苏教版数列导学案[原创]--1数列的概念.doc
苏教版数学高二必修五导学案2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)8
第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法（第1课时）8 **学习目标**1．理解数列的概念，了解数列的分类；2．理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）；3．能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。
**要点精讲**1．按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
数列：123,,a a a ，…，n a ，…，简记为{}n a 。
2．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
3．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
4．数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,…,}n 为定义域的函数()n a f n =。
如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
如三角形数依次构成的数列的通项公式1(1)2n a n n =+；正方形数依次构成的数列的通项公式2n a n =。
**范例分析**例1．（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。
（2）数列2,5,7,8和数列5,2,7,8是同一数列吗？（3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ ①学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，…，55。
②“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列：1111,,,,24816... ③某人2004年1～12月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500， (1500)④1-的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂……构成的数列：1-，1，1-，1，…。
高中数学 第二章数列 数列复习1导学案 苏教版必修5
必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。
2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则 ；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为 。
6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法：1）定义法： ⇔{}n a 是等差数列。
苏教版高中数学必修5《数列(第2课时)》导学案
数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。
【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。
递推公式是给出数列的一种重要方式。
【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。
【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、能根据数列的前几项写出数列的通项公式。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。
（2）根据数列的前几项写出数列的通项公式。
2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。
（2）理解数列与函数的关系。
三、知识梳理1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
2、数列的分类（1）按项数分类：有穷数列：项数有限的数列。
无穷数列：项数无限的数列。
（2）按项的大小变化分类：递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数列：各项都相等的数列。
摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
3、数列的通项公式如果数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第\（n\）项\（a_{n}＼）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
4、数列与函数的关系数列可以看作是一个定义域为正整数集\（N^｛｝＼）（或它的有限子集\（＼｛1,2,3,＼cdots,n\｝＼））的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。
四、典型例题例 1：判断下列数列是有穷数列还是无穷数列。
（1）＼（1, 2, 3, 4, 5\）（2）＼（1, 2, 4, 8, 16, ＼cdots\）解：（1）因为数列\（1, 2, 3, 4, 5\）只有 5 项，所以是有穷数列。
（2）因为数列\（1, 2, 4, 8, 16, ＼cdots\）的项数是无限的，所以是无穷数列。
导学案-数列的概念
