考点44 几何概型(体积)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
考点40 古典概型的计算(其他模型)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
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对于古典概型，随机事件A 的概率为()A P A
=包含的基本事件的个数基本事件的总数
． 【例】甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从
1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）
A ．
136
B ．
19 C ．536 D ．16 【答案】D
【归纳总结】求古典概型的概率的关键是正确地列出基本事件．基本事件的表示方法有列表法、列举法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．在写出基本事件后，最好检验一下各基本事件发生的概率是否相同．求一个随机事件的概率的关键就是明确它包含几个基本事件．学&科网
1．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，选出的两人中有中国人的概率为（ ）
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．1
【答案】C
【解析】用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．。
考点43 几何概型(面积)-庖丁解题-学年高一数学人教版(必修3)
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．【例】如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【解题技巧】在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性的大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．1．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离1PA<的概率为（）A．14B．12C．π4D．π【答案】C【解析】满足1PA<的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部（如图）．要点阐述典型例题小试牛刀又π4ABD S 扇形，∴．2．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )等于( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P (A )＝π4．3．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率 A ．1－π4B ．π2－1C ．2－π2D ．π4【答案】A【规律总结】与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．常见的命题角度有：与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题； 4．如图所示，在一个边长为的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b ．向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是（ ）A ．710 B ．57C ．512D ．58【解题技巧】利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．5．在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为( )A ．118B ．932C ．2332D ．1718【答案】D【解析】依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x ，y ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4，x ＋y ＞3表示的平面区域的面积为(4－1)2－12×12＝172，因此所求的概率为1729＝1718，选D ． 6．以半径为1的圆内任一点为中心作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为多少？1．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8【答案】B【解析】如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD ＝2－π22＝1－π4．2．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )考题速递A ．14B．12C ．23D ．34【答案】A【解析】 依题意作出图象如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14．3．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm 的圆，中间有边长为0．5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________． 【答案】14π【解析】由题意得，所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫122π＝14π． 4．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12．2 cm ．运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？数学文化。
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件(共12张PPT)
情境2：取一个边长为2a的正方形及 其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆 子，豆子落入圆内的概率？
情境3: 有一杯1升的水，其中有1个微生物，用 一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中 含有这个微生物的概率.
思考： 上述情境是古典概型么？ 构成它们的基本事件是什么以及有什么共同特点？
基本事件：
情境3：1升水中的每 情境1：圆周上的每个点 情境2:正方形内的每个位置 一点
3.3.1几何概型
温故知新
古典概型的两个基本特点:
（1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
古典概型的概率公式:Biblioteka P ( A )事件
A包 含 的 基 本 事 件个 数 基本事件的总数
引入新课
情境1：上图中有两个转 盘,甲乙两人玩转盘游戏： 规定当指针指向B区域时, 甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获 胜的概率是多少?
D
C
A
B
3.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
回顾小结：
古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
几何概型的概率公式.
