江苏省南京田家炳高级中学2020-2021学年第一学期高二数学十月检测试卷(PDF,无答案)
2020-2021学年江苏省南京田家炳高级中学高二(上)检测数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南京田家炳高级中学高二（上）检测数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知α为锐角，sin(π3+α)=√33，则cosα=()A. √66−√32B. √66+√32C. 12−√66D. √66−122.在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积S=√32，则AC的长为()A. 2B. 1C. √3D. √323.过点P(3,4)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|=()A. 5−√3B. 5−√2C. 2√215D. 4√2154.已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆：x2+y2+2ax+ay+2a2+a−1=0相切，则a=()A. −1B. −2C. 1，2D. −1或−25.由直线x+y+3=0上一点P向圆C：(x−2)2+(y+3)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 14B. 13C. 12D. 16.在直角坐标平面内，已知A(−1,0)，B(1,0)以及动点C是△ABC的三个顶点，且sinAsinB+cosC=0，则动点C的轨迹Γ的离心率是()A. √3B. √2C. √32D. √227.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √58.已知圆(x−2)2+y2=9的圆心为C，过点M(−2,0)且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为()A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若cosα(1+√3tan10°)=1，则α的一个可能值为()A. 130°B. 220°C. 40°D. 320°10.已知点A(1,1)和点B(4,4)，P是直线x−y+1=0上的一点，则|PA|+|PB|的可能取值是()A. 3√6B. √34C. √5D. 2√511.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值()A. 23B. 34C. √32D. √2212.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题有()A. 若P为棱CC1中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52B. 若P在线段A1B上运动，则AP+PD1的最小值为√6+√22C. 若P在半圆弧CD⏜上运动，当三棱锥P−ABC体积最大时，三棱锥P−ABC外接球的表面积为2πD. 若过点P的平面a与正方体每条棱所成角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为3√34三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.当实数a，b变化时，两直线l1：(2a+b)x+(a+b)y+(a−b)=0与12：m2x+2y+n=0都通过一个定点，则点(m,n)所在曲线的方程为______．14.若关于x的方程√x2−1=kx−2有解，则实数k的取值范围是______．15.若角θ的终边落在直线x+y=0上，则sinθ√1−sin2θ+√1−cos2θcosθ=______．16.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P−ABC的外接球与内切球的半径比为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知tanα=2.求：(1)sinα+2cosα；sinα−cosα(2)1．sin2α+sinαcosα−2cos2α18.求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)已知点P(2,1)，l过点A(1,3)，P到l距离为1(2)l过点P(2,1)且在x轴，y轴上截距的绝对值相等+sinA−√3=0．19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2√3sin2A2(I)求角A的大小；(II)已知△ABC外接圆半径R=√3，AC=√3，求△ABC的周长．20.如图．在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB=2，AD=3，PA=√3，AD//BC，AB⊥BC，∠ADC=45°．(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦值；(2)求点A到平面PCD的距离．21.如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40√2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O、A、B三点．(1)求C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？22.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)的离心率为√22，直线l：x=ty+√63(t∈R)与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：1|PM|2+1|PN|2是定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：α为锐角，且sin(π3+α)=√33<√32，所以π2<π3+α<π，所以cos(π3+α)=−√1−sin2(π3+α)=−√1−(√33)2=−√63，所以cosα=cos[(α+π3)−π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=−√63×12+√33×√32=12−√66．故选：C．根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可．本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由三角形面积计算公式√32=S=12×2×AC×sin60°，解得AC=1．故选：B．利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：如图：|OP|=√32+42=5，在Rt△OAP中，cos∠AOP=|OA||OP|=25，∴sin∠AOP=√1−425=√215，∵AB⊥OP，∴sin∠AOP=12|AB||OA|，∴|AB|=2|OA|sin∠AOP=2×2×√215=4√215．故选：D．先由两点间的距离得|OP|，然后在直角三角形AOP中计算sin∠AOP，最后在小直角三角形中可得弦长一半．本题考查了圆的切线方程，属中档题．4.【答案】A【解析】解：过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C：x2+y2+2ax+ay+2a2+a−1= 0相切，则点P(2,1)在圆上，则22+12+4a+a+2a2+a−1=0，解得a=−2或a=−1，又x2+y2+2ax+ay+2a2+a−1=0为圆的方程，则(2a)2+a2−4(2a2+a−1)>0，即−2<a<23，即a=−1，故选：A．由x2+y2+2ax+ay+2a2+a−1=0为圆的方程可得(2a)2+a2−4(2a2+a−1)>0，又过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C：x2+y2+2ax+ay+2a2+a−1=0相切，则点P(2,1)在圆上，联立即可得解．本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线长的计算，属于基础题．根据题意，求出圆C的圆心和半径，分析根据勾股定理可得当点P为圆心C到直线的距离最小的点时，切线长最小，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：(x−2)2+(y+3)2=1的圆心C为(2,−3)，半径r=1；设切线长为d，则有d=√|PC|2−r2=√|PC|2−1，则当点P为圆心C到直线的距离最小的点时，切线长最小，而|PC|的最小值为点C到直线l的距离，则|PC|min=2√2=√2；故切线长最小值为：√(√2)2−1=1．故选D．6.【答案】D【解析】解：由sinAsinB+cosC=0可得sinAsinB−cos(A+B)=0，即sinAsinB−cosAcosB+sinAsinB=0．因为A，B∈(0,π)，易知cosAcosB≠0，所以tanAtanB=12，所以k AC⋅k BC=−12，设C(x,y)，所以yx+1⋅yx−1=−12，即x2+y212=1(x≠±1)，所以a2=1，b2=12，则c2=a2−b2=12，则轨迹Γ的离心率e=ca =√22．故选：D．根据三角计算公式整理得到tanAtanB=12，再转化为斜率之积整理即可求出结论本题考查椭圆的定义以及椭圆的几何意义，属于基础题7.【答案】D【解析】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2，由对称性知△ABF的面积S=2S△OBF=2×12cℎ=cℎ=4a2，即ℎ=4a 2c，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+(4a 2c)2=c2，得x 2=c 2−(4a 2c)2=c 2−16a 4c 2，B 在双曲线上， 则c 2−16a 4c 2a2−16a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1， 即c 2a2−16a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1，即c 2a2−16a 2c 2⋅c 2c 2−a 2=1，即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1， 即c 2a 2−1=16a 2c 2−a 2=c 2−a 2a 2，得16a 4=(c 2−a 2)2，即4a 2=c 2−a 2，得5a 2=c 2，得c =√5a ， 则离心率e =ca =√5aa =√5，故选：D ．根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B 的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．8.【答案】C【解析】解：可得圆(x −2)2+y 2=9的圆心为C(2,0)，半径为R =3． 如图，∵CB =CA =R =3，∴∠CBA =∠CAB ， ∵AC//MP ，∴∠CBA =∠CAB =∠PMA ，∴PM =PB =PC +BC⇒PM −PC =BC =3(定值)，且3<MC ． ∴点P 的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．根据题意可得PM−PC=BC=3(定值)，且3<MC.即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．本题考查了动点轨迹的求解，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：因为cosα(1+√3tan10°)=1，所以cosα=11+√3tan10°=11+√3sin10°cos10°=cos10°cos10°+√3sin10°=cos10°2sin(10∘+30∘)=cos10°2sin40∘=cos(90°−80°) 2sin40∘=sin80°2sin40∘=2sin40°cos40°2sin40∘=cos40°，所以α的一个可能值为40°，又cos320°=cos(360°−40°)=cos40°，故α的一个可能值为40°或320°．故选：CD．先利用同角三角函数关系式、两角和差公式、二倍角公式化简cosα，得到α的一个可能值为40°，再对选项进行分析判断即可．本题考查了三角函数的化简求值问题，解题的关键是掌握同角三角函数关系式、两角和差公式、二倍角公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：点A(1,1)和点B(4,4)，P是直线x−y+1=0上的一点，过点A作直线y=x+1的对称点A′，设A′(m,n)，可得n−1m−1=−1，m+12−n+12+1=0，解得m=0，n=2，即A′(0,2)，连接A′B，可得|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=√(4−0)2+(4−2)2=2√5，当且仅当A′，P，B三点共线时，取得最小值为2√5，结合选项可知|PA|+|PB|的可能取值是3√6，√34，2√5．故选：ABD．过A作直线y=x+1的对称点A′，设A′(m,n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得m，n，连接A′B，由三点共线的性质可得|PA|+|PB|的范围，从而可得结论．本题主要考查两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2>90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2>45°，∴P0O<OF2，即b<c，∴a2−c2<c2，可得a2<2c2，∴e>√22，又∵0<e<1，∴√22<e<1，结合选项可得，满足条件的一个e的值为BC．故选：BC．当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得e的范围，结合选项得答案．