第一学期期中考试高三数学试题(2020年)
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案解析)
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．有四个关于三角函数的命题：x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈sin(x-y)=sinx-siny x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是1p ，4p B ．2p ，4p 1p ，3p ．已知21a =-，2e 2b =，1ln55c =，则（）a b c<<B ．c b a<<c a b<<二、多选题A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛+=+ ⎝B ．函数()f x 的一个对称中心为三、填空题参考答案：【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2x f x =的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>于是e x ∀≥，不等式((()f ax f x ≤则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项因此()(e)2e g x g ≥=+，即2a ≤“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。
山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期中学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则()U M N ⋂=ð( ) A. {}23x x << B. {}3x x < C. {}12x x <≤ D. {}2x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合M ，再利用补集、交集的概念求解.【详解】由2log 1x >解得2x >，则{|2}M x x =>，于是{|2}U M x x =≤ð. 又{}13N x x =<<，所以(){|12}U M N x x =<≤ð.故选：C.【点睛】本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质，是一道基础题.2.已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A. 1- B. 0C.14 D.12【答案】B【解析】 【分析】设出公差d ，利用等差数列各项间的关系(2343,a a d a a d =-=+)求出d ,然后1a 易求. 【详解】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量运算.一般以1,a d 为基本量列出方程组求解，有时也可利用()n m a a n m d =+-来简化运算.3.已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.16B.13 C.12D.23【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式(2cos 21cos 2x x +=)即可求解. 【详解】2π1π1π1cos cos 21cos 2424222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1111112cos 2sin 2==.222222323αα⎛⎫=-+=+⨯+ ⎪⎝⎭ 故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换求值，考查二倍角余弦公式、诱导公式.把待求转化为已知需要增倍、降次，自然可以联想到二倍角公式.4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为( ) A.5.5斤 B. 8.5斤 C. 35斤 D. 40斤【答案】C 【解析】 【分析】金杖从粗到细各尺的重量依次构成等差数列,则所求即为该数列的前5项和，利用1()2n n nS a a =+可求.【详解】由题意得，金杖从粗到细各尺的重量依次构成等差数列， 数列共有5项，首项为10，末项为4，所求为该数列的前5项和， 即51555()(104)3522S a a =+=⨯+=. 故选：C.【点睛】本题考查实际问题中的数列问题，考查利用1()2n n nS a a =+求数列的前n 项和.解题的关键是从实际问题中抽象出数列模型，得出数列的首项、末项、公差、项数等数据.5.设正实数,,a b c 分别满足2321,log 1,log 1aa b b c c ⋅===，则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】把,,a b c 看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c a b c=== 作出函数232,log ,log xy y x y x ===的图象，它们与函数1y x=图象的交点的横坐标分别为,,a b c ， 如图所示，易得c b a >>. 故选：C.【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.6.在ABC △中，BD 为AC 边上的中线，E 为BD 的三等分点且2DE BE =，则=CE uur( )A. 1566BA BC -B.5166BA BC - C. 1566BA BC +D. 5166BA BC +【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，利用向量的线性运算逐步把CE 用基向量BA BC ，表示出来即可. 【详解】如图，由BD 为AC 边上的中线，可得1()2BD BA BC =+. 由2DE BE =，可得13BE BD =. 所以1115()3666CE BE BC BD BC BA BC BC BA BC =-=-=+-=-. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，利用基向量表示目标向量，一般可作出示意图帮助理解和寻找关联.7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21xf x -=-，若()()2320f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为( ) A. (][),31,-∞-+∞ B. []3,1-C. ()3,1-D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性，再把()()2320f a f a -+≤转化为自变量的关系，进而可解得a 的取值范围.【详解】当0x <时，()21xf x -=-，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减且()0f x >.又()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减.由()()2320f a f a -+≤，可得2(3)(2)f a f a -≤-，则2(3)(2)f a f a -≤-，所以232a a -≥-，即2230a a +-≥，解得3a ≤-或1a ≥. 故选:A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性求解函数不等式.一般思路是先判断函数的单调性，再把函数不等式转化为自变量的关系.8.已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A.B.C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解.【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=， 又(1)1f =，所以函数()2f x x=图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.9.已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) 的A.B. -C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由周期求ω，由平移对称求ϕ，由()g x 求A ，然后可得答案. 【详解】由周期为π，可得=2ω. 由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2π()62k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ. 所以5π()sin 26f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，5π()sin 6g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ππ5πsin 336g A A ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ5π4262f ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质.一般可以通过周期性、对称性等性质求出A ωϕ，，等参数的值. 10.已知函数()m f x x x =+与函数()ln 3x g x x =-+的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( ) A. 5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B. 5ln 2,24⎛⎫+⎪⎝⎭C. [)2ln 2,2-D. ()2ln 2,2-【答案】A 【解析】【分析】()f x 与()g x 的图象有两对关于x 轴对称的点，则()f x 与()g x -的图象有两个交点，则()()f x g x +有两个零点.然后可以分离参数，构造函数，利用函数的单调性、极值求出参数m 的取值范围.【详解】由题意可得()f x 与()g x -的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则()()f x g x +的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰与x 轴有两个交点.令ln ()()30m x f x g x x x x+=+-+=，则23ln m x x x =--， 设2()3ln h x x x x =--与y m =的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点.1(21)(1)()32x x h x x x x--'=--=-，当112x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当12x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 又15ln 2,(1)2,(2)2ln 2,24h h h ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭1(2)2h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以5ln 224m +≤<. 故选：A.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，进而解决有关函数与方程、函数零点和图象交点的问题.解题的关键是在图象交点、函数零点、方程根之间进行等价转化，合理利用分离参数、构造函数解决问题.11.下列结论正确的是( ) A. 若0,0a b c d >><<，则一定有b a c d> B. 