ACMHPU第二讲_递归与分治策略1
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递归与分治ppt课件
C三个柱子间移动。}
2023/10/8
计算机算法设计与分析
3
Hanoi塔问题的时间复杂性
n Hanoi塔问题的时间复杂性为O(2n)。 n 证明：对n归纳证明move(n) = 2n – 1。 n 归纳基础：当n = 1, move(1) = 1 = 21 – 1。 n 归纳假设：当n k, move(n) = 2n – 1。 n 归纳步骤：当n= k + 1，移动次数为
2、除法，即n / b，的形式
2023/11/4
计算机算法设计与分析
21
递归算法的时间复杂性
n 若~为减法，即n – b，则有：
T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(aT(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) =
k–1
k–1
= akT(1) + ai D(n – ib) = ak + ai D(n – ib)
n q最(n简, m单)情{ 形1：(1) q(n, 1)=1, q(1, mn)==1 n或, mm≥1=;1 n 递q(iin归ff,((mnn关)<=系==1)：1q1)||(|((+|nm2(,)qmm<(qn=–(1,n1=)n,)–+1n1)q))(=rrnee–1ttmuu+rr,nqnm(01n);;, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1; n 产i生f (n的=新= 情1) 况|| (：n < m) return 1 + q(n, n–1); n (3r)eqtu(nr,nmq)(n=,qm(n–,1m) +–1q)(n+–qm(,nm–m);, m} ), n＞m＞1 n (整4)数q(nn的, m划)分= q数(nρ,(n),=nq＜(nm, n。)。
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Hanoi塔问题的时间复杂性
n Hanoi塔问题的时间复杂性为O(2n)。 n 证明：对n归纳证明move(n) = 2n – 1。 n 归纳基础：当n = 1, move(1) = 1 = 21 – 1。 n 归纳假设：当n k, move(n) = 2n – 1。 n 归纳步骤：当n= k + 1，移动次数为
2、除法，即n / b，的形式
2023/11/4
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21
递归算法的时间复杂性
n 若~为减法，即n – b，则有：
T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(aT(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) =
k–1
k–1
= akT(1) + ai D(n – ib) = ak + ai D(n – ib)
n q最(n简, m单)情{ 形1：(1) q(n, 1)=1, q(1, mn)==1 n或, mm≥1=;1 n 递q(iin归ff,((mnn关)<=系==1)：1q1)||(|((+|nm2(,)qmm<(qn=–(1,n1=)n,)–+1n1)q))(=rrnee–1ttmuu+rr,nqnm(01n);;, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1; n 产i生f (n的=新= 情1) 况|| (：n < m) return 1 + q(n, n–1); n (3r)eqtu(nr,nmq)(n=,qm(n–,1m) +–1q)(n+–qm(,nm–m);, m} ), n＞m＞1 n (整4)数q(nn的, m划)分= q数(nρ,(n),=nq＜(nm, n。)。
递归与分治策略
7
例2-4 排列问题 Template<class type>
void Perm(Type list[ ], int k, int m)
{//Generate all permutations of list[k:m].
if (k==m) //第一版中有错误
{//list[k:m] has one permutation, output it
}
例2-2 Fibonacci数列
1
n=0 这两种递归可 转换为非递归
F(n)= 1
n=1 方式，但并不
F(n-1)+F(n-2) n>1 是全部递归都
int Fibonacci(int n)
能够转换。
{ if(n<=1) return 1;
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2); }
q(n, n)=1+q(n, n-1) 若n>m>1，则 q(n, m)=q(n, m-1)+q(n-m, m)
10
例2-5 整数划分问题
int a(int n, int m) {
if((n<1) or (m<1)) return 0; if((n==1) or (m==1)) return 1; if(n<m) return q(n,n); if(n==m) return q(n,m-1)+1; return q(n,m-1)+q(n-m,m); }
第2章 递归与分治策略
Recursive divide-and-conquer strategy
• 了解递归旳概念 • 掌握设计有效算法旳分治策略 • 经过范例学习分治策略旳设计技巧
例2-4 排列问题 Template<class type>
void Perm(Type list[ ], int k, int m)
{//Generate all permutations of list[k:m].