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，如图(1)，由AB//CD ，知∠BAP 即为异面直线AP 与CD 所成的角，连接BP ，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，BP ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥BP ， 在Rt △ABP 中，AB =1，BP =√BC 2+CP 2=√1+14=√52，tan∠BAP =BP AB=√52，故A 正确；对于B ，将△AA 1B 与四边形A 1BCD 沿A 1B 展开到同一个平面上，如图(2)所示， 由图知，线段AD 1的长度即为AP +PD 1的最小值，在△AA 1D 1中，利用余弦定理得AD 1=√12+12−2×1×1×cos135°=√2+√2，故B 错误；对于C ，如图(3)，当P 为CD⏜的中点时，三棱锥P −ABC 体积最大， 此时三棱锥P −ABC 的外接球球心是AC 中点，半径为√22，其表面积为4π⋅(√22)²=2π，故C 正确；对于D ，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等， 只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图(4)，AP =AR =AQ ，则平面PQR 与正方体过点A 的三条棱所成的角相等， 若点E ，F ，G ，H ，M ，N 分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN//平面PQR ，且六边形EFGHMN 是正六边形， 正方体棱长为1，所以正六边形EFHMN 的边长为√22，所以此正六边形的面积为3√34，为截面最大面积，故D 正确．故选：ACD ．对于A ，由AB//CD ，知∠BAE 即为异面直线AE 与CD 所成角，求出∠BAE 的正切值即可；对于B ，将△AA 1B 与四边形A 1BCD 沿A 1B 展开到同一个平面上，线段AD 1的长度即为AP +PD 1的最小值，利用余弦定理即可求得AD 1；对于C ，当P 为CD⏜中点时，三棱锥P −ABC 体积最大，此时三棱锥P −ABC 的外接球球心是AC 中点，从而求出半径，计算表面积即可；对于D ，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点所成的角相等即可，若点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN//平面PQR ，且六边形EFGHMN 是正六边形，由此能求出截面最大面积．本题考查命题真假的判断，异面直线所成的角，棱柱的结构特征，球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】n =2m 2−6【解析】解：直线l 1：(2a +b)x +(a +b)y +(a −b)=0，l 1的方程化为(2x +y +1)a +(x +y −1)b =0，令{2x +y +1=0x +y −1=0，解得{x =−2y =3，所以定点的坐标为(−2,3)．由l 2过定点(−2,3)，代入m 2x +2y +n =0得−2m 2+n +6=0， ∴点(m,n)所在曲线C 的方程为：n =2m 2−6． 故答案为：n =2m 2−6．l 1的方程化为(2x +y +1)a +(x +y −1)b =0，求出定点坐标，由l 2过定点，代入l 2化简求解即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】[−√5,−1)∪(1,√5]【解析】解：方程转化为y =√x 2−1∈[0,1]，整理可得：x 2−y 2=1，渐近线方程为：y =±x ，g(x)=kx −2，可得g(x)恒过(0,−2)，如图所示，方程有解即是两个函数有交点，由双曲线的对称性只需要求出k >0的情况，同理可得k <0的情况．k >0时，则可得：√x 2−1=kx −2，两边平方整理可得：(k 2−1)x 2−4kx +5=0，k ≠1，有解，则△=16k 2−20(k 2−1)>0，k >1，可得：k 2<5， 所以可得k ∈(1,√5]，同理可得k <0，时k ∈[−√5,−1)， 综上所述k 的取值范围为[−√5,−1)∪(1,√5]， 故答案为：[−√5,−1)∪(1,√5].由题意画出图形，由于双曲线的对称性，只需求出斜率大于0的情况，同理可得斜率小于0的范围，求出相切时的k 值及与渐近线平行的斜率，介于之间的即可． 考查方程的解与函数的交点的互化，属于中档题．15.【答案】0【解析】解：若角θ的终边落在直线x +y =0上，则有sinθ=√22，cosθ=−√22，或者sinθ=−√22，cosθ=√22． 当sinθ=√22，cosθ=−√22时，√1−sin 2θ√1−cos 2θcosθ=sinθ|cosθ|+|sinθ|cosθ=1+(−1)=0． 当sinθ=−√22，cosθ=√22时，√1−sin 2θ√1−cos 2θcosθ=sinθ|cosθ|+|sinθ|cosθ=−1+1=0．故答案为：0．角θ的终边落在直线x +y =0上，则有sinθ=√22，cosθ=−√22，或者sinθ=−√22，cosθ=√22.在这两种情况下分别求出√1−sin 2θ+√1−cos 2θcosθ的值．本题主要考查角θ的终边落在直线x +y =0上时，sinθ 和cosθ的值，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想．16.【答案】3(√3+1)2【解析】解：设三棱锥P−ABC的外接球与内切球的半径分别R，r．则(2R)2=3×22，13r×[12×22×3+√34×(2√2)2]=13×12×22×2，解得：R=√3，r=3+√3．∴Rr =3(√3+1)2．故答案为：3(√3+1)2．设三棱锥P−ABC的外接球与内切球的半径分别R，r.根据勾股定理、三棱锥的体积计算公式列出方程，解出即可得出．本题考查了三棱锥的外接球与内切球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、长方体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：tanα=2，(1)sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=2+22−1=4；(2)1sin2α+sinαcosα−2cos2α=sin2α+cos2αsin2α+sinαcosα−2cos2α=tan2α+1tan2α+tanα−2=22+122+2−2=54．【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解；(2)由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解；本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)当l斜率不存在时，l的方程为x=1，满足条件．当l斜率存在时，设l：y−3=k(x−1)，即kx−y+3−k=0，由d=√k2+1=1，得k=−34，即l：3x+4y−15=0．综上l：x=1，或3x+4y−15=0．(2)当直线过原点时，直线的斜率为1−02−0=0，直线的方程为x−2y=0．当直线截距相等时，设为xa +ya=1，代入(2,1)，则a=3，即：x+y−3=0．当直线截距互为相反数时，设为xa +y−a=1代入(2,1)，则a=1，即：x−y−1=0．综上，要求的直线方程为x−2y=0，或x+y−3=0，或x+y−1=0．【解析】(1)由题意，分类讨论，利用点到直线的距离公式，求出直线的方程．(2)由题意，分类讨论，利用待定系数法，求出直线的方程．本题主要考查点到直线的距离公式应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．19.【答案】解：(I)∵2√3sin2A2+sinA−√3=0，∴2√3×1−cosA2+sinA−√3=0，即：sinA−√3cosA=0，∴tanA=√3，又0<A<π，∴A=π3．(II)∵asinA=2R，∴a=2RsinA=2√3sinπ3=3，∵AC=√3，∴由a2=b2+c2−2bccosA，得c2−√3c−6=0，∵c>0，所以c=2√3，∴周长为a+b+c=3+3√3.【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．(I)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=√3，结合0<A<π，可求A 的值．(II)由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c2−√3c−6=0，解得c的值，可求周长．20.【答案】解：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，P(0,0，√3)，C(2,1，0)，D(0,3，0)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)， 设异面直线PC 与AD 所成角为θ， 则cosθ=|PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32√2×3=√24， 故异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为√24．(2)由(1)知，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0) 设平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −√3z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0，令x =1，则y =1，z =√3，∴n ⃗ =(1,1，√3)， ∴点A 到平面PCD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5=3√55．【解析】(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，写出A 、P 、C 、D 的坐标，设异面直线PC 与AD 所成角为θ，由cosθ=|PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得解；(2)根据法向量的性质求得平面PCD 的法向量n ⃗ ，再由d =|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |即可得解．本题考查空间向量在立体几何中的应用，掌握利用空间向量处理异面直线夹角和点到平面距离的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可求A(40,40)，B(20,0)，设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 可得{402+402+40D +40E +F =0F=0202+20D +F =0，解得D =−20，E =−60，F =0，故圆C 的方程为x 2+y 2−20x −60y =0，圆心为C(10,30)，半径r =10√10． (2)设船初始位置为点D ，则D(−20,−20√3)，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l ：y −x −20+20√3=0， 由于圆心C 到直线l 的距离d =√3|√12+12=10√6<10√10，故该船有触礁的危险．【解析】(1)由题意可求A(40,40)，B(20,0)，设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，可得{402+402+40D +40E +F =0F=0202+20D +F =0，解得D ，E ，F 的值，即可得解．(2)设船初始位置为点D ，则D(−20,−20√3)，且该船航线所在直线l 的斜率为1，该船航行方向为直线l ：y −x −20+20√3=0，利用点到直线的距离公式即可求解． 本题主要考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得b 2=1，所以b =1，又e =√22，所以a =√2，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =ty +√63x 22+y 2=1，整理，得(2+t 2)y 2+2√63ty −43=0，所以△=83t 2+163(2+t 2)>0恒成立，y 1+y 2=−2√6t3(2+t 2)，y 1y 2=−43(2+t 2)，所以1|PM|2+1|PN|2=1(1+t 2)y 12+1(1+t 2)y 22=y 12+y 22(1+t 2)y 12y 22=(y 1+y 2)2−2y 1y 2(1+t 2)(y 1y 2)2 =8t 23(2+t 2)2+83(2+t 2)(1+t 2)⋅169(2+t 2)2=163×916=3，所以1|PM|2+1|PN|2为定值3．【解析】(1)由椭圆的方程可得b 的值，再由离心率和a ，b ，c 的关系求出a 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)将直线l 的方程与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出1|PM|2+1|PN|2的表达式，将两根之和及两根之积代入可证得为定值．本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，及两点间的距离公式，属于中档题．。
2020-2021学年第一学期高二数学十月检测试卷(word版,无答案)