课时 ：数列的概念班级________ 姓名_____________ 一、考纲要求1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数.2、理解数列的通项公式的意义. 三、教学重点、难点1、教学重点：数列概念与表示.2、教学难点：求数列通项. 四、知识梳理1、数列的概念：按照 排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的 .2、数列分类：按照数列的项数可分为两类 ；按照数列的项的大小可分为3、数列通项公式：如果数列{}n a 的 与 之间关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式来描述也可通过 来表示.4、数列的递推公式；如果已知数列{}n a 的首项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 五、自主练习1、在数列1，1，2，3，5，8，x ,21,34,55中，x =______.2、数列1-、85、157-、249、 的一个通项公式是 3、已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++= ，*n N ∈则数列的通项公式为4、在数列{}n a 中，542n a n =-，2*12,n a a a an bn n N +++=+∈ ，其中a ，b 为常数则ab =5、已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a =6、已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为六、合作、探究、展示例1．根据下面数列的首项和递推关系，求其通项公式.(1) 232n S n n =+ (2) 3n n S b =+ (3) 11a =，11,(2)n n n a a n n --=≥ (4) 11a =,11nn na a na +=+例2. 已知在正项数列{}n a 中，n S 表示前n项和且1n a =+，求 n a例3.定义123,,,,n x x x x 的 “倒平均数”为*123(),,,,nnn N x x x x ∈ ，已知数列{}n a 的前n 项“倒平均数”为124n +.（1）记*()1nn a c n N n =∈+，是比较n c 与1n c +大小. （2）是否存在实数λ，使得当x λ≤时，2()401na f x x x n =-+-≤+对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由.七、当堂检测1、已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .2、已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k = .3、若数列{}n a 的通项公式21(1)n a n =+，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--- ，试通过计算(1)f , (2)f , (3)f 的值，推测出()f n = (用含n 的代数式表示）.4、数列{}n a 中，11a =,时，21213n a a a a a n = 则1n a +=_________.5、已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n pn =+,数列{}n b 的前n 项和为232n T n n =- (1)若1010a b =,求p 的值；（2）取数列{}n b 的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式.6、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，点111(,)n nS S -在()2f x x =+的图象上，且112S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2(1)n n b n a =-,求21()(5)n n b f n n b ++=+ 的最大值及相应的n 值。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及其简单表示法教案理解析版
１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n叫做数列的前n项和２．数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n＋１＝f（a n）或a１，a２和a n＋１＝f（a n，a n—１）等表示数列的方法３．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类[小题体验]１．数列—１，错误!，—错误!，错误!，…的一个通项公式是________．解析：—１＝—错误!，数列１,４,9,１6，…对应通项n２，数列１,３,５,7，…对应通项２n—１，数列—１,１，—１,１，…对应通项（—１）n，故a n＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!２．已知数列错误!满足a n＝４a n—１＋３，且a１＝0，则a５＝________.解析：a２＝４a１＋３＝３，a３＝４a２＋３＝１５，a４＝４a３＋３＝6３，a５＝４a４＋３＝２５５．答案：２５５３．数列{a n}的通项公式为a n＝—n２＋9n，则该数列第________项最大．答案：４或５４．若数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，则错误!＝________.解析：∵数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，∴a１＋a２＋a３＝S３＝３２＋３×３＝１8，∵a４＋a５＋a6＝S6—S３＝３6，∴错误!＝２．答案：２１．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．２．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a１，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n—S n—１的形式，但它只适用于n≥２的情形．[小题纠偏]１．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n—３，则数列{a n}的通项公式是________________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n—３）—（２n—１—３）＝２n—２n—１＝２n—１.