推导及图示一般固有洛伦兹变换
洛伦兹变换的推导
* *洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的现在我们设（ x， y， z， t ）所在坐标系（A 系）静止，（ X， Y， Z， T）所在坐标系（ B 系）速度为u ，且沿 x 轴正向。
在 A 系原点处， x=0 ， B 系中 A 原点的坐标为X=-uT ，即 X+uT=0。
可令（1） .又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k 是与 u 有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k 不再是常数。
）同理， B 系中的原点处有，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K 。
故有（2） .对于 y ， z， Y，Z 皆与速度无关，可得（3） .（4） .将（ 2 ）代入（ 1 ）可得：，即（5） .（1）（ 2 ）（ 3）（ 4 ）（ 5 ）满足相对性原理，要确定 k 需用光速不变原理。
当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有，。
代入（ 1 ）（ 2 ）式得：，。
两式相乘消去t 和 T 得：.将γ反代入（ 2 ）（ 5 ）式得坐标变换：3．速度变换：同理可得 V （y ）， V （ z）的表达式。
4．尺缩效应：B 系中有一与x 轴平行长 l 的细杆，则由得：，又△t=0 （要同时测量两端的坐标），则，即：，。
5．钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，，故，又* *，（要在同地测量），故。
（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。
）6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：）B 系原点处一光源发出光信号，A 系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。
B 系中光源频率为ν（ b ），波数为N ，B 系的钟测得的时间是△t （ b ），由钟慢效应可知， A △系中的钟测得的时间为（1） .探测器开始接收时刻为，最终时刻为，则（2） .相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即（3） .由以上三式可得：.7．动量表达式：（注：，此时，因为对于动力学质点可选自身为参考系，）牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
11.1洛仑兹变换
v′＝ v′＝v－u
这正是伽利略速度变换式。 这正是伽利略速度变换式 。 由上面的推导可以看出 它是以绝对的时空概念为基础的。 它是以绝对的时空概念为基础的。将(4.4)式再对时 间求导，可得出加速度变换公式。由于u与时间无关， 间求导，可得出加速度变换公式。由于u与时间无关， 所以有
a′＝ a′＝a
Albert Einstein ( 1879 – 1955 ) 20世纪最伟大的物理学家 于 世纪最伟大的物理学家, 世纪最伟大的物理学家 1905年和 年和1915年先后创立了狭义相 年和 年先后创立了狭义相 对论和广义相对论, 他于1905年提 对论和广义相对论 他于 年提 出了光量子假设, 为此他于1921年 出了光量子假设 为此他于 年 获得诺贝尔物理学奖, 获得诺贝尔物理学奖 他还在量子 理论方面具有很多的重要的贡献 . 爱因斯坦的哲学观念： 爱因斯坦的哲学观念：自然 哲学观念 界应当是和谐而简单的. 界应当是和谐而简单的 理论特色： 理论特色：出于简单而归于 深奥. 深奥
11§11-1 洛伦兹变换
（3）伽利略变换 设有两惯性参考系K K′，以速度u 设有两惯性参考系K和K′，以速度u相对作匀速 直线运动。在每一参考系中各取一直角坐标系。 直线运动。在每一参考系中各取一直角坐标系。为方便 起见，令这两坐标系各对应轴相互平行， X′沿运动 起见，令这两坐标系各对应轴相互平行，X和X′沿运动 方向。 t=t′=0时两坐标系的原点 时两坐标系的原点O O′重合 重合。 方向。当t=t′=0时两坐标系的原点O和O′重合。
这说明同一质点的加速度在不同的惯性系内测得的 结果是一样的。 结果是一样的。
11§11-1 洛伦兹变换
二 麦克斯韦电磁场理论的挑战
解麦克斯韦方程组可以得到光在真空中的传播速 率为
简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)
简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。
值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。
所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。
1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。
没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。