例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，
30m
宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m 20
的概率．
2m
练习： 1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
2.若将一个质点随机投入如图 所示的长方形ABCD中，其中AB=2， BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率为__________
考点42 几何概型(长度、角度)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
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1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例
，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有无限多个．
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
()A P A =构成事件的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度
． 【例】在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，则PBC △的面积大于4
S 的概率是（ ） A ．14
B ．12
C ．34
D ．23
【答案】C 【解析】如图．要使14PBC ABC S S >△△，只需14
PB AB >．故所求概率为3344AB P AB ==．
【易错易混】因为题目中涉及面积问题，表面看是面积，因为是同底的三角形，问题的本质是长度比问题．。
考点42 几何概型(长度、角度)-庖丁解题-学年高一数学人教版(必修3)
1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式．【例】在面积为S的ABC△的边AB上任取一点P，则PBC△的面积大于4S的概率是（）A．14B．12C．34D．23【易错易混】因为题目中涉及面积问题，表面看是面积，因为是同底的三角形，问题的本质是长度比问题．要点阐述典型例题1．下列概率模型中，是几何概型的有（）①明天北京市区降水的概率；②从区间[]1010-，内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[]1010-，内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P到正方形中心的距离不超过1 cm的概率．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B2．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是() A．13B．12C．310D．510【答案】C【解析】a∈(15,25]，∴P(17<a<20)＝20－1725－15＝310．【规律总结】在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．3．在长为12 cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A．16B．13C．23D．45小试牛刀【答案】C4．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 ． 【答案】23【解析】如图，圆周上使AM 的长度等于1的点M 有两个，设为1M ，2M ，则过A 的圆弧12M AM 长为2，点B 落在优弧12M AM 上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23． 5．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT内的概率为________．【答案】16【解析】根据题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16．【易错易混】当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．6．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率． 【解析】如图所示，把圆弧AB 三等分，则∠AOF ＝∠BOE ＝30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内，∴P (A )＝30°90°＝13．1．在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0．5(4x －3)≥0”发生的概率为( )A ．34B ．23C ．13D ．14【答案】D【解析】由log 0．5(4x －3)≥0，得0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14．2．在区间[11]-，上随机地取一个数x ，2x 的值介于12到1之间的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C3．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．【答案】34【解析】由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得 |5k |k 2＋1＜3，即16k2＜9，解得－34＜k ＜34． 由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34．4．将一根长10 cm 的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，求围成的矩形面积大于62cm 的概率． 【解析】如图，AB 为长10 cm 的铁丝，剪断点为点M ，设AM x =cm (010)x <<，则矩形面积为1022x x-．考题速递投针试验1777年，法国科学家布丰做了一个投针试验，他在一张大纸上画了一些平行线，相邻两条平行线间的距离都相等，再把长度等于相邻两平行线间距离一半的针投到纸上，并记录投针的总次数及针落到纸上后与平行线中的某一条相交的次数，共计投针2212次，其中与平行线相交的有704次，发现它们的商2212 ，与π非常接近．这个试验被认为是本节所学几何概型的第一个试验．那么，投针试验为什么能算出π的近似值呢？数学文化。
人教版数学高一-人教A必修三 3.3帮你解读几何概型
帮你解读几何概型 山东 刘乃东１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的特点（１）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等；注：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的．３．几何概型的计算公式在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式如下：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例１ 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．解析：正方形的面积只由边长AM 确定，此题可以转化为在12cm 长的线段上取一点M ，使AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．记A =｛在AB 上取一点，使AM 的长介于6cm 与9cm 之间｝，则()P A 即为使以AM 为边的正方形面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．在AB 上取点C D ，，使6cm 9cm AC AD ==，，则3cm CD =，31()124P A ==∴． 例2 现向如右图所示的正方形随机地投掷镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解析：由63401x y y --=⎧⎨=-⎩，116A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 又(11)B -，∵，15166AB =-=∴． 同理，由16340x x y =⎧⎨--=⎩，得23y =．213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴．25(1)33BC =--=∴． 1552526336ABC S =⨯⨯=△∴． 而正方形的面积为224⨯=． 故所求的概率为2525364144=． 评注：几何概型为新增内容，预测今后高考考查的主要对象是几何概型的概率公式的应用，题目应以中，低档题为主，题型主要以选择题、解答题形式出现．。
人教版高中数学必修三 3.3.1《几何概型》要点梳理+考点探究
