人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件.doc
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数
列》课件
假设: : 一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一
对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12 个
月后会有多少对兔子呢？
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斐波那契斐波那契（（1170 1250 ）意大利杰出的数论学家。
1202 年著作《算盘书》。
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大自然中的斐波那契数列鹦鹉螺
大自然中的斐波那契数列
种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列
种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8
种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 13
大自然中的斐波那契数列有13 条逆时针螺旋和21 条顺时针螺旋有13 条顺
时针螺旋和21 条逆时针螺旋蓟
大自然中的斐波那契数列
大自然中的斐波那契数列 21 条和34条条最多可达89 条和144条条 34 条和55 条 55 条和89条条
台风旋转云图台风旋转云图水流漩涡水流漩涡星云星云
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斐波那契数列
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人教版小学数学六年级下册《斐波那契数 列》课件 假设: : 一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一 对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12 个 月后会有多少对兔子呢？ 1 1 2 3 5 8 6 月 5 月 4 月 3 月 2 月 1 月 1 1 2 3 5 8 6 月 5 月 4 月 3 月 2 月 1 月 斐波那契斐波那契（（1170 1250 ）意大利杰出的数论学家。 1202 年著作《算盘书》。 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144 【第1 年】 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 4181 20 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 514229 30 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 34 5702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 斐波那契数列与数学4807526976 【第2 年】【第3 年】【第4 年】 1 1 2 3 5 8 斐波那契螺旋黄金螺旋黄金矩形 大自然中的斐波那契数列鹦鹉螺 大自然中的斐波那契数列 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 13 大自然中的斐波那契数列有13 条逆时针螺旋和21 条顺时针螺旋有13 条顺
菲波那契数列
课题：斐波那契数列 桂林市第十七中学王嵘 指导教师桂林师专数学系蒋晓云 一．教学目标 1.知识方面 使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数 列解决日常生活中的一些问题。 2.能力方面 培养学生的观察能力、探究发现的能力、解决实际问题的能力、审美意识。 3.品质素养方面 使学生体会，数学来源于生活的大众数学思想；通过主动探究，培养学生的认知力、观察力、想象力、注意力、记忆力和独创的实践力。 二．重点难点 重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。 难点：斐波那契数列通项公式的求法、将实际问题转化为数学问题。 三．教学手段 多媒体辅助教学 四．教学过程 （一）提出问题 今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家在十三世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）？ （二）分析问题 １．先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析： 第一个月：只有一对小兔 第二个月：小兔未长成不会生殖，仍然只有一对。 第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有两对。 第四个月：老兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共三对。 第五个月：这时已有两对兔子有生殖（原来的老兔和第三个月出生的小兔）于是生了两对小兔，这时共五对兔子。 ……
月份1234567 兔子数（对） 11235813 如此推算下去，我们不难得出下面结果： 月份数兔子数（对) 12345678 (1) 1 2 3 5 8 13 21 … ∴ 第八个月共21对兔子 2．如果我们把上表中下面一列数用{}n u 表示，下标n 表示月份数，则有： {}K ,21,13,8,5,3,2,1,1: n u 它给我们数列的形象，由于这个问题是由意大利数学家斐波那契提出的，故这个数列被称为斐波那契数列，n u 称为斐波那契数，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题（板书课题）。 3．还是回到生小兔问题，假如问一年后有多少对兔子？一年半后？两年后？显然继续用这种方法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越使人觉得复杂，有无简单的办法推算？提示学生观察数列的项的关系？ 4．学生讨论得出该数列中各项有如下递推关系： ?? ? ≥+===--)3(12121n u u u u u n n n 鼓励学生的同时，提出：在当时，这个简单的递推关系却是在斐氏死后近四百年后由一名叫奇拉特的数学家发现的。其实这个式子并不难理解。试想：第n 个月时的兔子可分为两类：一类是第1-n 个月时的兔子，另一类是当月新出生的兔子，而这些兔子数恰好为第2-n 个
