2019年高考数学冲刺：数列专题总结

2019年高考数学冲刺：数列专题总结

【高考展望】

1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2.数列中n a 与n S 之间的互化关系是高考解答题的一个热点.

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.

【知识升华】

1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n 项和公式等.

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、

d （或q ）

，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意1q =和1q ≠两种情况等等.

4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如n a 与n S 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

7.数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

8.本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

【典型例题】

类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式

例1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．

第1行 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

…… …………………………………

【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

【解析】第1次全行的数都为1的是第21-=1行，

第2次全行的数都为1的是第221-=3行，

第3次全行的数都为1的是第321-=7行，

······，

第n 次全行的数都为1的是第21n -行；

第61行中1的个数是52=32．

举一反三

【变式1】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足).2(2,2111≥-==

-n S S a a n n n （1）证明：数列}1{n

S 为等差数列； （2）求n S 及n a .

【解析】（1）当2≥n 时，112--?-=-=n n n n n S S S S a ∴1

112(2)n n n S S --=≥ ∴1{

}n S 是以21111==a S 为首项，2为公差的等差数列 （2）n n S n 2)1(221=-+=，∴n

S n 21= 当2≥n 时，)

1(21)111(211--=--=-=-n n n n S S a n n n ∴1212(1)

n a n n ???=??--?? )2()1(≥=n n 考点二：数列递推关系式的理解与应用

例2．数列{}n x 满足122x x =，()1212

n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则1x =( ) （Ａ）32

（Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５ 【思路点拨】对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.

【解析1】n n 1n 22x x x --=+，n n 1n 2n x x x x --∴-=-.

32134324n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-??-=-????-=-?-=-??

相叠加得n 212n n 1x x x x x x --=+--. 12x x 2

=， n n 112x x 2x -∴+=. ()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞→∞+=，n n lim x 2→∞

=，12x 6∴= ，1x 3=. 【解析2】由()1212

n n n x x x --=+得： n n 1n 1n 2211111x +x x x x x x 222

---=+==+=， n n 11n 1lim x x x 2-→∞??+= ???

，因为n n lim x 2→∞=，所以1x 3=. 【解析3】由()1212n n n x x x --=

+得： ()()2n n 1n 1n 2n 2n 311x x ()x x ()x x 22------=--=--()n 2n 121111()x x ()x 22

--==--=- 从而23211x x ()x 2-=-；34311x x ()x 2-=-；…；n 1n n 111x x ()x 2---=-. 叠加得：23n 1n 2111

1x x x ()()()222-?

?-=-+-++-????

. n 2n 2111x x x 1()62-??=+--????，n 2n 21n n 11lim x lim x x 1()62-→∞→∞????=+--???????

? 11x 12x 26

=+， 从而1x 3=. 【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推()n n-1k d n 2,k 1a a =+≥≠，可转化为n n 1d d k()1k 1k a a --=---； 对连续三项递推的关系()n 1n n-1k d n 2a a a +=+≥，如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.

举一反三

【变式1】设)(,)

2()(x f x x a x x f =+=有唯一解，

,,2,1,)(,1002

1)(10 ===-n x x f x f n n （1）问数列}1{

n x 是否是等差数列？ （2）求2009x 的值.

【解析】

（1）由210)2(-==?+=a

x x x a x x 或， 由已知得1120,2a a -==，∴2(),2

x f x x =+ ∴11112111()22

n n n n n n x x f x x x x ----==?-=+ 又因为10021,10021)(101==

=x x f x 所以. ∴数列}1{n x 是首项为1002，公差等于2

1的等差数列. （2）由（1）知

200911

11(20091)20062x x =+-?=∴200912006x = 考点三：数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系与应用 例3.已知在正项数列{}n a 中，n S 表示前n

项和，且1n a =+，求n a .

【思路点拨】转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式.

【解析1

】由已知1n a =+，得当1n =时，11a =； 当2n ≥时，n n-1=S S n a -

，代入已知有n n 1S S 1-=-+，即

n 1n S S 1-=-

.)2

n 1S 1-=， 又n n 10,S S 0n a ->>>

1=

1=

∴数列是首项为11a =，公差1d =

n = 故2n 1n a =-.

【解析2

】由已知1n a =+，得当n=1时，11a =；

当2n ≥时，因为2n 1S 2n

a +??= ???，所以22

11122n n n a a a -++????

=- ? ?????.

22n 11422n n n n a a a a a --=+--，22

n n n 1n 1a 2a a 2a 0-----= ()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>， 所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-.

举一反三

【变式1】设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2

，}{n b 为等比数列，

且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n

【解析】（1）当;2,111===S a n 时

,24)1(22,222

1-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

∴{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的公比为,q 由2211()b a a b -=得11,b qd b = ∴1

4q = 故111112

2.44n n n n b b q ---==?=

（2）∵1

1

42(21)424n n n n n a n c n b ---===-

∴1211213454(21)4n n n T c c c n -=+++=+?+?++- 2314143454(23)4(21)4n n n T n n -=?+?+?++-+- 两式相减得

12311312(4444)(21)4[(65)45]3n n n

n T n n -=--+++++-=-+