许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。
为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。
我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。
站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。
相反，考虑谈话的例子。
如果你站着不动，风在动，声速就会变。
比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。
仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。
图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。
（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。
02- 洛伦兹变换
2 21 2 12
a12 u a11 c
2
2 a11 1 a 1 a 1 u / c a11
a11
1 1 u / c
2
a22
1 1 u / c
2
,
a12 a21
u / c 1 u / c
Q
Ⅰ
Ⅱ
13. 如图，一容器被一可移动、无摩擦且绝热的活塞分 其他部分绝热．开始时在Ⅰ，Ⅱ中各有温度为0 ℃, 压
割成Ⅰ，Ⅱ两部分．活塞不漏气．容器左端封闭且导热，
强为1 atm的刚性双原子分子的理想气体．Ⅰ，Ⅱ两部
分的容积均为36 L．现从容器左端缓慢地对Ⅰ中气体加 热，使活塞缓慢地向右移动，直到Ⅱ中气体的体积变为 18 L为止．求： (1) Ｉ中气体末态的压强和温度． (2) 外界传给Ⅰ中气体的热量．
5 5 R(T1 T0 ) ( p1V1 p 0V0 ) =2.69×104 J 2 2
Ⅰ中气体对外作的功W1 =Ⅱ中气体内能的增量Δ E 2, 可得
5 W1 ( p2V2 p0V0 ) 2.91103 J 2
根据热力学第一定律，Ⅰ中气体吸的热量 Q1 =W1+ΔE 1 =2.98×104 J．
p(atm)
b
T1 1 T2
5
a
d
c
T (K )
O
300
400
12.一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里．此汽缸有 可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气)．已知气体 的初压强 p1=1atm，体积V1=1L，现将该气体在等压下加热直
到体积为原来的两倍，然后在等体积下加热直到压强为原来
洛伦兹变换的推导[1]
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x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
洛伦兹变换的最简单推导
洛伦兹变换的最简单推导在相对论中，洛伦兹变换是描述物体在不同参考系中运动的数学工具。
它对于理解光速不变原理以及时间和空间的相对性至关重要。
虽然推导洛伦兹变换可能需要高等数学和物理学知识，但以下是最简单的推导方法：1. 假设有两个参考系S和S'，它们之间的相对速度为v。
2. 假设S和S'的坐标系是相互垂直的，并且在t=0时它们的原点重合，如下图所示。
3. 假设在S中有一个事件，其坐标为(x,y,z,t)，在S'中有一个事件，其坐标为(x',y',z',t')。
4. 根据相对性原理，可以得出：x' = ax + bty' = yz' = zt' = ct + dt其中a、b、c和d是待定系数，需要通过数学推导来确定它们的值。
5. 假设在S中有两个事件，它们在S'中的间隔为Δx'，在S中的间隔为Δx。
则有：Δx' = aΔx + bΔt因为Δx和Δt是相对的，所以可以认为Δx'=Δx和Δt'=Δt。
因此，上式可以写为：1 = a^2 - b^2也就是说，a和b之间存在一个关系式。
同样地，可以根据y、z 和t坐标轴的相对性得到其他系数之间的关系式。
6. 在相对论中，光速是不变的，因此光在S和S'中的速度是相同的。
设在S中有一束光从(x,y,z,t)出发，经过Δt的时间后到达(x+Δx,y,z,t+Δt)，在S'中的坐标为(x',y',z',t') = (x,y,z,t)，则有：c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2 = c^2Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2将4式和5式代入上式，可以得到：Δt'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2) / (c^2 - v^2) Δx'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2)v^2 / (c^2 - v^2)Δy'^2 = Δy^2Δz'^2 = Δz^27. 根据勾股定理，可以将上式化简为：Δs^2 = Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2 = Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2这就是著名的时间和空间的相对性方程式。