斐波那契数列
斐波那契数列Fibonacci）， 通项公式：
后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339 889…...越到后面，这些比值越接近黄金比. 4特性： 平方与前后项：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。 （注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 5应用 生活中斐波那契：斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。 斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰 21………………………紫宛 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)
（2）第五个月、第六个月有多少对兔子呢，你们愿意自己尝试着研究一下吗？ 把你研究的过程记录在这张纸上，咱们比一比，看谁的研究成果能让人一眼就看得懂、看得明白，拿出纸笔，开始吧！（完成的和周围同学说说，大家互相学习）哪位同学愿意来给大家讲讲自己的作品？ 他画的什么意思，听明白了吗？ 孩子，我有个问题：咱们研究的是兔子，你怎么画了这么多图形啊？（简单、好画）是这样吗？ 你们也是这样画的吗？还有画的不一样的吗？ 来看看这几位同学画的，也都是用了各种图形、符号，我们研究兔子，你们想到用图形代替，这种数学的思维意识非常好。比较一下这几种不同的画法，你有什么想法吗？（展台同时展示几种不同的方法）（生评价） 生1：画兔子的，麻烦、慢 生2：用三角、圆、四边形的，不能一眼看出哪个是大兔哪个是小兔。 生3：用大圆和小圆的，用“大”“小”字的，一下就能看出哪个是大兔哪个是小兔。 我们研究的成果不仅要自己懂，还要让所有看图的人都懂。 在面对“第5个月第6个月有多少对兔子”这个比较复杂的问题时，我们通过画图就能简洁的、清晰的理解题意，其实在我们学习数学的过程中，有很多问题都可以借助图形、符号进行研究并帮助我们解决问题。 （课件验证）现在我们请小兔子们亲自为同学们演示一下，想看吗？
月 月 月 月 月 月 现在如果要算算6月有多少对兔子，你能用一个算式表示吗？
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11 2 358斐波那契螺旋 ——黄金螺旋 黄 金 矩 形 大自然中的斐波那契数列 ）除了动物，哪里还会有呢？①看，这是什么？松果里有螺旋吗？种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列13 大自然中的斐波那契数列 有13条逆时针螺旋 和21条顺时针螺旋 有13条顺时针螺旋和21条逆时针螺旋
斐波拉契数列
斐波拉契数列 目录[隐藏] 【斐波拉契数列(斐波那契数列)简介】 【斐波拉契数列的存在】 【斐波拉契数列与黄金分割】 【该数列有很多奇妙的属性】 【斐波那契数列别名】 【斐波那契数列通项公式的推导】 【VB程序设计】 【C语言程序】 【斐波拉契数列(斐波那契数列)简介】 【斐波拉契数列的存在】 【斐波拉契数列与黄金分割】 【该数列有很多奇妙的属性】 【斐波那契数列别名】 【斐波那契数列通项公式的推导】 【VB程序设计】 【C语言程序】 ∙【Pascal语言程序】 [编辑本段] 【斐波拉契数列(斐波那契数列)简介】 ■斐波拉契数列的简介 斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170
年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为： (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根) (19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。 其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。 ■斐波拉契数列的出现 13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目： “如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？” 斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8…… 这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。 于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于 0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。 斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。 ■斐波拉契数列的来源及关系
斐波那契数列与等比数
斐波那契数列与等比数 斐波那契数列与等比数是诸多数学规律中的重要组成部分，它们的 特殊特性和多样的应用在数学及其他领域的探究中表现出重要地位及 价值。本文旨在对斐波那契数列和等比数进行论述,并结合相关概念来 深入探究它们的内涵与应用价值。 斐波那契数列是这样一个数列：它由数学家莱布尼兹在公元前十七 世纪提出，从0开始依次递增地列出，包括以下元素：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，等等。可以看出，后一位数字是前 两位之和，形成一个特殊的数列。斐波那契数列的形式很简单，但由 于它的复杂性，在很多领域都有着关键的作用。 斐波那契数列被称为“斐波那契数列”，因为这个数列是由意大利 数学家斐波那契在公元前六世纪诞生的，它有着很多特殊性质，如果 从它得出的结果正确，那么它就是真正的斐波那契数列。例如，斐波 那契数列定理即每一项均等于前两个数之和。而且，它也被认为是一 个全局性的数学规律，也就是说，斐波那契数列可以高效地应用于任 何数学问题，从而得到结果、解决问题。 在生物学中，斐波那契数列的数学规律用于描述真核生物细胞复制 过程。同时，斐波那契数列也被应用于医疗、金融、保险等诸多领域，用以帮助观察、分析、评估不同事件或现象的发展趋势及其进程。此外，它还在机器学习、搜索算法等智能算法中得到应用。 等比数是指存在一个正数a，使得所有的正整数乘以这个a都可以 得到一定的等比数列。它被应用于解决各种财务问题，例如公式计算 利息，同时也可以用于机器学习的训练，帮助机器对不同的输入数据 更快更有效地得出预期的结果。另外，它也被应用于计算某件物品在 未来一定时间内（应用于银行贷款等）的折旧程度。