若0x y >>，且1xy=，则()21log 2x yx x y y +>>+C. 设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则2a >D. 若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x +≥- 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质、数列的性质、导数等逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->， 又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d>，故A 正确. 选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，不等式不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以21311=()22a a a +>⨯=C 正确. 选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，故D 不正确. 故选：AC.【点睛】本题综合考查不等式、基本不等式、数列等知识.判断不等式成立需要严格证明，判断不等式不成立只需举出一个反例即可. 12.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是( ) A.5π12B.7π12C.34π D.11π12【答案】CD 【解析】【分析】先化简()f x 的解析式，作出()f x 的图象，容易得出n m -的取值范围，则可得答案. 【详解】()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭11=sin sin 24x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭211=sin cos 224x x x +- ()11=1cos 22444x x -+-112cos 2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1π=sin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.作出函数()f x 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得π,25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π,267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩满足题意，所以n m -的值可能为区间π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的任意实数.所以A,B 可能，C,D 不可能. 故选：CD.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质.解题的一般思路是先把解析式化成sin()y A x ωϕ=+的形式，再结合图象研究性质.13.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A. ()()()()12320190f f f f +++⋅⋅⋅+=B. 直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 函数()y f x =在[]7,7-上有5个零点D. 函数()y f x =在[]7,5--上为减函数【答案】ABD【解析】【分析】先由题意判断函数()f x 的单调性、奇偶性、对称性、周期性，进而作出函数的草图，结合图象逐一判断各选项是否正确.【详解】由奇函数可得(0)0f =.由(2)()(2)f x f x f -=+令2x =可得(2)0f =，则()(2)f x f x =-,()f x 的图象关于直线1x =对称.()(2)(2)[(22)](4)f x f x f x f x f x =-=--=----=-，所以()f x 是周期为4的周期函数.当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在区间[]0,1上单调递增.根据以上信息可画出函数()f x 的草图如图所示.选项A,易得(1)(3)(2017)(2019)0f f f f +==+=，(2)(4)(2018)0f f f ====， 所以()()()()12320190f f f f +++⋅⋅⋅+=，A 正确.选项B ，直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确.选项C ，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点，C 不正确.选项D ，函数()y f x =在[]7,5--上为减函数，D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质.二、填空题，本大题共有4个小题，每小题4分，共16分。
2020-2021第一学期海淀区高三数学期中试题及答案
4 / 47 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习高三数学参考答案2020.11一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACCDBCABAB二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号 （11）（12）（13） （14）（15）答案2-3253 41 2π 3 π32 三、解答题共 6 小题，共 85 分。
（16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：b sin B =c .sin C因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .因为 cos A = 3， 0 < A < π ，4所以 sin A =因为 S = ，= 7 .4所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2⨯ sin A = 2 2所以 c 2 = 4 .7 .所以 c = 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .因为 cos A = 3，4所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3= 2c 2 .4所以 a = 2c .所 以 a= .c（17）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .数学答案 第 1 页（共 10 页）1- cos 2 A⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a+ 10d = 22. ⎩ 1⎧a 1 = 1,解得： ⎨d = 2.所以 a n = 2n -1 .（Ⅱ）选择①②设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .因为 S 3 = 7 ，所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =b 2= 2 .b 1b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择①③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =b 3= 4 ， q = ±2 .b 1因为 b n +1 > b n ，数学答案 第 2 页（共 10 页）所以 q = 2 .b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择②③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .b (1 - q n )所 以 S n = 11 - q= 2n -1 .因 为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .（18）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .2所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为{x x < 0, 或 x > 3}.2（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)数学答案 第 3 页（共 10 页）= e x(2x + 3)(x -1) .令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-3 （舍）.2f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：x0 (0,1)1(1, 2) 2f '(x)- 0 +f (x) 0 ↘-e ↗2e2所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.（19）（本小题共14 分）解：（Ⅰ）因为所以所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +3π] （k ∈Z ）.2 22kπ +π≤x +π≤ 2kπ +3π ， k ∈Z .2 6 22kπ +π≤x ≤ 2kπ +4π ， k ∈Z .3 3所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +4π] （k ∈Z ）.3 3（Ⅱ）因为所以因为所以f (x) = 2sin(x +π) ，6f (x -π) = 2sin x .6g(x) =f (x) f (x -π) ，6g(x) = 4sin(x +π)sin x6= 4(3sin x +1cos x)sin x2 2= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x= 2sin(2x -π) +33 .因为0 ≤x ≤m ，所 以-π≤ 2x -π≤ 2m -π .3 3 3因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，数学答案第 4 页（共10 页）所以 sin(2x -π) 的取值范围为[-33,1].2所 以 π≤ 2m -π≤4π.2 3 3解得： 5π≤m ≤5π .12 6所以m 的最大值为5π. 6（20）（本小题共14 分）解：由 f (x) =ax3- 3ax2+ 2 + 4a 可得： f '(x) = 3ax2- 6ax = 3ax(x - 2) .（Ⅰ）当a =-1 时，f (3) =-2 , f '(3) =-9 .所以曲线y =f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程为y =-9x + 25 .（Ⅱ）①当a = 0 时，f (x) = 2 在R 上不具有单调性．②当a > 0 时，令 f '(x) = 0 得 x1= 0, x2= 2 .f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)+ 0- 0+f (x)极大值极小值所以 a ≥ 2 .③当a < 0 时，f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)- 0+ 0-f (x)极小值极大值所以 a + 3 ≤ 0 ，即a ≤-3 .综上所述，a 的取值范围是(-∞, -3] [2, +∞) .（Ⅲ）先证明： f (x1) +f (x2 ) ≥ 4 .由（Ⅱ）知，当a > 0 时，f (x) 的递增区间是(-∞,0) ，(2, +∞) ，递减区间是(0, 2) .因为 x1+x2> 2 ，不妨设 x1≤x2，则 x2> 1.