洛伦兹变换
洛伦兹变换编辑由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。
洛伦兹导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。
中文名洛伦兹变换外文名Lorentz transformation别称洛伦兹变换式提出者亨德里克·洛伦兹提出时间1904年应用学科数学适用领域范围狭义相对论目录1简介2理论3释义4推导▪公设一▪公设二▪过程▪另一种方式5区别6四维矢量改写1简介编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。
洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。
洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。
2理论编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。
设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t=t′=0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为式中，；c为真空中的光速。
其逆变换形式为不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。
然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。
由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。
按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。
其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。
然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。
1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。
洛仑兹变换的一般形式
洛仑兹变换的一般形式：一个事件表为四维空间直角系中的一点（世界点）：(x,y,z,t)1、坐标轴和时间零点的选择：在t=t'=0时刻K 和K'原点重合，比如该时刻从原点处发出一束光；2、空间位矢表示从坐标原点指向该点的有向线段，令r 是从K 原点O 到发生在K 中的t 时刻、位置(x,y,z)的事件的位置矢量，r '是从K'原点O'到发生在K'中的t'时刻、位置(x',y',z')的同一事件的位置矢量，在位置(x,y,z)处接收到这束光就是t 时刻的事件。
按照光速不变，有：c ==简单推导得到熟知的最简形式2(),,,v x x vt y y z z t t x cγγ⎛⎫''''=-===- ⎪⎝⎭3、v 表示K 、K'的相对速度，将,r r '分别分解为平行于v 的////,r r '和垂直于v 的,r r ⊥⊥'，据洛仑兹变换，仿照最简式的形式，得到：()////2,,v r r r vt r r t t c γγ⊥⊥⋅⎛⎫'''=-==- ⎪⎝⎭由////cos ,cos v r v vr r r v rv r v v vθθ⋅=⋅=→=→//r r r ⊥'=+代入上面的式子： ()////r r r r vt r γ⊥⊥'''=+=-+ (3.50) 而////22()(),r v v r v vr r r r r v v⊥⋅⋅==-=-，代入(3.50)： ()////222()()()(1)r v v r v v r v v r r r r vt r vt r r vt v v v γγγγ⊥⊥⋅⋅⋅⎛⎫'=+=-+=-+-=+-- ⎪⎝⎭→ 4、2(1)r v r r t v v γγ⋅⎛⎫'=+-- ⎪⎝⎭ (3.51)与2v r t t c γ⋅⎛⎫'=- ⎪⎝⎭一起构成洛仑兹变换令*21rv r r v vγγγ-⋅=+则(3.51)表示为*()r r vt γ'=-假设K 和K'中的笛卡尔坐标轴具有相同方向，但是K'原点相对于K 原点以速度x y z v v i v j v k =++运动：在(3.51)中，因坐标轴同向，故2系单位向量相同,r xi yj zk r x i y j z k ''''=++=++表示两个事件空间点的矢径→x y z r v xv yv zv ⋅=++推导的洛仑兹变换为：《1》2222(1)()(1)()(1)()x x y z x y x y z y y x y z z x y z x x v t xv yv zv v v y y v t xv yv zv v v z z v t xv yv zv v v xv yv zv t t c γγγγγγγ-⎧'=-+++⎪⎪-⎪'=-+++⎪⎪⎨-'=-+++⎪⎪⎪++⎛⎫'=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩→2222111111,x y zx x x y z y y x y z z z x y z xv yv zv x x v t v v xv yv zv y y v t