斐波那契数列教案 适合小学
拓展课斐波那契数列 【教学内容】 斐波那契数列相关知识。 【教学目标】 1. 使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性，并探究著名的兔子问题。 2. 在经历感知、分析、归纳和应用过程中培养学生的思维能力，会利用从易入难的数学思想方法解决问题，培养良好的思维品质。 3. 在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 【教学重难点】 重点：发现斐波那契数列的规律，探究兔子问题 难点：会利用从易入难的数学思考方法解决问题 【教学准备】 课件、学习单 【教学流程】 一、图片欣赏，引出课题 1．出示自然界中的图片 师：一起欣赏这些大自然的图片，它们都有什么特点？ 预设：它们都有螺旋线 2.出示鹦鹉螺 师：鹦鹉螺的内部是非常美丽的螺旋线，我们可以把它画出来。
3. 出示斐波那契螺旋线，观察是怎么画出来的 师：用数学的眼光看一看，说说它是怎么画出来的。 引导学生从最小的正方形数起。 预设：最小的正方形边长是1，有2个这样的小正方形 预设：是正方形的对角线 师：是的，需要先从里到外画出正方形，再画出正方形对角顶点相连的弧 提问：这些正方形的边长都是多少？ 1,1,2,3,5,8,13,21…… 师：老师加了省略号是为什么？ 预设：还可以继续画下去。 师：你们发现后面应该是几了吗？ 预设：34 预设：这串数字是有规律的，每次都是前两个数字之和 师小结并揭示课题：像这些正方形的边长形成的一列有序的数，我们叫它数列（板贴：数列）。 4. 出示人物介绍，认识斐波那契 最早研究这个数列的是莱昂纳多斐波那契，他是中世纪意大利的一位数学家。因此这个
斐波那契数列
斐波那契数列 斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中，并写出的通项；然后利用，两边同除以得，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得 因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过
程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为 所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。 作者简介：任所怀，性别男，山西省原平市原平一中数学教师。生于1973年9月10日，主要致力于中学数学教学研究。
奇妙的斐波那契数列
斐波那契数列 贺兰一小吴爱玲 教学内容: 人教版小学数学六（下）第65页阅读资料“斐波那契数列” 教学目标: 1、使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。 3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养良好的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学准备: 多媒体教学课件等。 教学过程： 一、导入师：古人云：“有朋自远方来，不亦乐乎！” 今天吴老师就带领大家来认识解决一个很有趣的数学问题，据说他的发现曾激起一个民族的数学学习热情，它的解决更造就了一位著名的数学家；究竟是怎样的问题有如此魅力,你们想了解吗？那就要看你们的表现了。大家有没有信心？ 二、初涉规律，引入新课 好，请看大屏幕：找规律填数。 1. 5、10、15、（）、（）、30 2. 4、6、（）、10、（）、14 3. 1、4、9、16、（）、（）、49 4. 10、3、8、3、6、3、（）、（） 5. 1、1、2、3、5、8、（）、（），…… 指名回答，引导说出规律。（前两个数之和等于第三个数） 师：刚才大家表现得很积极。这类找规律题，都需要观察前后数的关系来解答。像以上这样有规律的每一组数，我们把它称之为数列，下面我们就来进一步研究这样一组有规律的数，它就是这个数列：（课件出示） 1、1、 2、 3、5、8、13、21…… 三、游戏激趣，解决问题 师：这个数列还有个有趣的名字，叫做“兔子数列”，想知道为什么吗？这就要从一对刚出生的小兔子说起了。
师：很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一位举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题巧妙地告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 师：你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、老师来验证一下同学们是否真正理解题意了。 多媒体出示第一个月的一对小兔，提问学生每过一个月后兔子的繁殖结果。出示兔子图： 一月，只有1对小兔，合计1对； 二月，1对小兔长成1对大兔，合计1对； 三月：大兔有1对，生了1对小兔有；合计2对。 四月：小兔有1对；大兔有1+1=2对；合计1+2=3对。 学生尝试说5月—7月兔子的变化过程，并记录板书。 五月：小兔有2对；大兔有1+2=3对；合计5（对）。 六月：小兔有3对；大兔有2+3=5对；合计8（对）。 七月：小兔有5对；大兔有3+5=8对；合计13（对）。 还需要画下去吗？画不下怎么办？ 生：我发现有规律：1＋1=2，1＋2=3 2＋3=5 3＋5=8…… 前两个月之和等于后一个月。 3、可以列表表示结果： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 5 5 89 144 兔子 对数 师：你观察的真仔细，其他同学发现了吗？（前面两个数的和就是后面第三个数） 按照这样的规律，同学们推算以后几个月的兔子对数。（完善表格） 师：通过分析我们知道12个月后会有144对兔子。