又a１＝—１不适合上式，故a n＝错误!答案：a n＝错误!２．若数列错误!的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则错误!的通项公式a n＝________.解析：由S n＝错误!a n＋错误!得，当n≥２时，S n—１＝错误!a n—１＋错误!，两式相减，得a n＝错误!a n—错误!a n—１，∴当n≥２时，a n＝—２a n—１，即错误!＝—２．又n＝１时，S１＝a１＝错误!a１＋错误!，a１＝１，∴数列{a n}是以１为首项，—２为公比的等比数列，∴a n＝（—２）n—１.答案：（—２）n—１错误!错误![题组练透]１．若a n＝n２＋λn＋３（其中λ为实常数），n∈N*，且数列错误!为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：（函数观点）因为错误!为单调递增数列，所以a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＋３＞n２＋λn＋３，化简为λ＞—２n—１对一切n∈N*都成立，所以λ＞—３．故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．法二：（数形结合法）因为错误!为单调递增数列，所以a１＜a２，要保证a１＜a２成立，二次函数f（x）＝x２＋λx＋３的对称轴x＝—错误!应位于１和２中点的左侧，即—错误!＜错误!，亦即λ＞—３，故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．答案：（—３，＋∞）２．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n＋１）0．9n，求n为何值时，a n取得最大值．解：因为a１＝２×0．9＝１．8，a２＝３×0．8１＝２．４３，所以a１＜a２，所以a１不是数列{a n}中的最大项．设第n项a n的值最大，则错误!即错误!解得错误!所以当n为8或9时，a n取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的２种方法（１）单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．（２）不等式组法：若满足错误!则a n为数列{a n}中的最大项；若满足错误!则a n为数列{a n}中的最小项．错误!错误![典例引领]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式．（１）S n＝２n２—３n；（２）S n＝３n＋b.解：（１）a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n２—３n）—[２（n—１）２—３（n—１）]＝４n—５，由于a１也适合此等式，所以a n＝４n—５．（２）a１＝S１＝３＋b，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋b）—（３n—１＋b）＝２·３n—１.当b＝—１时，a１适合此等式．当b≠—１时，a１不适合此等式．所以当b＝—１时，a n＝２·３n—１；当b≠—１时，a n＝错误![由题悟法]已知S n求a n的３个步骤（１）先利用a１＝S１求出a１；（２）用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式；（３）对n＝１时的结果进行检验，看是否符合n≥２时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝１与n≥２两段来写．[即时应用]已知数列{a n}的前n项和为S n.（１）若S n＝（—１）n＋１·n，求a５＋a6及a n；（２）若S n＝３n＋２n＋１，求a n.解：（１）a５＋a6＝S6—S４＝（—6）—（—４）＝—２，当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（—１）n＋１·n—（—１）n·（n—１）＝（—１）n＋１·[n＋（n—１）]＝（—１）n＋１·（２n—１），又a１也适合此式，所以a n＝（—１）n＋１·（２n—１）．（２）因为当n＝１时，a１＝S１＝6；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋２n＋１）—[３n—１＋２（n—１）＋１]＝２·３n—１＋２，由于a１不适合此式，所以a n＝错误!错误!错误![锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：（１）形如a n＋１＝a n f（n），求a n；（２）形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n；（３）形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n.[题点全练]角度一：形如a n＋１＝a n f（n），求a n１．已知a１＝２，a n＋１＝２n a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：∵a n＋１＝２n a n，∴错误!＝２n，当n≥２时，a n＝错误!·错误!·…·错误!·a１＝２n—１·２n—２·…·２·２＝２错误!.又a１＝１也符合上式，∴a n＝２错误!.答案：２错误!角度二：形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n２．已知a１＝１，a n＝a n—１＋错误!（n≥２，n∈N*），求数列{a n}的通项公式．解：由a n＝a n—１＋错误!（n≥２），得a n—a n—１＝错误!—错误!（n≥２）．则a２—a１＝１—错误!，a３—a２＝错误!—错误!，…，a n—a n—１＝错误!—错误!.将上述n—１个式子累加，得a n＝２—错误!.当n ＝１时，a１＝１也满足，故a n＝２—错误!（n∈N*）．角度三：形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n３．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝３a n＋２，求数列{a n}的通项公式．