数学答案第 5 页（共10 页）m - 4 a< a n 0 2 2 2 ①若 x 1 ≤ 0 ，则 x 2 > 2 - x 1 ≥ 2 .所以 f (x 1) + f (x 2) > f (x 1) + f (2 - x 1) = 4 + 4a > 4 .②若 x 1 > 0 ，因为 x 2 > 1，所以 f (x 1) + f (x 2 ) ≥ f (2) + f (2) = 4 ，当且仅当 x 1 = x 2 = 2 时取等号. 综上所述，f (x 1) + f (x 2 ) ≥ 4 .再证明： f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .假设存在常数 m （ m ≥ 4 ），使得对任意 x 1 + x 2 > 2 ， f (x 1) + f (x 2) ≤ m .取 x = 2 ，且 x > 2 + ，则1 2f (2) + f (x ) = 2 + ax 3 - 3ax 2 + 2 + 4a= 2 + ax (x - 2)2 + a (x - 2)2 + 2 > a (x - 2)2 + 4 > m ，2 222与 f (x 1) + f (x 2) ≤ m 矛盾.所以 f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .（21）（本小题共 15 分）解：（Ⅰ）取i =1, j = 2 ，则存在a k （ 2 < k < 4 ），使得 a k = 2a 2 - a 1 ，即 a 3 = 2a 2 - a 1 .因为 a 1 = a = 3 ， a 2 = b = 5 ，所以 a 3 = 2a 2 - a 1 = 7 .（Ⅱ）假设{a n } 中仅有有限项为0 ，不妨设 a m = 0 ，且当 n > m 时，a n 均不为0 ，则m ≥ 2 .取i = 1, j = m ，则存在a k （ m < k < 2m ），使得a k = 2a m - a 1 = 0 ，与 a k ≠ 0 矛盾.（Ⅲ）①当a < b 时，首先证明数列{a n } 是递增数列，即证∀n ∈ N * ， a n < a n +1恒成立.若不然，则存在最小的正整数 n 0 ，使得a n ≥ a n +1 ，且 a 1 < a 2 <.显然 n 0 ≥ 2 .取 j = n 0 ,i = 1, 2, , n 0 -1，则存在a k （ n 0 < k < 2n 0 ），使得数学答案 第 6 页（共 10 页）。
扬州中学2022-2023学年高三上学期11月期中检测数学试题(含答案)
扬州中学2022－2023学年度第一学期期中检测试题高 三 数 学 2022.11.9(全卷满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3，4}，则(C U M )∩N ＝A ．{5}B ．{3，4}C ．{3，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 2．1－tan15°1＋tan15°的值为 A ．1 B ． 3 C ．33 D ．223．古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为A ．12B ．23C ．34D ．32 4．(x －2)(x －2x)6的展开式中x 的系数为 A ．－280 B ．－40 C ．40 D ．2805．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，若S 1S 2＝5，则sin α＋cos α的值为A ．355B ．255C ．75D ．856．已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )＝f (x )，则不等式f (x )＞2e π3cos x 在区间(0，π2)上的解集为A ．(0，π6)B ．(π6，π3)C ．(π3，π2)D ．(0，π3)7．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是A ．中位数为4，众数为4B ．中位数为3，极差为4C ．平均数为3，方差为2D ．平均数为4，25百分位数为2 8．若a ＝9e 8，b ＝(109)10，c ＝e 109，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )＞0，g (x )＞0，f (x )是减函数，g (x )是增函数，则下列说法中正确的有A ．f (x )＋g (x )是增函数B ．f (x )－g (x )是减函数C ．f (x )g (x )是增函数D ．f (x )g (x )是减函数 10．下列说法中正确的有A ．若a ＞b ＞0，则1a ＜1b B ．若a ＜b ＜0，c ＜d ，则ac ＜bd C ．若a ＜b ，c ＜d ，则a －d ＜b －c D ．若a 3＜b 3，则a 2＜b 211．已知奇函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则下列说法中正确的有A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 B ．当x ∈[0，π2]时，函数g (x )的最小值是－ 3 C ．函数g (x )在区间[－π6，5π6]上单调递增D ．若函数y ＝g (x )－k (x －π6)有且仅有3个零点，则所有零点之和为π212．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域都为R ，f (0)＝0，f (1－2x )＝f (2x －1)，f (1－x 2)－f (1＋x 2)＋4x 2＝0，则下列说法中正确的有A ．导函数f ′(x )为奇函数B ．2是函数f (x )的一个周期C ．f (2k )＝4k 2(k ∈Z )D ．f ′(2023)＝4046三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知sin(α＋π6)＝23，则cos(2α＋π3)＝ ．14．已知直线y ＝kx 曲线y ＝log 2x 的切线，则实数k ＝ ．15．图1是一枚质地均匀的骰子，图2是一个正六边形(边长为1个单位)棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形ABCDEF 的顶点A 处．如果掷出的点数为i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则棋子就按顺时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点A 处的所有不同走法共有 种．图1 图216．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ． 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知命题：∀x ∈[0，1]，x 2＋x －m ＜0是真命题． (1)求实数m 的取值集合A ；(2)设集合B ＝{x |ax －1x ＋2＞0}(其中a ＞0)，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝m 2x＋12x是R上的奇函数．(1)求实数m的值；(2)若存在实数t∈[0，2]，使得f(t2－k)＋f(2－kt)≥0成立，求实数k的取值范围．19．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．(1)若cos∠CBD＝1116，求sin C；(2)记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值．20．(本小题满分12分)如图，在体积为1的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝2，BC ＝22，CD⊥PB，PB＝PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若点E为棱BC上一动点，求直线PE与平面P AD所成角的正弦值的最大值．甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记－1分设每轮比赛中甲投中的概率为23，乙投中的概率为12，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；(2)经过3轮比赛，用P n(n＝1，2，3)表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点(n，P n)(n＝1，2，3)均在函数f(x)＝m(s－t x)的图象上，求实数m，s，t的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－a e2x＋2)e x，其中e为自然对数的底数．(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，(i)若f(x)≤1恒成立，求实数a的最小值；(ii)若f(x)存在最大值，求实数a的取值范围．2022－2023学年度第一学期期中检测试题高三数学2022.11.9(全卷满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{1，2，3，4}，则(C U M)∩N＝A．{5}B．{3，4}C．{3，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．1－tan15°1＋tan15°的值为A．1B．3C．33D．223．古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为A．12B．23C．34D．324．(x－2)(x－2x)6的展开式中x的系数为A．－280B．－40C．40D．280【答案】A5．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，若S1S 2＝5，则sin α＋cos α的值为A ．355B ．255C ．75D ．856．已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )＝f (x )，则不等式f (x )＞2e π3cos x在区间(0，π2)上的解集为A ．(0，π6)B ．(π6，π3)C ．(π3，π2)D ．(0，π3)7．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是A ．中位数为4，众数为4B ．中位数为3，极差为4C ．平均数为3，方差为2D ．平均数为4，25百分位数为28．若a ＝9e 8，b ＝(109)10，c ＝e 109，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )＞0，g (x )＞0，f (x )是减函数，g (x )是增函数，则下列说法中正确的有A ．f (x )＋g (x )是增函数B ．f (x )－g (x )是减函数C ．f (x )g (x )是增函数D ．f (x )g (x )是减函数10．下列说法中正确的有A ．若a ＞b ＞0，则1a ＜1bB ．若a ＜b ＜0，c ＜d ，则ac ＜bdC ．若a ＜b ，c ＜d ，则a －d ＜b －cD ．若a 3＜b 3，则a 2＜b 211．已知奇函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则下列说法中正确的有A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝5π12对称B ．当x ∈[0，π2]时，函数g (x )的最小值是－3C ．函数g (x )在区间[－π6，5π6]上单调递增D ．若函数y ＝g (x )－k (x －π6)有且仅有3个零点，则所有零点之和为π212．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域都为R ，f (0)＝0，f (1－2x )＝f (2x －1)，f (1－x 2)－f(1＋x2)＋4x2＝0，则下列说法中正确的有A．导函数f′(x)为奇函数B．2是函数f(x)的一个周期C．f(2k)＝4k2(k∈Z)D．