斐波那契数列教案(六年级数学下册)
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标:1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程: 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后,他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢?他用一道数学题清楚的告诉了我们,请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔,一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢? 1、请学生读题,分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论,你想了解哪些问题?如何解决？(这一年当中,兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下,好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 １月—４月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流,解决问题。 二、合作探究，解决问题 １、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1,１,２，３,5，8，13，21,…… 2、观察前后数的关系,从这个数列中你发现了什么规律?①学生举手汇报，说出规律： 前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列,首两项等于１，而从第三项起，每一项是前两项之和,则称该数列为斐 波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
斐波那契数列的
斐波那契数列的 斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：第一项和第二项均为1，其余每一项均为前两项之和。由此可知，斐波那契数列依次为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765。 斐波那契数列是古希腊数学家莱布尼兹在公元前300年，最早研究出来的数学模型，用于描述分割心理术百分比的连续素数情况，也被称为黄金分割比例的“超越比例”。 斐波那契数列的发现，使人们重新发现了自然界之间的内在秩序，它被认为是现代数学的创始者，并成为数学史上持续的概念。 斐波那契数列的发展 斐波那契数列在历史上使用最为广泛，它是数学家探讨数字规律的基础，也是四则运算中最基本的应用。斐波那契数列对于研究序列和图论中的各种性质如完全图、有向无环图、树等图解结构非常有效，可以把它们视为抽象的量度来研究其它的问题。 此外，斐波那契数列也被用于数学科技领域中的许多其他场合，例如能源优化和计算机编程等。因此，斐波那契数列对于当今世界有着非常重要的意义。 斐波那契数列的应用 斐波那契数列在当今世界有着广泛的应用，也成为数学史上最重要的研究模型之一。下面列举了斐波那契数列在不同领域中的应用。 （1）最优化问题
斐波那契数列可以用于求解最优化问题，即在不违反约束条件的前提下，求解目标函数的最优值。其中，斐波那契数列用作把一个有限范围内的最优化问题转换成一系列子问题，使得每一个子问题可以采用斐波那契数列中的一个项来搜索最优解。 （2）计算机编程 在计算机编程领域，斐波那契数列也被用于处理表示性的数据，用于解决随机选择问题，计算给定集合中元素的排列组合，以及识别图案和字符串等问题。 （3）生物学 斐波那契数列也被应用到生物学领域，其中，斐波那契数列可以用于研究竹和花朵的自传性，以及植物繁殖、节律性活动等过程。 （4）音乐 斐波那契数列在音乐领域也有着广泛的应用，它可以被用于构建节拍、设计旋律和使乐句变得更加有趣等等。 综上所述，斐波那契数列是许多领域的重要科学发现，也是现代数学的创始者，其研究和应用对于当今世界有着重要的意义。
6斐波那契数列
数学文化之六：无处不在的斐波那契数列 斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状能够用排 成螺旋状的一系列正方形来说明，起始的正方形的边长为1，在它左 边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方 形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的 正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐 波那契数列。 1.斐波那契数列的提出 斐波那契是意大利的数学家，他是一个商人的儿子，儿童时代跟 随父亲到了阿尔及利亚，在那里学到了很多阿拉伯的算术和代数知 识，从而对数学产生了浓厚的兴趣。 长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了很多国家,到过埃及,叙 利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识。回国 后,他把搜集到的算术和代数材料,实行研究,整理,编写成一本书,取 名为《算盘之书》,于1202年正式出版。 这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它 推动了欧洲数学的发展.其中有一道“兔子数目”的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大 兔子.然后这对大兔子每过一个月就能够生一对小兔子,而每对小兔 子也都是经过一个月能够长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月 就能够生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每 个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?