解：因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以a n＝２·３n—１—１（n∈N*）．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．（１）满足a１＝１，a n＝３n—１＋a n—１（n≥２）；（２）满足a１＝１，a n＝错误!·a n—１（n≥２）．解：（１）由a１＝１，a n—a n—１＝３n—１（n≥２），得a１＝１，a２—a１＝３，a３—a２＝３２，…，a n—１—a n—２＝３n—２，a n—a n—１＝３n—１，以上等式两边分别相加得a n＝１＋３＋３２＋…＋３n—１＝错误!.当n＝１时，a１＝１也适合，∴a n＝错误!.（２）a n＝错误!·a n—１（n≥２），a n—１＝错误!·a n—２，…，a２＝错误!a１.以上（n—１）个式子相乘得a n＝a１·错误!·错误!·…·错误!＝错误!＝错误!.当n＝１时也满足此等式，∴a n＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·南通期末）已知数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则数列错误!的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则a１＝（—１）１＋１×错误!＝１，a２＝（—１）２＋１×错误!＝—错误!，a３＝（—１）３＋１×错误!＝错误!，a４＝（—１）４＋１·错误!＝—错误!，以此类推可得：a n＝（—１）n＋１·错误!.答案：a n＝（—１）n＋１·错误!２．（２0１8·盐城二模）已知数列错误!的前n项和为S n，a１＝１，a n＋１＝２S n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝________________.解析：当n≥２时，a n＝２S n—１，∴a n＋１—a n＝２S n—２S n—１＝２a n，即a n＋１＝３a n，∵a２＝２a１＝２，∴a n＝２·３n—２，n≥２．当n＝１时，a１＝１，∴数列错误!的通项公式为a n＝错误!答案：a n＝错误!３．（２0１8·苏州期中）已知数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，数列错误!的通项公式为b n＝n２，若将数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，则c6的值为________．解析：∵数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，∴数列中数据符合平方的数有：１6,３6,8１,１２１,１96,２５6．∵数列错误!的通项公式为b n＝n２，当n＝４,6,9,１１,１４,１6时符合上面各个数．∴数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，c6的值为２５6．答案：２５6４．（２0１9·南通第一中学测试）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*，满足a p＋q＝a p＋a q且a２＝6，则a１0＝________.解析：a４＝a２＋a２＝１２，a6＝a４＋a２＝１8，a１0＝a6＋a４＝３0．答案：３0５．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），且S２＝３，则a１＋a３的值为________．解析：因为S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），令n＝２，得S２＋S１＝３，由S２＝３得a１＝S１＝0，令n＝３，得S３＋S２＝５，所以S３＝２，则a３＝S３—S２＝—１，所以a１＋a３＝0＋（—１）＝—１．答案：—１6．（２0１8·无锡期末）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足b n＝a n＋１—a n（n∈N*），且b n＋１—b n＝１（n∈N*），a３＝１，a４＝—１，则a１＝________.解析：因为b３＝a４—a３＝—１—１＝—２，所以b２＝a３—a２＝b３—１＝—３，所以b１＝a２—a＝b２—１＝—４，三式相加可得a４—a１＝—9，所以a１＝a４＋9＝8．１答案：8二保高考，全练题型做到高考达标１．数列{a n}满足a n＋a n＋１＝错误!（n∈N*），a２＝２，则通项公式a n＝________.解析：因为a n＋a n＋１＝错误!，a２＝２，所以a１＝—错误!，a３＝—错误!，a４＝２，所以a n＝错误!答案：错误!２．（２0１8·启东中学调研）已知数列{a n}满足a１＝２，a n＋１＝错误!（n∈N*），则连乘积a１a２a３…a ２0１7a２0１8＝________.解析：因为a１＝２，a n＋１＝错误!，所以a２＝—３，a３＝—错误!，a４＝错误!，a５＝２，所以数列{a n}的周期为４，且a１a２a３a４＝１，所以a１a２a３…a２0１7a２0１8＝a２0１7·a２0１8＝a１·a２＝—6．答案：—6３．（２0１9·苏州模拟）在数列错误!中，若a４＝１，a１２＝５，且任意连续三项的和都是１５，则a＝________.２0１8解析：∵任意连续三项的和都是１５，∴a n＋a n＋１＋a n＋２＝１５，同时a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝１５，则a n＋a n＋１＋a n＋２＝a n＋１＋a n＋２＋a n＋３，即a n＋３＝a n，即数列是周期为３的周期数列，则由a４＝１，a１２＝５，得a４＝a１＝１，a１２＝a9＝a6＝a３＝５，则由a１＋a２＋a３＝１５，得a２＝9，∴a２0１8＝a67２×３＋２＝a２＝9．答案：9４．（２0１8·常州期中）已知数列错误!的通项公式a n＝错误!，则错误!中的最大项的值是________．解析：a n＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当n＝6时取等号，则错误!