v v xv yv zv z z v t v v xv yv zv t t c γγγγ++⎧⎛⎫''=+--⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪++⎛⎫''=+--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨++⎛⎫⎪''=+-- ⎪⎪⎝⎭⎪++'⎪=+⎪⎩右边式子为逆变换对于最简单的情况，速度平行于x 轴，位矢就在x 轴上，此时v x =v ，v r ⋅=vx ：整理下22222(1)x x x x v v r v r v r v r x x v t v r x v t x v t v v v v v γγγγγ-⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-+⋅=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 代入v x =v ，v r ⋅=vx ：[]22(1)()vx vx x x v t x vt x x vt x x x vt v v γγγγγγ⎡⎤⎛⎫'=--+=-+-=--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦这是我们熟知的最简单的洛仑兹变换第一式。
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第1步
~ 使两系 参见图 1 及图 2-(a)，将初始坐标系 x 及 ~ x 分别绕空间轴 x 及 ~ x 旋转 及
3 3
的 1 轴分别落在由矢量 e 3 及 v ； ~ e3 及 v （参见图 1）所确定的平面上，此时得到过渡坐标 系y 及~ y 。其坐标变换分别为：
Y R X
3 3 3 3
x4 = ~ x4。
4
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此外，确保(1-1)，(1-2)及下文将要提及的旋转变换得以成立的先决条件为，四维复欧
j x j~ e j ， j 1,2,3,4 。 氏时空中的绝对矢量不变，例如时空间隔矢量不变 x e j ~
第2步
参见图 2-(a)及(b)，将过渡坐标系 y 及 ~ y 分别绕空间轴 y 及 ~ y 旋转 及 ，使两系
~ - - 旋转后所得到的 z 与 w ~ 系的对应坐标轴（在三维空间中）彼此平行。由于两惯
性系 S 及 S 一旦选定，它们之间的相对空间旋转“角度”则为常量，不随时间和距离而变。 因此，参见图 3，考虑两系在原点重合时有关系 Z W ，将(2-1)及(3-1)式代入得：
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推导及图示一般固有洛伦兹变换
邓晓明
2015 年 11 月 30 日 engineerdxm@ 摘要： 给出一般固有洛伦兹变换详细的推导步骤和图示。 推导出空间转动矩阵， 并进行讨论。 关键词：狭义相对论，一般洛伦兹变换，普遍洛伦兹变换，一般固有洛伦兹变换 中国分类号：O412.1
x (~ e )彼此不平行。 作相对运动时， 对应的空间轴 x ( e )与 ~ 即两惯性系之间存在相对转动。
需要注意的是，这种相对“转动”不是力学意义上的物理转动，仅是数学推理过程中反
~ （等效 映在几何意义上的转动。该相对“转动”分别由 S 和 S 系的相对速度分量 v 和 v
~
~ ， ），及 S 系绕速度矢量 v （依次 于，依次绕 3 及 2 坐标轴旋转的角度参数 ， 及
~ ) (v ~ ) (v ~ ) ，如果设 因为 v ( v ) ( v ) ( v ) ( v
3 2
~ v v ~ v ， ， ， 1,2,3 c c c
2 2 2 2
(0-3)
其中 c 为光速。 自然有 1 2 3 1 2 3 。 将(0-3)式 v c ，v c 及
相对转动。 本篇将要讨论的“一般固有洛伦兹变换”其实质是“有空间转动固有洛伦兹变换”。参
1
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见图 1，所谓“有空间转动”是指在三维空间中两惯性系 S 与 S 以任意姿态，任意相对速度 常矢
~
~~ 1,2,3 v v e v e ，
(0-2)
(6-3)
~ ~ 1 1 1 R R R DR R
由(6-3)或(6-4)式，可得四维复欧氏时空中的空间转动矩阵
(6-4)
~ ~ 1 D R1 R1 R R R
推导前的准备
笔者之前的文章[4][5]讨论过“无空间转动固有洛伦兹变换”，是指在三维空间中两惯 性系 S 与 S 以任意相对速度常矢
~
v v e v ~ e ， 1,2,3
(0-1)
x (~ e )， 1,2,3 ，即两惯性系之间没有 作相对运动时，对应的空间轴彼此平行 x ( e )// ~
2 ~ 2 ； z3 w ~ 3 。与该两系相对应的四维系的虚角旋转变换可写为我们所熟悉的 此时有 z w
形式
~ W LZ
其中
(4-1)
cos i 0 L 0 sin i
0 1 0 0
0 sin i 0 0 1 0 0 cos i
Z R R X
6
(5-1)
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将(1-2)式代入(2-2)式得
~ ~ ~ ~ Z R R X