f′(2023)＝4046所以f′(2023)＝4046，故选项D正确；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知sin(α＋π6)＝23，则cos(2α＋π3)＝．14．已知直线y＝kx曲线y＝log2x的切线，则实数k＝．15．图1是一枚质地均匀的骰子，图2是一个正六边形(边长为1个单位)棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形ABCDEF的顶点A处．如果掷出的点数为i(i＝1，2，3，4，5，6)，则棋子就按顺时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点A处的所有不同走法共有种．图1图216．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．且四棱锥的外接球球心O 为PC 的中点，且O 1在底面射影为点Q ，O 1∈平面P AC ，四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题：∀x ∈[0，1]，x 2＋x －m ＜0是真命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)设集合B ＝{x |ax －1x ＋2＞0}(其中a ＞0)，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m 2x ＋12x 是R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若存在实数t ∈[0，2]，使得f (t 2－k )＋f (2－kt )≥0成立，求实数k 的取值范围．【解析】19．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．(1)若cos∠CBD＝1116，求sin C；(2)记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值．【解析】20．(本小题满分12分)如图，在体积为1的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝2，BC ＝22，CD⊥PB，PB＝PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若点E为棱BC上一动点，求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值．【解析】21．(本小题满分12分)甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记－1分设每轮比赛中甲投中的概率为23，乙投中的概率为12，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；(2)经过3轮比赛，用P n(n＝1，2，3)表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点(n，P n)(n＝1，2，3)均在函数f(x)＝m(s－t x)的图象上，求实数m，s，t的值．【解析】(2)一轮比赛甲累计得分低于乙累计得分的概率为16，22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－a e2x＋2)e x，其中e为自然对数的底数．(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，(i)若f(x)≤1恒成立，求实数a的最小值；(ii)若f(x)存在最大值，求实数a的取值范围．【解析】所以函数f(x)的单调增区间为(－3，＋∞)，函数f(x)的单调减区间为(－∞，－3)．则要使f(x)存在最大值，必有f(x)≥0有解，。
江苏省马坝高级中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
设 PF ＝ PB ，则 PF ＝（ 2λ， 2λ，－ 2λ），
从而 DF ＝ DP ＋ PF ＝（ 2λ， 2λ， 2－ 2λ）．
设 m ＝（ x1， y1 ， z1）为平面 DEF 的一个法向量，
m DF
则
0
，即
2 x1
2 y2
(2 2 ) z1
0
．
m DE 0
y1 z1 0
取 z1 ＝ λ，则 y1 ＝－ λ， x1 ＝ 2λ－ 1， 所以 m ＝（ 2λ－ 1，－ λ，λ）为平面 DEF 的一个法向量．………………………………… 6 分 设 n ＝（ x2 ， y2 ， z2 ）为平面 DEB 的一个法向量，
2,2 ，
联立解方程组得
x 0 x 23
或
．
y0 y6
根据 x 的范围应舍去
x
2
3 , 故 P 点的直角坐标为
(0,0)
y6
………10 分
3x ，
24.解：（ 1）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， 所以 DA ， DC ， DP 两两垂直，
故以 DA, DC , DP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
∴由余弦定理得 cosA b2 c 2 a2 2bc
b 2 b2 3b2 2b 2
1
.
2
2
A 0, ，∴ A
.
3
（ 2）由（ 1）知 B ∴在 BCD 中知：
C
，
6
3
BDC
，
4
BCD
，又 BC 2 3 ， 6
2 3 BD
故由正弦定理得
3
.∴ BD 6 .
山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试 数学试题(含解析)
试卷类型： A山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试高三数学2022. 11本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240,{|lg(1)|M x x N x y x =-==-…∣,则M N ⋃= A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.[2,1)- D.(,2][2,)-∞-⋃+∞ 2.若命题“2[1,2],30x x a ∃∈-<”为假命题,则实数a 的取值范围是 A.(,4]-∞ B.[2,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,2)-∞3.设4,0,,sin ,cos()255παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭,则cos β=A. D. 4.为调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,学校决定采用随机数表法从高三800名学生中随机抽取80名进行调查,将800名学生进行编号,编号分别为001,002,,799,800.下面提供的是随机数表的第4行到第6行:32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从随机数表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据作为抽取学生的编号,则抽到的第5名学生的编号是 A.007 B.253 C.328 D.7365.在学习《数学探究活动:得到不可达两点之间的距离》时,小明所在的小组决定测量本校人工湖两侧$C,D$两点间的距离,除了观测点,C D 外,他们又选了两个观测点12,P P ,测得121221,,PPm PP D P PD αβ=∠=∠=,则利用已知观测数据和下面三组新观测角中的一组,就可以求出,C D 间的距离是①1DPC ∠和1DCP ∠;②12PP C ∠和12PCP ∠;③1PDC ∠和1DCP ∠. A.①和② B.①和③ C.②和③ D.①和②和③6.函数(1)y k x =-与ln y x =的图像有且只有一个公共点,则实数k 的取值范围为 A.1k = B.k e … C.1k =或0k … D.0k …或1k =或k e …7.对于函数()()f x x D ∈,若存在常数(0)T T >,使得对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +…成立,我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.若函数()cos f x kx x =+是“3π同比不增函数",则实数k 的取值范围是 A.3,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()1*132n n n a S n -⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N ,则下列结论正确的是A.23a a <B.68742a a a +=C.数列{}2nn a 是等比数列 D.13n S <…二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效,为加快推进各行各业复工复产,对当地进行连续11天调研,得到复工复产指数折线图(如图所示),下列说法错误．．的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D ．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 10.已知0,0a b 厖,且1a b +=,则A.22a b +…B.221a b +…C.23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D.ln(1)a a +…的充要条件是1b = 11.佼波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,芠波那契数列被以下递推的方法定义:数列{}n a 满足:121a a ==,()*21n n n a a a n ++=+∈N.则下列结论正确的是A.813a =B.2023a 是奇数C.2222123202*********a a a a a a ++++= D.2022a 被4除的余数为012.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',对于任意实数x ,都有2()()xf x ef x -=,且满足22()()21x f x f x x e '-+=+-,则A.函数2()()F x e f x =为偶函数 B.(0)0f = C.不等式()x xxe f x e e +<的解集为(1,)+∞ D.若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ,则122x x a +> 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_______.14.设函数sin ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π>⎧=⎨+-⎩…,则53f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15.一个盒子中有4个白球,m 个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为59,则m =________. 16.在ABC 中,点D 是$BC$上的点,$AD$平分,BAC ABD ∠面积是ADC 面积的2倍,且AD AC λ=,则实数λ的取值范围为________；若ABC 的面积为1,当BC 最短时,λ=______.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17.（10分)定义在(1,1)-上的函数()f x 和()g x ,满足()()0f x g x +-=,且1()log 2a xg x +=,其中1a >. (1)若122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()f x 的解析式;(2)若不等式()1f x >的解集为1,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求m a -的值. 18.