量子力学讲义第4章

第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。

为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。

为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。

最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。

4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。

一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。

1、线性：①c b a =+；②a b λ=。

2、完备性：∑=nn n a a 。

3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。

定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。

1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。

二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示（此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号）1、态矢符合线性空间的要求：ϕλψψψψ=+=21。

2、任意态矢可用一组完备的基矢展开：nm m n n nn f f f a δψ==∑,。

∑∑=→====nnn n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ?。

3、态可以求内积：⎰⎰==dx x x dx x x )(,)(ϕϕψψ ~ 以}{x 为基，其中 ϕϕψψx x x x ==)()(。

取ψ的左矢：⎰=dx x x )(*ψψ，有内积⎰⎰⎰⎰='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***ϕψϕψϕψϕψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。

三、 希尔伯特空间的算符算符 ψϕF F =:1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F==。

2、厄米共轭算符：B A A ψψψ=−→−++)(，称 A B A B ==++,，即 ++=A A ψψ)(。

有 +++=A B B A )(（自证）。

若 A A =+ 则厄米算符。

3、矢量的外积：内积b a ~b ~ 是一个线性算符（并矢）。

作用于ac b c →~（右）态矢；作用于a c b c →~（左）态矢。

4、取乘积的厄米共轭规则（反序）：+++++→→→A B B A a a a a )(,,*例：F为厄米算符，试计算?*=bF a解：注意到，对于复数，“*”=“+”，故a Fb a F b b F a b F a +++++=== *，。

~ 这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。

5、投影算符：n n n f f P =n P作用于任意态矢n f →ψ的分量：n n n n n f a f f P ==ψψ 。

6、基矢的完备性（这是非常有用的性质）：ψψψψψn nnnn n n n n nn f f f f f a f a ∑∑∑==→==由单位算符I的定义：ψψI = 知对连续谱，有7、本征值方程：（分立谱）或（连续谱）。

8、可见，力学量算符由它的本征值谱}{n f 和本征矢完全集}{n f 完全确定。

作业：习题4.1、1[原题有误，应为证（13）式和（16）式]，2，4，5。

4.2 态和力学量的表象表示(本节可主要由学生自学，只列出要点)在具体计算时，要取“坐标系” --- 表象。

取力学量Q（也可以代表一个力学量完全集）：以Q 的正交归一本征态完备系为基矢}{n q ，则称为一、 态的表象表示 Q-表象：基{n q ，本征值谱}{n q ，有∑==nn nmn n m I q qq q ,δ我们以分立谱为例讨论（请自学连续谱）。

任意态： ∑∑==nnn n n n q t a t q q t )()()(ψψ，)()(t q t a n n ψ=, )(t ψ在Q-表象中的表示。

（}{n a 表示态与)(t ψ表示态完全等价）矩阵形式： ()...,...,,,......**2*121n n a a a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ψψ。

特别地，m q t =)(ψ 体系处于Q的本征态：mn n a δ=。

请同学们认真研究教材P136-139的各表，归纳态的表示的规律。

二、 算符的表象表示 Q -表象：由 ψϕψϕn nn m m n nn q q F q q I q q F ∑∑=→==,即 ∑=nn mn m a F b ：ψn n q a =为ψ在Q-表象的表示（“投影”），ϕm m qb =为ϕ在Q-表象的表示（“投影”）， n m m n q F q F =为F在Q -表象的表示（“投影”）。

矩阵形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=............................................................,.................................... (21212222111211)21212222111211n nn n n n n n nn n n n n a a a F F F F F F F F F b b b F F F F F F F F F F ，或简写成 ψϕF =。

（注意，教材P141排版有误，见我在教材中的注。

）4.3 量子力学公式的表象表示（我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。

）一、归一化条件： 1)()(=t t ψψQ -表象： 1*====∑∑+ψψψψψψnn nn nn a a q q 。

二、平均值： )()(t F t F ψψ= Q -表象：∑∑+====nm n m n mn n nm m m F a F a q q F q q t F t F ,*,)()(ψψψψψψ 。

三、本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解（重点讲解）k k k f f f F =Q -表象：∑=nk m k k n n m f q f f q q F q，记∑∑∑=⇒==→=nnk mk k n mn n k n nk n n k k n k n a f a F q a f q q f f q a )()()()(， 即有0)()(=-∑nk n mn k mn a f F δ。

写成矩阵形式：0......................................................)()(2)(1212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---k n k k k nn n n nkn k a a a f F F F F f F F F F f F ，这是关于}{)(k n a 的齐次线性方程组，具有非零解的条件是：即0................................................212222111211=---knn n n n kn kf F F F F f F F F F f F 。

求解方法：① 由久期方程→k f ；②代入方程组→}{)(k n a ；③由此得本征矢∑=nn k nk q a f )(。

例：（见教材P149）在（z L L ,2）的共同表象中，x L的矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010******* x L ，求它的本征值和归一化本征矢。

解：矩阵方程为 λψψ=x L设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213213210101010102a a a a a a a a a λψ （1） 令 2λλ='，有010*******=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'-'-a a a λλλ。

其久期方程为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒-='='='='+'-→='-'-'- 32132130********1101λλλλλλλλλλλ ① 将 =1λ代入（1）式可得 12132,a a a a ==，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1211a ψ。

由归一化条件()211412112112121=→=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++a a a ψψ（取实数），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴+12121ψ。

② 将02=λ代入（1）式可得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=202210ψ。

③ 将 -=3λ代入（1）式可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-12121ψ。

四、S-方程)()(t H t ti ψψ=∂∂Q-表象：ψψH t i a a H H H H a a t i t a H t a t i nn mn m =∂∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒=∂∂∑ ~.....................)()(212221121121。

作业：习题4.2、1，8；习题4.3、1，2，3。

4.4 表象变换问题：A-表象←→B 表象一、 表象变换是么正变换A- 表象：n n n n a a a A a ={B-表象：n n n n b b b B b =},{ ①考虑A →B ：?==U a U b n n由 nk k n a a δ=→。

k nk nn k n nn k b b a a b a U ===∑∑δ。

②I U U U U==++ 这是保证本征矢正交归一性的必然要求： Ia a a a ab b a a b a b U U n nnnk k kn n kn kk n n k kk n nn=====∑∑∑∑∑++δ,,)(同理 I b b b a a b a b a b U U n nn kn k k n n k kk n nn ====∑∑∑∑++,)(。