二次函数的应用——面积最大问题
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
5.5二次函数应用(2)面积最大问题
当垂直于墙的边长为7.5米时，花圃
的面积最大为112.5平方米。
∴x=7.5时，S最大=112.5 ∵ 6≤x＜15
（3） -2x2+30x=88
解得：x1=4
∵6≤X ≤15
,x2=11
15
∴当 6≤X ≤11时，
花圃园的面积不小于88平方米
变式:
学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙， 另三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为12 米，垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花 圃的面积最大，并求这个最大值；
解：（1）s=x(24-4x) =-4x +24x
∵0＜24-4x≤8 ∴4≤ x ＜ 6
2
（2）y=-4x +24x =-4(x-3) 36
2
2
∵ 当 x ≥3时，y随x的增大而减小 又 4≤ x ＜ 6
∴当X=4时，面积最大为32平方米
二次函数的应用（2）
——面积最大问题
尝试练习 如图，一边靠校园院墙（足够长），另外三边用50m长 的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm. （1）写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式； （2）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？
(1)解：y x(50 2 x) 2 x 30 2 x 18
6 x 15
(1) y=30-2x (6 x<15) 解： （2）设花圃的面积为S：
则S=x(30-2x)=-2x2+30x
. 2 2 =-2(x -15x)=-2(x -2 . x 7.5+7.52-7.52)
=-2[(x-7.5)2-56.25]=-2(x-7.5)2+112.5
2
3.11二次函数的应用 最大面积1
二次函数的应用（最大面积1）学习目标：能够运用二次函数的知识解决最大面积问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
交流预习：如图在Rt △ABC 中，AC=4, BC=3, DE ∥AB,分别与AC 、BC 相交于D 、E, CH ⊥AB 于点H,交DE 于点F 、G 为AB 上任意一点，设CF=x ，△DEG 的面积为y ，限定DE 在△ABC 的内部平行移动.⑴求x 的取值范围.⑵求函数y 与自变量x 的函数关系式.⑶当DE 取何值时，△DEG 的面积最大？求出最大值.典型例题 如图,在Rt △ABC 的内部做一个内接矩形DEFG ，AC=30m ，AB=40m ，设矩形DEFG 的面积为y ㎡,当EF 取何值时，y 的值最大？最大值为多少？巩固练习：1. 如图：在△ABC 中，BC=4，AB=3 2，∠B=45°，M 、N 分别为AB ，AC 边上的点，且MN ∥ BC ，设MN 为x ，△MNC 的面积为y 。
（1）试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范；（2）试问MN 处在什么位置时，△MNC 的面积最大？并求出最大值；（3）当△MNC 的面积为98时，试问MN 的值。
2、要在底边BC=160, 高AD=120的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH, 使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，设矩形EFGH的长HG=x,宽HE=y，（1）试确定y与x之间的函数表达式.（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?拓展延伸、如图在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA从点B开始向点A以2cm/秒的速度移动；点Q沿CB边从点C开始向点B以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动时间（0≤t≤6）那么（1）当t=2秒时，请你猜想下△QPB是个什么特殊三角形，并证明你的结论；（2）求：四边形PBQD的面积s与时间t的关系式。
二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练
二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数面积最大值问题是一个经典的数学优化问题，旨在寻找一个二次函数的最大面积。
为了理解这个问题，我们首先需要明确什么是二次函数。
二次函数是一种具有形如y=ax^2+bx+c的函数形式的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
在二次函数面积最大值问题中，我们希望找到一个二次函数的最大面积，该函数关于x轴对称。
这意味着，我们需要在二次函数的图像上找到一个顶点，使得顶点对应的面积最大。
要解决这个问题，我们可以利用一些基本的数学知识和技巧。
首先，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值对应于顶点；当抛物线开口朝下时，函数的最大值对应于顶点。
为了找到二次函数的顶点，我们可以使用一些数学方法。
一种简单的方法是求出二次函数的导数，并令其等于零。
这将给我们一个方程，从中我们可以解出顶点的x坐标。
将这个x坐标代入原函数，我们可以找到顶点的y坐标。
一旦我们找到了顶点坐标，我们可以计算出顶点对应的面积。
这可以通过将顶点下方的曲线与x轴之间的曲边梯形与顶点上方的曲线与x轴之间的曲边梯形的面积相加来实现。
通过这种方法，我们可以找到二次函数的最大面积。
需要注意的是，由于二次函数的图像可能对称于y轴，因此可能存在多个顶点。
因此，在求解问题时，我们需要将所有的顶点都考虑在内，并计算出对应的面积。
最后，我们选取最大的面积作为答案。
总之，二次函数面积最大值问题是一个寻找二次函数的最大面积的数学优化问题。
通过寻找二次函数的顶点，并计算出对应的面积，我们可以解决这个问题。
这是一个有趣且实用的数学问题，可以帮助我们理解和运用二次函数的概念。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
二次函数实际应用之利润最大值、面积最值问题
合用标准文案二次函数的实质应用——最大利润问题、面积最大 ( 小) 值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式 y ax 2bx c ( a0 )化成极点式 ya( x b ) 24ac b 2 ，若是自变量的2a 4a取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕 ．即当 a0 时，函数有最小值，并且当 xb ， y 最小值 4ac b 2 ；2a4a当 a0 时，函数有最大值，并且当x b， y 最大值 4ac b 2 ．2a4a若是自变量的取值范围是x 1xx 2 ，若是极点在自变量的取值范围x 1 x x 2 内，那么当xb， y 最值4ac b 2 ，若是极点不在此范围内，那么需考虑函数在自变量的取值范围内的增减2a4a ax 22性；若是在此范围内 y 随 x 的增大而增大，那么当 x x 2 时， y 最大 bx 2 c ，当 x x 1 时， y最小ax 12bx 1 c ；若是在此范围内y 随 x 的增大而减小，那么当 x x 1 时， y 最大ax 12 bx 1 c ，当 xx 2 时，y最小ax 22bx 2 c ．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他本钱。