(12分)在(1)(0)1f =,(2)函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭,(3)函数()f x 图像上相邻两个对称中心的距离为π,这三个条件中任选两个补充在下面问题中,并给出问题的解答.已知函数()2sin()02,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭,满足 (1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)在锐角ABC 中,()2,f B b ==求ABC 周长的取值范围. 19．（12分）2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：参考数据:()()10102211600,768,80i i i i x x y y x==-=-==∑∑.（1）已知观看人次x 与销售量y 线性相关,且计算得相关系数16r =,求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+; (2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主㨨中随机抽取3名,若用X 表示这3名主播赋分的和,求随机变量X 的分布列和数学期望.(附:()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑,相关系数()()niix x y y r --=∑20.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为512,35,8n S S a a =+=,记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . (1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)是否存在实数λ,使得211(1)n n T λ+--…恒成立?若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取()*,2n n n ∈N …只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案: 方案一:逐只检验,需要检验n 次;方案二:混合检验,将n 只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则n 只白鼣末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这n 只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验1n +次.(1)若10n =,且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率; (2)已知每只白鼠咸染病暃的概率为(01)p p <<.①采用方案二,记检验次数为X ,求检验次数X 的数学期望;②若20n =,每次检验的费用相同,判斨哪种方案检验的费用更少?并说明理由. 22.(12分)已知函数1()ln f x x a x x=++,其中a ∈R . (1)求函数()f x 的最小值()h a ,并求()h a 的所有零点之和; (2)当1a =时,设()()g x f x x =-,数列{}()*n x n ∈N 满足1(0,1)x ∈,且()1n n xg x +=,证明:1322n n n x x x ++++>.高三数学试题参考答案及评分标准2022.11一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—5 ACCAD 6—10 CBD二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD10．AD11．BCD12．ABD三、填空题（每小题5分，共20分） 13．40142- 15．616．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）由题意知，()()2log 1a f x g x x=--=-， 又因为122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以log 42a =，即2a =． 所以函数()f x 的解析式是()22log 111y x x=-<<-． （2）由()1f x >，得21a x >-，由题意知10x ->，所以211x a-<<， 所以21131a m ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，即321a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12m a -=-． 18．解：（1）若选①②，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或()526k k πϕπ=+∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以432362k πππωπ+=+，()k ∈Z ， 所以312k ω=+，()k ∈Z ，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，若选①③，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或526k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π，所以2T π=，所以1ω=， 所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z若选②③，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π．所以2T π=，所以1ω=， 由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以431232k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z ，即26k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，（2）()2sin 26f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为锐角三角形，所以3B π=．因为b =2sin bB==，由正弦定理可得22sin 2sin 3a A C π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2sin c C =， 所以ABC △的周长22sin 2sin 2sin 2sin 36ABC L a b c A C C C C ππ⎛⎫⎫=++=++=-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭△因为ABC △是锐角三角形，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以2,633C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(36ABC L C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△， 所以ABC △周长的取值范围为(3+．19．解：（1）因为()()niix x y y r --=∑，所以()()1016iix x y y --=∑所以()()101660i i i x xy y =--=∑，所以()()()10110216601160010iii i i x x y y b x x==--===-∑∑， ()18087778310y =+++=118380510a y bx =-=-⨯=-，所以回归直线方程为11510y x =-． （2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量X 的取值范围是{}3,4,5()33351310C P X C ===，()122335345C C P X C ===，()2123353510C C P X C ===， 所以X 的分布列为：所以()345105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，53535S a ==，解得37a =，12128a a a d +=+=，又因为3127a a d ++=，13a =，2d =所以()32121n a n n =+-=+()21122n n n S na d n n -=+=+． （2）证明：由（1）知22n S n n =+，所以()21111112222n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 所以11111111111111131121324112212122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=+--=-- ⎪ ⎪ ⎪-++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 取得最小值为131112211123⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，又因为0n >，所以34n T <，所以1334n T ≤<．当n 为奇数时，21n T λ-≤恒成立，即2113λ-≤，解得λ≤≤， 当n 为偶数时，21n T λ-≤-恒成立，即2314λ-≤-，解得1122λ-≤≤， 综上所述，实数λ的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 21．解：（1）根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率12811109845P =⨯⨯=， 恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率28211109845P =⨯⨯=， 所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=．（2）①设检验次数为X ，可能取得值为1，1n +．则()()11nP X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()()()111111n n nE X p n p n n p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦．②方案二的检验次数期望为()()()11n E X n n p =+--，所以()()20201201E X p -=-⨯-， 设()()201201g p p =-⨯-，因为011p <-<，所以()g p 单调递增， 由()0g p =得1p =01p <<()0g p <，则()20E X <， 当11p <<时，()0g p >，则()20E X >， 故当01p <<时，选择方案二检验费用少，当11p -<<时，选择方案一检验费用少，当1p = 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()221x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得210x ax +-=，解得1x =2x =（舍去），所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞单调递增，所以()()111min 11ln f x f x x a x x ==++，即()ln 2ah a a =，由1x 是方程210x ax +-=的根，则111a x x =-，所以()1111111ln h a x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，令()11ln H x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可知()1H H x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又因为()211ln H x x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，所以()H x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减． 