if (k==m) //第一版中有错误
{//list[k:m] has one permutation, output it
}
例2-2 Fibonacci数列
1
n=0 这两种递归可 转换为非递归
F(n)= 1
n=1 方式，但并不
F(n-1)+F(n-2) n>1 是全部递归都
int Fibonacci(int n)
能够转换。
{ if(n<=1) return 1;
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2); }
q(n, n)=1+q(n, n-1) 若n>m>1，则 q(n, m)=q(n, m-1)+q(n-m, m)
10
例2-5 整数划分问题
int a(int n, int m) {
if((n<1) or (m<1)) return 0; if((n==1) or (m==1)) return 1; if(n<m) return q(n,n); if(n==m) return q(n,m-1)+1; return q(n,m-1)+q(n-m,m); }
第2章 递归与分治策略
Recursive divide-and-conquer strategy
• 了解递归旳概念 • 掌握设计有效算法旳分治策略 • 经过范例学习分治策略旳设计技巧
第2章递归与分治策略
说明：边界条件与递归方程是递归函数的两个要素， 递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计
算后得出结果。
2024/7/30
算法设计与分析
4
递归函数的内部执行过程
递归函数内部执行过程如下：
（1）运行开始时，为递归调用建立一个工作栈，其结 构包括实参、局部变量和返回地址；
（2）每次执行递归调用之前，把递归函数的实参和局 部变量的当前值以及调用后的返回地址压栈；
• Ackerman函数A(n, m)定义如下，n, m是两个独 立的整变量，其中n, m均≥0：
A1,0 2
A0, m 1
An,0 n 2
An, m AAn 1, m, m 1
m0 n2 n, m 1
2024/7/30
算法设计与分析
8
分析
• A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单 变量函数：
– 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
2024/7/30
算法设计与分析
25
原问题 的规模是n
子问题1 的规模是n/2
子问题2 的规模是n/2
子问题1的解
子问题2的解
原问题的解
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算法设计与分析
26
问题（N个输入）
合 子问题1 并 解
（3）每次递归调用结束后，将栈顶元素出栈，使相应 的实参和局部变量恢复为调用前的值，然后转向返回地 址指定的位置继续执行
举例2-2：Fibonacci数列
• 无穷数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…，被称
为Fibonacci数列。 • 它可以递归定义为：
第2章 递归与分治策略
20
实现过程
我们初始化数组p[1..n]的值为0，对于元素n，可 以依次把它放到数组的p[1],p[2],…,p[n]位臵， 在n放定一个位臵后p[k]后，剩下的n-1个元素可以 放在那些值为0的数组元素p[1..k-1]和p[k+1..n] 上。 依次递归下去，直到数组没有为0 的元素为止。 注意：在n放定一个位臵p[k]，找到剩下n-1个元素 的所有排列后，在找n的下一个可放臵位臵时，即把 n放到位臵P[k+1]前，原来放n的位臵p[k]一定要臵 0。否则，将有某些元素找不到位臵。
A(n,0) = n + 2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1)
n ≧2
n,m≧1
m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，
A(1,1)=2 可以得出 A(n,1)=2*n m=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)， A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2 可以得出 A(n,2)= 2n 。 m=3时，类似的可以推出
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1
A(n,0) = n + 2 A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1)
m ≧0
n ≧2 n,m≧1
6
A(1,0) = 2 A(0,m) = 1 Ackerman函数的特征：A(n，m)的自变量 m的每一个值 m ≧0
都定义了一个单变量函数。
m=0时，A(n,0)=n+2
T(n)= O(1) aT(n/b)+f(n) n=1 n>1
通过求解递归方程得到递归算法的时间复杂性。
26
算法分析_递归与分治策略
递归算法特点
1.递归过程一般通过函数或子过程来实现。也就 是说我们要先定义子函数或者子过程. 2.问题求解规模缩小,把问题转化为规模缩小了的 同类问题的子问题。然后递归调用函数(或过程) 来表示问题的解。 3.相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为 后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的 输入)；
实例三 Hanoi塔
时间复杂度?