这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象相关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列". 你能把兔子的对数计算出来吗? 解:能够这么推算: 第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子。 第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子。 第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子。 第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子。 第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子。 …… 以此类推,可知:每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和. 我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是：1,1,2,3,5,8,13…… 仔细观察两行数发现它们是很有规律的：每行数，相邻的三项中,
斐波拉契数列展示全解
斐波那契数列定义 斐波那契数列指的是这样一个数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 这个数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。 下面的就是斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。
斐波那契螺旋线的应用 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”,是根据斐波那契数列画出来的螺旋。这种形状在自然界中无处不在。该原理和黄金比例紧密相连，你会发现，用后一项除以前一项，比例会越来越接近1.618:1。常见于各种摄影构图、设计理念、建筑物当中，自然界中也有很多如贝类的螺旋轮廓线、向日葵轮廓、银河等这种天然的“黄金螺旋”。 飓风、银河系、向日葵和人的耳朵的共同特点是什么？看似毫无关联，但实际上它们都有着与“黄金螺旋”
几乎吻合的形状，“黄金螺旋”是人类通过计算得出的最完美的螺旋形状。将飓风的卫星云图和银河的形状摆放在一起作对比，会发现它们有着惊人的相似性。飓风、银河系、向日葵和人的耳朵的共同特点是什么？看似毫无关联，但实际上它们都有着与“黄金螺旋”几乎吻合的形状，“黄金螺旋”是人类通过计算得出的最完美的螺旋形状。将飓风的卫星云图和银河的形状摆放在一起作对比，会发现它们有着惊人的相似性。 银河系
实际上，在自然界中存在着大量美丽、神奇的天然黄金螺旋结构，这是大自然的精妙设计。图中显示的是银河系的斐波那契螺旋线，同样也完美地符合“黄金螺旋”的形状。 多肉植物 甚至像芦荟这样的多肉植物也会呈现出“黄金螺旋”的形状。植物以“黄金螺旋”的形式生长出新的细胞， 然后就会呈现出这种形状。这种方式让植物的新生叶子与旧叶子互相之间不会相互遮挡太多，能最大程度地享用阳光和雨露。
趣味数学072：斐波纳契数列
菲波纳契数列 小学数学课本（人教版）六年级下册第73页的“阅读资料”，提到了菲波纳契的“兔子问题”。 菲波纳契是欧洲中世纪的数学家，生于意大利的比萨。1202年，菲波纳契在他的著作《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题。 “假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔。再过一个月后便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，而且小兔子的生育能力也同他们的父母一样。如果一年内没有发生死亡，那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？” 因为小兔子从出生到能够生育需要两个月的时间，所以从第3个月开始才会有小兔子出生。此后，每个月的兔子由两部分组成，一部分是上个月就有的兔子，另一部分是新出生的兔子。前者的对数无疑等于上个月的兔子对数，后者的对数应该等于两个月前兔子的对数，这是因为那时的老兔子这个月仍然继续生育，而那时的小兔子这个月已经开始生育了。于是得到逐月的兔子对数： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，… 所以，12个月后会有144对兔子。 这就是菲波纳契数列，它的规律是：从第3项开始，每一项都等于它的前面两项的和。 菲波那契数列反映的规律有一定的普遍性。 下面这些问题都与菲波那契数列有关： 一棵树，一年后长出一条新枝。新枝隔一年后成为老枝，老枝每年又长出一条新枝。如此下去，5年后这棵树的树枝将会有多少条？ 一个楼梯共有8个台阶。如果每一步可以上一个台阶或两个台阶，那么，这个楼梯共有多少种不同的上法？ 爷爷给小明买了一包巧克力，共有10块。小明如果每天吃1块或2块，一共有多少种不同的吃法？ 不仅如此，菲波那契数列经常还会在一些意想不到的情况下出现。请看下面这个有趣的例子。 在蜜蜂王国，蜂王是惟一能产卵的雌蜂。雌蜂是受精卵孵成的，雄蜂是未受精卵孵成的，所以雌蜂有父亲和母亲而雄蜂只有母亲没有父亲。那么，从一只雄蜂上溯到第七代，各代蜜蜂的只数是多少呢？
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学得发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样得数列:1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数得与等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列得第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2、 兔子繁殖问题指设有一对新生得兔子,从第三个月开始她们每个月都生一对兔子,新生得兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就就是斐波那契数列,第n个月兔子得数量就是斐波那契数列得第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列得性质,必然要先知道它得通项公式才能更简单得推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数得待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得: F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1就是其中得一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难瞧出,上式就是一个以p/q为公比得等比数列。