2020~2021学年度高二(上)十月检测数学试卷(本卷满分:150分,考试时间:120分钟)一选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分)1已知a 为锐角, 33sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=- C.12 12-2在ABC 中,60A ︒∠=, 2AB =,且ABC ,则AC 的长为()B.1D.2 3.过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为A,B,则||AB =().5A .5B - 4.已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆222:2210x y ax ay a a +-+++-=相切,则a =A.-1B.-2C.1或2D.-1或-2 5.由直线30x y ++=上一点P 向圆()()22:231C x y -++=引切线,则切线长的最小值为() A.14 B.13 C.12 D.16.在直角坐标平面内,已知()1,0A -,()1,0B 以及动点C 是ABC 的三个顶点,且0sinAsinB cosC +=,则动点C 的轨迹的离心率是()7已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点,以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若ABF 的面积为4a 2,则双曲线的离心率为()C.2 8.已知圆()2229x y -+=的圆心为C,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A ､B 两点,点A 在点M与点B 之间,过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P,则点P 的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分二､多选题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)9.若()1101cos α︒=,则α的一个可能值为() A.130︒ B.220°C.40°D.320︒ 10.已知点()1,1A 和点()4,4B ,P 是直线10x y -+=上的一点,则||||PA PB +的可能取值是()A. D.11.已知椭圆22221 (0)x y a b a b+=>>的离心率为e, 12F F 、分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角,则满足条件的一个e 的值()A.23B.34C.2D.212.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是空间中任意一点,下列命题正确的有().A.若P 为棱1CC 中点,则异面直线AP 与CDB.若P 在线段A 1B 上运动,则1AP PD +C.若p 在半圆弧CD 上运动,当三棱锥P ABC -体积最大时,三棱锥P ABC -外接球的表面积为2πD.若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为4. 二､填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.当实数a ､b 变化时,两直线()()()1:20l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点,则点(),m n 所在曲线的方程为_____.14.若关于x 的方程212x kx -=-有解,则实数k 的取值范围是____.15.若角α的终边落在直线0x y +=上,则21sin sin αα+=-____. 16.已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA,PB,PC 两两互相垂直,且2PA PB PC ===,则三棱锥P-ABC 的外接球与内切球的半径比为____.四､解答题(本题共6小题共70分)17.(满分10分)已知2tan α=,求:(1)2sin cos sin cos αααα+- ; (2)2212sin sin cos cos αααα+-.18.(满分12分)求分别满足下列条件的直线l 的方程:(1)已知点()2,1P ,l 过点()1,3A ,P 到l 距离为1;(2)l 过点()2,1P 且在x 轴,y 轴上截距的绝对值相等.19.(满分12分)在ABC 中,角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c,且202A sinA +=, (1)求角A 的大小;(2)已知ABC 外接圆半径R =C A =求ABC 的周长.20·(满分12分)如图.在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,且2AB = ,3AD = ,PA =//AD BC ,AB BC ⊥,45ADC ︒∠=.(1)求异面直线PC 与AD 所成角的余弦值;(2)求点A 到平面PCD 的距离.21.(满分12分)如图,某海面上有O ､A ､B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛,B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点,O 的正东方向为x 轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系圆C 经过O ､A ､B 三点.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 区域内有未知暗礁,现有一船D 在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40千米处, 正沿着北偏东45︒行驶,若不改变方向, 试问该船有没有触礁的危险?22.(满分12分)已知椭圆()222:11x C y a a+=>,直线):l x ty t =∈R 与x 轴的交点为P,与椭圆C 交于M ､N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明: 2211||||PM PN 是定值.。
江苏省南京市田家炳高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试卷及答案解析
江苏省南京市田家炳高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 42.直线l:y =kx +1与圆O:x 2+y 2=1相交于A,B 两点，则"k =1"是“ΔOAB 的面积为12”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A. 10x y --π-= B. 2210x y --π-= C. 2210x y +-π+= D. 10x y +-π+=4.曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A.29e 2B.24eC.22eD.2e5.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.6.在ΔABC 中，sin2A ≤sin 2B +sin 2C −sinBsinC ．则的取值范围是（ ）A. （0，π6] B. [π6，π） C. （0，π3] D. [π3，π）7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A.2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.2428a a a = D.2428b b b =8.已知0,0x y >>，,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是A.0B.1C.2D.4第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.10.已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______11.在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 12.ABC 的三边长是2，3，4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=____________.三、解答题ABC，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a，b ，求ABC 的面积； （2）若sin A C =2，求C . 14.正项数列{an}的前n 项和Sn 满足： ()()22210n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{an}的通项公式an ； (2)令()2212n nn b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 15.设函数()32.f x x ax bx c =+++（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（Ⅲ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 16.在①ac=√3，②csinA =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且sinA=√3sinB ，C =π6，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.18.设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. （1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.四、新添加的题型+φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A.πsin(3x +）B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x - 20.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A.2212a b +≥B.122a b ->C.22log log 2a b +≥- ≤21.下列命题中，正确的命题是（ ）A.已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B.已知34n n A C =，则27n =C.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大. 22.已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）． A.函数()f x 是以2为周期的周期函数 B.函数()f x 是以4为周期的周期函数 C.函数(1)f x -为奇函数D.函数(3)f x -为偶函数参考答案1.A【解析】1.分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解： ∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1， 当x =−1时，y =−1,0,1； 当x =0时，y =−1,0,1； 当x =−1时，y =−1,0,1； 所以共有9个，选A. 2.A【解析】2.试题分析：由k =1时,圆心到直线l:y =x +1的距离d =√22.所以弦长为√2.所以S ΔOAB=12×√2×√22=12.所以充分性成立,由图形的对成性当k =−1时,ΔOAB 的面积为12.所以不要性不成立.故选A.3.C【解析】3.先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．4.D【解析】4.因为曲线12x y e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2） ∴f′（x ）|x=4=12e 2， ∴切线方程为：y-e 2=12e 2（x-4）， 令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2）， ∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2. 故选D ． 5.A【解析】5.由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 6.C【解析】6.试题分析： 由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.7.D【解析】7.根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确． 故选：D. 8.D【解析】8.解：∵x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列 根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y ，cd=xy ，22()()4a b x y cd xy ++=≥= 当且仅当x=y 时取“=”， 9.-3【解析】9.本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()axf x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π．10.【解析】10.根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：11.5【解析】11.根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 12.292-【解析】12.利用外心的特点，取AB 的中点D ，得出0OD AB ⋅=，利用向量运算计算212OA AB AB ⋅=-，同理得出2211,22OB BC BC OC CA CA ⋅=-⋅=-，进而可得答案.