函数的最大值和最小值教学设计_范永祥

函数的最大（小）值韶关市田家炳中学范永祥一、教材分析本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。

本课时主要学习函数的最大（小）值的概念，探索函数最大（小）值求解方法。

本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。

函数最大（小）值的概念是研究具体函数值域的依据，对于学生进一步研究函数图像性质，以及将来研究不等式问题有重要作用。

函数最大（小）值的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

本课题分两课时，本节是第一课时。

二、学情分析本节课的教学以函数的最大（小）值的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。

按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中知道“函数最大（小）值就是函数值中最大（小）的一个”的常识，并未接触“最大（小）值”一概念，对最大（小）值的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。

三、教学目标：1．知识与技能：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．过程与方法：通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值学习过程中，培养学生积极情绪，树立学习信心，形成科学严谨治学态度，同时培养学生坚强意志以及创新精神，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的好奇心积极性．四、教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义。

五、教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．六、教学用具：多媒体.七、教学方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．八、教学过程：（一）创设情景，揭示课题．问题一：什么是函数的最大（小）值？考察：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①R x x x f ∈+-=,3)(②]2,1[,3)(-∈+-=x x x f ③R x x x x f ∈++-=,32)(2④]2,1[,32)(2-∈++-=x x x x f存在问题：① 不会用描点法作图，二次函数的图像性质陌生；②画图忽视定义域，忽视端点的实与虚；求最值环节出错（求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算）③说不出图像最高点的特征。

针对上述问题、教师组织学习小组学习研讨、小组长小结后老师进行点评，揭示问题本质属性，进行抽象概括，形成定义。

【设计意图】以实践引发反思，激发学生探究热情，提高学习兴趣，提高学生对学习的研究能力，感受到数学在现实问题中应用的重要性，培养学生用数学解决问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围 。

（二）研探新知，抽象概括1．函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．类比：将上述条件()f x M ≤改为M x f ≥)(，其它不变，M 就是函数()y f x =的最小值注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；即源于x （ ）②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ，都有 ．定义的核心条件是“范围内”“有大小”“能取等”转而言之“最值源于x （ ），大于或等于” 可以概括为 或 ③函数的最值性质是相对定义域而言，是整体性质，（不能只考虑区间端点的函数值例如： 的最小值为 ）0x I ∈0()f x M =I x ∈x I ∈”）（或“≥≤M x f )(I x ∈I x x x f x f ∈≤00,),()(Ix x x f x f ∈≥00,),()()(x f ]2,1[,2-∈=x x y•与单调性有区别，后者为局部性质【设计意图】增强反思意识与习惯，培养问题意识。

“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂。

同时培养学生思维的严谨性，系统性。

（三）质疑答辩，排难解惑．问题二：怎样求函数的最大（小）值方法一：图像法例1．如图为函数]7,4x=xy的图像指出它的最大值和最小值并指出它们对应f∈[),(-的x值.【设计意图】培养学生形成性思维，数形结合的思想，直观认识函数的最值，培养问题意识。

从图像的方法直接探索函数最值是非常重要的方法。

变式1、函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为( )变式2、函数]2,1=x-x+f最大值为x,2[3)(-∈变式3、求函数,22(2-)f在下列给定x值的区间上的最大值和最小值x+x=x①]0,2-③)2,1[[-②]1,3[-图像法的小结：【设计意图】形成图像法解函数的最值，培养学生画图习惯，运用图像观察、分析问题的习惯。

同时培养学生举一反三的创新思维，发散思维。

例题2.（阅读）p30例题3例2．求函数)410(1)(≤<+=x x x x f 的最大值和最小值小组讨论：图像怎样画？当画图出现困难时怎样从另一条路径寻求解决问题的方法？【设计意图】培养学生运用函数最值定义解决最值问题的迁移能力、深入理解函数最值的定义，并能灵活运用的能力。

