2019-2020年全国版2017版高考数学一轮复习不等式选讲1绝对值不等式课件理选修4_5
⇒-5≤x<-3,
若-3≤x≤4, |x+3|+|x-4|≤11⇒x+3-x+4≤11⇒-3≤x≤4, 若x>4, |x+3|+|x-4|≤11⇒x+3+x-4≤11 ⇒4<x≤6, 所以A=[-5,6],
又因为t>0,所以4t+3 ≥ 1 =4,当且仅当4t= , |32|
2
即t= |
1
时,等号成立, 2|
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔_-_c_≤__a_x_+_b_≤__c_; ②|ax+b|≥c⇔__________________.
ax+b≥c或ax+b≤-c
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不 等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数 形结合的思想.
方法二:利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的 思想. 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函 数与方程的思想.
【特别提醒】 1.应用“零点分区法”的注意点 令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根, 要把这些根按由小到大进行排序,在各个区间上解不等 式时,端点值要不重不漏.
2.本例条件不变,求函数f(x)=|x+a|-|x-2|的最大值. 【解析】因为|x+a|-|x-2|=|x+1|-|x-2|≤|(x+1)(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号,所以 f(x)的最大值为3.
【规律方法】对绝对值三角不等式定理的理解注意以 下三点 (1)等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定 理求函数的最大(小)值时.
考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题
【典例3】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= 3x2a1,xa,
x 2a 1,a x 1,
+|x-a|(a>0).
3x 12a,x 1，
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解题导引】 (1)利用绝对值不等式和基本不等式的性质证明. (2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.
(a-b)(b-c)≥0
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a _{_x_|_-_a_<_x_<_a_}_
_∅_
_∅ _
|x|>a ______________ _______________ __ {x|x>a或x<-a} {x|x∈R且x≠0} R
【加固训练】 1.(2016·阳泉模拟)解不等式|2x+1|-|x-4|>0. 【解析】令f(x)=|2x+1|-|x-4|,当x≥4时,f(x)=2x+1 -(x-4)=x+5>0得x>-5,所以x≥4时,不等式成立. 当- ≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所 以,11 <x<4时,不等式成立.
2
3
2
(2)函数f(x)=|x+1|-2|x-a|
=1
2 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A , 1
B(2a+1,0),
2
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点
C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得
·(a+1)>6,求得a>2.
故要求{x的R|xa4的t1t范,t(围0,为)}(2,+∞).
3
x
a
1，
x
a. 2
(2)f(3)= +|3-a|.
x
3x a 1， a 1 ， a
2
x
x
a 2
, 1,
3x a 1， x 1,
当a>3时,f(3)=a+ ,由f(3)<5,得3<a<
.
当0<a≤3时,f(3)=f(a2)|6a21| -a+ ,由f(3)<5,得{x|53＜<x＜a13}≤3.
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
【解析】(1)当a=5时,f(x)= 5 2 1
2
由|x+1|+|x+2|-5≥0,
得1 或
1 5
或 a 解得x≥1或x2 ≤-4.
即函(1数5f,(5x)的21).定义域为{x|x≥1或x≤-4}. 22
(2)由题可知|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立,即a≤|x+1| +|x+2|恒成立,而|x+1|+|x+2|≥|(x+1)-(x+2)|=1, 所以a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].
易错提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不 等式,不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要 不重不漏.
【变式训练】(2016·郑州模拟)已知函数f(x)=|2x+1| +|2x-3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集. (2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a 的取值范围.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的
取值范围.
【解题导引】(1)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转 化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组 的解集,再取并集,即得所求. (2)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的 三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围 成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形 面积大于6,从而求得a的取值范围.
②当2<x<5时,f(x)=2x-7,原不等式等价于:
| x ⇔1 3≤|x<5 ③当x≥5时,af(x)=3,原不等式等价于:
⇔5≤x≤4+
综|x上1a,不(x等a式)|的1a 解集为[3,4+ | 3 ]1a .|
|3 1 | a
2.设函数f(x)= 1
a
(1)当a=5时,求函数f(x)的定义域.
