基于灰混合策略的灰矩阵博弈模型研究(4)

1
13.3灰混合策略的性质及其灰线性规划模型
一、灰混合策略的性质
定理13.3.1设灰矩阵博弈(),()A B ⊗⊗满足: ()()ij m n A a ⊗⨯⊗= ()()ij m n B a k ⊗
⨯⊗=+,其中k 为任
意常数,则(),()A B ⊗⊗的博弈值(),()A B v v ⊗⊗之间的关系满足式13.3.1.
()()B A v v k ⊗=⊗+ (13.3.1)
且**(,)X
Y ⊗
⊗为()A ⊗的灰鞍点当且仅当**(,)X Y ⊗⊗为()B ⊗的灰鞍点.
证明: (1)证明式13.3.1成立. 由最大最小灰博弈值定理可知，有
2
2
1121
21
11
111111()max min ()()max min ()max min ()max min ()()m
n
T
B ij i j Y S Y S X S X S i j m n m n ij i j i j Y S X S i j i j m n ij i j Y S X S i j A v X B Y a k x y a x y k x y a x y k v ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗
⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗
∈∈∈∈==⊗⊗⊗⊗⊗∈∈====⊗⊗⊗∈∈==⊗=⊗=+⎧⎫=+⋅⎨⎬⎩⎭
⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
=⊗+∑∑∑∑∑∑∑∑k
(13.3.2)
(2)的证明从略.
定理13.3.2 (1)设()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*X
⊗
为局中人1的最优灰混合策略的充
要条件是: *2()(,),
v E X Y Y S ⊗⊗
⊗⊗
⊗≤∀∈ 成立;
(2) 设()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*Y
⊗
为局中人2的最优灰混合策略的充要条件是:
*1()(,),
v E X Y X S ⊗⊗⊗⊗⊗≤∀
∈ 成立.
证明: (1)设*X
⊗
为局中人1的最优灰混合策略, 由最大最小灰博弈值定理可知，存在局中
人2的最优灰混合策略1Y ⊗
, 使*1*2(,)()(,),
E X
Y E X Y Y S ⊗
⊗⊗⊗⊗⊗
⊗≤∀∈成立, 即 *1*2()(,)()(,),
v E X Y E X Y Y S ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗≤∀∈ 成立.
反之,设*X
⊗
满足, *2()(,),
v E X Y Y S ⊗⊗
⊗⊗
⊗≤∀∈ 成立.
由最大最小灰博弈值定理,存在11(,)X
Y ⊗
⊗使
1111(,)(,)()(,)E X Y E X Y v E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤=⊗≤
2
于是: *111*(,)(,)()(,)E X Y E X Y v E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗
≤=⊗≤
从而: 111*1*(,)(,)(,)(,)E X Y E X Y E X Y E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
≤=≤
对12,X S Y S ⊗⊗⊗⊗∀
∈∈成立,即*X ⊗
是局中人1的最优灰混合策略.
(2)同理可以证得: 若()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*Y
⊗
为局中人2的最优灰混合策略的
充要条件是: *1()(,),
v E X Y X S ⊗⊗
⊗⊗⊗≤∀
∈ 成立.
定理13.3.3设**(,)X
Y ⊗
⊗是灰矩阵博弈()A ⊗的灰鞍点,则,
**11max (,)min (,)()i j j n
i m
E Y E X v αβ⊗⊗≤≤≤≤==⊗ (13.3.3)
其中:i α是m R 中第i 个分量为1的单位向量,j β是n
R 中第j 个分量等于1的单位向量.
证明: 由定理13.3.2得,对所有的j ,1j n ≤≤,有: *()(,)j v E X β⊗⊗≤, 于是 *1()min (,)j j n
v E X
β⊗
≤≤⊗≤
从而 *()(,),1,2,
,j v E X j n β⊗⊗≤=
*****11
()()(,)(,)()n n j j j j j v v y E X y E X Y v β⊗⊗⊗⊗⊗
==⎛⎫⊗=⊗⋅<⋅==⊗ ⎪⎝⎭∑∑
这一矛盾表明,必有: *1()min (,)j j n
v E X
β⊗
≤≤⊗=
同理可证: *1()max (,)i i m
v E Y
α⊗
≤≤⊗=.
二、灰矩阵博弈的灰线性规划模型
定理13.3.1,13.3.2和13.3.3提供了求解局中人最优灰混合策略的灰线性规划方法.在此基础上,可以构建灰矩阵博弈的灰线性规划模型.
定理13.3.4任给灰矩阵博弈)}(~
;,{)(~21⊗=⊗A S S G ,若**(,)X Y ⊗
⊗是该灰矩阵博弈的最优灰混
合策略,则**(,)X
Y ⊗
⊗可以通过解一个灰线性规划问题求出.
证明: 不失一般性,不妨设灰矩阵博弈)}(~
;,{)(~21⊗=⊗A S S G ,其中:()()ij m n A a ⊗
⨯⊗=.
先求局中人1的最优灰混合策略,1,2,
,i x i m ⊗
=.由定理13.3.1,可设)}(~
;,{)(~21⊗=⊗A S S G 的
灰博弈值()0v ⊗≥.
3
不等式组: ,11,1,2,,1,11,1,2,,1
()1,2,,01,2,,[1,1]
i i i i i i m ij i c c i m
i i m
i c c i m
i a x v j n
x i m
x γγ⊗⊗
=≤≤==⊗
⊗=≤≤==⎧≥⊗=⎪⎪⎪≥=⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑ (13.3.4)
的解为局中人1的最优策略.作变换: /,1,2,,()
i i
x x
i m v ⊗⊗
==⊗. 不等式组13.3.4可变换为:
/,11,1,2,,1
/1
/[1,1]1,2,,1()01,2,,i i i m ij i c c i m
i m i i i a x j n
x v x i m γ⊗⊗
=≤≤==⊗=⊗⎧≥=⎪⎪⎪=
⎨⊗⎪⎪≥=⎪⎩
∑∑ (13.3.5)
其中: 11111
()max min (,)max min m
j ij i
j n
j n
X S X S i v E X a
x β⊗⊗⊗⊗
⊗
⊗⊗
≤≤≤≤∈∈=⊗==∑
于是求局中人1的最优灰混合策略可化为求解下列线性规划问题(见式13.3.6).
///12/,01,1,2,,1
/min{}
[1,1]1,2,,..01,2,
,i i i m m ij i c c i m
i i
x x x a x j n s t x i m
γ⊗⊗
⊗
⊗⊗
=≤≤==⊗++
+⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑ (13.3.6) 类似地, 求局中人2的最优灰混合策略可化为求解下列灰线性规划问题,见式13.3.7.
///12/,01,1,2,,1
/max{}
[1,1]1,2,,..01,2,
,j j j n n ij j c c j n
j j
y y y a y i m s t y j n
γ⊗⊗
⊗
⊗⊗
=≤≤==⊗++
+⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ (13.4.7) 定理13.3.4的证明是构造性的,根据定理13.3.4, 可以将任一灰矩阵博弈)}(~
;,{)(~
21⊗=⊗A S S G 的最优灰混合策略的求解问题转化为一个灰线性规划问题.。