而222130H e e e⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120H =>，所以有且仅有唯一()00,1x ∈，使得()00H x =， 所以()011,x ∈+∞，有010H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以方程()0H x =有且仅有两个根0x ，01x ， 即1111111ln 0x x x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有且仅有两根0x ，01x ， 又因为()11110a x x x =->单调递减，所以()y h a =有两个零点设为1a ，2a （不妨设12a a <），则12000011101a a x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（2）由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x =-=+，因为()22111x g x x x x-'=-=， 令()0g x '>，得1x >，()0g x '<，得1x <．所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，则有()()11g x g ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x g x =>，()321x g x =>，…，()11n n x g x +=>．令()()1ln m x g x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x m x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()m x 在区间[)1,+∞单调递减，所以()()10m x m ≤=． 所以()21110n n n n x x g x x ++++-=-<，即21n n x x ++< 又因为函数()m x 单调递减，所以()()21n n m x m x ++>， 即22112111ln ln n n n n n n x x x x x x +++++++->+-，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．。
山东省日照第一中学2020届高三上学期期中考试数学试题答案(pdf版)
日照一中2019—2020学年度上学期高三期中考试数学试题参考答案一、单项选择题：CABCD BCBAA二、多项选择题：(11)AB (12)AD (13)BC三、填空题：(14) a ＝2 (15) 0.259 (16) 4π (17)四、解答题：18.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，…………… 2分 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B=+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴= ………………… 5分(0,)4A A π∈π∴=……………………… 6分(2)11sin 2242ABC S bc A bc ∆===∴=…………………… 9分又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-所以 2()4,2b c b c +=+=． ……………………………… 12分19. (1)解法一：∵F 是AC 的中点，∴AF ＝C′F.设AC′的中点为G ，连接FG.设BC′的中点为H ，连接GH ，EH. 易证：C′E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠BEC ′即为二面角C′－EF －B 的平面角．…………… 2分∴∠BEC ′＝60°，而E 为BC 的中点．易知BE ＝EC′，∴△BEC ′为等边三角形，∴EH ⊥BC ′. ①∵EF ⊥C ′E ，EF ⊥BE ，C ′E ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面BEC ′.而EF ∥AB ，∴AB ⊥平面BEC′，∴AB ⊥EH ，即EH ⊥AB. ② …………… 4分由①②，BC ′∩AB ＝B ，∴EH ⊥平面ABC′.∵ G ，H 分别为AC′，BC ′的中点．∴ GH =12AB =FE ，∴四边形EHGF 为平行四边形． ∴ F G ∥EH ，FG ⊥平面ABC′，又FG ⊂平面AFC′.∴平面AFC′⊥平面ABC′. ………………………………6分解法二：如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′(3，1，0)．设平面ABC′的法向量为a ＝(x 1，y 1，z 1)，BA →＝(0，0，2)，BC′→＝(3，1，0)，∴⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，则a ＝(1，－3，0)，… 3分 设平面AFC′的法向量为b ＝(x 2，y 2，z 2)，AF →＝(0，2，－1)，AC′→＝(3，1，－2)，∴⎩⎨⎧2y 2－z 2＝0，3x 2＋y 2－2z 2＝0，令x 2＝3，则b ＝(3，1，2)． ∵a ·b ＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′. ……………………………………… 6分(2)如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′(3，1，0)．显然平面BEC′的法向量m ＝(0，0，1)， ……………………………………… 8分设平面AFC′的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，AC′→＝(3，1，－2)，AF →＝(0，2，－1)，∴⎩⎨⎧2y －z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，∴ n ＝(3，1，2). ……………………………………… 10分 cos 〈m, n 〉＝ m · n || m ·|| n ＝22， ……………………………………………… 12分 由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°. ………………………………… 14分20.解：(1)根据散点图可以判断d x y ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型. ……………………………… 1分对d x y ce =两边取自然对数得ln ln y c dx =+，令z ln y =，ln a c =，b d =， 得z a bx =+.因为71721()()40.182ˆ0.2720147.714()ii i ii x x z z b x x ==--==≈-∑∑，………………………… 4分 所以ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849a z bx=-=-⨯≈-， 所以z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-，……………………… 5分 所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=. ……………………………… 6分 (2) (ⅰ)由3325()(1)f p C p p =-，得325()(1)(35)f p C p p p '=--，因为01p <<，令()0f p '>得350p ->，解得305p <<；令()0f p '<得350p -<，解得315p <<， 所以()f p 在3(0,)5上单调递增，在3(,1)5上单调递减， 所以()f p 有唯一极大值3()5f ，也为最大值. 所以当35p =时，max 216()625f p =，此时相应的概率035p =. ………………… 9分 (ⅱ)由(ⅰ)知，当()f p 取最大值时，35p =，所以3(5,)5X B ，………………… 10分 所以3()535E X =⨯=，326()5555D X =⨯⨯=. ……………………………… 14分 21.解：(1) ∵28a =， 112n n a S n =--+，∴211222a a S ==-=，………………… 1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=11()22n n a a n n ----+，即132n n a a +=+，……… 3分 又12832a a ==+，∴*132,n n a a n +=+∈N ， …………………………… 4分 ∴113(1)n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是等比数列，且首项为113a +=，公比为3， ∴11333n n n a -+=⨯=，∴31n n a =-. ……………………………………… 6分 (2) 由(1)得11311122n n n a S n n +-=--=--+. ………………………… 7分 ∵112323(31)(31)n n n n n n a a ++⨯⨯=--1113131n n +=---， ∴n T 2231111()()31313131=-+-++----111()3131n n +--- 111231n +=--. …9分 ∴11152230312n n n n S T n λλ++++-=---≥-，∴11153312n n λ++≤---.……… 10分 设1115()3312n n M n ++=---， 则212111(1)()333131n n n n M n M n +++++-=--+--211211(33)()3131n n n n ++++=-+---111223230(31)(31)n n n n ++++⋅=⋅+>--， ∴{()}M n 是递增数列， …………………………………………… 12分∴221551(1)33128M λ≤=--=-，∴λ的最大值是518. ………………………………………… 14分 22. 解：(1)设椭圆的焦距为c 2，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+=133522b a a c 2,3==∴b a ， 所以，椭圆的方程为14922=+y x ． ……………………………………………3分 (2) 设点M ),(11y x ，P ),(00y x ，由题意，010<<x x 且),(11y x N --由BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，可得||3||MN PN =， ………………5分 所以MN PN 3=，从而),(3),(11110101y y x x y y x x ----=----，所以)(31101x x x x --=--，即105x x =． ……………………………………6分易知直线AB 的方程为632=+y x ，由⎩⎨⎧==+kx y y x 632消去y ，可得2360+=k x …7分 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+kx y y x 14922消去y ，可得49621+-=k x ． ………………………9分 由105x x =，可得236+k 49302+-=k ， …………………………………10分 整理得0825182=++k k ，解得98-=k ，或21-=k ． ……………………12分 当98-=k 时，090<-=x ，符合题意；当21-=k 时，0120>=x ，不符合题意，舍去． 