中的最大项的值为错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}的通项公式为a n＝（—１）n·２n＋１，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第１0行第３个数为________．a１a２a３a４a５a6……解析：由题意可得该数阵中的第１0行第３个数为数列{a n}的第１＋２＋３＋…＋9＋３＝错误!＋３＝４8项，而a４8＝（—１）４8×96＋１＝97，故该数阵中的第１0行第３个数为97．答案：976．（２0１8·常州第一中学检测）已知{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以a n＝n２—n＋３３，n∈N*，所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝n＋错误!—１，则f（n）在[１,５]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（５）＝错误!，f（6）＝错误!，则f（５）＞f（6），故f（n）＝错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则a n＝________.解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．数列{a n}定义如下：a１＝１，当n≥２时，a n＝错误!若a n＝错误!，则n＝________.解析：因为a１＝１，所以a２＝１＋a１＝２，a３＝错误!＝错误!，a４＝１＋a２＝３，a５＝错误!＝错误!，a6＝１＋a３＝错误!，a7＝错误!＝错误!，a8＝１＋a４＝４，a9＝错误!＝错误!，所以n＝9．答案：99．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（１）求a１，a２，a３，a４的值；（２）求数列{a n}的通项公式．解：（１）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*），可得a１＝错误!a错误!＋错误!a１，解得a１＝１；S２＝a１＋a２＝错误!a错误!＋错误!a２，解得a２＝２；同理，a３＝３，a４＝４．（２）S n＝错误!a错误!＋错误!a n，１当n≥２时，S n—１＝错误!a错误!＋错误!a n—１，２１—２得（a n—a n—１—１）（a n＋a n—１）＝0．由于a n＋a n—１≠0，所以a n—a n—１＝１，又由（１）知a１＝１，故数列{a n}是首项为１，公差为１的等差数列，故a n＝n.１0．已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S４＝２S２＋４，在数列{b n}中，b n＝错误!.（１）求公差d的值；（２）若a１＝—错误!，求数列{b n}中的最大项和最小项的值；（３）若对任意的n∈N*，都有b n≤b8成立，求a１的取值范围．解：（１）因为S４＝２S２＋４，所以４a１＋错误!d＝２（２a１＋d）＋４，解得d＝１．（２）因为a１＝—错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝—错误!＋（n—１）×１＝n—错误!，所以b n＝错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.因为函数f（x）＝１＋错误!在错误!和错误!上分别是单调减函数，所以b３＜b２＜b１＜１，当n≥４时，１＜b n≤b４，所以数列{b n}中的最大项是b４＝３，最小项是b３＝—１．（３）由b n＝１＋错误!，得b n＝１＋错误!.又函数f（x）＝１＋错误!在（—∞，１—a１）和（１—a１，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜１—a１时，y＜１；当x＞１—a１时，y＞１．因为对任意的n∈N*，都有b n≤b8，所以7＜１—a１＜8，所以—7＜a１＜—6，所以a１的取值范围是（—7，—6）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝________.解析：本题的意思是一个数用３除余２，用7除也余２，所以用３与7的最小公倍数２１除也余２，而用２１除余２的数我们首先就会想到２３，而２３恰好被５除余３，即最小的一个数为２３，同时这个数相差又是３,５,7的最小公倍数，即３×５×7＝１0５，所以该数列的通项公式可以表示为a n＝１0５n＋２３．答案：１0５n＋２３２．数列{a n}的通项公式为a n＝n＋错误!，若对任意的n∈N*都有a n≥a５，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式a n≥a５恒成立，所以错误!即错误!解得２0≤b≤３0，经验证，数列在（１,４）上递减，在（５，＋∞）上递增，或在（１,５）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[２0,３0]．答案：[２0,３0]３．已知二次函数f（x）＝x２—ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n ＝f（n）（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设c n＝１—错误!（n∈N*），定义所有满足c m·c m＋１＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．解：（１）依题意，Δ＝a２—４a＝0，所以a＝0或a＝４．又由a＞0得a＝４，所以f（x）＝x２—４x＋４．所以S n＝n２—４n＋４．当n＝１时，a１＝S１＝１—４＋４＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n—５．所以a n＝错误!（２）由题意得c n＝错误!由c n＝１—错误!可知，当n≥５时，恒有c n＞0．又c１＝—３，c２＝５，c３＝—３，c４＝—错误!，c５＝错误!，c6＝错误!，即c１·c２＜0，c２·c３＜0，c４·c５＜0，所以数列{c n}的变号数为３．。
数列的定义导学案
班级姓名乌审旗职业中学课堂教学改革导学案
6.1.1 数列的定义
年级：备课教师：备课时间： 4.20 使用时间： .