综上,a的取值范围是 {x|5＜x＜1} 33
故|2+x|+|2-x|=4,所以-2≤x≤2. 即实数x的取值范围为-2≤x≤2.
【加固训练】 1.(2016·西工大附中模拟)已知函数f(x)=|x-2||x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3. (2)求不等式:f(x)≥x2-8x+14的解集.
【解析】(1)|f(x)|=||x-2|-|x-5||≤|(x-2)(x-5)|=3, 所以-3≤f(x)≤3. (2)①当x≤2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2≥-2, 所以f(x)≥x2-8x+14无解,
2
当x<-1 时,f(x)=-x-5>0,得x<-5,所以,x<-5时, 2
不等式成立.
综上,原不等式的解集为{x|x＞1或x<-5}.
2.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤11},
B= 3 【解析】2 若x<-3,
,求集合A∩B.
|x+3|+|x-4|≤11⇒-x-3-x+4≤11
【规律方法】 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三
种解法 (1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将 数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部 分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式 求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数 轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+ |x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象, 结合图象求解.
【变式训练】(2016·大同模拟)已知a和b是任意非
零实数.
(1)求
的最小值.
x 1,
(2)若不 等2 x式|22a+b|0+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成
立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为
2
4
x 0
1,
x 2,
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
(
2
，2
).
3
x 1 2a,x 1, 3x 1 2a,1 x a, x 1 2a,x a,
(2a 1,0)
3
1(2a12a1) 23
【知识梳理】 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ______时,等号成立. 定ab理≥20:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当______________时,等号成立.
2.从解集理解不等式恒成立问题 不等式的解集为R说明不等式恒成立,不等式的解集为∅, 说明其对立面恒成立.
2020年全国版2017版高考数学一轮复习不等式选讲1绝对值不等式课件理选修4_5
(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3. 当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以 f(x)的最小值为3.
【母题变式】 1.若本例第(2)问中函数改为f(x)=|x-1|+|x-4|,求其 最小值. 【解析】f(x)=|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3,所以, 其最小值为3.
2.本例条件不变,求函数f(x)=|x+a|-|x-2|的最大值. 【解析】因为|x+a|-|x-2|=|x+1|-|x-2|≤|(x+1)(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号,所以 f(x)的最大值为3.
【规律方法】对绝对值三角不等式定理的理解注意以 下三点 (1)等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定 理求函数的最大(小)值时.
考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题
【典例3】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= 3x2a1,xa,
x 2a 1,a x 1,
+|x-a|(a>0).
3x 12a,x 1，
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解题导引】 (1)利用绝对值不等式和基本不等式的性质证明. (2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.
