向量的坐标表示和空间向量基本定理1概述.
空间向量的基本定理及坐标表示
求
解:
a b , a b ,8a。
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例2：P80例2.
base vectors. 空间任何三个 e1 , e 2 , e 3 都叫做 基向量
特别地, 设e1 , e 2 , e 3为有公共起点 O的三个两 两垂直的单位向量 ( 我们称它们为单位正交 基底) , 以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原点, 分别 以e1 , e 2 , e 3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz. 那么, 对于空间任 意一个向量 p, 一定可以把它平移, 使它的起
基本定理：
间任一向量 p, 存在唯一的有序实数组 x, y, z,
定理： 如果三个向量e1 , e 2 , e 3不共面, 那么对空
使得p xe1 ye 2 ze 3 .
定理告诉我们，若三向 量不共面， 则空间任一向量都可由 他们线性表示 我们把e1 , e 2 , e 3 叫做空间的一个基底base , 不共面的向量都可构成 空间的一个基底 .
空间向量的基本定理及坐标表示
我们知道, 平面内任意一 个向量p都可以用两个不 共线的向量a, b来表示(平 面向量基本定理 ).对于空 间任意一个向量, 有没有 类似的结论呢? 如图3.1 15, 设i, j, k是空
i
z
P
k
O
j
Q
y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3.1 15
间三个两两垂直的向量, 且有公共起点O.对于空间 任意一个向量 p OP , 设点Q为点P在i, j所确定的 平面上的正投影,由平面向量基本定理可知, 在OQ , k所确定的平面上, 存在实数z , 使得OP OQ zk.
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
y
x
练为习2,且4E.如为图C建C立 的直中角点坐,求标各系点,已的知坐正标方体的棱长 z
解: A(0,0,0),
B(2,0,0), D(0, 2,0), A(0,0, 2)
A
C(2, 2,0), D(0, 2, 2), B(2,0, 2) B
C(2, 2, 2), E(2, 2,1)
p xa yb zc
3、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ),b (b1,b2 )
则 a b (a1 b1, a2 b2 ),
a b (a1 b1, a2 b2 ),
a (a1, a2 )( R), a b a1b1 a2b2 ,
答案： 15 16
BE1
z D' A'
F1
(0, 1 4
E1
,1) (1,
3 4
C
,1)
'
B'
D(0,0,0) C o
A
B
y
(1,1,0)
x
三、想一想：如下的立体图应该怎样建立空间直角坐标系
（1）底面为直 角的直三棱柱
z
（2）正四棱锥 z
（3）正三棱柱 zz
O
y
O
OO y
yy
x
x
xx
小结：1、建立合理的空间直角坐标系：
所以, a b (a1i a2 j a3 k ) (b1i b2 j b3 k ) 利用向量数量积的分配律及
i i j j k k 1
i j j k k i 0 得到：a b a1b1 a2b2 a3b3
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC 【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量的坐标表示
A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c
空间向量基本定理-课件
例题讲解：
例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量OA，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2.3.2
向量的坐标表示和空间向 量基本定理
一、空间向量基本定理：
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共
起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P
在i,j所确定的平面上的正投影，
由平面基本定理可知，
在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得
OP=OQ+zk,
而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 可知，存在有序之前数对(x,y)， z
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间 任一点，A,对应一个向量OA，于是存在 唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xi+yj+zk
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
空间向量的加减法运算法则空间向量的坐标表示空间向量基本定理
一、空间向量的定义
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
二、空间向量的坐标表示：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。
三、空间向量的理解：
（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
四、空间向量的加法、减法的定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法如下：
运算律：
（1）加法交换律：；
（2）加法结合律：；
（3）数乘分配律：λ=λ+λ
坐标表示：
若，，则。
五、向量加法的几个重要结论：
①和向量的模满足当同向时右等号成立，当反向时左等号成立，当中有零向量时两等号成立，当不共线时，上式的几何意义是三角形任意一边小于另两边之和，大于另两边之差；
②几个向量相加，可通过平移将它们转化为首尾相接的向
量．
③首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．。
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z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组
三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj ＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基． (x，y，z) 叫作空间向量a的坐标，记作a＝ (x ，y，z) __________ _________ ， (x，y，z) a＝____________ 叫作向量a的坐标表示． → ( x ， y ， z ) 在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为__________，向量OP (x，y，z) ． 的坐标也是__________
→ → → → 设 a、b、c 不共面，过点 O 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OP ＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′； 在平面 OAB 内，过点 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线 OA，OB 相交于点 A′，B′.于是存在三个实数 x， → → → → → → y，z，使OA′＝xOA＝xa，OB′＝yOB＝yb，P′P＝zOC＝zc， → → → → → → → OP＝OA′＋OB′＋P′P＝xOA＋yOB＋zOC. ∴p＝xa＋yb＋zc.
→ → → → → → (1)AE，AG，AF；(2)EF，EG，DG.
[分析] 若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
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→ → → → 1 → [解析] (1)AE＝AD＋DE＝AD＋2DD′ 1 → 1 → ＝AD＋2AA′＝(0,1，2)， 1 → → → → 1→ AG＝AB＋BG＝AB＋2AD＝(1，2，0)， → → → → → → 1→ AF＝AA′＋A′D′＋D′F＝AA′＋AD＋2AB 1 ＝(2，1,1)．
1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示
出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量 的一个基底． 3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个
非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中 的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
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6．特殊向量的坐标表示
若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)． 若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)． 若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)． 若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．
若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．
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→ → → (2)EF＝AF－AE → → 1→ → 1 → ＝(AA′＋AD＋2AB)－(AD＋2AA′) 1 → 1→ 1 1 ＝2AA′＋2AB＝(2，0，2)， → → → → 1→ → 1 → EG＝AG－AE＝(AB＋2AD)－(AD＋2AA′) 1 1 → 1→ 1 → ＝AB－2AD－2AA′＝(1，－2，－2)， → → → → 1→ → DБайду номын сангаас＝AG－AD＝AB＋2AD－AD 1 → 1→ ＝AB－2AD＝(1，－2，0)．
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4．空间向量基本定理 如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间 任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 _____________________.
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4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结
合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐 步把待求向量转化为基向量的“代数和”． 5．空间向量基本定理的证明
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若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．
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思路方法技巧
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空间向量的坐标表示
棱长为 1 的正方体 ABCD －A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 → → DD′、 D′C′、 BC 的中点， 以{AB， AD， → AA′}为基底，求下列向量的坐标．
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第二章
2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
第1课时
空间向量的标准正交分解与坐标 表示及空间向量基本定理
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1．在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，
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2．向量坐标的求法 若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起点移到坐标原 点，以a为对角线，以x轴，y轴，z轴为棱，作长方体．长方体 坐标的绝对值 ．与平面向量一样，向量起 各棱长就是相应______________ 点在原点时，终点坐标就是向量坐标． 3．向量a在向量b上的投影 |a|cos〈a，b〉 一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝____________ 为向量a在向量b上的投影． 任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标．
5．基底
(1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一 基底 个__________ ． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底 ． ________
(3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直， 正交基底 ． 那么这个基底叫作__________
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