人教版高中数学必修三第三章统计3.3.1《几何概型》要点梳理【学习目标】1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．【要点梳理·夯实知识基础】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．[答案]构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例2．几何概型的两个基本特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．(2)每个基本事件出现的可能性________．[答案](1)无限多(2)相等3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19. ()答案: (1)√(2)√(3)×(4)×2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.12 B.13 C.14D．1答案: B解析: 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为1 3.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()A B C D答案: A解析: ∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．]4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率为________．答案: 1 2解析: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则13×S四边形ABCD×h＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h＝12.若体积小于16，则h＜12.即点M在正方体的下半部分，所以P＝12.5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案: 0.18解析: 由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 【考点探究·突破重点难点】考点一：与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16B.13C.23D.45答案: C解析: 设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.2．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案: 95 解析: 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝95. 3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案: 43 解析: 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝43. [解题方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法,求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).[跟踪练习](1)在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为( ) A.43 B.32 C.31 D.41 答案: A 解析:由-1≤lo ≤1,得lo 2≤lo ≤lo ,所以21≤x+21≤2, 所以0≤x ≤23.由几何概型可知,事件发生的概率为02023--＝43. (2)设p 在区间[0,5]上随机地取值,则关于x 的方程x 2+px+1=0有实数根的概率为( )A .51 B .52 C .53 D .54 答案:C 解析:因为方程x 2+px+1=0有实根,则Δ=p 2-4≥0,解得p ≥2或p ≤-2(舍去),所以由几何概型可知所求的概率为0525--＝53,应选C . (3)已知A 为圆周上一点,在圆周上等可能地取点B ,与A 连接,则弦AB 长不超过半径的概率为( )A.81B. 41 C.31 D.21 答案:C 解析:如图,O 为圆的圆心,∠AOP=∠AOP'=60°,因为当点B 在劣弧上时,AB 长不超过半径, 所以所求概率为00360120＝31. (4)在区间[-2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为65, 则m= .答案:3 解析:由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x 取值范围的区间长度为5,故m 取3,x ∈[-2,3].考点二：与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4答案: B解析: 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8. 故选B.►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】 在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.1 4B.12 C.23 D.34答案: A解析: 依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.[1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．[跟踪练习](1)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－π4 B.π4 C.π－32 D.π2－1(2)在满足不等式组⎩⎨⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0－2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34 C.13 D.23(1)A(2)B[(1)方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.考点三：与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC ＜12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14答案: A解析: 当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.12答案: D解析: 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，VADF -BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.[求解与体积有关的几何概型的注意点,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.[跟踪练习](1)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取点M ,求使四棱锥M-ABCD 的体积小于61的概率. 解:如图是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,设四棱锥M-ABCD 的高为h ,由31×S 正方形ABCD ×h<61, 又S 正方形ABCD =1,∴h<21,即点M 在正方体的下半部分. ∴所求概率为1111111121D C B A ABCD D C B A ABCD V V --正方体正方体＝21.【连线真题·提升备考能力】1．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案: B解析: 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310答案: B解析: 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn答案: C解析: 因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.][处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件。
考点07 直到型循环结构-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
C．③D．②③
【答案】B
【解析】根据循环结构的定义知②为循环体，故选B．
【规律方法】要注意循环条件、变量初值、循环体各语句之间的影响．
（1）注意各个语句顺序不同对结果的影响；
（2）注意各个变量初始值不同对结果的影响；学&科网
（3）要对循环开始和结束的变量及结束时变的值认真检验，以免出现多循环或者漏循环．
3．阅读如图框图，运行相应的程序，则输出i的值为()
A．3B．4
C．5D．6
【答案】B
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()
A．1B．
C． D．
【答案】C
【解析】执行第一次循环后S＝ ，i＝1；执行第二次循环后，S＝ ，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为 ．
5．阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a＞b，输出i＝3．
在循环结构中，计数变量和累加(乘)变量有什么作用？
一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加(乘)变量：计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还可能用于判断循环是否终止；累加(乘)变量用于表示每一步的计算结果．计数变量和累加(乘)变量一般是同步执行的，累加(乘)一次，计数一次．
【答案】-4
【易错易混】在设计具体的程序框图时，循环结构的判断框中的条件可能根据选择模型的不同而不同，也可能由于具体算法的特点而不同，但不同的条件应该有相同的确定的结果．
6．画出求 的程序框图．
1．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是()
A．18B．50
C．78D．306
【答案】C
2．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()
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几何概型的概率公式
()A P A =
体积体积
构成事件的区域试验的全部结果所构成的区域． 【例】已知正方体ABCD -
A 1
B 1
C 1
D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ．
（1）求四棱锥M -ABCD 的体积小于16
的概率； （2）求M 落在三棱柱ABC -A 1B 1C 1内的概率．
【解题方法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
1．在1 000 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率。