取AB 的中点D ，则⊥OD AB ，即0OD AB ⋅=； 所以()212OA AB OD DA AB OD AB DA AB AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=-， 同理可得2211,22OB BC BC OC CA CA ⋅=-⋅=-, 所以()22212922OA AB OB BC OC CA AB BC CA ⋅+⋅+⋅=-++=-; 故答案为：292-. 13.（12）15︒.【解析】13.（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.14.（1）an ＝2n （2）见解析【解析】14.（1）()()()()()222221+110+1=00,0,,(1,=21,2.n n n n n n n n n n n S n n S n n S n n S a S S n n S n a n a n +⎡⎤-+--+=∴-+⎣⎦>>∴=+∴=+++∴=，（），两式相减得：由（1）代入得15.（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27⎛⎫⎪⎝⎭;（Ⅲ）见解析.【解析】15.试题（Ⅰ）求函数f （x ）的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f （x ）的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（Ⅰ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，22,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（Ⅲ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b =++>'，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b =++'只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件． 当4a b ==，0c时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 16.详见解析【解析】16.解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角A,B,C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一： 由sinA =√3sinB 可得：a b =√3，不妨设a=√3m,b =m(m >0)，则：c2=a2+b2−2abcosC=3m2+m2−2×√3m×m×√32=m2，即c= m.选择条件①的解析：据此可得：ac=√3m×m=√3m2=√3，∴m=1，此时c=m=1.选择条件②的解析：据此可得：cosA=b2+c2−a22bc=m2+m2−3m22m=−12，则：sinA=√1−(−12)2=√32，此时：csinA=m×√32=3，则：c=m=2√3.选择条件③的解析：可得cb =mm=1，c=b，与条件c=√3b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sinA=√3sinB,C=π6,B=π−(A+C),∴sinA=√3sin(A+C)=√3sin(A+π6 ),sinA=√3sin(A+C)=√3sinA·√32+√3cosA·12，∴sinA=−√3cosA,∴tanA=−√3,∴A=2π3,∴B=C=π6,若选①，ac=√3,∵a=√3b=√3c,∴√3c2=√3,∴c=1;若选②，csinA=3,则√3c2=3,c=2√3;若选③,与条件c=√3b矛盾.17.（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67．【解析】17.分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X=．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．随机变量X 的数学期望()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)， 故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)= 67． 所以，事件A 发生的概率为67． 18.（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】18.（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定区间上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围. 试题解析：（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--. 19.BC【解析】19.首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 20.ABD【解析】20.根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 21.BCD【解析】21.对于选项A ：利用二项分布的期望和方程公式列出关于,n p 的方程，解方程即可判断； 对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式计算即可作出判断； 对于选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；对于选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，110k ≤≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断.对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!n n A n n n n ==---，()()()()4321!4!4!24n n n n n n C n ---=-=，因为34n n A C =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -= 解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()101011101104110.80.210.80.2k k kk k k P x k k C P x k C k----+=-⋅⋅===-⋅⋅， 由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈， 即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD . 22.BC【解析】22.对于选项,A B ，分析得到函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可知选项A 错误，选项B 正确；对于选项C ,证明函数()(1)F x f x =-为奇函数，所以选项C 正确；对于选项D ,由题意不妨取满足条件的函数()cos 2f x x π=，则(3)sin2f x x π-=-为奇函数，所以选项D 错误．对于选项,A B ,∵函数()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=． ∵()(2)0f x f x +-=， ∴()(2)0f x f x -++=，则()(2)0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可知选项A 错误，选项B 正确； 对于选项C ,令()(1)F x f x =-，则()(1)(1)F x f x f x -=--=+．在()(2)0f x f x ++=中，将x 换为1x -，得(1)(1)0f x f x -++=， ∴(1)(1)f x f x +=--，∴()(1)()F x f x F x -=--=-， 则函数()(1)F x f x =-为奇函数，所以选项C 正确． 对于选项D ,由题意不妨取满足条件的函数()cos 2f x x π=，则3(3)cos(3)cos sin 2222f x x x x ππππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭为奇函数， 所以选项D 错误． 故选：BC.。
2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题 (IV)
2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题 (IV)一、选择题（满分36分，每小题3分）：1．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．12．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和共有( ) A ．8×1.0253万元 B ．8×1.0254万元 C ．8×1.0255万元 D ．8×1.0256万元 3.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b= ( )A.2B.3C.2D.34．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 30＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3 D.325．一艘船以4 km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，则船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC ．221 kmD ．8 km 6.在等差数列{n a }中，已知4a +8a =16，则该数列前11项和11S =（ ） A.58 B.88 C.143 D.176 7.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A.7B.5C.-5D.-78.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10= ( )A. B. C.10 D.129．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 10.在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sinA= ( )A.310B.1010C.55D.3101011.各项都是正实数的等比数列{a n }，前n 项的和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50 12.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n =（ ） A.n B.-n C.1n D.1n- 二、填空题（满分20分，每小题4分）：13.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于 .14. 设n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.16．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 17. 在ABC ∆中，120,2,B AB A ==的角平分线3AD =，则AC = _________.三、解答题（满分44分）：18.（满分8分）已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值．19.（满分8分）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．20.（满分8分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C；(2)若c=π3,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.21.（满分10分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B；(2)若△ABC的面积S=2a4,求角A的大小.22．（满分10分）设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.数学答案一、选择题（满分36分，每小题3分）：题号123456789101112答案B C D C B B D B C D A D二、填空题（满分20分，每小题4分）：13.6 14. 15.16.40 17.三、解答题（满分44分）：18.（满分10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求S n的最小值及对应的n值．解 (1)∵S n＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.∴a n＝4n－32，n∈N＋.(2)方法一S n＝2n2－30n＝2(n－215)2－2225，∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.方法二∵a n＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，a n>0.∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.19.（满分10分）(xx·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C；(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0,所以2cosC=1,cosC=. 因为C∈(0,π),所以C=.(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+.20.