(5-2)式的逆变换为
(5-2)
~ ~ ~ ~ X R1 R1Z
将(3-1)式的逆阵代入(5-3)式
(5-3)
~ ~ ~ 1 ~ X R1 R1 R W
前
~
言
~
物理对象是客观的， 引入的惯性系 S 与 S 是主观的。 根据数学处理的需要，S 系相对 S 系的姿态也是人为认定的。为数学上的方便，大多数情况下都选择特殊洛伦兹变换条件。但 也有必须选择“无空间转动固有洛伦兹变换”或“一般固有洛伦兹变换”条件的情形。如笔 者在之前文章[1]所涉及的问题。 对一般固有洛伦兹变换的介绍，可参阅刘辽及郑庆璋等[2][3]书籍的相关章节。似乎仅 是一种结论性简介。仅提及“空间转动矩阵”，但没有给出数学表达，更没有相应的讨论。 本篇将尝试对“一般固有洛伦兹变换”给出详细的推导步骤及对应的图示，推导出“空间转 动矩阵”，并进行讨论（参见附件 1）。 探索之作，如有错误，恳请批评指正。
1 2 2 2
； sin
v2 (v1 ) 2 (v 2 ) 2
~2 v ~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 (v
1 2 2 2
； cos
( v1 ) 2 ( v 2 ) 2 v3 ； sin 。 v v
~ ；sin
3 2
；cos
~
~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 ~3 (v v ；sin 。 v v
参见图 2-(b)， 目标系 z 与 ~ 显然 z z 平面与 ~ z 的 1 轴共轴且与 v 重合。 z ~ z 平面
2 3 2 3
平行。但一般情况下，轴 z 与 ~ z 轴单独旋转 ~ z 系， z ，z 与~ z 并不平行。参见图 3，绕 ~
2 2 3 3
1
最终使两系的对应坐标轴平行，其坐标变换为
旋转后，绕 1 轴）相对 S 系的旋转角度 所描述。
~
~
~ ， 可由(0-2)式的速度空间分量确定。参见图 1，通过几何关 旋转角度参数 ， 及
系，我们容易得到：
~
cos
~ cos
2
v1 (v1 ) 2 (v 2 ) 2
~1 v ~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 (v
~
~
~
~ R Y R Z ，再将(1-1)，(2-2)及(1-2)依次代入得
7
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~ ~ ~ ~ Z W R R X R R R X
将(6-1)代入(6-2)，整理后得
(6-2)
~ ~ R R R D 1 R1 R1
其逆阵为
0 sin 1 0 0 cos 0 0 ~ 0 sin 1 0 ~ 0 cos 0 z3 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(2-3)
(2-4)
z2
T ~ z4 及 Z ~ z1
~ z2
~ z3
T ~ z 4 为目标系的坐标。
第3步
5
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3 3
~ 角所在的平面也分别正交于时间轴 x ( e )及 进行的旋转。如果拓展到四维空间， 及 4
4
~ x4 (~ e4 )，即在绕空间轴 x 3 及 ~ x 3 旋转的同时，也在绕时间轴 x 4 及 ~ x 4 旋转。体现在旋转矩阵
(1-3)及(1-4)上， 就是两个坐标对应元素为 1， 即两个坐标在旋转中不变， 即 x = y ；~ x =~ y ；
~
使空间轴 x 及 ~ x 与速度常矢 v 方向一致；
1 1
（2）使旋转后的 S 系的标架 ~ x 轴旋转（也可以说绕 v 旋转），使 x 2 与 ~ x (~ x 2 ，x 与 e )绕 ~
1
3
~
~ x 3 轴都平行，得到类似于特殊洛伦兹变换条件；
（3）最终，在四维复欧氏时空中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，得到一般固有洛伦兹变换。 为了使每一步变换都可辨认，下文将每次旋转后的坐标系用不同英文字母表示。
2
~2
~2
~2
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~ ~ c v 分别代入上述三角函数有
cos
1 12 22
； sin
2 12 22
(0-4)
cos
~ cos
12 22 ； sin 3
12 22
~ ~
(0-5)
~
1
~
~
~ ；sin
12 22
~
~
2
~
~
(0-6)
12 22 ~ ；sin 3 cos
~
参见图 1，为推导一般固有洛伦兹变换，我们要进行的操作是：
(0-7)
（1）在三维空间中，分别旋转两惯性系 S 及 S 的空间标架（初始系） x ( e )及 ~ x ( e )，
将(4-1)式代入(5-4)式得
(5-4)
~ ~ ~ 1 X R1 R1 R LZ
将(5-1)式代入(5-5)式得
(5-5)
~ ~ ~ 1 X R1 R1 R LR R X
(5-6)式即为一般固有洛伦兹变换。
(5-6)
第6步
参见笔者前文对(0-2)式的描述，一般固有洛伦兹变换是指，在四维复欧氏时空中，一般 情况下，两初始坐标系 x 与 ~ x 之间存在空间转动，也即两者所对应的惯性系，在三维空间
(4-2)
为常见的特殊洛伦兹变换矩阵。众所周知，其中