(a-b)(b-c)≥0
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a _{_x_|_-_a_<_x_<_a_}_
高考数学一轮复习绝对值不等式
选修 4－ 5不等式选讲第一节绝对值不等式[考纲传真 ](教师用书独具 )1.理解绝对值的几何意义，并认识以下不等式建立的几何意义及取等号的条件： |a＋b|≤ |a|＋ |b|(a，b∈R)，|a－ c|≤ |a－b|＋ |b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋ |x－ b|≥C．(对应学生用书第163 页)[基础知识填补 ]1．绝对值三角不等式定理1：假如a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0 时，等号建立．定理 2：假如 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－ c|，当且仅当 (a－b)(b－ c)≥0 时，等号建立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式 |x|<a 与 |x|>a 的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{ x|－a＜x＜ a}??|x|>a{ x|x＞a 或 x＜－ a}{ x∈R|x≠0}R(2)|ax＋ b|≤c， |ax＋ b|≥ c(c＞ 0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤ c? －c≤ ax＋b≤c；②|ax＋b|≥ c? ax＋b≥c 或 ax＋b≤－ C．(3)|x－a|＋|x－b|≥ c，|x－ a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③结构函数，利用函数的图象求解．[基本能力自测 ]1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x 到点 a，b 的距离之和．()(2)不等式 |a|－|b|≤ |a ＋b|等号建立的条件是 ab ≤0.()(3)不等式 |a －b|≤|a|＋ |b|等号建立的条件是 ab ≤0.()(4)当 ab ≥0 时， |a ＋b|＝|a|＋ |b|建立． ()[答案 ] (1)√ (2)× (3)√ (4)√512．(教材改编 )若对于 x 的不等式 |ax －2|＜3 的解集为 x － 3＜x ＜3 ，则实数 a＝ ________.－ 3 [依题意，知 a ≠0.又 |ax －2|＜ 3? － 3＜ax －2＜3，∴－ 1＜ax ＜5.51因为 |ax － 2|＜3 的解集为 x －3＜x ＜3 ，55 1 1∴ a ＜ 0， a ＝－ 3且－ a ＝3，则 a ＝－ 3.]3．(教材改编 )若对于 x 的不等式 |a|≥|x ＋1|＋ |x － 2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 ________．(－∞ ，－ 3]∪[ 3，＋ ∞) [ 因为 |x ＋1|＋ |x － 2|≥|(x ＋ 1)－(x －2)|＝3，∴ |x ＋ 1|＋ |x －2|的最小值为 3，要使 |a|≥|x ＋ 1|＋ |x －2|有解， 只需 |a|≥3，∴ a ≥ 3 或 a ≤－ 3.] 4．解不等式 x ＋ |2x ＋ 3|≥ 2.33x ＋3≥2，3 分[解] 当 x ≥－ 2时，原不等式化为 1解得 x ≥－3. 6 分3当 x ＜－ 2时，原不等式化为－ x －3≥2，解得 x ≤－5.8 分综上，原不等式的解集是 x x ≤－ 5或 x ≥－ 13 .10 分a a ．5．(2016 ·江苏高考 )设 a>0，|x － 1|<3，|y －2|<3，求证： |2x ＋ y － 4|<A【导学号： 79170376】a a[证明 ]因为 |x－ 1|<3，|y－ 2|<3，2a a．所以 |2x＋ y－ 4|＝|2(x－1)＋(y－ 2)|≤2|x－ 1|＋|y－ 2|< 3＋3＝A故原不等式得证 .(对应学生用书第164 页)绝对值不等式的解法(2016 ·全国卷Ⅰ )已知函数 f(x)＝|x＋1|－ |2x－3|.(1)画出 y＝f(x)的图象；(2)求不等式 |f(x)|>1 的解集．【导学号： 79170377】图 1x－4，x≤－ 1，3[解](1)由题意得 f(x)＝3x－2，－ 1＜x≤2， 3 分3－x＋ 4， x＞2，故 y＝f(x)的图象如下图．6 分(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；1当 f(x)＝－1 时，可得 x＝3或 x＝5.8 分故 f(x)＞1 的解集为 { x|1＜x＜3} ，f(x)＜－ 1 的解集为 x x＜1或x＞5. 3所以 |f(x)|＞1 的解集为 x x＜1或 1＜ x＜ 3或 x＞5.10 分3[规律方法 ] 1.此题用零点分段法画出分段函数的图象，联合图象的直观性求出不等式的解集，表现数形联合思想的应用．2．解绝对值不等式的重点是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段议论．别的还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练 1](2017 ·全国卷Ⅰ )已知函数 f(x)＝－ x2＋ax＋ 4，g(x)＝ |x＋1|＋|x－1|.(1)当 a＝ 1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包括 [－1,1]，求 a 的取值范围．[解] (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥g(x)等价于x2－x＋ |x＋1|＋|x－1|－ 4≤ 0.①当 x<－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；当－ 1≤x≤1 时，①式化为 x2－ x－2≤0，从而－ 1≤x≤1；当 x>1 时，①式化为 x2＋x－4≤0，从而 1＜ x≤－ 1＋ 172.所以 f(x)≥ g(x)的解集为 x －≤≤－1＋ 17.1 x2(2)当 x∈ [－1,1]时， g(x)＝2，所以 f(x)≥ g(x)的解集包括 [－1,1]，等价于当 x∈ [－1,1]时， f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为 f(－1)与 f(1)之一，所以 f(－ 1)≥2 且 f(1)≥2，得－ 1≤a≤1.所以 a 的取值范围为 [－1,1]．4绝对值三角不等式性质的应用对于随意的实数a(a≠0)和 b，不等式 |a＋ b|＋|a－b|≥M ·|a|恒建立，记实数M 的最大值是 m.(1)求 m 的值；(2)解不等式 |x－ 1|＋ |x－2|≤m.[解](1)不等式 |a＋ b|＋|a－b|≥M·|a|恒建立，即 M≤|a＋b|＋ |a－b||a|对于随意的实数 a(a≠0)和 b 恒建立，只需左侧恒小于或等于右侧的最小值 . 