总利润 =总售价 -总进价 - 其他本钱 =单位商品利润 ×总销售量－其他本钱单位商品利润 =商品定价－商品进价总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量[ 例 1]：某电子厂商投产一种新式电子厂品， 每件制造本钱为 18 元，试销过程中发现， 每个月销售量 y 〔万件〕与销售单价 x 〔元〕之间的关系能够近似地看作一次函数 y= ﹣ 2x+100 ．〔利润 = 售价﹣制造本钱〕（ 1 〕写出每个月的利润 z 〔万元〕与销售单价 x 〔元〕之间的函数关系式；（ 2 〕当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取 3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取最大利润？最大利润是多少？〔 3 〕依照相关部门规定， 这种电子产品的销售单价不能够高于 32 元，若是厂商要获取每个月不低于 350 万 元的利润，那么制造出这种产品每个月的最低制造本钱需要多少万元？ 解：〔 1 〕 z= 〔 x -18 〕 y= 〔x -18 〕〔 -2x+100 〕 = -2x 2+136x-1800 ，∴ z 与 x 之间的函数解析式为 z= -2x 2 +136x-1800；〔 2 〕由 z=350 ，得 350= -2x 2+136x -1800 ，解这个方程得 x 1=25 ，x 2 =43因此，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z =-2x 2 +136x-1800配方，得 z=-2 〔 x-34 〕 2+512 ，因此，当销售单价为 34 元时，每个月能获取最大利润，最大利润是 512 万元；（3 〕结合〔 2 〕及函数 z=-2x 2+136x ﹣ 1800 的图象〔以以下列图〕可知，当25≤x ≤43时 z ≥350 ，优秀文档又由限价 32 元，得 25 ≤x ≤32，依照一次函数的性质，得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，∴当 x=32时，每个月制造本钱最低最低本钱是 18 ×〔 -2 ×32+100 〕 =648 〔万元〕， 因此，所求每个月最低制造本钱为 648 万元．[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场检查反响：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，商品的进价为每件 40 元，怎样定价才能使利润 最大？解：设涨价〔或降价〕为每件x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润那么： y 1 (60 40 x)(300 10x)10( x 2 10x 600)10( x 5) 26250当 x5 ，即：定价为 65 元时， y max6250 〔元〕y 2 (60 40 x)(30020x)20( x 20)( x15)20( x 2.5) 2 6125当，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 〔元〕综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大．[ 例 2] ： 市 “健益 〞商场购进一批 20 元 /千克的绿色食品，若是以 30?元 /千克销售，那么每天可售出400 千克．由销售经验知，每天销售量y (千克 )?与销售单价 x (元 )( x30 〕存在以以下列图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式；⑵设 “健益 〞商场销售该绿色食品每天获取利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获取最大利润？最大利润是多少？⑶依照市场检查，该绿色食品每天可获利润不高出 4480 元， ?现该商场经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该商场确定绿色食品销售单价 x 的范围 (?直接写出答案 )．解：⑴设 y=kx+b 由图象可知，30k b 400,k 2040k b 200 解之得 :1000 ，b即一次函数表达式为y20x 1000 (30 x50) ．⑵ P(x20) y ( x 20)( 20 x 1000)20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0∵ a 200 ∴ P 有最大值．当 x140035 时， P max4500 〔元〕(2 20)〔或经过配方，P 20( x 35) 24500 ，也可求得最大值〕答：当销售单价为35 元 /千克时，每天可获取最大利润4500 元．⑶∵ 418020( x35) 2 4500 44801 ( x 35) 216∴ 31≤x ?≤34或 36≤x ≤39．练习 2．某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后， 进行这两种产品加工． 生产甲种产品每件还需本钱费 30 元，生产乙种产品每件还需本钱费 20 元．经市场调研发2合用标准文案现：甲种产品的销售单价为x〔元〕，年销售量为 y〔万件〕，当 35≤x＜50 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=20﹣；当 50≤x≤70 时， y 与 x 的函数关系式以以下列图，乙种产品的销售单价，在 25 元〔含〕到 45 元〔含〕之间，且年销售量牢固在10 万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元．〔1〕当 50≤x≤70 时，求出甲种产品的年销售量y〔万元〕与 x 〔元〕之间的函数关系式．〔2〕假设公司第一年的年销售量利润〔年销售利润=年销售收入﹣生产本钱〕为W〔万元〕，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？〔3〕第二年公司可重新对产品进行定价，在〔2〕的条件下，并要求甲种产品的销售单价x 〔元〕在 50≤x≤70 范围内，该公司希望到第二年年终，两年的总盈利〔总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资本钱〕不低于85 万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m〔元〕的范围．解：〔1〕设y与x的函数关系式为 y=kx+b〔k≠0〕，∵函数图象经过点〔 50， 10〕，〔 70， 8〕，∴，解得，因此， y=﹣0.1x+15；〔 2〕∵乙种产品的销售单价在25元〔含〕到 45元〔含〕之间，∴，解之得 45≤x≤65，①45≤x＜ 50时， W=〔x﹣30〕〔 20﹣〕+10〔90﹣x﹣20〕，=﹣0.2x2+16x+100，=﹣〔x2﹣ 80x+1600〕+320+100，=﹣〔x﹣40〕2+420，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=45时， W 有最大值， W最大 =﹣〔45﹣ 40〕2+420=415万元；②50≤x≤65时， W=〔x﹣30〕〔﹣ 0.1x+15〕+10〔 90﹣x﹣20〕，=﹣0.1x2+8x+250，=﹣〔x2﹣80x+1600〕 +160+250，=﹣〔x﹣40〕2+410，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=50时， W 有最大值， W最大 =﹣〔50﹣ 40〕2+410=400万元．综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415万元；（3〕依照题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，令 W=85，那么﹣ 0.1x2+8x﹣35=85，解得 x1=20，x2=60．又由题意知， 50≤x≤65，依照函数性质解析， 50≤x≤60，即 50≤90﹣m≤60，∴ 30≤m≤40．二、面积最大〔最小〕值问题实责问题中图形面积的最值问题解析思路为：优秀文档〔1〕解析图形的成因〔 2〕鉴别图形的形状〔 3〕找出图形面积的计算方法〔4〕把计算中要用到的所有线段用未知数表示〔5〕把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围〔6〕依照函数的性质以及自变量的取值范围求出头积的最值。
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
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页眉内容
《二次函数的应用——何时围得面积最大？》
说课稿
【教材分析】
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，也为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