（满分12分）(xx·浙江高考理科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B ；(2)若△ABC 的面积S=,求角A 的大小.【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin Β=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β.(2)先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC=cos Β,再利用三角形的内角和可得角Α的大小.【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=sin(A-B),又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B. (2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcos Β,因sinB ≠0,得sinC=cos Β.又B,C ∈(0,π),所以C=±B. 当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.21．（满分12分）(本小题满分12分)(山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，n ≥2.3， n ＝1，(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝31. 当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n，所以T 1＝b 1＝31；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝31＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝32＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝32＋1－3－11－31－n －(n －1)×31－n＝613－2×3n 6n ＋3，所以T n ＝1213－4×3n 6n ＋3.经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1213－4×3n 6n ＋3.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2020-2021学年高二数学10月月考试题 (VI)
2020-2021学年高二数学10月月考试题 (VI)一、填空题（本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填写在答题卡相应位置上） 1.已知直线l 的斜率为1-，则它的倾斜角为 ．2.已知圆C 的方程为2220x y x y ++-=，则它的圆心坐标为 ．3.若直线a 和平面α平行，且直线b α⊂，则两直线a 和b 的位置关系为 ．4.已知直线1l ：310ax y +-=和2l ：2(1)10x a y +-+=垂直，则实数a 的值为 ．5.已知直线240x y +-=和坐标轴交于A 、B 两点，O 为原点，则经过O ，A ，B 三点的圆的方程为 ．6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列三个命题，其中为真命题的是________．①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m n n m ； ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m m ； ③n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα7.已知P ，Q 分别为直线390x y +-=和310x y ++=上的动点，则PQ 的最小值为 ． 8.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有 ． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥；④若m α∥，m β⊂，n αβ=，则m n ∥.9.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程为 ．10、已知,αβ是两个不同的平面，,a b 是两条不同的直线，给出四个论断： ①b αβ=； ②a α⊂； ③//a b ； ④//a β．以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题 ．11.若直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相同的四段弧，则ab = ．12、设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m n ⊥，n 是平面α内任意的直线，则m α⊥；②若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；③若,,m n n m αβα=⊂⊥，则αβ⊥；④m α⊥，αβ⊥，//m n ，则//n β 其中正确命题的序号为__________.13.已知(12)A ，，(31)B --，，若圆222x y r +=（0r >）上恰有两点M ，N ，使得MAB △和NAB △的面积均为5，则r 的范围是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y -+=与x 轴y 、轴分别交于A ，B 两点，点M 在圆()225x y a +-=(0)a >上运动.若AMB ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题 （共6小题，90分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知圆228x y +=内有一点)1,2(-P ，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，、（1）当135=α时，求直线AB 的方程; （2）若弦AB 被点P 平分，求直线AB 的方程。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期10月五校联合调研试题高二数学
2020-2021 学年第一学期 10 月五校联合调研试题
高二数学
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.
已知
tan α = − 3 ，则
tan(α +
π )=·
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·ห้องสมุดไป่ตู้
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·(
)
4
4
1 (A)
7
(B) 7
1 (C) −
(C) E F 与 C1D 所成的角为 45◦
(D) E F ∥ 平面 A1 B1C1D1
8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从
双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出. 如图， 一个光学装置由有公共焦点 F1, F2 的椭圆 Γ 与双曲线 Γ′ 构成，现一光线从左焦点 F1 发出，依次经过 Γ′ 与 Γ 反射，又回到了点 F1，历时 t1 秒；若将装置中的 Γ′ 去 掉，此光线从点 F1 发出，经 Γ 两次反射后又回到了点 F1，历时 t2 秒；若 t2 = 6t1， 则 Γ 与 Γ′ 的离心率之比为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( )
南京市六校2021-2022学年高二上学期10月联考数学试题
2021-2022学年度第一学期10月月测高二数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的斜率和它在轴上的截距分别为（ ） A. 2，1B.， C. ， D. ， 2. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1或2B. 2C. 1或2D. 13. 若直线与直线垂直，则实数值为（ ）A. 1或3B. 1或 3C. 1或 3D. 1或34. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之积是6的概率是（ ） AB.C.D.5. 已知点与点关于直线：对称，则点的坐标为（ ） A.B.C.D.6. 已知直线与圆：交于，两点，为圆心，当面积最大时，实数的值为（ ） A.B. -3或1C. 0或1D. -1或37. 直线与曲线的取值范围是（ ） AB. C.D.8. 已知焦点为，的双曲线点为上一点，且满足，若的面积为的实轴长为（ ）A. 1B.C. 2D.2310x y ++=y 231332-12-23-13-i ()()221i a a a --++a -10ax y a +-+=()230a x y a --+=a 的----131619112()5,7A B l 1y x =+B ()7,6()4,7()6,7-()6,6()0x y m m R -+=ÎC ()()22214x y -+-=A B C ABC !的m 2±y x b =+x =b b ££2b =b £<2b =b <£2b =1F 2F C P C 2123PF PF =12PF F △C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，都分选对得2分，有选错的得0分.9. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若且，则； B. 若且，则； C. 若且，则；D. 若且，则.10. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ）A. 女生人数多于男生人数B. D 层次男生人数多于女生人数C. B 层次男生人数为24人D. A 层次人数最少11. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）A. 设，为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是双曲线 B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C.双曲线与椭圆有相同的焦点D. 若双曲线：的左､右焦点分别为､，为双曲线上一点，若，则或 m n a b //m a //n a //m n m a ^n a ^//m n //m a //m b //a b m a ^m b ^//a b A B 0m >P PA PB m -=P 250x x -+=221259x y -=22135x y +=C 2213y x -=1F 2F P C 152PF =212PF =292PF =12. 若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（ ） A. B. 0C.D. 3三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若直线：恒过定点，则定点坐标为___________. 14. 试写出一个焦点坐标为的椭圆的标准方程：___________. 15. 已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.16. 已知实数，满足方程，则的取值范围为___________；的最小值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆的方程为：. （1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.18. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. （1）求边所在直线的一般方程；（2）边上中线的方程为，且的面积为4，求点的坐标. 19. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为的中点，求证：0x y m ++=P P O 223x y +=PA PB A B 120APB Ð=°m -l ()()212420m x m y m ++-+-=()0,1±()2,1A-()2,1B -P PA PB =P x y 222410x y x y +-++=x 222x x y ++C 2224690()x y mx y m m R +--+-=Îm C C ()1,2-xOy ABC !(),A m n ()2,1B ()2,3C -BC BC AD ()20x y t t R -+=ÎABC !A P ABCD -O ABCD E PC（1）平面； （2）平面．20. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.21. 已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.（1）求圆的标准方程；（2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值.22. 已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”. （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围.//EO PAD AC ^PBD 22142x y -=C (0,(()3,0O k l C M N C ()3,0P-PM PN 1k 2k 12k k +G 2221(2)4x y a a +=>A P A P A P a =G G a2021-2022学年度第一学期10月月测高二数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的斜率和它在轴上的截距分别为（ ） A. 2，1 B.