信息安全数学基础参考试卷

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

XXXX 级《信息安全数学基础》试卷A

1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上；

3．考试形式：闭卷；不许使用计算器；

选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下)： （每题2分，共10分）

1．设 m 是大于 1 的整数, a 是满足(a , m )＝1 的整数,则 ( )。 (1) a m ≡a (mod ϕ (m ))， (2) a ϕ (m )≡a (mod m )， (3) a m ≡1 (mod ϕ (m ))， (4) a ϕ (m )≡1 (mod m )。 2．设m 是一个正整数，a , b 是整数，下面正确的是( )。

(1) 若ad ≡bd (mod m )，则 a ≡b (mod m )； (2) 若a ≡b (mod m ) , 则 ak ≡bk (mod mk )；

(3) 若a ≡ b (mod m )，正整数 d | (a , b , m )，则

mod()a b m d d d

≡； (4) a ≡b (mod m )， 如果m | d ，则 a ≡b (mod d )。

3．整数kn 和k (n +2)的最大公因数(kn , k (n +2))=( )。 (1) 1或2， (2) | kn |， (3) | n | 或 | kn |， (4) | k | 或2| k | 。

4．设 a ＝23×32×54×116 ，b ＝22×36×74×113，使得a' | a ，b' | b ，a' ×b'＝[a ，b ]，a'，b' )＝1 的a'，b' 分别为( )。

(1) 54 ×116 ，22×36×74， (2) 23×54 ，36×74×113， (3) 23×54 ×116 ，36×74， (4) 23×54 ×116 ，36×74×113

5．集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。如果( )，则

(1) F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群，运算“ · ”对于“＋”满足分配律。

(2) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群，运算“ · ”对于“＋”满足分配律。

(3) F对于运算“＋”和“ · ”构成交换环，运算“＋”的单位元是e，运算“＋”对于“ · ”满足分配律。

(4) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换环，运算“＋”对于“ · ”满足分配律。

二．填空题(将正确答案填在上)：（每题2分，共20分）1．设a＝1520，b＝162，根据欧几里得除法，对整数c＝－100，存在唯一一对整数q＝，r＝，使得a＝bq ＋r，c≤r < b＋c。

2．如果整数a，b满足(a, b)=1，那么(a＋b, a－b)＝。

3．n＝1764的欧拉函数值ϕ(n)＝______________。

4．模11的平方剩余是，模11的平方非剩余是。

5．[12, 15, 21, 35]的最小公倍数是。

6.模10的最小非负完全剩余系是，最小非负简化剩余系是。

7. 一次同余式234x ≡ 72（mod 198）的解数是。

8.Q为有理数集合，定义Q上的运算⊙为：对任意a，b∈Q，a⊙b＝(a＋b)－a×b。Q关于运算⊙的单位元为，4关于运算⊙的逆元是。

9. F13 *＝Z/13Z\{0}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}关于运算⊗：(a, b)→(a×b)mod13构成群。则元素5生成的循环子群为，元素5的阶为____________。

10. 设m 是一个正整数，a是满足的整数，则存在整数a'，1≤a'＜m ，使得aa'≡1 (mod m)。

三．证明题（写出详细证明过程，4题，共30分）

1．设a, b是任意两个不全为零的整数，若m 是任一正整数，则(am, bm)＝(a, b)m.

（7分）

2．如果a, b是整数，n是正整数，且a n|b n，那么a|b。（5分）3．设m 是一个正整数，a是满足0(mod)

≡/的整数。则一次同余式ax≡b

a m

(mod m)有解的充分必要条件是(a , m)|b。（10分）

4．设a, b和u, v都是不全为零的整数, 如果a ＝qu＋rv，b ＝su＋tv，其中q , r，s , t是整数,且qt－rs ＝1，则(a, b ) ＝(u, v ) 。（8分）

四．计算题（写出详细计算过程，3题，共40分）

1．设a＝822916，b＝1107，运用广义欧几里得除法计算(a, b)并求整数s和t，使得sa＋tb＝(a, b)。（10分）

2．1) 构造RSA公钥密码系统：取p＝11, q＝13,

计算n＝pq＝，ϕ(n)＝。取e＝7。

设RSA公钥密码系统使用N＝26字符集N：N＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z}

＝{0, 1, 2, 3, ..., 24, 25}

明文信息空间由2字符组组成的集合M＝N2＝{aa, ab, ac, ... , xz, yz, zz}。

密文信息空间由2字符组组成的集合X＝N2＝{aa, ab, ac, ... , xz, yz, zz}。

2) 用广义欧几里德除法计算d，满足de≡1 (mod ϕ(n) )(写出详细计算过程)。

3) 公钥K e＝，私钥K d＝。

4) 求用公钥K e对“bg”加密后的密文(写出详细计算过程)。

（20分）