导数的简单应用优秀教案

导数的简单应用

1．(2019·昌江模拟)已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭

⎫0，1

2和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，1

2和(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，2

解析：函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，其定义域{x |x >0}，

则f ′(x )＝2x －5＋2×1x ＝2x 2

－5x ＋2

x

，

令f ′(x )＝0，可得x 1＝1

2

，x 2＝2，

当x ∈⎝⎛⎭⎫12，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1

2，2上单调递减． 故选D. 答案：D

2．(2019·文峰区校级月考)若函数f (x )＝x 3－2ln x ＋4，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )

A ．y ＝x ＋4

B ．y ＝x －3

C ．y ＝2x ＋3

D ．y ＝3x ＋2

解析：函数定义域为(0，＋∞)， f (x )的导数为f ′(x )＝3x 2－2

x

，f ′(1)＝1

即曲线在点(1，f (1))处的切线斜率为1，又f (1)＝5，可得所求切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0；

故选A. 答案：A

3．(2019·芜湖市一模)曲线f (x )＝a ln x 在点P (e ，f (e))处的切线经过点(－1，－1)，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．e

D ．2e

解析：由f (x )＝a ln x ，得f ′(x )＝a x ，则斜率k ＝f ′(e)＝a

e

，

又f (e)＝a ，∴切线方程为y －a ＝a e (x －e)，即y ＝a

e x ，把点(－1，－1)代入，可得a ＝e.

故选C. 答案：C

4．(2019·武侯区校级模拟)函数f (x )＝x

e x 在x ＝2处的切线方程为( )

A ．y ＝3e 2x －4

e 2

B ．y ＝3e 2x －8

e 2

C ．y ＝－1e 2x ＋4

e

2

D ．y ＝－1

e

2x

解析：函数f (x )＝x e x ，可得f ′(x )＝1－x e x ，f ′(2)＝－1e 2，f (2)＝2

e 2，

函数f (x )＝x e x 在x ＝2处的切线方程为：y －2e 2＝－1e 2(x －2)，即y ＝－1e 2x ＋4

e 2.

故选C. 答案：C

5．(2019·成都模拟)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极小值点的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：如图，在区间(a ，b )内，f ′(c )＝0，且在点x ＝c 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，所以在区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.

答案：A

6．(2019·河南商丘期末测试)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a

A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )

B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )

C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )

D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )

解析：令F (x )＝f (x )

g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

<0，所以F (x )在R 上单调递减．又

a

b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )

g (b )

.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．

答案：C

7．(2019·浉河区校级月考)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )>0且f (e)＝1，若xf ′(x )ln x ＋f (x )>0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则不等式1f (x )

A ．{x |0

B ．{x |x >1}

C ．{x |x >e}

D ．{x |0

解析：令g (x )＝f (x )ln x －1，g (e)＝f (e)ln e －1＝0，x ∈(0，＋∞)． ∵g ′(x )＝xf ′(x )ln x ＋f (x )

x >0，在x ∈(0，＋∞)上恒成立．

∴函数g (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增． 由g (x )>g (e)，∴x >e.

∴f (x )ln x －1>0，f (x )>0，即不等式1

f (x )e}．

故选C. 答案：C

8．(2019·广西贵港联考)若函数f (x )＝kx －2ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[1，＋∞)

D ．[2，＋∞)

解析：因为f (x )＝kx －2ln x ，所以f ′(x )＝k －2

x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，

所以在区间(1，＋∞)上f ′(x )＝k －2x ≥0恒成立，即k ≥2x 恒成立，当x ∈(1，＋∞)时，0<2

x <2，

所以k ≥2，故选D.

答案：D

9．(2019·梧州一模)设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 019)2f (x ＋2 019)－4f (－2)<0的解集为( )

A ．(－2 019，－2 017)

B ．(－2 019，－2 018)

C ．(－2 021，－2 019)

D ．(－2 020，－2 019)