5 高斯光束和超短脉冲光束基本性质-Lu revised
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第8章高斯光束
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
lim w0 lim
F
w F 0
F (l F )2 f 2
lim F
1
1
(l
- F)2 F
f F
2 2
w0 1 w0
w0 w0
1
l f
2
1
RR
2
F
25
结论
只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
F15 q
五、透镜对高斯光束的变换规律
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
16
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
解 (1)
0
f
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
z=0.5m
q(z) பைடு நூலகம் if 0.5 i(m)
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
f2
12
R(z) z 0.5 2.5m
z
0.5
8
例8-2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相
超短脉冲 第四章 ppt课件
2
结论：在介质中传播后的脉冲除了附加了 1 2 和 0 / 4 的相移, 还加了一项相位调制因子 exp{i(t ' t)2 /(2)}
初始脉冲的振幅A（t）在缓变条件下可以近似为不变，方便
处理问题，初始位相可以假定为0
PPT课件
8
第四章 超短激光脉冲特性
2 .高斯光束在色散介质中的传播
E(z,t) 1
2
e i ( )
A(t
')ei
(t
e') i0t
e' it
'dt
'
eit
d
ei(0t 0
)
1
2
ei
(t t ')( 0
PPT课件
)ei(
0
)2
/
2d
飞秒激光脉冲光谱宽度一般 在十几到几十纳米，而且脉 宽越短，带宽越宽。
飞秒激光的脉宽和它的光谱
35fs Tsunami 激光器输出激光脉冲光谱 带宽乘积满足定量关系。
PPT课件
2
第四章 超短激光脉冲特性
4.2 超短激光在色散介质中的传播
从锁模的原理看，一个超短激光脉冲可以看成包含多种频率成 分的波包，光学脉冲脉宽短到与它的频率的倒数接近时,它的光 谱迅速变宽。
一般来说, 物质的折射率依频率而改变。如果超短脉冲通过这样 的介质,各波长的传播速度不一样, 就会造成脉冲在时域的形变。
超短激光脉冲在色散介质中传播时，由于色散效应引起的脉宽 展宽以及脉冲啁啾的产生是超短脉冲光学一大特征。
本节讨论超短脉冲在色散介质中的传播。
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
对⾼斯光束传输理论的⼀些学习笔记⾼斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道⾼斯光束在⾃由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后⾼斯光束如何变化。
⾼斯光束的传输规律激光光束具有⽅向性好的特点，光束的能量在空间的分布⾼度的集中在光的传播⽅向上，其光束具有⼀定的发散⾓，光束分布有着特殊的结构。
由球⾯波构成谐振腔产⽣的激光束，在它的横截⾯上，光强是以⾼斯函数型分布的，称为⾼斯光束。
⾼斯光束在光学设计中有着⼴泛的应⽤。
沿z 轴⽅向传播的基模⾼斯光束可以表⽰为如下的⼀般形式：-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω（1）其中E 0为常数因⼦，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2）ω0为基模⾼斯光束的腰斑半径；f 为⾼斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的⾼斯光束等相位⾯的曲率半径；由上式我们可以看出，⾼斯光束具有下述基本性质：（1）基模⾼斯光束在横截⾯内的场振幅分布按⾼斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中⼼（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中⼼值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增⼤1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极⼩值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模⾼斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲⾯为界的。
