的计算方法，我们可以更好地理解和分析数据，为实际问题提供科学的解决方案。
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样本平均数的方差的推导：
假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本
1,,n x x ，则有
22
(),i
i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，
证明样本平均数以总体平均数为期望值。
[]121212()()
1
()1
()()()1
()n
n n x x x E x E n
E x x x n
E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++=
接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：
22(())X E X E X σ=-
以下需要反复使用这一定义：
22
2
122
122
2122222
122222
122(())()1(())1
()()()1()()()()()1()()()()()1x n
n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n
E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++
+=-=
+++-⎡⎤=-+-++-⎣
⎦⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑222n n n
σσ⋅=
在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j
E x X x X ≠--=∑，其原
因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。
此时样本均值的方差为22
1
X x
N n
n
N σσ-=
⋅
-
样本方差的期望：
证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
先构造一个统计量为2
1
()
n
i
i x x S n
=-'=
∑，我们来求它的期望。
根据方差的简捷计算公式：()2
2
2
X
X X n
σ=
-∑，可得
()222
11()()()i i E S E x nx E x nE x n n
'⎡⎤=
-=-⎣⎦∑∑ 其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：
22222
()(())i
i x i X E x E x X σσ=+=+； 2
2
22
2()(())X
x
E x E x X n
σσ=+=
+
原式化为
2222222
221()()()()()
1X X X
X
X E S n X n X n n X X n
n n
σσσσσ⎡⎤'=+-+⎢⎥
⎣⎦
=+-+-=
等式的两端同除以右侧的系数项，得到
2
()1X
n E S n σ'=- 令2
2
1
1
()
()
11
1
n
n
i
i
i i x x x x n n S S n n n
n ==--'=
=⋅=
---∑∑
则有2
()X E S σ=。