， C. ， D. ， 【答案】D2. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A. 1或2B. 2C. 1或2D. 1【答案】B3. 若直线与直线垂直，则实数值为（ ）A. 1或3B. 1或 3C. 1或 3D. 1或3【答案】A4. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之积是6的概率是（ ） AB.C.D.【答案】C5. 已知点与点关于直线：对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D.【答案】D6. 已知直线与圆：交于，两点，为圆心，当面积最大时，实数的值为（ ） A. B. -3或1C. 0或1D. -1或3【答案】B7. 直线与曲线的取值范围是（ ）2310x y ++=y 231332-12-23-13-i ()()221i a a a --++a -10ax y a +-+=()230a x y a --+=a 的----131619112()5,7A B l 1y x =+B ()7,6()4,7()6,7-()6,6()0x y m m R -+=ÎC ()()22214x y -+-=A B C ABC !的m 2±y x b =+x =bAB. C.D.【答案】C8. 已知焦点为，的双曲线点为上一点，且满足，若的面积为的实轴长为（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，都分选对得2分，有选错的得0分.9. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若且，则； B. 若且，则； C. 若且，则； D. 若且，则.【答案】BD10. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ）A. 女生人数多于男生人数B. D 层次男生人数多于女生人数C. B 层次男生人数为24人D. A 层次人数最少b ££2b =b £<2b =b <£2b =1F 2F C P C 2123PF PF =12PF F △C m n a b //m a //n a //m n m a ^n a ^//m n //m a //m b //a b m a ^m b ^//a b【答案】AC11. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）A. 设，为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是双曲线B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C.双曲线与椭圆有相同的焦点D. 若双曲线：的左､右焦点分别为､，为双曲线上一点，若，则或 【答案】BC12. 若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（ ） A. B. 0C.D. 3【答案】ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若直线：恒过定点，则定点坐标为___________. 【答案】14. 试写出一个焦点坐标为的椭圆的标准方程：___________.【答案】（答案不唯一）15. 已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________. 【答案】16. 已知实数，满足方程，则的取值范围为___________；的最小值为___________.【答案】 ①. ②.A B 0m >P PA PB m -=P 250x x -+=221259x y -=22135x y +=C 2213y x -=1F 2F P C 152PF =212PF =292PF =0x y m ++=P P O 223x y +=PA PB A B 120APB Ð=°m -l ()()212420m x m y m ++-+-=()0,2()0,1±2212y x +=()2,1A-()2,1B -P PA PB =P 40p x y 222410x y x y +-++=x 222x x y ++[]1,3-11-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆的方程为：. （1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程. 【答案】（1）；（2）或.18. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. （1）求边所在直线的一般方程；（2）边上中线的方程为，且的面积为4，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）或.19. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为的中点，求证：（1）平面； （2）平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.20. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.【答案】（1）或；（2）或21. 已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，C 2224690()x y mx ym m R +--+-=Îm C C ()1,2-3m =1x =34110x y --=xOy ABC !(),A m n ()2,1B ()2,3C -BC BC AD ()20x y t t R -+=ÎABC !A 240x y +-=()2,3()2,1-P ABCD -O ABCD E PC //EO PAD AC ^PBD 22142x y -=221167x y +=221167y x +=221612y x -=221126x y -=C (0,(()3,0O k l C M N两点.（1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值.【答案】（1）；（2）.22. 已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”. （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围. 【答案】（1）椭圆是“圆椭圆”；（2）.C ()3,0P-PM PN 1k 2k 12k k +()2214x y -+=0G 2221(2)4x y a a +=>A P A P A P a =G G a (2,。
南京市高二上学期数学10月月考试卷C卷
南京市高二上学期数学10月月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线＝ x＋近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A . 线性相关关系较强，的值为3.25B . 线性相关关系较强，的值为0.83C . 线性相关关系较强，的值为-0.87D . 线性相关关系太弱，无研究价值2. （2分）(2018·广州模拟) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 年接待游客量逐年增加B . 各年的月接待游客量高峰期在8月C . 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3. （2分）某公司有员工150人，其中50岁以上的有15人，35---49岁的有45人，不到35岁的有90人.为了调查员工的身体健康状况，采用分层抽样方法从中抽取30名员工，则各年龄段人数分别为（）A . 3、9、18B . 5、9、16C . 3、10、17D . 5、10、154. （2分） (2019高二上·田阳月考) 命题：若，则；命题：．则（）A . “ 或”为假B . “ 且”为真C . 真假D . 假真5. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，x1,x2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A . x1>x2,s1<s2B . x1=x2,s1<s2C . x1=x2,s1=s2D . x1=x2,s1>s26. （2分）设为两个事件，且，，则（）A . 与互斥B . 与对立C .D . A、B、C都不对7. （2分）向面积为S的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+ 对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A . ﹣1或1B . 或C .D .10. （2分）若集合A={参加2016年里约奥运会的运动员}，集合B={参加2016年里约奥运会的男运动员}，集合C={参加2016年里约奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是（）A . A⊆BB . B⊆CC . A∩B=CD . B∪C=A二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高二上·南宁期中) 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～200号为第40组)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码是．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人,则 ________．12. （1分）对某校400名学生的体重（单位：kg）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为________13. （1分） (2017高一下·珠海期末) 矩形区域 ABCD 中，AB 长为 2 千米，BC 长为 1 千米，在 A 点和 C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为________．14. （1分）已知回归方程为 =1.5x+4.5，x∈{1，5，7，13，19}，则 =________．15. （1分） (2016高二上·黄陵期中) 已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a 与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．16. （1分） (2016高二下·安徽期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（1，s2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为________．17. （1分）小明在微信中给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额度，每份至少1分），若这三个红包被甲、乙、丙三人抢到，则甲抢到5分钱的概率为________．三、解答题 (共5题；共60分)18. （10分） (2017高二上·靖江期中) 已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19. （15分） (2019高二下·新城期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数，参考数据：，，，（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？20. （15分） (2016高二上·枣阳期中) 甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘（如图），甲、乙两人各转转盘一次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分．（假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率（1）甲得分超过7分的概率．（2）甲得7分，且乙得10分的概率（3）甲得5分且获胜的概率．21. （10分）已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A 发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．22. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：（12分）抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 = xi=9.97，s= = =0.212，≈18.439，（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s， +3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r= ，≈0.09．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共60分) 18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共13 页21-1、22-1、22-2、第12 页共13 页第13 页共13 页。