将它用求与公式求与可以得到: F n=q n−1[( p q) n −1] p q−1 = p n−q n p−q 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准得一元二次方程,配方得p2-p+0、25=1、25,(p-0、5)2=1、25,p=±√1、25+0、5。随意取出一组解即可: p=√5+1 2 ,q= 1−√5 2 F n=p n−q n p−q = √5 [( 1+√5 2 ) n −( 1−√5 2 ) n ] 这就就是著名得斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列得一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项得比值趋向于黄金分割比,即: lim n→∞( F n F n−1 )= 1+√5 2 ≈1.6180339887… 根据斐波那契数列通项公式,可以得到
斐波那契数列
以斐波那契数列为背景的试题探究 一、斐波那契数列 斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？ 斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,,其中从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列 {} n a 满足：121,1,a a ==且 121,1,a a ==()213.n n n a a a n --+=≥这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称 为“斐波那契数”. 事实上，斐波那契数列{}n a 的通项公式为11515225n n n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数. 如何在高考试题中考查斐波那契数列呢？ 二、以斐波那契数列为背景命制试题 1.以斐波那契数列的概念为背景命制试题 【例1】意大利数学家斐波那契在1202年出版的一书里提出了这样一个问题：一对兔子被饲养到第二个月进入成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，那么，这样下去到年底，应有多少对兔子？此问题 的程序框图如下，空白处应填写 （ ） A. Q S F S == B. Q S S F == C. S Q F S == D. S F Q S == 【解析】斐波那契数列总有2112,1,1,n n n a a a a a ++=+==根据程序框图分析可知， 正确答案为B . 【例2】设,αβ是方程2 10x x --=的两个根，数列{}n a 中满足()1,2,3,, n n n a n αβαβ -==-.证明： 对任意正整数n ，都有21.n n n a a a ++=+ 【解析】因为,αβ是方程2 10x x --=的2个根，则1,1,αβαβ+==-
斐波那契数列教案
《斐波那契数列》主题探究教学设计方案 一、概述 本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容． 本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识． 二、教学目标分析 1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题． 2．初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识． 三、学习者特征分析 学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系：等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题．部分学生有一定的自主学习能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导． 学生具有一定的计算机运用能力，能够通过网络搜索相关资源，能借助计算机解决相应的问题． 四、教学策略选择与设计 主要采用网络探究，小组协作的方式，在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价． 五、教学资源与工具设计 1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5； 2．网络课件； 3．斐波那契数列计算器； 4．网络型多媒体教室．
六、教学过程 本主题共需1个课时．具体安排如下： （一）问题引入 由学生计算，教师给予相应的指导． 如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 提示：每月底兔子对数是： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……， 50个月后是12586269025 对． 这就是著名的斐波那契数列． 或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？ 设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识． （二）数列知识 1．数列的起源 人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱．数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列（sequence of number）．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关． 在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数．三角形数： 正方形数： 五边形数：
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质 在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。 本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。 1. 裴波纳契数列的由来 斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？ 问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。 仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列{}n F：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。