2 分因为 |a＋b|＋ |a－b|≥|(a＋b)＋(a－ b)|＝2|a|，当且仅当 (a－b)(a＋ b) ≥0 时等号建立，|a|≥|b|时，|a＋b|＋|a－ b|建立，|a|≥ 2也就是 |a＋ b|＋|a－b|的最小值是2，|a|即 m＝2. 5 分(2)|x－1|＋ |x－ 2|≤2.15法一：利用绝对值的意义得：2≤ x≤2.10 分法二：①当 x＜1 时，不等式为－ (x－1)－(x－ 2)≤2，11解得 x≥2，所以 x 的取值范围是2≤x＜1.②当 1≤ x≤2 时，不等式为 (x－ 1)－(x－2)≤ 2，得 x 的取值范围是 1≤x≤2.8 分5③当 x＞2 时，原不等式为 (x－1)＋(x－ 2)≤2,2＜x≤2.15综上可知，不等式的解集是x 2≤x≤2.10 分[规律方法 ] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号建立的条件：当ab≥0 时， |a＋b|＝ |a|＋|b|；当 ab≤0 时， |a－b|＝|a|＋|b|；当 (a－b)(b－ c)≥0时， |a－c|＝ |a－b|＋|b－c|.(2)对于求y＝ |x－a|＋ |x－b|或 y＝ |x＋a|－|x－ b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第 (2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，无论是分段去绝对值符号仍是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2]对于随意实数a，b，已知 |a－b|≤1，|2a－1|≤ 1，且恒有 |4a－3b ＋2|≤m，务实数 m 的取值范围．[解] 因为 |a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以 |3a－3b|≤3， a－1≤1， 4 分221 5所以 |4a－3b＋ 2|＝ 3a－ 3b ＋ a－2＋21515≤|3a－ 3b|＋ a－2＋2≤3＋2＋2＝ 6，8 分则|4a－ 3b＋2|的最大值为 6，所以 m≥ |4a－ 3b＋2|max＝6，m 的取值范围是 [6 ，＋∞)．10 分绝对值不等式的综合应用(2018 ·哈尔滨模拟 )已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|－2|x－ a|，a＞0.(1)当 a＝ 1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .【导学号： 79170378】[解] (1)当 a＝1 时， f(x)>1 化为 |x＋1|－2|x－1|－1>0.当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解；2当－ 1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得3<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－ x＋2>0，解得 1≤ x＜ 2.2所以 f(x)>1 的解集为 x 3<x<2 . 4 分x－1－2a， x<－1，(2)由题设可得 f(x)＝ 3x＋ 1－ 2a，－ 1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个极点分别为A 2a－1，0 ，B(2a 312222由题设得3(a＋1) >6，故 a>2.所以 a 的取值范围为 (2，＋∞).10 分[规律方法 ] 1.研究含有绝对值的函数问题时，依据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转变为分段函数，而后数形联合解决是常用的思想方法．2．第(2)问求解要抓住三点： (1)分段议论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形联合求△ ABC 的三个极点坐标，从而得出△ABC 的面积； (3)解不等式求 a 的取值范围．[变式训练 3](2016 ·全国卷Ⅲ )已知函数 f(x)＝|2x－a|＋A．(1)当 a＝ 2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集；(2)设函数 g(x)＝|2x－ 1|.当 x∈R时，恒有 f(x)＋g(x)≥3，务实数 a 的取值范围．[解](1)当 a＝2 时， f(x)＝ |2x－ 2|＋2.解不等式 |2x－ 2|＋ 2≤6 得－ 1≤x≤3.所以 f(x)≤ 6 的解集为 { x|－ 1≤ x≤ 3}. 4 分(2)当 x∈R时， f(x)＋ g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－ a)＋(1－2x)|＋ a＝ |1－ a|＋a， 6 分1当 x＝2时等号建立，所以当x∈R时， f(x)＋g(x)≥3 等价于 |1－a|＋ a≥ 3.①8 分当a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解．当a>1 时，①等价于 a－ 1＋ a≥ 3，解得 a≥ 2.所以 a 的取值范围是 [2 ，＋∞).10 分。
2020版高考数学不等式选讲第1讲绝对值不等式课件
含绝对值不等式解法的常用方法
1．(2018· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时， 2x＋4，x≤－1， f(x)＝2，－1＜x≤2， －2x＋6，x＞2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等 价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.所以 a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤3， 2 解：(1)f(x)＝ 3 －x＋4，x＞ ， 2 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象知， 当 f(x)＝1 时， 可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5. 3 故 f(x) ＞ 1 的 解 集 为 {x|1 ＜ x ＜ 3} ； f(x) ＜ － 1 的 解 集 为
1 xx＜ 或x＞5. 3
所以|f(x)|＞1
1 的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
3 1 设不等式|x－2|<a(a∈N )的解集为 A，且 ∈A， ∉A. 2 2
*
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案20180509275