（2）基模⾼斯光束的相移相位因⼦由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述⾼斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
激光基本知识-(9)高斯光束
双曲线顶点坐为 ±ω，0
焦点坐标为F (0, ± πω02 ) λ
光能主要分布在双锥体内 NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
波面曲率半径
R(
z
)
= z 1
+
f z
2
= z 1
+
(
πω02 λz
)2
z
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ z=0，ω0 (束腰处等相面为平面）
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
z
−ω0
F
毫弧度量级
θ0
=
lim
2ω ( z )
z
=
λ
2
πω0
=
λ
0.6367
ω0
=
2
λ = 1.128 πf
λ
f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
θB
=
λ πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
2.6 高斯光束基本性质及特征参数
z i kztg 1 f
1 1 i q z R z 2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和
z
1 Im 特例： 2 z q z
几何相移
与横向坐标 相关的相移
附加相移 (在旁轴情 况下可以忽 略)
3、等相面特点
(1)等相面为球面， 曲率半径为
0 2 f2 R R z z z 1 z z
(2)z=0时束腰位置，R(z)→。等相面为平面。 (3)z << f 时，R(z)≈ f 2/z→。等相面近似为平面。 (4)z >> f 时，R(z)→ z。光束可近似为一个有 z=0点发出的半径为z的球面波。 (5)z → 时，R(z)→ z。等相面为平面。 注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它要 随着光束的传播而移动。
可用ABCD公式验证普通球面波在自由空间和薄透镜中的 传输规律。 自由空间为例
r2 Ar B1 1
2 Cr1 D1
近轴光 , r2 R2 2 r R11 1 —ABCD公式
AR1 B R2 2 CR1 D r2
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
2
2 0 2 0 l F l F i lc F 2 2 2 2 F l 2 0 F l 2 0 1 2 2 2 qC 2 2 0 2 0 l F l F lc F 2 2 2 0 0 2 F l 2 F l 2 2 2
第六章高斯光束详解
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
高斯光束等相位面的分布以及曲率 中心的移动
曲率半径极小 值
在榜轴近似下，高斯光束可看作是一种曲率中 心与曲率半径都随传播过程而不断改变的非均匀 球面波。等相位面是球形的，但等相位面上的光 场振幅分布却是非均匀的高斯分布。
每个球面上的各点，振幅都是A1/r，同一球面 上各点的光强是均匀的。
1.3 高斯光束
高斯光束是由具有稳定谐振腔的激光器所发出的。 的激光束。既不是均匀平面波，也不是均匀球面 波，而是振幅和等相位面都在变化的高斯球面波。
u x, y
ik
4
u x', y' eik
S
1 cos ds'
菲涅耳—基尔霍夫 衍射积分.
（4） 由
(-z - f ') f '2
方形镜共焦腔：镜面上的场分布为厄米-高斯函数。 圆形镜共焦腔：镜面上的场分布为拉盖尔-高斯函数。
由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应 用最多的是基模高斯光束。
E r, z
c
e e
r
22Βιβλιοθήκη zik[z
r2
2R z
] arctan
z F
z
平面波因子 二维高斯函数 球面波因子
基模高斯光束的特点：
置和束腰半径ω
′
0
02
=
'2
1+
π '2 R'
2
=
0.5 2
1+
3.1416 0.50162 0.0006328 100.65
2
= 0.001613
0 = 0.04016mm
高斯光束等相位面的分布以及曲率 中心的移动
曲率半径极小 值
在榜轴近似下，高斯光束可看作是一种曲率中 心与曲率半径都随传播过程而不断改变的非均匀 球面波。等相位面是球形的，但等相位面上的光 场振幅分布却是非均匀的高斯分布。
每个球面上的各点，振幅都是A1/r，同一球面 上各点的光强是均匀的。
1.3 高斯光束
高斯光束是由具有稳定谐振腔的激光器所发出的。 的激光束。既不是均匀平面波，也不是均匀球面 波，而是振幅和等相位面都在变化的高斯球面波。
u x, y
ik
4
u x', y' eik
S
1 cos ds'
菲涅耳—基尔霍夫 衍射积分.