递归算法
№.递归算法定义 №.实例分析 №.递归算法特点 №.递归与非递归的转化
递归算法特点
long Fact ( int n ) { if ( n==0 ) return 1; else return n*Fact(n-1); }
Void main() {… Fact(5); …} long Fib ( int n ) { if ( n==1 ) return 1; if ( n==2 ) return 1; return Fib(n-1)+Fib(n2); } void main() {… Fib(12); … }
1.函数调用与返回的过程
（2）函数返回 从被调用函数返回调用函数之前，应该完成下 列三项任务： 保存被调函数的计算结果； 释放被调函数保存局部变量的数据区； 依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调 用函数。
1. int main() 2. { 3. int n = 10; 4. int sn; 5. sn = sum(n); 6. cout << sn << endl; 7. }
实例三 Hanoi塔
实例三 Hanoi塔
我们定义一个过程Hanoi(N，A，B，C)，表示有N 个金盘需要从A柱搬到B柱(以C柱为过渡)。那么完 成它只需3步： ①Hanoi(N一1，A，C，B)它的意思是把A柱上 的N一1个金盘搬到C柱； ② A→B 它的意思是把一个(最大的)金盘从A柱 搬到B柱； ③ Hanoi(N－1，C，B，A)它的意思是把c柱上 的N一1个金盘搬到B柱。
算法设计与分析：第02章 递归与分治策略
1 5 n1 1 5 n1 1 F (n) 2 5 2
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
2.1
例3 Ackerman函数
递归的概念
• A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： • M=0时，A(n,0)=n+2 • M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n • M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
2.1
递归的概念
例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
2.1
例3 Ackerman函数
递归的概念
• A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： • M=0时，A(n,0)=n+2 • M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n • M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
2.1
递归的概念
例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
第2讲 递归与分治策略
第2讲 递归与分治策略
递归的概念 分治法的基本思想
分治法范例学习
第2讲 递归与分治策略
2.1 递归的概念
• 直接或间接地调用自身的较小模式 的算法称为递归算法。
• 用函数自身的较小模式给出其定义 的函数称为递归函数。
第2讲 递归与分治策略
递归算法的特点
• 递归就是在过程或函数里调用自身。 • 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结 束条件，称为递归出口。 • 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解 题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算 法设计程序。 • 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、 局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易 造成栈溢出等，所以一般不提倡用递归算法设 计程序。
第2讲 递归与分治策略
• 有趣的兔子问题
•
一般而言，兔子在出生两个月后，就有 繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对 小兔子来。如果所有兔子都不死，那么 一年以后可以繁殖多少对兔子？
第2讲 递归与分治策略
• 分析如下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔子，总数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，总数共是三对； …… 依次类推可以列出下表：
例6
Hanoi塔问题
设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘， 这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任 一塔座上。
递归的概念 分治法的基本思想
分治法范例学习
第2讲 递归与分治策略
2.1 递归的概念
• 直接或间接地调用自身的较小模式 的算法称为递归算法。
• 用函数自身的较小模式给出其定义 的函数称为递归函数。
第2讲 递归与分治策略
递归算法的特点
• 递归就是在过程或函数里调用自身。 • 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结 束条件，称为递归出口。 • 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解 题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算 法设计程序。 • 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、 局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易 造成栈溢出等，所以一般不提倡用递归算法设 计程序。
第2讲 递归与分治策略
• 有趣的兔子问题
•
一般而言，兔子在出生两个月后，就有 繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对 小兔子来。如果所有兔子都不死，那么 一年以后可以繁殖多少对兔子？
第2讲 递归与分治策略
• 分析如下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔子，总数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，总数共是三对； …… 依次类推可以列出下表：
例6
Hanoi塔问题
设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘， 这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任 一塔座上。
第2章递归与分治策略.
