零点存在定理
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
零点存在定理的条件
零点存在定理的条件
嘿，咱今天就来说说零点存在定理的条件哈！
你想啊，这零点存在定理就像是一个神秘的宝藏图，而它的条件呢，就是找到宝藏的关键线索。
首先呢，得有个连续的函数，就像我们走路得一步一步稳稳当当的，不能这儿断一下那儿断一下，不然怎么能找到零点这个宝贝呢。
这就好比我们要去一个地方，路得是通的呀，要是中间突然断了，那不就傻眼啦！
然后呢，函数在两端的值得一正一负，这多有意思呀！就好像是在两端摆了两个不同颜色的旗子，一个代表正数，一个代表负数，它们就像两个小卫兵，指引着我们去找中间那个零点。
要是两端都是一样的，那可就没头绪咯，就像两个卫兵都指一个方向，那我们还怎么找呢。
这条件其实就像是生活中的一些小规则，虽然看起来不起眼，但没了它们还真不行。
就像我们出门得知道路怎么走，不然就会迷路。
零点存在定理的条件就是给我们指引方向的，让我们能准确地找到那个神奇的零点。
有时候我就想啊，这数学里的定理和我们生活还真像呢。
有了这些条件，就像我们有了目标和方法，能让我们在数学的世界里畅游，找到那些隐藏的奥秘。
哎呀呀，说了这么多，总之呢，零点存在定理的条件可重要啦，没它们就没法玩啦！就像我们玩游戏得有规则一样，不然就乱套咯。
现在回想起来，这些条件还真是有趣又神奇呀，让我们能在数学的海洋里不断探索和发现。
就像我们在生活中不断追寻自己的梦想一样，有了方向和方法，才能走得更远更稳。
嘿嘿，这就是零点存在定理的条件的魅力所在啦！希望你们也能像我一样，感受到这份独特的乐趣哦！。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
连续函数的零点定理
连续函数的零点定理连续函数的零点定理是微积分中的一个重要定理，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从连续函数的零点定理的定义、证明和应用三个方面进行阐述。
一、连续函数的零点定理的定义连续函数的零点定理是指对于一个连续函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，那么在这个区间内一定存在至少一个点c，使得f(c)=0。
这个定理表明了连续函数在某个区间内必然存在一个零点。
连续函数的零点定理的证明可以利用实数完备性原理进行推导。
首先假设f(a)>0，f(b)<0，那么根据实数完备性原理，存在一个实数集合A，使得f(x)>0的点全都在A的上方，f(x)<0的点全都在A的下方。
因为A是实数集合，所以它是有界的。
根据确界性原理，A 存在上确界c。
由于f(a)>0，所以a不可能是上确界，因此a<c。
同理，由于f(b)<0，所以b不可能是上确界，因此b>c。
综上所述，存在一个c，使得a<c<b。
由于f(x)在[a, b]上是连续函数，根据介值定理，必然存在一个x=c，使得f(c)=0。
同理，当f(a)<0，f(b)>0时，也可以得到同样的结论。
因此，连续函数的零点定理得证。
三、连续函数的零点定理的应用连续函数的零点定理在实际问题中有着广泛的应用。
以一元多项式函数为例，通过连续函数的零点定理可以判断多项式函数在某个区间内是否存在零点。
这在数学建模、物理实验数据处理等领域中有着重要的应用。
此外，连续函数的零点定理也可以用来求解方程的近似解。
通过将方程转化为函数的形式，再利用连续函数的零点定理可以得到方程的一个近似解。
这在数值计算和数学分析中有着广泛的应用。
总结起来，连续函数的零点定理是微积分中的一个重要定理，它通过实数完备性原理和介值定理给出了连续函数存在零点的条件和证明。
连续函数的零点定理在实际问题中有着广泛的应用，可以用来判断函数在某个区间内是否存在零点，并且可以用来求解方程的近似解。
考点34 零点定理(解析版)
考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（ ） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二 零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三 零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>， 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈， 又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ． 2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+， 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>， 由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．强化练习3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）； 当0x >时，110x-=，解得：1x = 所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>． 故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．[)1,-+∞ D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（ ） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（ ） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）； 当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =， 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________． 【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。
零点存在定理