（4） 由
(-z - f ') f '2
方形镜共焦腔：镜面上的场分布为厄米-高斯函数。 圆形镜共焦腔：镜面上的场分布为拉盖尔-高斯函数。
由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应 用最多的是基模高斯光束。
E r, z
c
e e
r
22Βιβλιοθήκη zik[z
r2
2R z
] arctan
z F
z
平面波因子 二维高斯函数 球面波因子
基模高斯光束的特点：
置和束腰半径ω
′
0
02
=
'2
1+
π '2 R'
2
=
0.5 2
1+
3.1416 0.50162 0.0006328 100.65
2
= 0.001613
0 = 0.04016mm
十七章--高斯光束的物理特性
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
第5讲-高斯光束
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式 z020/ 可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
–
则其光强分布为：
I(r)
I0exp2r22
A(r)
A0expr22
20
lim(z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
2 0
z2 z20
1
1
即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有
最小值 0 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
1/ e
Z
Z
E (x,y,z)
E 0 (z 0)exp 2 r(2 z) exp相 位 移 i kz(z)2R kr(2 z)
总 相 位 移 ( x ,y ,z ) k z ( z ) 2 R k r ( 2 z ) k z 2 R r ( 2 z ) t a n 1 z 2 0
该表达式就是类透镜介质 的折射率表达式，证明我 们考虑的k(r)表达式代表
级数 展开
2 k0 12 kk20r2 n0 12 kk20r2
的正是在类透镜介质中的 情况。
波动方程
• 类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
–
则其光强分布为：
I(r)
I0exp2r22
A(r)
A0expr22
20
lim(z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
2 0
z2 z20
1
1
即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有
最小值 0 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
1/ e
Z
Z
E (x,y,z)
E 0 (z 0)exp 2 r(2 z) exp相 位 移 i kz(z)2R kr(2 z)
总 相 位 移 ( x ,y ,z ) k z ( z ) 2 R k r ( 2 z ) k z 2 R r ( 2 z ) t a n 1 z 2 0
该表达式就是类透镜介质 的折射率表达式，证明我 们考虑的k(r)表达式代表
级数 展开
2 k0 12 kk20r2 n0 12 kk20r2
的正是在类透镜介质中的 情况。
波动方程
• 类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。
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基模高斯光束
拉盖尔高斯光束
基模高斯光束与高阶厄米、拉盖尔高斯光束具 有类似的传输性质； 伤其十指不如断其一指； 对于大多数激光器和应用而言，基模高斯光束 是最常见的光束； 高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的 一个特解。
下面回顾：傍轴方程及其积分解的步骤
稳态传输中包络不含时间， E ( x, y, z, t ) A( x, y, z )ei ( k0 z 0t ) , k0 n00 , E为标量场 c
F ( k ,k )
f ( x , y ) x2 y 2 1 2 2 （1）令w0 =a ，得 exp 2 w0 2
F ( k ,k )
2 2 2 2 2 k x2 k y 2 k x2 k y w0 k x2 k y 2 w0 (k k z ) （2）A x , y , exp w0 exp i z exp w0 (1 iz / Z R ) 2 2 4 2k 4 1 A( x, y, z ) A(k x, k y , z) exp i(k x x k y y) dk x dk y 2 2 2 k x2 k y 2 w0 1 exp w0 (1 iz / Z R ) exp i (k x x k y y ) dk x dk y、 2 2 4 2 a 2 k 2 k 2 a 2 w0 (1 iz / Z R ) 1 1 x y 2 exp w0 (1 iz / Z R ) exp i (k x x k y y ) dk x dk y 1 iz / Z R 2 2 4 1 x2 y 2 = exp 2 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R )
2 2 k x2 k y 2 w0 作傅里叶变换得：A(k x , k y , 0) exp w0 2 4
代入（3）式，得
2 k x2 k y A(k x , k y , z ) A(k x , k y , 0) exp i 2k 2 2 2 w0 k x2 k y 2 k x2 k y z= exp w0 exp i 2 4 2k
x
y
y ) dxdy (5)
综上，由
A(0)
求
A(z)
的过程可分为三步：
A( x, y,0) A(kx , k y ,0) A(kx , k y , z) A(x, y, z )
F 乘以相位因子 逆FT