【学习目标】
1. 理解数列的有关概念．
2. 了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力．
3. 使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣．
【学习重点】
数列的概念．
【学习难点】
理解数列的有关概念．
【学习方法】
自主学习、合作学习
【学习环节设计】
创设情境——引入概念，观察归纳——形成概念，讨论研究——深化概念，即时训练——巩固新知等环节
【学习过程】（课前学生阅读本章前内容）
一、引入：提出问题，引入新课
我国有用十二生肖纪年的习俗，每年都用一种动物来命名，12年轮回一次．2009年（农历乙丑年）是21世纪的第一个牛年，请列出21世纪所有牛年的年份．（学生分组讨论，找出问题的答案．）二、新知学习
学生自学课本3页至4页并小组讨论完全掌握后完成下列问题：1、数列的有关概念
数列：
数列的项：
请举出一些数列的例子，并说出这些数列的项。
2数列的分类
有穷数列：
无穷数列：
指出上面所举例子是有穷数列还是无穷数列。
三、当堂检测
1、课本第4页练习
2、练习册
四、课堂小结
数列、数列的项、数列的分类
五、作业：练习册
六、学后记：
下节课学习内容提示：6.1.2 数列的通项。
苏教版必修5第二学生版教案第1课时数列的概念及其通项公式
学习札记第2章 数列【知识结构】重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法；难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。
第1课 数列的概念及其通项公式2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4．提高观察、抽象的能力．【自学评价】1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.思考:简述数列与数集的区别.__________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….3．数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n ；⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________.【精典范例】学习札记【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项． 【解】【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：(1);(2)(1)1n n n na a n n ==-⋅+. 【解】【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯；（2）0, 2, 0, 2 分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =【解】点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.【追踪训练一】1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ ） A. (1)n n a =- B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D. {11n n a n =-，为奇数，为偶数2．数列252211L ，，，，的一个通项公式是 （ ）A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+3．数列1524354863,,,,,,25101726L 的一个通项公式为___________________.【选修延伸】【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项. 【解】思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？ 提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项． 【追踪训练二】1．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项.A. 9B. 10C. 11D. 12 2．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n L学习札记3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且， 则17a = .。
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2. 1数列第1课时
编制人：韩权审核人：蔡墩传
班级姓名第小组
【学习目标】1.弄清数列的项，首项，第几项，有穷数列和无穷数列的概念。
2知道通项公式是％与n之间关系式，会根据通项公式写出数列的前几项和第几
项。
会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。
3知道数列是一种特殊的函数，会用通项公式法，图像法和列表法表示数列
【重点难点】重点是：数列通项公式的概念和数列通项公式的应用。
难点是：用函数的观点认识数列，以及由前几项归纳出数列的通项公式
【学法指导】1通过类比函数的表示方法，掌握数列的几种表示方法：通项公式法, 图像法，和列表法
2正确理解通项公式才是解数列问题的关键所在。
【复习预习】阅读课本P29至P30页例题1上方内容
填空：(1)称为数列
叫数列的项，依次称为 ____________________________
.叫有穷数列叫无穷数列
(2)数列的一般形式可以写成简记为:
(3)数列可以看成一种特殊的函数，其定义域是___________________ 值域是
(4)叫数列的通项公式
问题1：一个数列中，各项能否是一个相同的数？举例说明。
【问题探究】
例1已知数列的第〃项a*为写出这个数列的首项、第2项和第3项.
分析：因为第n项a.随着n变化(n=12345...)能代表各项，只要代入对应的序号(即项数)即可
解：
例2已知数列｛%｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象:
分析：数列是一种特殊的函数，类比函数，其表示形式也多样，可以用通项公式, 也可以用列表法和图像法
解：
(1) (3
) (2) -1, /八1 4 (4)-, 一 1, -1, 1, -1； 9 16 » ， ，・・(5) 问题
2：数列的图像都是什么样的？它与一般函数的图像比较有什么特殊地方？是 什么原因引起
的？ 例3写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1, 3, 7 , 15, 31； 1 _1 J _1 话’一京’总’ 0, 2, 0, 2.
