2019年高考数学冲刺：数列专题总结

2019年高考数学冲刺：数列专题总结【高考展望】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中n a 与n S 之间的互化关系是高考解答题的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 【知识升华】1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n 项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d （或q ），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意1q =和1q ≠两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如n a 与n S 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7.数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.8.本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… …………………………………【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

【解析】第1次全行的数都为1的是第21-=1行， 第2次全行的数都为1的是第221-=3行， 第3次全行的数都为1的是第321-=7行， ······，第n 次全行的数都为1的是第21n -行； 第61行中1的个数是52=32． 举一反三【变式1】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足).2(2,2111≥-==-n S S a a n n n （1）证明：数列}1{nS 为等差数列； （2）求n S 及n a .【解析】（1）当2≥n 时，112--⋅-=-=n n n n n S S S S a∴1112(2)n n n S S --=≥ ∴1{}n S 是以21111==a S 为首项，2为公差的等差数列 （2）n n S n 2)1(221=-+=，∴nS n 21= 当2≥n 时，)1(21)111(211--=--=-=-n n n n S S a n n n ∴1212(1)n a n n ⎧⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩ )2()1(≥=n n考点二：数列递推关系式的理解与应用 例2．数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则1x =( )（Ａ）32（Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５ 【思路点拨】对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 【解析1】n n 1n 22x x x --=+，n n 1n 2n x x x x --∴-=-.32134324n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-⎫⎪-=-⎪⎪⎬⎪-=-⎪-=-⎪⎭相叠加得n 212n n 1x x x x x x --=+--.12xx 2=， n n 112x x 2x -∴+=.()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞→∞+=，n n lim x 2→∞=，12x 6∴= ，1x 3=.【解析2】由()1212n n n x x x --=+得： n n 1n 1n 2211111x +x x x x x x 222---=+==+=，n n 11n 1lim x x x 2-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为n n lim x 2→∞=，所以1x 3=. 【解析3】由()1212n n n x x x --=+得： ()()2n n 1n 1n 2n 2n 311x x ()x x ()x x 22------=--=--()n 2n 121111()x x ()x 22--==--=-从而23211x x ()x 2-=-；34311x x ()x 2-=-；…；n 1n n 111x x ()x 2---=-.叠加得：23n 1n 21111x x x ()()()222-⎡⎤-=-+-++-⎢⎥⎣⎦.n 2n 2111x x x 1()62-⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦，n 2n 21n n 11lim x lim x x 1()62-→∞→∞⎧⎫⎡⎤=+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭11x 12x 26=+， 从而1x 3=. 【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推()n n-1k d n 2,k 1a a =+≥≠，可转化为n n 1d d k()1k 1ka a --=---； 对连续三项递推的关系()n 1n n-1k d n 2a a a +=+≥，如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.举一反三【变式1】设)(,)2()(x f x x a xx f =+=有唯一解，,,2,1,)(,10021)(10 ===-n x x f x f n n （1）问数列}1{nx 是否是等差数列？ （2）求2009x 的值. 【解析】 （1）由210)2(-==⇒+=ax x x a x x 或，由已知得1120,2a a -==，∴2(),2xf x x =+ ∴11112111()22n n n n n n x x f x x x x ----==⇒-=+又因为10021,10021)(101===x x f x 所以. ∴数列}1{n x 是首项为1002，公差等于21的等差数列. （2）由（1）知20091111(20091)20062x x =+-⋅=∴200912006x = 考点三：数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系与应用例3.已知在正项数列{}n a 中，n S 表示前n项和，且1n a =+，求n a . 【思路点拨】转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式. 【解析1】由已知1n a =+，得当1n =时，11a =； 当2n ≥时，n n-1=S S n a -，代入已知有n n 1S S 1-=-+，即n 1n S S 1-=-.)2n 1S 1-=，又n n 10,S S 0n a ->>>1=1=∴数列是首项为11a =，公差1d =n =故2n 1n a =-.【解析2】由已知1n a =+，得当n=1时，11a =；当2n ≥时，因为2n 1S 2n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2211122n n n a a a -++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22n 11422n n n n a a a a a --=+--，22n n n 1n 1a 2a a 2a 0-----=()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>，所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-. 举一反三【变式1】设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 【解析】（1）当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当∴{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的公比为,q 由2211()b a a b -=得11,b qd b = ∴14q =故1111122.44n n n n b b q ---==⨯= （2）∵1142(21)424n n n nn a n c n b ---===-∴1211213454(21)4n n n T c c c n -=+++=+⨯+⨯++-2314143454(23)4(21)4n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得12311312(4444)(21)4[(65)45]3n n n n T n n -=--+++++-=-+∴1[(65)45]9n n T n =-+ 考点四：数列中与n 有关的等式的理解与应用例4．已知数列{}n a 满足1n 1n a 1,a 2a 1+==+(n N +∈)（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()n312n b b 1b 1b 1b 1n 4444a 1----⨯⨯⨯⨯=+(n N +∈),证明:{}n b 是等差数列;【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

把递推关系式变形转化。

【解析】（I ）解：∵n 1n a 2a 1+=+ ，∴n 1n a 12(a 1)++=+ {}n a 1+是以1a 12+=为首项，2为公比的等比数列。

∴nn a 1=2+ 即nn a =21- （n N +∈）（II ）证法一：∵()n 312n bb 1b 1b 1b 1n 4444a 1----⨯⨯⨯⨯=+，∴()n123n b (b 1)+(b 1)+(b 1)+...+(b 1)n 42----=即123n n (b +b b +...+b )b n 42n+-=∴123n n 2(b +b b +...+b )2nb n +-= ① 123n+1n+12(b +b b +...+b )2(1)(n+1)b n +-+= ②②－①，得n+1n+1n 2(b 1)(n+1)b nb -=-， 即n+1n (n 1)b nb 20--+=③n+2n+1nb (n+1)b 20-+= ④③－④，得 n+2n+1n nb 2nb nb 0-+= ， 即n+2n n+1b b 2b += 故{}n b 是等差数列. 举一反三【变式1】设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有正整数n ，t 与a n 的等差中项和t 与S n 的等比中项相等。