所以k 的值为98-． …………………………………………………14分 23. 解：(1)1=a 时，b x e x g x --=2)(，2)(,1)0(-='-=x e x g b g∴切线斜率1)0(-='=g k ，切点坐标)1,0(b - ∴切线方程x b y -=--)1( ∵切线经过点)1,1(-，∴1)1(1-=---b ∴1=b…………………………3分 (2)∵b ax e x g x --=2)( ∴a e x g x 2)(-='.∵a e x g x 2)(-='在]0,1[-单调递增，∴]21,21[)(a a e x g --∈' 021≥-a e ，即e a 21≤时，0)(≥'x g ，所以)(x g 单调递增区间为]0,1[- …4分 ②当021≤-a ，即21≥a 时，0)(≤'x g ，所以)(x g 单调递减区间为]0,1[- ……5分③当2121<<a e 时，令0)(='x g ，得)0,1()2ln(-∈=a x ， 令0)(<'x g ，得)2ln(1a x <<-，令0)(<'x g ，得0)2ln(<<x a ，∴函数)(x g 单调递减区间为)]2ln(,1[a -，单调递增区间为]0),2(ln(a综上①②③可得： 当ea 21≤时，)(x g 单调递增区间为]0,1[-； 当2121<<a e 时，)(x g 单调递减区间为)]2ln(,1[a -，单调递增区间为]0),2(ln(a ； 当21≥a 时，)(x g 单调递减区间为]0,1[- . ………………………7分 (3)由0)1(=-f 得：e a b 11-+=，)11(2)(ea ax e x g x -+--=∴…………8分 由已知，设0x 为)(x f 在区间)0,1(-内的一个零点， 则由0)0()()1(0===-f x f f 可知，)(x f 在区间)0,1(-上至少有三个单调区间． ∴)(x g 在区间),1(0x -内存在零点，在区间)0,(0x 内也存在零点.∴)(x g 在区间)0,1(-内至少有两个零点．由（2）可知， 当ea 21≤时，)(x g 在]0,1[-上单调递增，故)(x g 在)0,1(-内至多有一个零点，不合题意. 当21≥a 时，)(x g 在]0,1[-上单调递减，故)(x g 在)0,1(-内至多有一个零点，不合题意． ∴2121<<a e ， …………………………………………………9分 此时)(x g 在区间)]2ln(,1[a -上单调递减，在区间]0),2(ln(a 上单调递增⎪⎩⎪⎨⎧><>-∴0)0(0))2(ln(0)1(g a g g ………………………………………………………10分)11(2)(e a ax e x g x -+--= ea a a a g 11)2l n (2))2(ln(+--=∴ 令a t 2=，∵2121<<a e ∴11<<t e ，et t t a g 11ln 21))2(ln(+--= 令)11(11ln 21)(<<+--=t ee t t t t ht t h ln 21)(--=' ，令0)(>'t h 得et e 11<<；令0)(<'t h 得11<<t e ； ∴)(t h 在)1,1(e e 单调递增，在)1,1(e单调递减. ∴01111)1()(<-+=-+=≤e e e ee e h t h 在)1,1(e 恒成立. 即0))2(ln(<a g 在21<a<2e 时恒成立. …………………………………………12分 ∴由⎪⎩⎪⎨⎧><>-0)0(0))2(ln(0)1(g a g g 得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<>+-012121021a e a e e a ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<->e a a e e a 1212121 ∴e a e 121<<- ∴a 的取值范围是)1,21(ee -． …………………………………………………14分。
湖北省鄂西北六校(宜城一中等)2023-2024学年高三上学期期中联考 数学试题
宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中河口一中2023—2024学年上学期高三期中考试数学试题试卷洪分：150分考试用时：120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘㸃在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是（）A.x ∀∈R ，2210x x ++≤B.x ∀∈R ，2210x x ++<C.x ∃∈R ，使得2210x x ++< D.x ∃∈R ，使得2210x x ++≤2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数()2i 1i z a =⋅+在复平面内对应的点为M ，则“1a >”是“点M 在第二象限”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3.若()22sin 122tan sin cos 22xf x x x x -=+，则34f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（）A.2B.0C.2- D.1-4.为了得到()sin 2y x =的图像，只需将()cos 2y x =的图像经过（）个单位变化得到A.向左平移2πB.向右平移2π C.向右平移4π D.向左平移4π5.在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 有最小值，且11101a a <-，则使0n S <成立的最大的n 为（）A.1B.19C.20D.106.在ABC △中，13BD BC =，E 是线段AD 上的动点（与端点不重合），设CE xCA yCB =+ ，则233x y xy +的最小值是（）A.3B.1C.2D.47.已知函数()()()e 0ln 0x x x f x x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知奇函数()f x 满足：()()11f x f x -=+，当10x -≤≤时，()e e 2sin x x f x x -=--，则下列大小关系正确的是（）A.()()0.522024ln e e f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B.()()0.52e 2024ln e f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.()()0.52ln 2024e e f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D.()()0.52ln e 2024e f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.已知向量()2,1a = ，()1,1b =- ，()2,c m n =-- ，其中m ，n 均为正数，且()//a b c -.下列说法正确的是（）A.a 与b的夹角为钝角B.22m n +的最小值为165C.向量a 在b 方向上的投影向量为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.mn 的最大值为210.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n s ，13n n s a m +=+（1n ≥，*n ∈N），则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 为等比数列 B.若数列{}n a 为等比数列，则3m =-C.4313n n s ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D.若2m =-，则2n ≥时，14323n n s -⎛⎫=- ⎪⎝⎭11.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（如图），则阴影部分的面积可能取值为（）A.πB.2πC.23π D.2π12.已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++，设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x ->-，则实数a 的取值可能是（）A.3- B.3e-C.e -D.2-第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a 、b 满足1a = ，2b = 且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为______.14.在ABC △中，222sin sin sin sin sin C A B A B --=，则C ∠为______.15.如果函数()f x 在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如：函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()3cos f x m x xππ=+是11,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是______.16.设函数()ln af x x x x=--有两个不同的极值点1x 、2x ，若12x x <，则()()12f x f x -的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为h 米，已知()()sin ht A t b ωϕ=++.（0A >，0ω>，ϕπ<）.图1图2（1）试求()ht 的解析式.（2）求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.18.（本小题满分12分）已知函数()()3211132a f x x x a x =++-+.（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与直线610x y ++=平行，求出这条切线的方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为正数，1a 与9a 的等差中项为8，且3728a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从{}n a 中依次取出第一项，第四项，第十六项，第14n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，又数列{}n c ，()7n n c n b =+，求数列{}n c 的前n 项和.20.（本小题满分12分）ABC △中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan cos cb A b B A+=.（1）求角B ；（2）若D 是AC 边上的一点，且2CD =，6BD AD ==，求tan A .21.（本小题满分12分）已知()12x x f x a a +-=-是定义域为R 的奇函数.（1）函数()()222x x gx a a f x -=+-，[]0,2x ∈，求()g x 的最小值.（2）是否存在0λ>，使得()()2f x f x λ≤对[]2,1x ∈--恒成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知()ln hx x ax=-（1）若()hx 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若方程eln xax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，且21x x >，证明：1212e e 02x x x x h '⎛⎫+< ⎪⎝⎭.宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中河口一中2023—2024学年上学期高三期中考试数学答案一、单项选择1-4DABC 5-8BDBC 二、多项选择9.BCD10.BD11.AB12.ACD三、填空题13.3π14.23π15.()2,416.()0,+∞四、解答题17.解：（1）()min 5h t A b =-+=且()max 45h t A b =+=∴()()()max min 1202A h t h t =-=，()()()max min 1252b h t h t =+=由()020sin 255f ϕ=+=得sin 1ϕ=-∵ϕπ<，∴2πϕ=-，又2105ππω==∴()20sin 2520cos 25525t ht t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（010t ≤≤）（2）令()20sin 251552h t t ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭2520cos155t π-=，1cos 52t π=∵010t ≤≤，∴025t ππ≤≤∴53t ππ=或53π∴53t =或253答：游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米的时刻为第53分钟和253分钟.18.解：（1）()21f x x ax a =++-'，()233f a '=+由已知()26f '=-，∴336a +=-得3a =-又()3123f =-∴曲线()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()31623y x +=--化简得：18350x y +-=（2）()()()11f x x a x =+-+'，令()0f x '=得1x a =-或1x =-①当11a -<-即2a >时，()f x 减区间为()1,1a --，增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞②当11a -=-即2a =时，()f x 在(),-∞+∞上为增函数③当11a ->-即2a <时，()f x 减区间为()1,1a --，增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞.19.解（1）由已知得1916a a +=∵{}n a 为等差数列，∴1937a a a a +=+，即3716a a +=，又3728a a =，解得37214a a =⎧⎨=⎩或37142a a =⎧⎨=⎩∵公差0d >，∴73a a >∴32a =，714a =∴412d =，得3d =，14a =-∴()41337na n n =-+-⨯=-（2）由已知得114347n n nb a --==⨯-，∴134n n c n -=⨯记{}n c 的前n 项和为nS 012131432433434n n S n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯①123431432433434nn S n =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯②①－②得：()01213314314314314341341n n n n S n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-⨯=-⋅-∴11433n nS n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭20.（1）由tan tan cos b A b B A +=，得sin sin cos cos cos A B bb A B A+=由正弦定理得2sin sin sin cos cos cos B A B C A B A+=化简得：()sin cos sin sin cos cos B B A B A C B +=即sin sin cos B C C B∵sin 0C ≠，∴sin B B ，∴tan B 又0B π<<，∴3B π=（2）在BCD △中sin sin BD CDBCD CBD=∠∠∵6BD AD ==，∴3CBD Aπ∠=-∠又()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴62sin sin 33A A ππ=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin A A =，∴tan 2A =21.解：（1）由()f x 为R 上奇函数，知()020f a =-=，得2a =()()()()()2222122222222422x x x x x xx xg x -+---=+--⋅=+--()()2224222x xx x --=---+令22x x t -=-，∵[]0,2x ∈，∴150,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则上式转化为()()224222h t t t t =-+=--∴2t =时，()min 2gx =-此时(2log 1x =+（2）()()222x x f x -=-，()()222222x xf x -=-代入不等式得()()22222222x x x x λ---≤-∵[]2,1x ∈--时，220xx --<，∴22x x λ-≤+，而()min5222x x-+=，∴502λ<≤22.解法一；解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，由()0f x =可得ln x a x=，令()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-='，令()0g x'=可得e x =，列表如下：x()0,e e()e,∞+()g x '＋0－()g x 增极大值1e减且当1x >时，()ln 0xg x x=>，作出函数()g x 和y a =的图象如下图所示：由图可知，当10ea <<时，即当10ea <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个公共点，因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：方程()e ln e ln e x x xax x x ax x ⋅=+⇔⋅=⋅令e x t x =⋅，由e ln x ax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，则111e xt x =，222e xt x =是()hx 的两个零点()111ln 0h t t at =-=且()222ln 0h t t at =-=，可得()1212ln ln t t a t t -=-，由()ln h x x ax =-可得()1h x a x '=-，要证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证122t t a+>，即证()1212122ln ln t t t t t t -+>-，∵21x x >，∴21t t >，∴即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++令()120,1t k t =∈，即证()21ln 1k k k -<+，构造函数()()21ln 1k k k k ϕ-=-+，其中01k <<，即证()0k ϕ<，()()()()222114011k k k k k k ϕ-=-=>++'，所以，函数()k ϕ在()0,1上单调递增，∴()()10k ϕϕ<=，故原不等式成立.解法二：解：（1）()()1ln h x x ax h x a x'=-⇒=-当0a ≤时，∴()0h x '>恒成立得()h x 在()0,+∞递增当0a >时，得()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减要使()hx 有两个不同零点必须0a >且极大值10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭（0x →和x →+∞时()h x →-∞）∴10ea <<，（2）解：方程()e ln e ln e x x xax x x ax x ⋅=+⇔⋅=⋅令e x t x =⋅，由e ln x ax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，则111e xt x =、222e xt x =是()h x 的两个零点由()ln hx x ax =-可得()1h x a x'=-为减函数，要证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证122t t a +>，由()hx 的图象，不妨设121tt a<<（1t ，2t 分布在()h x 的极值点两侧）要证122t t a +>，只需证122t t a >-①当22t a ≥时，因110t a <<，故上式显然成立.②当212t a a <<时，2210t a a <-<，又110t a<<，由()hx 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，即证明()()122222h t h t h t h t a a ⎛⎫⎛⎫>-⇔>- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭构造函数()()2F x h x h x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（12x a a <<）()()22122422110222a x x ax a a F x h x h x a a a x x x x x x a a a ⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=-+-==> ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭'--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''∴()Fx 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，()10F x F a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以要证的不等式成立.。
浙江省9+1高中联盟2020-2021学年高三上学期期中数学试题
13. ， 1 34
14. 5 ， 3 15. 8
16.
0,
15 16
17. 3 2
三､解答题(本大题共5小题，共74分)
18.解：（1）因为
f (x) =
3 4
sin
2x
+
1 4
cos
2
x
=
1 2
3 2
sin
2x
+
1 2
cos
2x
=
1 2
sin
2x
+
6
f (x) 的最小正周期为
（2） 0 x 5 , 12
2020 学年第一学期 9+1 高中联盟期中考试 高三年级数学学科试题
考生须知： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可登陆 查询个人分析报告.
2
2
C. −1
）
D. −6
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.函数
f
(x)
=
ln | ex | ex + e−x
的图像大致为（
）
A.
B.
1
C.
D.
6.某几何体的三视图如图所示(单位： cm )，则该几何体的外接球的体积(单位： cm3 )是
（）
A. 72 2
x
x
所以当 0 x x0 时， F(x) 0 ， F (x) 单调递减，当 x x0 时， F(x) 0 ， F (x) 单调