【课时安排】
教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
【学情及学法分析】
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课
标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
【教学目标】
1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的
图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中
的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的
能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合
作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛
的应用价值。
教学重点：
利用二次函数y=2ax
bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题
教学难点：
正确构建数学模型
三、教学方法与手段的选择
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本
节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探
究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，
突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学流程
（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：
1.复习二次函数
y ＝2ax bx c ++（a ≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和
最值。
2.（1）求函数y ＝ 2x 2
+2x －3的最值。
（2）求函数y ＝x 2
+2x －3的最值。
（0≤x ≤ 3） [设计思路]通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最
值，通过做练习2复习求二次函数的最值方法---公式法、配方法、图象法，
练习2（1）的设计中，自变量的范围是全体实数，学生求最值容易想到顶
点，无论是配方、还是利用公式都能解决；（2）中给了自变量的取值范围
0≤x ≤3,学生求最值时可能还会利用顶点公式求,忽略自变量的取值范围的
限制，设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量的取
值范围这个条件才有意义，因为任何实际问题的自变量的取值范围都受现
实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在
顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。
（二）讲解新课
新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与
应用中提高技能几个环节
1、在创设情境中发现问题
【做一做】：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多
少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？
做一做中，我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩
形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。
学
生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起
常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。
周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。
2、在解决问题中找出方法
这一环节我设计了：
[想一想]：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？
我把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。
学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。
解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。
3、在巩固与应用中提高技能
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了
美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米
长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多
少米才能使花圃的面积最大？
例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度
来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制自变
量的取值范围，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估
计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒
学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点
的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有
意训练，学生必然会对自变量的取值范围的意义有更加深刻的理解，这样
既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了
坚实的基础。
（三）分层评价
这一阶段，我设计了两组练习题让学生选做，每一组题做对都能得到
一百分，共两百分，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到
成功的喜悦。
A 层：（你能行！）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完
成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。
指出下列函数的最大或最小值
C D
（1）y= -3（x-1）2+5 （2）
B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题
有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2 。
问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？
此题目有一定难度，但结合三角形相似知识，教师给出了自变量，大部分同学应该能想到解决办法。
（四）、师生小结
本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数
学用数学的信心。
（五）、课堂检测：
1，将一条长为20厘米的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则两个正方形面积之和的最小值是 。
2，假设篱笆（虚线）的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？
3.有一块三角形土地如图，他的底边
BC=100米，高AD=80米，某单位沿着BC 修一
座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积
最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？
（六）板书设计
《二次函数的应用——何时围得面积最大？》
说课稿
单位：辛店镇一初中
姓名：岳富晓。