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理:一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c € (a, b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x) =0的根•特别提醒：⑴根据该定理，能确定f(x) 在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.(2) 并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x 2 -3x +2有f(0) f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点.(3) 若f(x)在［a，b］上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a) . f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法(1) 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找岀零点.特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0 在［0，2］上有两个等根，而函数f (x) =x 2-2x +1在［0，2］上只有一个零点②函数的零点是实数而不是数轴上的点.⑵代数法：求方程f(x) =0的实数根.例题1：若函数f (x)唯一的一个零点同时在区间(0 ,16 )、( 0，8)、( 0，4 )、( 0，2)内，下列结论:(1)函数f (x)在区间(0, 1)内有零点；(2)函数f (x)在区间(0 , 1)或(1，2)内有零点；(3)函数f (x)在区间［2，16 )内无零点；(4)函数f (x)在区间(0 ,16 )上单调递增或递减.其中正确的有________ (写岀所有正确结论的序号).答案由题意可确定f (x)唯一的一个零点在区间(0, 2)内，故在区间［2 ,16 )内无零点.(3)正确，(1)不能确定，(2)中零点可能为1 ,(4 )中单调性也不能确定.故答案为：(3)例题2:已知函数沁；\" 6 7有零点，则实数的取值范围是()例题3:T^A={^|0<X<2}( B={y|l<y<2},下列图形表示集合堆傑合B的函数时图彖的是( )答案〔找作业答棄…2上魔方格)負和B中y的取億範®不是⑴2}不合题意，故脯］睹环成立；(■丰x刖更肓叵至不是匸、F刖柬值葩壶不是［「兀・不令更意、啟匚=戌立:D中，0<X£2, l£y<2>符合题意，故选D.例题4：函数f (x) =3ax-2a+1 在［-1,1］上存在一个零点，则实数 a的取值范围是( )A. a > 1/5;B. a < -1 ;C. -1 < a < 1/5 ;D. a > 1/5 或a < -1答案: 由题意可得f (-1 )X f ( 1 ) <0,解得•••(5a-1 )(a+1 )>0.'a > 1/5 或 a 二1 故选D例题5:若函数f(x)=x 2+log 2|X|-4的零点m € (a, a+1) , a€ Z,则所有满足条件的a的和为() 答案：-1例题6：已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表:那么，函数f(x)在区间［1，6］上的零点至少有A. 5个B. 4个C. 3个D . 2个答案：C。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
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1.学会由函数解析式讨论零点的个数， 证明零点的个数。 2.思想方法：函数方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想
课后作业： 课后作业：
课本P86练习2.
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数： 我们来观察下面表格中的函数：
函数 闭区间 闭区间端点函 数值的乘积 零点
y = 2x −1
2
[0,1]
f (0) f (1) =−1<0
想一想:求下列方程的根或函数的零点: 1.x + 1 = 0; 方程f ( x) = 0有实数根 2 2.x − 2 x + 1 = 0; ⇔函数y = f ( x)图象与x轴有交点 x ⇔函数y = f ( x) 有零点 3. f ( x ) = 2 − 8;
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出， 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f ( x ) = ln ( x ) + 2 x − 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？ 讨论它的零点呢？
-1.309
3
1.089
4
5
6
7
8
9
14.1972
f(x) -4
3.3863 5.6094 7.7918
9.9459 12.0794
区间 ( 2,3)内有零点. f ( x ) 在其他的区间是否存在零点 ? 我们先 来看这个函数的图象 :
由表可知f ( 2 ) < 0, f ( 3) > 0, 则f ( 2 ) f ( 3) < 0, 说明f ( x ) 在
y =log2(2x−3)
观察以上四个函数，我们能得出什么样 的结论呢？ 提示： 1.以上的函数在给定的区间内图象是连续的 还是不连续的？ 2.闭区间两个端点函数值的乘积都满足什么 样的条件？ 3.函数的零点有什么样的特点？ 4.我们能得出什么样结论？
函数零点存在性定理： 续不断的一条曲线，并且有f ( a ) f ( b ) < 0, 如果函数y = f ( x ) 在 [ a, b ] 上的图象是连
∴ f ( x ) = lg x + x − 8在 ( 0,+∞ )
y = x − 8在( 0,+∞) 是增函数,
∴ f ( x) = lg x + x − 8有且只 有一个零点.
是增函数,
思考:以上两个问题中方程的根所在区间的范围
能否进一步缩小?
知能训练: 知能训练: 课堂小结：
1 2.证明f ( x ) = x + − 3在 ( 0， ∞ ) 上有两个零点. + x
f (1) f (3) < 0和
1 x1 = 2
x1 = 2, x2 = 4
，和 ， y = x −6x+8 [13] [35] f (3) f (5) < 0来自y = 2 −2x
[0, 2]
7 7 [ , ] 4 2
f (0) f (2) < 0
7 7 f( ) f( )<0 4 2
x1 = 1
x1 = 2
即存在c ∈ ( a, b )，使得f ( c ) = 0，这个c也是 方程f ( x ) = 0的根.
那么，函数y = f ( x )，在区间( a, b )内有零点，
解：利用计算器，作出 x, f ( x )的对应值表：
例1.求函数f ( x) = ln x + 2 x − 6的零点的个数.
x 1 2
从这个图象我们看到, 从这个图象我们看到 这个函数在定义域内是单 调增函数,那么我们怎样证 调增函数 那么我们怎样证 明呢? 明呢
练习 证明f ( x) = lg x + x − 8有且只有一个零点. 1.
证明:Q f (1) = −7, f (10 ) = 3,∴ f (1) f (10 ) < 0, ∴函数f ( x ) = lg x + x − 8在 (1,3)内有零点, Q y = lg x在( 0,+∞) 是增函数,