以下按此步骤求高斯光束解
x2 y 2 设初始光场为高斯分布：A( x, y, 0) （实虚部分开）为： x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
振幅部分 相位部分
1.高斯光束的束宽
2 w( z )=w0 1 z 2 / Z R
高斯光束在z=常数的面内，场振幅以高斯函数的形式从 中心向外平滑的减小。束宽随坐标z按双曲线 w2 ( z ) z 2 2 1 2 w0 ZR
规律向外扩展，
z 0时，w( z) w0取最小值。
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
1 x2 y 2 高斯光束的表达式为：A( x, y, z ) exp 2 （6） 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R ) 引入q参数q( z ) z iZ R , (6)式变为： x 2 y 2 iZ R r 2 q(0) A( x, y, z ) exp ik q( z ) exp i 2cq( z ) q( z ) 2q ( z ) （7）
脉冲高斯光束为单色连续高斯光束解的傅立叶变 换，其数学依据： 二者的方程互为傅立叶变换！
具体推导如下：
矢量光场 E (r , z , t )在自由空间传输的波动方程为 : 2 1 E 1 2 2 E 2 2 =0 其中c c t 0 0 引入随动坐标t ' t z / c, z ' z 我们可以用其载波频率和包络来表示： E (r , z ' , t ) exp(i0t ' ) 其中0 2 / T0和T0分别为载波频率和振荡周期
z （5）
附录1 对（5）式作反傅里叶变换得高斯光束的表达式为：
1 x2 y 2 A( x, y, z ) exp 2 1 iz / Z R w0 (1 iz / Z R ) 2 2 kw0 w0 其中Z R 是Rayleigh距离。 2
考虑到对于脉冲长度T 在一个振荡周期T0以上的脉冲光束E，
对其包络有： 2 2 2 2 '2 2ik0 ' z z c z 't ' 引进傍轴近似，可得傍轴方程为： 2 2 2ik0 ' z c z 't ' 此即在自由空间中脉冲光束的传输方程。
那么引进傍轴近似[1]可得： A 空间域的傍轴方程为： 2ik0 2 A 0 (1) z
傅立叶变换
2 2 kx k y A 角谱域的傍轴方程为： i A (2) z 2k0
[1]胡巍讲义近似7
由（2）式可得：
2 k x2 k y 角谱域中的解：A(k x , k y , z ) A(k x , k y , 0) exp i z 2k0
高斯光束的基本性质
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
4、连续单色高斯光束及超短脉冲高斯 光束的基本性质
主要内容
单色连续高斯光束的解析解 高斯光束的基本性质 超短脉冲高斯光束的解析解 超短脉冲光束的时空耦合作用之一：时延效应
横模：腔内电磁场在垂直于其传输方向的横向x-y面内存 在的稳定场分布。不同的横模对应不同的横向稳定光场分 布和频率。一般用 TEMmn 来标记，TEM00称为基模。 厄米高斯光束
(1) 1um, w0 0.1mm 100um
实证：
2 2 kw0 w0 ZR 30mm 2 (2) 1mm, w0 10mm 1000um
ZR
2 2 kw0 w0 3m 2
超短脉冲光束的解析解（基模）
随着固体激光器技术的发展，人们已经能够产生 几周期甚至是亚周期的脉冲光束。
i0 r 2 iZ R r2 ' 由(8)式：E ( x, y, z , t ) F (t ) exp( ) exp(i0t ' )，其中q ( z ) z iZ R q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) ' r2 ' r2 取 Re t t Re , 可看出脉冲的时间延迟。 2cq( z ) 2cq( z )
利用傅里叶变换性质
超短脉冲厄米、拉盖尔高斯光束的 求解：
直接作傅立叶变换难以得到解析解
上帝在关上一扇门的同时，会为你打开一扇窗-》泰勒展开
具体见文献：
LuDQ09_物理学报_58(3)1566-1611等衍射超短脉冲厄米高斯光束在 自由空间中的传输及其时空耦合效应
超短脉冲光束的时空耦合作用之一：时延效应
F 高斯脉冲光束可以看作是不同频率脉冲的叠加， ( 0 ) 为频谱分布函数。
E ( x, y, z , t ) F ( 0 ) A( x, y, z ) exp(it ' )d r 2 iZ R ' F ( 0 ) exp i exp(it )d q( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R F ( 0 ) exp i ) exp i ( 0 )t ' exp(i0t ' )d exp( q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R ' ' exp( ) exp(i0t ) F ( 0 ) exp i exp i ( 0 )t d (8) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) i0 r 2 iZ R r2 ' ' exp( ) exp(i0t ) F (t ) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z )
无论在自由空间，线性介质，还是非线性介质中， 其传输性质都由于时空耦合效应的存在而与准单色光 束有着很大的区别。 在前人的研究中，很多超短脉冲 所特有的现象，诸如时间微分效应、光周期缩短、脉 冲的时间延迟、红移等效应都得到了深入的研究。 对于一个具体的脉冲光束，如果知道了其解析表达 式，则可以方便而直观地研究其传输性质。因此对于脉 冲光束的求解一直是脉冲光束传输研究的一个重要内容。
(3)
傅立叶逆变换
空间域中的解： 1 A( x, y, z ) A(kx , k y , z ) exp i (kx x k y y ) dkx dk y (4) 2
其中：A(k x , k y , 0)