第1讲绝对值不等式板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．考点2 绝对值不等式的应用1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.(2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )(3)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(4)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( )(5)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( )A ．[－2,1)∪[4,7)B ．(－2,1]∪(4,7]C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 由题得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <7，x ≥4或x ≤1，得解集为(－2,1]∪[4,7)． 3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，∴a 2－3a ≥4恒成立，∴a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．4．[课本改编]不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 解析 由|x －1|<4－|x ＋2|，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋2＋x －1<4或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1，x ＋2＋1－x <4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－(x ＋2)＋1－x <4，解得1≤x <32或－2<x <1或－52<x ≤－2.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 5．[2018·南宁模拟]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,4]解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.6．[课本改编]不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2 解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，所以x <－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为x ＋3＋1－2x <x 2＋1，解得x >2，所以x >2. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2. 板块二 典例探究·考向突破考向绝对值不等式的解法 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a >0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．【变式训练1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．考向绝对值三角不等式的应用 例 2 (1)[2018·江西模拟]已知函数f (x )＝|2x －1|.①求不等式f (x )<4的解集； ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m >0，n >0)，求2m ＋1n的取值范围．解 ①不等式f (x )<4，即|2x －1|<4，即－4<2x －1<4，求得－32<x <52， 故不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <52. ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x －1|＋|2(x －1)－1|＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，故g (x )的最小值为a ＝2，∵m ＋n ＝a ＝2(m >0，n >0)，则2m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n 2n ＝1＋n m ＋m 2n ＋12＝32＋n m ＋m 2n ≥32＋2n m ·m 2n ＝32＋2，当且仅当m ＝4－22，n ＝22－2时等号成立， 故2m ＋1n 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32＋2，＋∞. (2)[2018·太原模拟]已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.①解不等式：|g (x )|<5；②若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 ①由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解不等式得－2<x <4，所以原不等式的解集是{x |－2<x <4}．②因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}．触类旁通绝对值三角不等式的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值．(2)证明不等式．【变式训练2】 (1)[2018·江西模拟]设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )，①求证：f (x )≥2；②若不等式f (x )≥|2b ＋1|－|1－b ||b |对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围． 解 ①证明：f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2.②令g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |，g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |≤|2b ＋1－1＋b ||b |＝3， ∴f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋1|≥3，x ≤－1时，－2x ≥3，∴x ≤－1.5；－1<x ≤1时，2≥3不成立；x >1时，2x ≥3，∴x ≥1.5.综上所述x ≤－1.5或x ≥1.5.(2)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .①若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；②当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解 ①由题f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．②函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，得a ＝－4<2(符合题意)， 故a ＝－4.考向 与绝对值不等式有关的求参问题 例 3 [2018·安徽模拟]已知函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝a |x |，a ∈R .(1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )>2g (x )＋1；(2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，x <0，不等式化为4－x >－4x ＋1，解得x >－1，∴－1<x <0；0≤x ≤4，不等式化为4－x >4x ＋1，解得x <35， ∴0≤x <35； x >4，不等式化为x －4>4x ＋1，解得x <－53，无解；综上所述，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <35. (2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，即|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立，当x ＝0时，不等式|x －4|≥a |x |－4恒成立；当x ≠0时，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立．∵|x －4|＋4|x |≥|x －4＋4||x |＝1， ∴a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．触类旁通(1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，分类讨论求得x 的范围．(2)由题意可得|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立．当x ＝0时，不等式显然成立；当x ≠0时，采用分离参数法，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a 的范围．含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【变式训练3】 (1)已知函数f (x )＝|1－2x |－|1＋x |.①若不等式f (x )<4的解集为{x |a <x <b }，求a ，b 的值；②求使不等式f (x )≤k －f (－2x )有解的实数k 的取值范围．解 ①∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，当x <－1时，－x ＋2<4，∴－2<x <－1；当－1≤x ≤12时，－3x <4，∴－1≤x ≤12； 当x >12时，x －2<4，∴12<x <6. 故由f (x )<4得－2<x <6，∴a ＝－2，b ＝6.②不等式f (x )≤k －f (－2x )有解，即|1－2x |－|1＋x |≤k －|1＋4x |＋|1－2x |，即k ≥|1＋4x |－|1＋x |有解，∵|1＋4x |－|1＋x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－5x －2，－1≤x ≤－14，3x ，x ≥－14，∴|1＋4x |－|1＋x |的最小值为－34， ∴实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. (2)[2018·凉山州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .①若不等式f (x )≥0的解集为空集，求实数a 的取值范围；②若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解 ①令g (x )＝|x ＋1|－|x |，则由题意可得f (x )≥0的解集为∅，即g (x )≥－a 的解集为∅，即g (x )<－a 恒成立．∵g (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0，作出函数g (x )的图象，如图：由图可知，函数g (x )min ＝－1；g (x )max ＝1.∴－a >1，即a <－1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1)．②在同一坐标系内作出函数g (x )＝|x ＋1|－|x |图象和y ＝x 的图象如图所示，由题意可知，把函数y ＝g (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.核心规律含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法：运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．满分策略1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x<－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12，G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围；(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2；x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4(x <a )，－x －a －4(a ≤x ≤－2)，3x －a ＋4(x >－2).可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋12|x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x＋52，x≤1，12x＋12，1<x≤3，32x－52，x>3.f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12绕点⎝⎛⎭⎪⎫－12，0旋转，由图可得不等式f(x)≤a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12的解集非空时，a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。
2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 第1课 绝对值不等式
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
即 3>0，此时 x>1.
