第1课 数列的概念及其通项公式(教、学案)

第2章 数列
【知识结构】
重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法；
难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；
等差等比数列的应用和性质。

第1课 数列的概念及其通项公式
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列
的前几项写出它的一个通项公式； 4．提高观察、抽象的能力．
【自学评价】
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做叫做数列(sequence of number).
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序
不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
思考:简述数列与数集的区别.
数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的.
2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：
按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）；
4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 之间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通
项公式可以是
2
)1(11
+-+=n n a ，
也可以是|2
1
cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项
5. 数列的图像都是一群孤立的点.
从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：列举法，通项公式法和图象法
【精典范例】
【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项． 【解】
首项为ａ１＝２×１－１＝１； 第２项为ａ２＝２×２－１＝３；
第３项为ａ３＝２×３－１＝５
【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
(1);(2)(1)1
n n n n
a a n n =
=-⋅+ 【解】（1）1,2,3,4,5.n =
1234512345
;;;;;
23456
a a a a a ===== (2) 121
1,2,3,4,5.;2;2
n a a ===
3453;4;5;a a a =-==- 【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）
211⨯，-321⨯， 431⨯，-5
41⨯.
（2）0, 2, 0, 2
分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =
【解】(1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是： 1
1
(1)
(1)
n n a n n +=-+
(2) 这个数列的奇数项为0，偶数项为2，所以它的一个通项公式是：1(1)n
n a =+- 点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;
(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.
【追踪训练一】
1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ A ） A. (1)n
n a =- B. 1(1)n n a +=- C. 1(1)n n a -=- D. {11n n a n =
-，为奇数
，为偶数
2，的一个通项公式是 （ B ）
A. n a =
B. n a =
C. n a =
D.
n a =3．数列
1524354863,,,,,,25101726
的一个通项公式为
1
)
4)(2(2
+++n n n . 【选修延伸】
【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.
(1)求数列{a n } (2)88是否是数列{a n }中的项
. 【解】 (1)设a n =An +B ,由a 1=2,a 17=66 得⎩⎨
⎧-==⎩⎨
⎧=+=+2
4
,66172B A B A B A 解得 ∴a n =4n －2
(2)令a n =88,即4n －2=88得n =
2
45
∉N * ∴88不是数列{a n }中的项.
思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？ 提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项．
【追踪训练二】
1．已知数列{}n a ，1
()(2)
n a n N n n +=
∈+，那么1120是这个数列的第 （ B ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）
A. 非负整数集
B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n
3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = 29 .。