2022-2023学年江苏省南京市田家炳高二年级上册学期10月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）()1,0A (4,B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为AB k ==设直线的倾斜角为，则AB θtan θ=又，0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为．AB 120︒故选：C 2．设复数，则（ ）131iz i +=-A ．B ．的实部为15z =z C ．的虚部为2D ．的共轭复数为z z 12i+【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，然后逐一核对四个选项得到答案.【详解】因为13(13)(1)241+21(1)(1)2i i i iz i i i i +++-+====---+的实部是，虚部是2z 1-所以||z ==12z i=--故选： .C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）30,20x y x y +-=-=13y x=A ．B ． 350x y ++=350x y +-=C ． D ．350x y -+=350x y --=【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.13y x=【详解】由解得，则直线的交点，3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩12x y =⎧⎨=⎩30,20x y x y +-=-=()1,2又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.13y x=13()1213y x -=-350x y -+=故选：C.4．甲、乙两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7．若两人同时射击一目标，则都不中靶的概率是（ ）A ．0.56B ．0.14C ．0.24D ．0.06【答案】D【分析】根据概率乘法公式，可得答案.【详解】解析：所求概率为．(10.8)(10.7)0.20.30.06-⨯-=⨯=故选：D.5．若m ，n 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）αβA ．若m //，m ∥，则∥B ．若m ⊥，⊥，则m //αβαβααββC ．若m ，m ⊥，则⊥D ．若m ，⊥，则m ⊥⊂αβαβ⊂ααββ【答案】C【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对于A ，若m //，m ∥，则与可能相交，故A 错误；αβαβ对于B ，若m ⊥，⊥，则m //或m ，故B 错误；ααββ⊂β对于C ，根据面面垂直的判定定理可得，若m ，m ⊥，则⊥，故C 正确；⊂αβαβ对于D ，若m ，⊥，则m 可能与平行或相交，故D 错误.⊂ααββ故选:C.6．设，，．若，则实数的值等于(1,2)a = (1,1)b = c a kb =+ b c ⊥kA ．B ．C ．D ．32-53-5332【答案】A【详解】由已知得，因为，则，因此，解(1,2)(1,1)c k =+(1,2)k k =++b c ⊥0b c ⋅= 120k k +++=得，故选A ．k =32-【解析】平面向量数量积．7．已知点分别在圆与圆上，则的最大,M N ()()221:129C x y-+-=()()222:2864C x y -+-=MN值为（ ）A B ．17C D ．1511+11【答案】C 【分析】由题可得的最大值为圆心距加上半径之和.MN【详解】依题意，圆，圆心，半径；()()221:129C x y -+-=()11,2C 13r =圆，圆心，半径，()()222:2864C x y -+-=()22,8C 28r =故.112m x 2a 11MN C C r r =++=+故选：C.8．若平面内两定点、间的距离为，动点与、、、不共线时，A B 2PA B PA B 面积的最大值是（ ）PAB △A ．B C D【答案】A 【分析】设，设，则，利用余弦定理、三角形的面积公PBm=APB θ∠=0πθ<<式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.PAB △【详解】设，设，则，PB m=APB θ∠=0πθ<<由余弦定理可得，cosθ==所以，221sin 2APBS PA PB θ=⋅==△，==≤=当且仅当的面积取最大值m =APB △故选：A.二、多选题9．已知直线l 过点，点，到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )()3,4()2,2A -()4,2B -A ．B ．220x y -+=220x y --=C ．D ．23180x y +-=2360x y -+=【答案】BC【分析】分直线l 斜率存在和不存在进行讨论﹒当l 斜率存在时，设其方程为，根据()43y k x -=-点到直线的距离公式列出关于k 的方程，解方程即可求直线l 的方程．【详解】当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直l 3x =A l B 线的距离为1，此时不成立；l 当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为，即，l ()43y k x -=-430kx y k -+-=∵点到直线的距离相等，()()2,24,2A B --，，或，23k =-2k =当时，直线的方程为，整理得，23k =-l ()2433y x -=--23180x y +-=当时，直线的方程为，整理得2k =l ()423y x -=-220.x y --=综上，直线的方程可能为或l 23180x y +-=220x y --=故选：BC ．10．已知圆的方程为，则（ ）C 222410x y x y +-++=A ．圆关于直线对称C 10x y ++=B ．过点有且仅有一条直线与圆相切(3,0)C C ．圆的面积为C 4πD ．直线被圆0x y +=C【答案】ACD 【分析】对A ：由圆心在直线上即可判断；对B ：由点在圆外即可判断；()1,2C -10x y ++=(3,0)C 对C ：由圆的面积公式即可判断；对D ：由弦长公式即可求解.【详解】解：圆的方程为，即，圆心，半径C 222410x y x y +-++=()()22124x y -++=()1,2C -，2r =对A ：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故选项A 正确；()1,2C -10x y ++=C 10x y ++=对B ：因为，所以点在圆外，所以过点有且仅有2条直线与圆()()2231024-++>(3,0)C (3,0)相切，故选项B 错误；C 对C ：因为圆的半径为2，所以圆的面积为，故选项C 正确；C C 224ππ⨯=对D ：因为圆心到直线的距离()1,2C -0x y +=d 所以直线被圆所截得的弦长为，故选项D 正确.0x y +=C ==故选：ACD.11．(多选)如图，在三棱锥P -ABC 中，已知PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）A ．平面EFG ∥平面PBCB ．平面EFG ⊥平面ABCC ．∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D ．∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角【答案】ABC【分析】分别用面面平行、面面垂直、线线角、二面角等知识对每个选项判断即可.【详解】对于选项A ：∵GF ∥PC ，GE ∥CB ，GF ∩GE ＝G ，PC ∩CB ＝C ，∴平面EFG ∥平面PBC .故A正确；对于选项B ：∵PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，PC ∥GF ，∴GF ⊥BC ，GF ⊥AC ，又BC ∩AC ＝C ，∴GF ⊥平面ABC ，又平面，∴平面EFG ⊥平面ABC . 故B 正确；GF ⊂EFG 对于选项C ：由选项A 知平面EFG ∥平面PBC ，且平面与两平面的交线分别为与，所APB EF BP 以EF ∥BP ，∴∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角.故C 正确；对于选项D ：∵GE 与AB 不垂直，∴∠FEG 不是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角．故D 错误.故选：ABC.12．已知圆M ：，点P 是直线l ：上一动点，过点P 作圆M 的切线22(2)1x y -+=0x y +=PA ，PB ，切点分别是A ，B ，下列说法正确的有（ ）A ．圆M 上恰有一个点到直线lB ．切线长PA 的最小值为1C ．四边形AMBP 面积的最小值为2D ．直线AB 恒过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用圆心到直线的距离可判断A ，利用圆的性质可得切线长PA =的距离可判断B ，由题可得四边形AMBP 面积为，可判断C ，由题可知点A ，B ，在PA MA PA=以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB 的方程，即可判断D.PM 【详解】由圆M ：，可知圆心，半径，22(2)1x y -+=()2,0M 1r =∴圆心到直线l ：，圆M 上恰有一个点到直线l ，()2,0M 0x y +=1故A 错误；∴当最小时，有最小值，又PMPAminPM=∴，故B 正确；min 1PA =∵四边形AMBP 面积为，PA MA PA=∴四边形AMBP 面积的最小值为1，故C 错误；设，由题可知点A ，B ，在以为直径的圆上，又，(),P t t -PM ()2,0M所以，即，()()()()200x t x y t y --++-=()22220x y t x ty t +-+++=又圆M ：，即，22(2)1x y -+=22430x y x +-+=∴直线AB 的方程为：，即，()2320t x ty t -+-+=()2320x t x y ----=由，得，即直线AB 恒过定点，故D 正确.23020x x y -=⎧⎨--=⎩31,22x y ==-31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BD.三、填空题13．在中，角的对边分别为，已知，则_________．ABC ,,A B C,,a b c10,45,30=︒︒==c A C b =【答案】【分析】根据内角和求出，正由正弦定理求解即可.B 【详解】解：在中，，ABC 180105B A C --=︒=︒由正弦定理,得sin sin b cB C=．sin 10sin10520sin10520sin(6045)20sin sin 30cB bC ===︒=︒+︒==︒︒故答案为：.14．过点的直线，与圆心在原点、半径为3的圆相切，则该直线方程为______．()3,5P -【答案】或30x +=815510x y +-=【分析】当直线斜率不存在时符合题意；当直线斜率存在时，设出方程，由圆心到直线距离等于半径求解即可.【详解】当直线斜率不存在时，易得直线方程为，此时圆心到直线的距离为3，直线和圆相3x =-切，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离为3，5(3)y k x -=+350kx y k -++=，3解得，即，整理得，故直线的方程为：或815k =-85101515x y --+=815510x y +-=30x +=.815510x y +-=故答案为：或.30x +=815510x y +-=15．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值22:240C x y x y m +--+=C 22:(2)(2)1D x y +++=m 为___________.【答案】11-【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.【详解】由，得，22240x y x y m +--+=22(1)(2)5x y m -+-=-所以圆的圆心为，C ()1,2C 因为圆，所以圆的圆心为，半径为，22:(2)(2)1D x y +++=D ()22D ,--1因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，C D C D，解得，1=+11m =-所以的值为.m 11-故答案为：.11-16．若圆上恰有三点到直线的距离为，则的值为_______.222610x y x y +--+=y kx =2k 【答案】43【分析】作出图形，分析出圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可得出关于实y kx =1数的等式，进而可求得实数的值.k k 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，如下图所示：()()22139x y -+-=()1,33由于圆上恰有三点到直线的距离为，()()22139x y -+-=y kx =2则圆心到直线的距离为，解得.y kx =321d -=43k =故答案为：.43【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，考查计算能力，属于中等题.四、解答题17．设直线l 的方程为（a ∈R ）.()130++-+=a x y a (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.【答案】(1)0或3(2)[]1,3-【分析】（1）通过讨论是否为0，求出a 的值即可；3a -+（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.【详解】（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则，即a +1＝1，331aa a -=-+∴a ＝0，方程即为，30x y +-=∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为，()13y a x a=-++-则，解得，()1030a a ⎧-+≤⎨-≥⎩13a -≤≤∴a 的取值范围是.[]1,3-18．已知三点在圆C 上，直线，(2,0),(1,3),(2,2)A B C :360l x y +-=(1)求圆C 的方程;(2)判断直线与圆C 的位置关系；若相交，求直线被圆C 截得的弦长．