综上所述，不等式 f(x)>0 的解集为xx>－12
.
(2)依题意，方程 f(x)＝x 等价于 a＝|x－1|－|x＋1|＋x， 令 g(x)＝|x－1|－|x＋1|＋x.
x＋2，x<－1， ∴g(x)＝－x，－1≤x≤1， .
x－2，x>1. 画出函数 g(x)的图象如图所示，
2．解不等式|x－1|－|x－5|<2. 解：当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1－(5－x)<2， 即 2x－6<2，解得 x<4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2， 即 4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
3 ． 若 不 等 式 |kx － 4|≤2
的
解
集
为
x|1≤x≤3
，
则
实
数
k＝
________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为x|1≤x≤3， ∴k＝2. 答案：2 4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________． 解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3， ∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即 k＜－3. 答案：(－∞，－3)
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式课件 理 选修4-5
【参考答案】(1)当 a=1 时,f (x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3 2
当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f (x)>1 的解集为 ������| < ������ < 2 .
������ 1
(1)证明:f (x)≥2; (2)若 f (3)<5,求 a 的取值范围. 【解析】(1)由 a>0,有 f (x)= x+ 所以 f (x)≥2. (2)f (3)= 3+ +|3-a|,
������ 1 1 ������
+ |������ − ������ | ≥ ������ + − (������ − ������ ) = +a ≥2,
-5≤m≤-3 或 3≤m≤5. 5. (2015· 怀化二模) 若不等式|x+3|+|x-7|≥a 2-3a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 . 5.[-2,5] 【解析】∵|x+3|+|x-7|≥|(x+3)+(7-x)|=10,又∵|x+3|+|x-7|≥a2-3a 的解集为 R,∴a2-3a≤10,解得 -2≤a ≤5,∴实数 a 的取值范围是[-2,5].
������ ������ 4 4
设 g (x)=x- , ������ ∈ (0,4], ������(������ ) = ������ + ,x∈(0,4],
������ ������
2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-绝对值不等式
2020年高考数学一轮复习 绝对值不等式 教材版本 全国通用 课时说明（建议） 2课时 知识点绝对值不等式的解法、不等式的证明、综合运用 复习目标利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习重点利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习难点 考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价转化的数学思想一、自我诊断 知己知彼1．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是 ( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13 【答案】B【解析】解不等式1x <2得x <0或x >12. 解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13. 2. 不等式1<|x ＋1|<3的解集为 ( )．A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 【答案】D【解析】原不等式等价于⎩⎨⎧ x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎨⎧ x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎨⎧ x ≥－1，0<x <2或⎩⎨⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2.答案为D. 3．若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[0,5)C ．(－∞，1)D ．[0,1]【答案】A【解析】由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5，∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5.答案为A.4．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a 的范围为____________．【答案】[3，＋∞)【解析】由题意得0<x <4⇒|x －1|<a ，则①0<x ≤1，|x －1|＝1－x ，∴0≤1－x <1.②1<x <4，|x －1|＝x －1，∴0<x －1<3.综合①，②得|x －1|<3，∴a ∈[3，＋∞)．5．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．【答案】0≤a ≤14【解析】∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0； 当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14； 当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解．综上可知0≤a ≤14.二、温故知新 夯实基础1．绝对值三角不等式（1）性质1：a b +≤a b +.（2）性质2：a b -≤a b -.性质3：a b -a b ≤-≤a b +.2．绝对值不等式的解法（1（2①()0ax b c c +≤>:c ax b c -≤+≤；②()0ax b c c +≥>:ax b c ax b c +≤-+≥或.（3）和型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.三、典例剖析 思维拓展考点一 含有绝对值不等式的解法例1(1)求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集；(2)求|x －1|＋|x ＋2|<5的解集．【答案】略【解析】(1)原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．(2)分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x <－2，－2≤x ≤1，x >1.当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5， 解得1<x <2.综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．【易错点】注意取并集交集情况【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.例2设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【答案】(1) {x |x ≥3或x ≤－1}；(2) a ＝2.【解析】(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x ≤a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.【易错点】代入得整个过程.【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.