为函数最值的另一种方法——单调性方法做好铺垫工作。

方法二：利用函数的单调性。

变式：求函数13)(+=x x f 在区间[0，2] 上的最大值和最小值．【设计意图】形成单调性方法求最值的基本步骤，让学生来亲身体验，获得成功感：小结单调性方法求最值的基本步骤1、探索函数的单调性2、根据函数的单调性来判断函数值的大小变化，从而决定函数的最值对应点3、求出函数最值对应点，并代入函数解析式，求得函数的最值4、根据定义下结论。

（四）巩固深化，反馈矫正．• 1、函数 最小值为 • 2、函数 最大值为 【设计意图】巩固单调性方法求最值的基本步骤，鼓励学生大胆使用函数的单调性解决函数的最值，引导学生利用函数的图像，函数单调性法则判断函数的单调性，过后函数的单调性的判断关和证明关。

解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,10,1)(2≤≤++=x x x x g )1,2[,1-∈-=x x x y 课本例题阅读例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m 与时间t s 之间的关系为:h(t)= -4.9t 2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）我们有:于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最 佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 【设计意图】扩大学生数学学习的视野、提高自学能力，应用数学知识解决实际问题的能力。

（五）归纳小结，升华认识1、函数最值定义两个条件缺一不可；“最值源于x （I x ∈），大于或等于)(x f ”；2、记住函数最值的几何意义——最值为函数图像最高（低）点的纵坐标。

3、求函数最值的常用方法有：（1）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．（2）单调性方法：通过函数的单调性判断函数的最值．5、求函数最值流程图29)9.4(47.1418)9.4(4 5.1)9.4(27.142≈-⨯-⨯-⨯==-⨯-=h t 时，函数有最大值当（六）设置问题，留下悬念．作业：1．求函数02,22≤≤--=x xy 的最小值．2．求函数322++-=x x y 当自变量x 在下列范围内取值时的最值．①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞【设计意图】巩固本节课所学内容，提高理解能力，加强规范性训练，提高动手能力与反思水平【教学设计说明】求函数的最大值和最小值是函数的单调性作为重要数学工具的具体体现，本节课旨在加强学生运用函数的最值的定义的基本思想（方程，不等式）去分析和解决问题的意识和能力，掌握求函数最大值和最小值的方法。

课堂以函数的最值“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开。

1．本节课教学以学生的初中一次函数、二次函数图像为情景，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念。

2．关于教学过程。

力争让学生在课堂上理解和掌握本节课的重点：求闭、开区间上连续的函数的最值的方法和一般步骤。

为了突破教学难点：求最值对应x 值的优化方法及相关问题，理解确定函数最值对应x 值的方法，课堂采取合作探究，层层递进的方法，引导学生观察、分析，尝试解决问题，反思优化方法，让学生自己亲身经历知识建构过程，充分调动学生的主观能力性。

3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学抽象知识具体化，让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，增大课堂容量，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．【课后教学反思】1、充分备课是上好一节课的前提。

备课时应站在章节知识整体甚至是高中数学整体的高度上来考虑，同时也应该充分研究学生、课标、考纲，进行科学合理的安排，谋篇布局。

备课时，我仔细阅读了教材、教学参考书、课标、考试要求、还阅读了其他相关的资料，如《高中数学教学设计案例》《高考备考指南》。

查看了大部分学生的单元测试试卷，思考他们为何做错，典型错误在哪里，采用什么方法进行教学才能收到最大效益，等等。

备课后征求优秀教师的意见，反复修改，几易其稿。

2、导入新课有新意，等于课堂成功了一半。

导入新课时以他们初中所学的一次函数、二次函数图像为情景，并从不同角度提出学习新问题，引发学生学习兴趣，激发学生好奇心，共鸣感。

3、教会学生进行解题分析是课堂教学的关键。

善于分析，化难为易。

数学问题与数学知识方法是紧密联系的，只有教会学生分析方法，才能去伪存真，去粗取精，由此及彼，由表及里，循序渐进，层层深入，从而深入问题本质，找到解决问题的有效方法，并且用这些方法解决问题，使课堂收到效果。