l l 【答案】(1)22240x y y +--=(2)直线与圆Cl 【分析】（1）圆C 的方程为:，再代入求解即可；220x y Dx Ey F ++++=(2,0),(1,3),(2,2)A B C （2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C 相交，再用垂径定理求解弦长即可l 【详解】（1）设圆C 的方程为:，220x y Dx Ey F ++++=由题意得:，24031002280D F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩消去F 得: ，解得: ， 362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩02D E =⎧⎨=-⎩∴ F =-4，∴圆C 的方程为:.22240x y y +--=（2）由（1）知: 圆C 的标准方程为:，圆心，半径;22(1)5x y +-=(0,1)C r =点到直线的距离，故直线与圆C 相交，(0,1)Cl d r ==<l 故直线被圆C 截得的弦长为l ==19．已知圆与圆相交于A ，B 两点.221:2280C x y x y +++-=222:210240C x y x y +-+-=（1）求直线的方程；AB （2）求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程；（3）求圆心在直线上，且经过A ，B 两点的圆的方程.y x =-【答案】（1）；（2）；（3）．240x y -+=22(2)(1)5++-=x y 22(3)(3)10x y ++-=【分析】（1）直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦所在的直线方程；AB （2）求出中点坐标及的长度，则以为直径的圆的方程即为所求；AB AB AB （3）求出两圆的交点坐标，设出圆心坐标，由半径相等求得圆心坐标，则圆心在直线上，y x =-且经过、两点的圆的方程可求．A B 【详解】（1）由．22222280240210240x y x y x y x y x y ⎧+++-=⇒-+=⎨+-+-=⎩圆与圆的公共弦所在的直线方程为∴221:2280C x y x y +++-=222:210240C x y x y +-+-=AB；240x y -+=（2）以为直径的圆即为面积最小的圆AB 由，，(4,0)A -(0,2)B 则中点为，AB (2,1)-1||2AB 经过、两点且面积最小的圆的方程为．∴A B 22(2)(1)5++-=x y （3）由（1）得，代入中得，，24x y =-222280x y x y +++-=220y y -=或，即，，∴40x y =-⎧⎨=⎩02x y =⎧⎨=⎩(4,0)A -(0,2)B 又圆心在直线上，y x =-设圆心为，则，，(,)M x x -||||MA MB =22||||MA MB =即，解得．2222(4)()(2)x x x x ++-=+--3x =-圆心，半径．∴(3,3)M -||MA =圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程为．∴y x =-A B 22(3)(3)10x y ++-=【点睛】本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了圆的几何性质、圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题．20．中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知.ABC cos sin a b C B -(1)求内角B 的大小；(2)已知 ，请判定的形状，并说明理由.ABC 2a c =ABC 【答案】(1)π3(2)为直角三角形，理由见解析ABC 【分析】（1）根据正弦定理边角转化既可求解;（2）根据三角形面积公式以及余弦定理求出三边长度，即可根据勾股定理证明为直角三角形.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，cos sin a b C B -=sin sin cos sin A B C C B -=又由，()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦可得，cos sin sin B C C B =因为，可得，所以，即，()0,πC ∈sin 0C >cos B B =tan B =又因为，可得.()0,πB ∈π3B =（2）因为，所以ABC π3B =1csin 2S a B ===所以，因为，所以，2ac =2a c =1,2c a ==所以b ==所以，故为直角三角形.222a bc =+ABC 21．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为1111ABCD A B C D -E F G AB 1BB 1CC H 的中点．BE(1)求证：平面平面；1//B EG HFC (2)求直线与所成角的余弦值；1EB CF 【答案】(1)证明见解析(2)25【分析】（1）根据可得平面，再由得到平面，即可得证；1//FC B G //FC 1B EG 1//B E HF //HF 1B EG （2）设正方体棱长为，求出的边长，利用余弦定理计算得出答案；a 1B EG △1cos EB G ∠【详解】（1）证明：、是、的中点，H F BE 1BB ．1//HF B E ∴平面，平面，HF ⊂/ 1B EG 1B E ⊂1B EG 平面．//HF ∴1B EG 又且，所以四边形为平行四边形，1B F CG =1//B F CG 1B FCG 所以，又平面，平面，1//CF B G CF ⊂/1B EG 1B G ⊂1B EG 所以平面．//CF 1B EG 又，平面，平面，HF CF F= HF ⊂HFC CF ⊂HFC 平面平面．∴1//B EG HFC （2）解： ，1//CF B G 为直线与所成角．1EB G ∴∠1EB CF 设正方体棱长为，则，a 11B G B E CE ===，EG ∴=在中，，∴1B EG △222111112cos 25+-∠==⋅B E B G EG EB G B E B G 所以直线与所成角的余弦值为．1EB CF 2522．已知直线过定点，且与圆交于、两点．l ()0,222:20C x x y -+=M N (1)求直线的斜率的取值范围．l (2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该O OM ON 1k 2k 12k k +定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)是定值为12k k +1【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式l l 2y kx =+可得出关于的不等式，解之即可；k （2）设，，设直线的方程为，将该直线的方程与圆的方程联立，()11,M x y ()22,N x y l 2y kx =+C列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出的值.12k k +【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C 1若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.l l C 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 2y kx =+，解得.134k <-因此，直线的斜率的取值范围是.l 3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）解：设，，设直线的方程为.()11,M x y ()22,N x y l 2y kx =+联立，得，其中，22220y kx x x y =+⎧⎨-+=⎩()()2214240k x k x ++-+=34k <-所以，，122241k x x k -+=+12241x x k =+则()()()1221121212122112121212122222kx x kx x kx x x x y y y x y x k k x x x x x x x x +++++++=+===，2224212212141k k k k k k -⨯+=+=+-=+所以为定值.12k k +1。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期高二期中数学模拟试卷(1)
南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷高 二 数 学 2020.10一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分）1．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ▲ ）A B ．2C ．4D ．2．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ▲ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ▲ ） A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．1312B C D 5．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ▲ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．6．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ）A ．3B ．3C ．3D ．37．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是（ ▲ ）A B ．2C ．23D ．348．过抛物线216y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆与直线13x =相切，则直线l 的方程为（ ▲ ）A ．y =-y =-+B ．416y x =-或416y x =-+C ．28y x =-或28y x =-+D ．4y x =-或4y x =-+二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分） 9．已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ▲ ） A ．tan 0θ< B ．24tan9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin20θ>10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <11．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ） A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN =12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）13．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =▲ .14．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ .16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是 ▲ ；若直线l 过点F ，则k = ▲ . 四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）17．（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.已知 ▲ ，计算ABC 的面积.请①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P . （1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点()2,0A，()2,0B -，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==． （Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是22．21．（14分）已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线1C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，1S 、2S 分别是PAB △、PCD 的面积，求12S S 的最小值.22．（16分）已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y -=截得的弦长为27. （1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ. ①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1．B2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB 10．BC 11．ABC 12．BCD 13．23π14．15116．24x y = ±17．答案不唯一，见解析 18．（1）15（2）13-19．（1）()22102x y y +=≠；（2）10x y --=或10x y +-=． 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．21．（1）定点坐标为()1,0，证明见解析；（2）43. 22．（1）()()22139x y -+-=；（2）①()()22551x y -+-=，Γ是圆；②存在， 4949,1010D ⎛⎫⎪⎝⎭.。