2.2 分治法的基本思想
分治法的基本思想
分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分
解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相 独立且与原问题相同。 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模 仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递 归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易 求出其解为止。 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规 模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的 解。
二分搜索实例:设在A[8]中顺序放了以下9个元素：
A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]
-15 -6
③
0
③
7
④
9
①
23
54
②
82 101
③ ④
②
搜索x=9 9= =A[4], 一次比较,成功, 最好情况 搜索x=-15, -15<A[4], -15<A[1], -15= =A[0], 3次比较, 成功 搜索x=101 101>A[4], 101>A[6], 101>A[7], 101= =A[8], 4次比较, 成功 搜索x=8 8<A[4], 8>A[1], 8>A[2], 8>A[3], 4次比较, 不成功检索
1 5 1 F (n) 2 5
1 5 2
n 1
递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学 归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算 法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费 的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
边界条件
1 n0 F ( n) 1 n 1 F (n 1) F (n 2) n 1
递归与分治策略讲义课件(ppt 65页)
int prev,now,next,j; if (n<=1) return(1);
else {
prev=1; now=1; for(j=2;j<=n;j++) {
next=prev+now; prev=now; now=next; } return(next); } }
具有编译递归程序能力的程 序设计语言有：C、Pascal 、 ALGOL、 PL/A 、 ADA、 QBASIC等，不具有编译递归 程序能力的程序设计语言有： FORTRAN、 COBOL、BASIC、 低级语言。
Hanio(3,A,B,C) Hanio(2,A,C,B)
Move (A,C)
Hanio(2,B,A,C)
结束
Hanio(2,A,C,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,B)
Hanio(1,C,A,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
Hanio(1,C,A,B) Move (C,B)
例3 Hanoi塔问题
设x,y,z是3个塔座。开始时，在塔座x上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座x上的这一叠圆盘移到塔座z上，并仍 按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
（1）运行开始时，首先为递归调用建立一个工作栈，其结 构包括值参、局部变量和返回地址；
（2）每次执行递归调用之前，把递归函数的值参和局部变 量的当前值以及调用后的返回地址压栈；
（3）每次递归调用结束后，将栈顶元素出栈，使相应的值 参和局部变量恢复为调用前的值，然后转向返回地址指定 的位置继续执行。
else {
prev=1; now=1; for(j=2;j<=n;j++) {
next=prev+now; prev=now; now=next; } return(next); } }
具有编译递归程序能力的程 序设计语言有：C、Pascal 、 ALGOL、 PL/A 、 ADA、 QBASIC等，不具有编译递归 程序能力的程序设计语言有： FORTRAN、 COBOL、BASIC、 低级语言。
Hanio(3,A,B,C) Hanio(2,A,C,B)
Move (A,C)
Hanio(2,B,A,C)
结束
Hanio(2,A,C,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,B)
Hanio(1,C,A,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
Hanio(1,C,A,B) Move (C,B)
例3 Hanoi塔问题
设x,y,z是3个塔座。开始时，在塔座x上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座x上的这一叠圆盘移到塔座z上，并仍 按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
（1）运行开始时，首先为递归调用建立一个工作栈，其结 构包括值参、局部变量和返回地址；
（2）每次执行递归调用之前，把递归函数的值参和局部变 量的当前值以及调用后的返回地址压栈；
（3）每次递归调用结束后，将栈顶元素出栈，使相应的值 参和局部变量恢复为调用前的值，然后转向返回地址指定 的位置继续执行。
第二章递归与分治策略
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的 计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要 多。
分治法——总体思想
• 思想：对一个规模为n的问题，若该问题可以容易地
解决(比方说规模较小)，则直接解决，否则将其分解为 k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问 题形式相同。分治策略递归地分解这些子问题，然后 将各个子问题的解合并得到原问题的解。
swap(list, k, i);
swap(list, 0, 2)
}
2014-11-13