分析：用观察法：观察各项的特点，弄清各项数值与序号的关系，从而寻找出第n 项a “与序号n
的关系式就是通项公式
解：
问题3：在数列中遇到正负交替排列的现象-•般用什么来调节？给出数列前几项写 通项公式，答案唯一的吗？ 例4已知数列的通项公式为：a… =n~ -9/7 + 20 (1)试问2是不是数列中的项？
(2) 该数列中是否有最大项？若有，求出来。
分析：通项公式给出后数列就确定了。
第二问中％是n 的二次函数，可以从图像上
是去研究。
解：
问题4：数列问题中涉及到一些最值问题和增减问题以及周期循环问题，经常利用函数思想去解决，但是一定要注意变量n与x有什么区别？如果忽视了这一点就会得到错误答案。
【当堂检测】课本P31页练习：第2、3、4、5题
【作业布置】
课本P32页习题2. 1中：第2、5、6题
【总结反思】
2. 1数列第2课时
编制人：韩权审核人：蔡墩传
班级姓名第—小组
【学习目标】1知道递推公式是确定数列的一种方法，明确递推公式与通项公式的的异同，能由递推公式写出数列的前几项。
2能根据数列的前n项的和S n,确定数列的通项公式。
3知道什么样的数列是增数列和减数列。
【重点难点】重点是；由数列的前n项的和邕，求出数列的通项公式；能由递推公
式写出数列的前几项。
难点是：如何归纳出相邻两项(或几项)的递推公式。
【学法指导】1由，求％时，要注意对正整数n分n=l和〃22讨论
2归纳相邻两项a n,a n_｛间递推公式时，可以先从前几项多作分析。
［复习预习］］叫数列
___________________________________________ 叫数列的通项公式
2数列的表示方法有____________________________________________
3为什么说数列也是一种函数？它与一般性的函数y=f (x)有哪些区别？
【问题探究】先记住三个定义：
定义一：如果数列｛%｝的任意一项％与前面一项(或前几项)之间的关系可用
一个公式来表示，则这个公式叫做｛a」的递推公式。
定义二：数列｛a」中，a｛ +a2+a3+ ••• + «…称为数列的前n项和，记为
定义三：如果数列的后项总是大于前项即有a n+1>a n,则数列叫增数列；若数列的
后项总是小于前项即有a n+1<a n,则数列叫减数列。
探究1 ：(1)观察数列：L 2, 4, 7, 11…你发现了什么递推规律？按此规律11 后一个数是什么？这个规律可以总结成一个什么式子？
(2)观察数列：3, 5, 8, 13, 21…你发现了什么递推规律？按此规律21 后一个数是什么？这个规律可以总结成一个什么式子？
探究2：把下面所给数列具体写出来，看看是增数列还是减数列？
(1)k｝： %=(?)"
(2)=。
〃一1 + 2,%= 1
例1：已知数列｛%｝前n项和为Sq求数列的通项公式。
(1) S n =2n--3n (2) S n = 3n +1
分析：根据S “的定义，应该有：-S,,., =«…(»> 2)可以由此求通项公式
问题1：与a“是数列中的两个非常重要的量，两者间有密切关系。
请你总结出由求通项a “的公式：a…=,记住：这是数列问题中使用率非常高的公式(注意：千万别丢第一项) 例2： (1)若数列｛a」中，。
］=1, a2=4,且各项满足a n+2 = a n+l +2a n,试写出数列的前5项
(2)若数列｛a」中，％=2, a n+l=2a n写出前5项并猜测出通项公式
分析：两题中给的都是连续项之间的递推公式，又都给出了初始项的值，顺序向后推即可解决问题
例3：平面内有n(n>3)条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点，设其交点个数记为a“，(1)求％山04(2)写出a,—从a“到的递推关系式(3) 对于符合条件的10条直线，其交点个数是多少？
分析：求出a2,a3,a4之后，先认真分析每相邻两项之间的关系，便可以归纳出a#与之间的递推关系式
问题2 (1)如果要你写出。
,由与之间递推关系关系式，应该是
(2)你能说出通项公式与递推公式各反映的是什么之间关系吗，说说看【当堂检测】1已知数列｛%｝满足a,,a,i=a,,T+(-l)”(〃Z2)且闩=1则全=
a3
2若数列｛a“｝的前n项的和S n = lg(〃 +1)，则a5 =
3 数列｛a“｝满足a”〕= a n +n且= 186 则a t =
4数列｛a」中，若前n项的和，=2疽+〃+ 1则通项公式a广
5已知数列｛a"｝中，句=3,但尚且a”2 = a”〕-a n那么a 202 =
【作业布置】1若数列｛a"｝中，t/j =a>0, a”]=f(a“)，其中f (x) = 3工，求出前5
l + 2x
项的值，并猜测出通项公式
2若数列｛a」的前n项的和邕满足：〃 +l = lg(S〃 +1),求通项公式
3若数列｛%｝的前n项的和满足：S n =2n-a n,求出数列前4项, 并猜测出通项公式
【小结反思】。