考点二 不等式的证明例1设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【答案】略【解析】因为a ，b ，c 为正实数，由平均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc ，当且仅当1a 3＝1b 3＝1c 3即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc ＝abc 即abc ＝3时，等号成立，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 不等式的综合应用例1 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5. 从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.四、举一反三 成果巩固考点一 含有绝对值不等式的解法1、不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．【答案】(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32 2、若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )． A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8【答案】C【解析】由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4.当a >0时，－8a <x <4a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意．当a <0时，4a <x <－8a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4.3、设函数f (x )＝| x ＋1|＋| x －a|(a ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝2.【解析】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎨⎧ －2x －1＋ax ＜－1a ＋1 －1≤x ＜a2x ＋1－a x ≥a，函数f (x )如图所示．(2)由题设知：|x ＋1|＋|x －a |≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝5的图象(如图所示)又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．由题设知，当x ＝－2或3时，f (x )＝5，且a ＋1＜5即a ＜4，由f (－2)＝(－2)×(－2)－1＋a ＝5得a ＝2.考点二 不等式的证明1、已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值。
高考数学一轮总复习不等式选讲1绝对值不等式课件理
∴① x<－12， －2x－1＋3－2x≤6
或② －12≤x≤32， 2x＋1＋3－2x≤6
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或
x＝3；当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，故 f(x)>1 的解集
为{x|1<x<3}；f(x)<－1 的解集为xx<13
或x>5.所以|f(x)|>1
的解集为xx<13
2．[2017·南宁模拟]若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成 立，则实数 a 的取值范围是_[_－__2_,4_]__．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3， ∴－2≤a≤4.
或③ x>32， 2x＋1＋2x－3≤6，
解①得－1≤x<－12，解②得－12≤x≤32，解③得32<x≤2，
即不等式的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， 即 f(x)的最小值等于 4， ∴|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
【变式训练 2】 [2017·唐山模拟]设不等式－2<|x－1| －|x＋2|<0 的解集为 M，a，b∈M.
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 不等式选讲 第1节 绝对值不等式课件 文 新人教A版
17－1
2
.
(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2在[－1，1]上恒成立.
则x2－ax－2≤0在[－1，1]上恒成立.
则只需1（2－－a1·）1－2－2≤a（0，－1）－2≤0，解之得－1≤a≤1.
故a的取值范围是[－1，1].
规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不 等式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法 的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不 等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合 数轴直观求解.
且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围. 解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，a－12≤12， 所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋a－12＋52|≤|3a－3b|＋|a－12|＋52≤3＋12＋52＝6， 则|4a－3b＋2|的最大值为6，
2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a|＋a|＋b|≤|b|，当且仅当ab时≥，0 等号成立. (2)如果a，b，c是实数，|a－那c么|≤|a－，b当|＋且|b仅－当c| 时(a－，b等)(号b－成c立)≥. 0
诊断自 1.思考辨析(在括号内打“测√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( ) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
【训练1】 已知函数f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；
高考数学大一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式课件理
4.已知函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值． 解：(1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. 故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．
(2)若 g(x)＝|x＋1|，求不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立时 a 的取值范围．
[解] 由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立，知 |x＋1|＋|x－a|>2 恒成立，
即(|x＋1|＋|x－a|)min>2. 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|， 所以|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3. 故 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
得 4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得 x>14，所以原不等式的解集为
x|x>14.
法二：原不等式等价于x<－12， －2x＋1＋2x－1>0
或－12≤x≤1， 2x＋1＋2x－1>0
或x2>x1＋，1－2x－1>0.
解得 x>14，所以原不等式的解集为x|x>14.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式
[例 1] 已知 x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. [证明] ∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1. 即|x＋5y|≤1.