第二个swap的目的是将数组恢复成原始情况，若不恢复，再 下次执行循环体的时候会出现重复排列。
例5:二叉树的遍历
二叉树的遍历方法有先序遍历、中序遍历和后序遍历。 以先序遍历为例，对应的二叉树访问顺序是根节点、左子 树、右子树，然后对左子树和右子树也采用同样的先序遍 历方法。 • 动画展示 • 相关代码
的下降；
②分解后的子问题和原问题的形式相同，这样有
利于使用递归算法，方便求解。
分治法——基本步骤
1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、
与原问题形式相同的子问题。
2. 解决：若子问题规模较小，则直接解决，否则递归地 利用分治法解各个子问题。 3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
// 交换list[k]与list[i]
0
1 2
2 1
3 4
swap(list, 0, 2)
3
// 计算list[k+1:m]全排列
perm(list, k + 1, m);
首元素已经确定为3，对后三个元素 进行全排列，即perm(list, 1, 3),排
列完成后返回
0 1
分治法——总体思想
• 思想：对一个规模为n的问题，若该问题可以容易地
解决(比方说规模较小)，则直接解决，否则将其分解为 k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问 题形式相同。分治策略递归地分解这些子问题，然后 将各个子问题的解合并得到原问题的解。
swap(list, k, i);
swap(list, 0, 2)
}
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第二个swap的目的是将数组恢复成原始情况，若不恢复，再 下次执行循环体的时候会出现重复排列。
例5:二叉树的遍历
二叉树的遍历方法有先序遍历、中序遍历和后序遍历。 以先序遍历为例，对应的二叉树访问顺序是根节点、左子 树、右子树，然后对左子树和右子树也采用同样的先序遍 历方法。 • 动画展示 • 相关代码
的下降；
②分解后的子问题和原问题的形式相同，这样有
利于使用递归算法，方便求解。
分治法——基本步骤
1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、
与原问题形式相同的子问题。
2. 解决：若子问题规模较小，则直接解决，否则递归地 利用分治法解各个子问题。 3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
// 交换list[k]与list[i]
0
1 2
2 1
3 4
swap(list, 0, 2)
3
// 计算list[k+1:m]全排列
perm(list, k + 1, m);
首元素已经确定为3，对后三个元素 进行全排列，即perm(list, 1, 3),排
列完成后返回
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1.函数调用与返回的过程
（2）函数返回 从被调用函数返回调用函数之前，应该完成下 列三项任务： 保存被调函数的计算结果； 释放被调函数保存局部变量的数据区； 依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调 用函数。
1. int main() 2. { 3. int n = 10; 4. int sn; 5. sn = sum(n); 6. cout << sn << endl; 7. }
实例二 Fibonacci
“兔子问题”很容易列出一条递推式而得到解决。 假设第N个月的兔子数目是Fib(N)，我们有：
1, n 1; Fib(n) 1, n 2; Fib(n 1) Fib(n 2), n 2.
每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而 每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目 (即前一个月的兔子的数目)。
实例三 Hanoi塔
时间复杂度?
递归算法
№.递归算法定义 №.实例分析 №.递归算法特点 №.递归与非递归的转化
递归算法特点
long Fact ( int n ) { if ( n==0 ) return 1; else return n*Fact(n-1); }
Void main() {… Fact(5); …} long Fib ( int n ) { if ( n==1 ) return 1; if ( n==2 ) return 1; return Fib(n-1)+Fib(n-2); } void main() {… Fib(12); … }
ACM应用
递归与分治
Recursion algorithm Divided-and-conquer
算法总体思想
• 对k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍 然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归 的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求 出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
实例二 Fibonacci
1月 小兔 大兔 合计 2月 1 1 3月 1 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
1 1 1
1
1 1
1 2
1 1 2
1 2 3
1 2 3
2 3 5
2 3 5
3 5 8
3 5 5 8 8 1313 2121 34 5555 34 5 8 8 13 21 213434 55 8989 13 55 8 1313 21 3434 5555 89 144 21 89 144
T(n/2)
算法总体思想
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
这个表格虽然解决了斐波那契的兔子问题(年底时兔子的总数是144只)， 但仔细观察一下这个表格，你会发现兔子的数目增长得越来越快，如果 时间再长，只用列表的方法就会有困难。(例如，你愿意用列表的方法求 出10年后兔子的数目吗？)我们需要研究表中的规律，找出一般的方法， 去解决这个问题。 仔细研究上述表格，你有些什么发现？每一个月份的大兔数、小兔数与 上一个月的数字有什么联系，能肯定这个规律吗？恭喜你，你快成功了？
1, n 0, Fact(n) n Fact(n 1), n 0.
n=4 n=3 n=2 n=1 n=0
{
if ( n==0 ) return 1; else return n*Fact(n-1); }
Void main() {… Fact(5); …}
实例一:阶乘函数
实例三 Hanoi塔
相传19世纪末，古印度的布喇玛婆罗门神庙的传 教士玩一种被称为汉诺塔的游戏：有三个木柱A、 B、C和64个大小个异，能套进木柱的盘子；开始 时64个盘子全套在A柱上，且小的在大的上面，形 成塔状；64个盘子由小到大编号分别为1、2、 3„„64。游戏要求把A柱上的盘子搬到C柱上，每 次只能移动最上层的一个盘子。移动过程中可以 利用B柱，但任何一柱都不允许大盘在小盘上面。
实例二 Fibonacci
实例二：
计算Fibonacci数列： 0,1,1,2,3,5,8,13,21,…
1, n 1, Fib(n) 1, n 2, Fib(n 1) Fib(n 2), n 2.
long Fib ( int n ) { if ( n==1 ) return 1; if ( n==2 ) return 1; return Fib(n-1)+Fib(n2); } void main() { Fib(12); }
函数f在执行中，又调用函数f自身，这称为直接递归；若 函数f在执行中，调用函数 g，而g在执行中，又调用函数 f，这称为间接递归。在实际应用中，多为直接递归，也 常简称为递归。
递归算法
№.递归算法定义 №.实例分析 №.递归算法特点 №.递归与非递归的转化
实例一:阶乘函数
计算n!（问题具有递归的数学定义）. long Fact ( int n )
8. int sum ( int n ) 9. { 10. int i, s = 0; 11. for( i=1; i<n; i++) 12. s += i; 13. return s; 14.}
sum() main()
sum:i=11 sum:s=0 sum:s=55 sum:i= goto: 5 sum:n=10 main:sn=55 main:sn= main:n=10
阶乘函数可递归地定义为：
递归方程
边界条件
n0 1 n! 数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
实例二 Fibonacci
著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他 的著作《算盘书》中提出了一个“兔子问题”： 假定小兔子一个月就可以长成大兔子，而大兔 子每个月都会生出一对小兔子。如果年初养了 一对小兔子，问到年底时将有多少对兔 子? (当然得假设兔子没有死亡而且严格按照 上述规律长大与繁殖)
为什么消除递归？ 某些语言不支持函数的递归调用。 在某些关键部分，递归算法影响了执行的效率。
为了保证递归调用的正确性，需要保存调用点的现场（返回地址、 局部变量、被调用函数的参数等），以便正确地返回，并且按先进后 出的原则来管理这些信息。在高级语言（编译程序）中，是通过利用 “递归工作栈”来实现递归调用的。 f(n) f(n-1) f(n-2) f(1) f(0)
实例三 Hanoi塔
public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 接移至塔座b上即可。 用递归技术来解决这个问题。 { 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 if (n > 0) 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 { 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 hanoi(n-1, a, c, b); 移动规则从塔座c移至塔座b。 move(a,b); 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， hanoi(n-1, c, b, a); 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 } }
第二讲 递归与分治 Recursion&Divided-and-conquer
ACM算法设计与分析——王建芳 wangjianfang@
公共邮箱：hpuacm@ 平时作业提交到王建芳的qq邮箱
知识提要
总体思想 递归算法 分治策略
ACM应用
内容提要
总体思想 递归算法 分治策略
递归算法特点
4.是否收敛，即终止条件。在问题的规模极小时 必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而 每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解 答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循 环而不能正常结束。
递归算法
№.递归算法定义 №.实例分析 №.递归算法特点 №.递归与非递归的转化
递归与非递归的转化
实例二 Fibonacci
无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，„，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定 1 n0 边界条件 义为：
F ( n) 1 n 1 F (n 1) F (n 2) n 1
递归方程
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
递归与分治
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式， 这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下， 反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一 致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容 易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法 设计之中，并由此产生许多高效算法。